Các dạng toán về cấp số nhân 1 Lý thuyết a) Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một s[.]
Các dạng toán cấp số nhân Lý thuyết a) Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un = un-1 q với n * Đặc biệt: - Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; … - Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;… - Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; … b) Số hạng tổng quát cấp số nhân (un) xác định công thức: un = u1 qn - với n c) Tính chất Ba số hạng uk - 1, uk, uk + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u 2k u k 1.u k 1 với k (Hay u k u k 1.u k 1 ) d) Tổng n số hạng cấp số nhân xác định công thức: Sn u1 u u n u1 q n 1 q 1 Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1; u1; u1; … u1; Sn = n.u1 Các dạng tốn Dạng Xác định cấp số cộng yếu tố cấp số nhân Phương pháp giải: - Dãy số (un) cấp số nhân u n 1 q không phụ thuộc vào n q công un bội cấp số nhân - Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu công bội Ta thiết lập hệ phương trình hai ẩn u1 q Tìm u1 q - Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 qn-1 công thức truy hồi un = un – q Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho dãy số sau, dãy số cấp số nhân Nếu cấp số nhân xác định số hạng công bội: a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64 b) Dãy (un): un = n.6n+1 c) Dãy (vn): = (– 1)n.32n Lời giải a) Ta thấy 2 8 16 32 64 2 2 8 16 32 Nên dãy số cấp số nhân với số hạng u1 = công bội q = – b) Ta có: un = n 6n+1 un+1 = (n + 1).6n+2 n 2 n 1 u n 1 n 1 Xét phụ thuộc vào n un n.6n 1 n Nên dãy số không cấp số nhân c) Ta có: = (– 1)n 32n vn+1 = (– 1)n+1 32(n+1) 2n 1 1 1 32 9 không đổi Xét n 2n 1 n 1 Vậy dãy số cấp số nhân với số hạng u1 = (– 1)1.32.1 = – công bội q = – u1 u 51 u u 102 Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: a) Xác định công bội hạng cấp số nhân b) Xác định công thức tổng quát cấp số nhân c) Tìm số hạng thứ 15 cấp số cộng d) Số 12288 số hạng thứ cấp số nhân Lời giải a) Gọi q công bội cấp số nhân cho Theo đề bài, ta có u1 1 q 51 u1 u1q 51 u1 u 51 u q q u1q u1q 102 u u 102 102 Lấy hai vế phương trình chia cho hai vế phương trình ta q = Suy u1 51 51 3 q 24 Vậy cấp số nhân có số hạng u1 = công bội q = b) Số hạng tổng quát cấp số nhân un = u1 qn–1 nên un = 3.2n–1 c) Số hạng thứ 15 cấp số nhân là: u15 = 3.214 = 49152 d) Giả sử số 12288 số hạng thứ n cấp số nhân, ta có: u n 12288 3.2n 1 12288 2n 1 212 n 13 Vậy số 12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân Dạng Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân Chứng minh cấp số nhân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng uk – ; uk ; uk + ba số hạng liên tiếp cấp số nhân u 2k u k 1.u k 1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm x cho số 1; x2; – x2 lập thành cấp số nhân Lời giải Ta có: 1; x2; – x2 lập thành cấp số nhân x2 x 1. x x x 3(Loai) Vậy x số lập thành cấp số nhân Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; số (y + 1)2 ; xy + ; (x – 1)2 lập thành cấp số nhân Tìm x y Lời giải Ta có số 5x – y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng 2x 3y 5x y x 2y 4x 6y 6x y 2x 5y Các số (y + 1)2 ; xy + ; (x – 1)2 lập thành cấp số nhân xy 1 y 1 x 1 2 xy y 1 x 1 xy y 1 x 1 2xy y x y x 2y 2x 4xy 2x 2y (2) Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y2 + 5y – 2y) = y x 10 x y 3y 10y 3 y 3 3 y x 10 10 3 ; ; ; 3 10 Vậy (x;y) 0;0 ; Dạng Tính tổng cấp số nhân Phương pháp giải: Tổng n số hạng Sn xác định công thức: Sn u1 1 q n 1 q , q 1 Nếu q = cấp số nhân u1; u1; u1; … u1; … Sn = n.u1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) a) (un) có số hạng tổng quát là: un = 2.( –3)k Tính S15 b) (un) có số hạng đầu 18, số hạng thứ hai 54, số hạng cuối 39366 Tính tổng tất số hạng cấp số nhân Lời giải a) (un) có số hạng tổng quát là: un = (– 3)k u1 = q = – Tổng 15 số hạng cấp số nhân S15 u1 1 q n 1 q 15 1 3 315 3 b) Số hạng u1 = 18 Số hạng thứ hai u 54 u1q 54 q Số hạng cuối u n 39366 u1.q n 1 39366 18.3n 1 39366 3n 1 37 n Vậy S8 u1 1 q n 1 q 18.1 38 1 Ví dụ 2: Tính tổng a) Sn 99 999 999 n so 59040 b) Sn 88 888 88 n so Lời giải a) Sn 99 999 999 n so 10 102 103 10n 10 102 103 10n n 10n 10 n 10 10 10n 1 n 8 9 b) Sn 99 999 99 n so 10 102 103 10n 1 10 102 103 10n n 10n 10 n 9 10 80 10n 1 81 n Bài tập tự luyện Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số cấp số nhân? A un = – 3n C u n B un = – 3n 3n D un = 7.3n Câu Cho cấp số nhân (un) có u1 ,u 32 Khi q ? A B C 4 D Tất sai Câu Cho cấp số nhân (un) có u1 1;q 1 Số 103 số hạng thứ bao nhiêu? 10 10 A Số hạng thứ 103 B Số hạng thứ 104 C Số hạng thứ 105 D Đáp án khác Câu Cho cấp số nhân (un) có u ;u 16 Tìm q số hạng cấp số nhân? A q 4,u1 16 C q ,u1 B q ;u1 2 D q 4,u1 16 Câu Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3; q = – Số 192 số hạng thứ bao nhiêu? A Số hạng thứ B Số hạng thứ C Số hạng thứ D Đáp án khác u u 36 Chọn khẳng định đúng? u u 72 Câu Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1 q A u1 q B u1 q u1 q C Câu Cho dãy số (un) cấp số nhân với u n 0, n D * Dãy số sau cấp số nhân? A u1; u3; u5; C B 3u1; 3u2; 3u3; 1 ; ; ; u1 u u D u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; Câu Tìm x để ba số + x; + x; 33 + x theo thứ tự lập thành cấp số nhân A x = B x = C x = D x = 3; x = Câu Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với cơng sai khác Tìm q? A q B q C q D q = - Câu 10 Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính x2 + y2 A x2 + y2 = 40 B x2 + y2 = 25 C x2 + y2 = 100 D x2 + y2 = 10 u 20 8u17 Công bội cấp số nhân u1 u 272 Câu 11 Cho cấp số nhân (un) có B q = – A q = D q = – C q = u u 540 Tính S21 u u 180 Câu 12 Cho cấp số nhân (un) có A S21 21 1 B S21 = 321 – D S21 C S21 = – 321 21 1 Câu 13 Cho cấp số nhân (un) có u1 = – q = – Tính tổng 10 số hạng cấp số nhân cho A S10 = – 511 B S10 = – 1025 C S10 = 1025 D S10 = 1023 Câu 14 Cho cấp số nhân (un) có u2 = – u5 = 54 Tính tổng 1000 số hạng cấp số nhân cho A S1000 31000 B S1000 31000 C S1000 31000 D S1000 31000 Câu 15 Gọi S = + 11 + 111 + + 111 (n số 1) S nhận giá trị sau đây? 10n A S 81 10n B S 10 81 10n C S 10 n 81 10n D S 10 n 9 Đáp án 10 11 12 13 14 15 D A A A C B D B A A A A D D D ... 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: a) Xác định công bội hạng cấp số nhân b) Xác định công thức tổng quát cấp số nhân c) Tìm số hạng thứ 15 cấp số cộng d) Số 12288 số hạng thứ cấp số nhân Lời... cấp số nhân có số hạng u1 = công bội q = b) Số hạng tổng quát cấp số nhân un = u1 qn–1 nên un = 3.2n–1 c) Số hạng thứ 15 cấp số nhân là: u15 = 3.214 = 49152 d) Giả sử số 12288 số hạng thứ n cấp. .. = – 321 21 1 Câu 13 Cho cấp số nhân (un) có u1 = – q = – Tính tổng 10 số hạng cấp số nhân cho A S10 = – 511 B S10 = – 1025 C S10 = 1025 D S10 = 1023 Câu 14 Cho cấp số nhân (un) có u2 = –