Thông tin tài liệu
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài tốn tính giới hạn dãy số tốn khó học sinh trung học phổ thơng nói chung học sinh khối 11 nói riêng Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia Liên quan đến dạng tốn có nhiều sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, nhiên sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông chưa nhiều Đôi đưa cơng thức, quy trình giải cách áp đặt chưa logic Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thường thắc mắc “tại lại có vậy?” hay “Sao lại có kết đó?” ; Cũng khơng có đủ sở lý thuyết nên em học sinh khó nhớ cơng thức, khơng tìm mối liên hệ tốn, khơng tự xây dựng lớp tốn dạng quy trình để giải tốn đó; Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tịi sáng tạo tốn học sinh – yếu tố quan trọng người học tốn Để tính giới hạn dãy số ta có nhiều phương pháp, có phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số; để xác định số hạng tổng quát dãy số ta lại có nhiều phương pháp Vì lí thời lượng nên SKKN xin đề cập phương pháp xác định SHTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi dạng đặc biệt cách sử dụng CSC-CSN.Vì tơi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh thông qua tốn tìm số hạng tổng qt dãy số có công thức truy hồi đặc biệt cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tơi khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết mặt toán học; tơi trình bày kết mà trình dạy học cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số giới hạn tơi tích luỹ, tìm tịi; nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh chủ động, sáng tạo việc xác định SHTQ dãy số qua tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trên download by : skknchat@gmail.com sở từ số tốn điển hình tơi đưa phương pháp giải cho tốn nhóm toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái qt hóa để tốn đưa phương pháp giải tương ứng, qua giúp rèn luyện, phát triển tư giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dãy số cho công thức truy hồi đặc biệt mà dùng tính chất CSC-CSN để tìm số hạng tổng quát áp dụng vào học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Thực hành qua dạy + Khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: ( ) [1], d số thực không đổi gọi “cơng sai” Tính chất: Số hạng tổng qt cấp số cộng: [1] Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: [1] 2.1.2 Cấp số nhân download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: số không đổi gọi “công bội ”[1] ( ),q Tính chất: Số hạng tổng quát: [1] Tổng n số hạng đầu cấp số nhân (q 1)[1] (nếu q = hiển nhiên S = n.u1) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1] Bài tập Cho dãy số ( Tính lim cấp số nhân ) xác định [2] Sau nghiên cứu Sách giáo khoa giải toán ta rút số nhận xét sau đây: Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng việc tìm cách giải cho toán download by : skknchat@gmail.com Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu giải câu b) tốn trở nên khó học sinh Việc đề yêu cầu thêm câu a) gợi ý giúp học sinh xác định hướng giải cho tốn Cụ thể xác định SHTQ dãy số nhờ vào việc tìm cơng thức tổng qt CSC-CSN qua tìm giới hạn dãy số Với tốn đề cập kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi việc gợi mở cách cho câu a) không đưa Vấn đề học sinh biết cách nhận dạng, phân tích tốn để có hướng giải Đây vấn đề khơng dễ học sinh Vì giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ động sáng tạo việc giải vấn đề 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đưa số dạng dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt xây dựng phương pháp xác định SHTQ dãy Trong khuôn khổ SKKN này, xin đưa số dạng sau đây: Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) xác định sau SHTQ dãy số[2] Hãy xác định Nhận xét:Để giải toán học sinh giải theo cách sau: Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = = 1+0.2 =1+(1-1).2 u2 = = 1+1.2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2.2 =1+(3-1).2 Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa phương pháp quy nạp toán học Cách 2:(Sử dụng định nghĩa cấp số cộng) download by : skknchat@gmail.com n N* Từ giả thiết ta có: un+1 – un = Nên theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2 Suy un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 Vậy un = -1+2n Ví dụ 1.2 Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1] cấp số nhân Lời giải: a) Ta có Nên (vn) CSN có cơng bội b) Từ câu a) suy v1 Do Do Nhận xét: Câu hỏi mà học sinh đặt lại nghĩ phép đổi biến để dãy (vn) CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải ta cần tìm số b cho Do đặt Ngồi đặt nên (vn) cấp số nhân , ta có Suy download by : skknchat@gmail.com Từ toán giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến vấn đề mới: "đềxuất tốn tổng qt với quy trình để giải tốn đó" Bình luận: Thực chất toán dạng giải triệt để nhờ lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh trung học phổ thơng kiến thức q tầm Trong phạm vi SKKN đưa hoạt động toán học nhằm phát triển tư cho học sinh cách giúp học sinh xây dựng tốn cách giải tốn kiến thức phổ thơng Ví dụ 1.3.Cho dãy số xác định bởi: định SHTQ dãy số Hãy xác Lời giải: Trong toán gặp khó khăn dãy ( ) khơng phải CSC hay CSN! Ta thấy dãy ( ) khơng phải CSN xuất số -1 VP Ta tìm cách làm -1 đưa dãy số CSN Ta có nên viết cơng thức truy hồi dãy sau: (1) Đặt Dãy CSN công bội q=3 Vậy Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích để chuyển cơng thức truy hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy CSN Tuy nhiên việc làm khơng tự nhiên ! Làm ta biết phân tích ? Ta làm sau:Ta phân tích Với cách làm ta xác định SHTQ dãy Thật vậy: : download by : skknchat@gmail.com *Nếu a=1 dãy ( ) CSC có cơng sai d=b nên *Nếu a ta viết = Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: , từ ta có : Hay Vậy ta có kết sau: Dạng 1:Dãy số ( ): số) có SHTQ là: Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ dãy ( ) xác định: Lời giải: Để tìm SHTQ dãy số ta tìm cách làm 3n-1 để chuyển dãy số CSN Muốn làm ta viết: Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: Đặt ta có Vậy SHTQ dãy Nhận xét : : 1) Để phân tích đẳng thức (2), ta làm sau: cho n=1;n=2 ta có 2) Trong trường hợp tổng quát dãy : đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ sau: phân tích = -a (3)Với , là đa thức theo n Khi ta có: download by : skknchat@gmail.com Vậy ta có: Vấn đề cịn lại ta xác định Ta thấy: nào? - đa thức có bậc nhỏ bậc *Nếu a=1 hàm số bậc khơng phụ thuộc vào hệ số tự có (3) ta chọn , mà đa thức bậc k nên để đa thức bậc k+1, có hệ số tự để xác định đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị n ta hệ k+1 phương trình, giải hệ ta tìm hệ số *Nếu a đa thức bậc với nên ta chọn đa thức bậc k đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị n ta xác định Vậy ta có kết sau: Dạng 2:Để xác địnhSHTQ dãy xác định đa thức bậc k theo n; a số Ta làm sau: Ta phân tích: = - với đa thức theo n.Khi đó, ta đặt ta có được: (Lưu ý a=1, ta chọn a ta chọn đa thức bậc k+1 có hệ số tự khơng, cịn đa thức bậc k) Ví dụ 1.5 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy Lời giải: Ta phân tích (Trong ) Cho: n=0,n=1 ta có hệ Ví dụ 1.6 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy tính download by : skknchat@gmail.com ề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) (Đ Lời giải: Trường hợp ta phân tích Đến dễ dàng tìm giới hạn Nhận xét : Trong trường hợp tổng quát dãy với , ta phân tích Khi đó: Suy Trường hợp , ta phân tích Vậy ta có kết sau: Dạng 3: Để xác định SHTQ dãy , ta làm sau: Nếu Nếu ta phân tích Ta tìm được: Khi đó: Ví dụ 1.7.Tìm SHTQ dãy ;n=2,3,… Lời giải:Ta có cho n=1, ta Hơn 12=-3+5.3 nên công thức truy hồi dãy viết lại sau: Vậy Ví dụ 1.8.Tìm SHTQ dãy download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Ta phân tích: nên ta viết công thức truy hồi dãy sau: Vậy Dạng 4: Để xác định SHTQ dãy , đa thức bậc k n Đây kết hợp dạng nên ta phân tích từ Nhận xét: cách phân tích dạng dạng Ví dụ 1.9 Xác định SHTQ dãy : Lời giải:Để xác định SHTQ dãy số trên, ta thay dãy dãy số khác CSN Ta viết lại công thức truy hồi dãy sau: , ta phải chọn phương trình : Ta chọn nghiệm Khi : Sử dụng kết dạng 3, ta tìm được: Ví dụ 1.10 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy tính (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Lời giải: Từ giả thiết ta có Suy dãy cấp số nhân có công bội (1) 10 download by : skknchat@gmail.com Cũng từ giả thiết ta có Suy dãy cấp số nhân có cơng bội (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình Nhận xét: Tương tự với cách làm ta xác định SHTQ dãy định bởi: xác , a,b số thực cho trước sau: Gọi nghiệm phương trình: phương trình đặc trưng dãy) (phương trình gọi Khi đó: có trường hợp sau: Nếu Sử dụng kết dạng 3, ta Hay , k,l , hay , k, l nghiệm hệ: Nếu nghiệm hệ: Vậy ta có kết sau: Dạng 5: Để xác định SHTQ dãy số thực khác khơng; Gọi , a,b,c ta làm sau: nghiệm phương trình đặc trưng: 11 download by : skknchat@gmail.com Nếu Nếu , , Ví dụ 1.11 Cho dãy số SHTQ dãy ( ) Lời giải: nghiệm hệ: nghiệm hệ: xác định bởi: Hãy xác định Phương trình có nghiệm Vì Vậy nên ta có hệ : Ví dụ 1.12 Xác định SHTQ dãy: Lời giải: Phương trình đặc trưng: Vì nên ta có hệ: có nghiệm kép x=2 nên Vậy Ví dụ 1.13 Cho dãy dãy Xác định SHTQ Lời giải: Với cách làm tương tự ví dụ 5, ta phân tích: (1) 12 download by : skknchat@gmail.com Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ: Đặt Ta có hệ Nhận xét : Để xác định SHTQ dãy số đa thức bậc k theo n : (trong ) ta làm sau: Ta phân tích (2) đặt Ta có dãy số Đây dãy số mà ta xét dạng Do ta xác định SHTQ Vấn đề lại ta xác định Vì để có (2)? đa thức bậc k nên ta phải chọn cho đa thức bậc k theo n.Khi ta cần thay xác định giá trị n vào (2) ta Giả sử là đa thức bậc m Khi hệ số VP Do đó: Nếu PT: (3) có hai nghiệm phân biệt khác nên VP (2) đa thức bậc m Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm nên VP (2) đa thức bậc 13 download by : skknchat@gmail.com ... dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: a) Chứng minh dãy số. .. nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: ( ) [1], d số thực khơng đổi gọi “cơng sai” Tính chất: Số hạng tổng quát cấp số cộng: [1] Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: [1] 2.1.2 Cấp số nhân... download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: số không đổi gọi “công bội ”[1] ( ),q Tính chất: Số hạng tổng quát: [1] Tổng n số hạng đầu cấp số nhân
Ngày đăng: 29/03/2022, 21:56
Xem thêm:
