Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.2 - ThS. Đoàn Thị Thanh Xuân

Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.2 được biên soạn bởi ThS. Đoàn Thị Thanh Xuân có nội dung trình bày về: Giới hạn tại một điểm; Giới hạn tại vô cực; Giới hạn một bên hàm số; Một số định lý về hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số 1.2 Giới hạn hàm số Các định nghĩa (xem giáo trình trang 39) 1.2.1 Giới hạn điểm 1.2.2 Giới hạn vô cực 1.2.3 Giới hạn bên 1.2.4 Một số định lý Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) : Cho hàm f(x) x0 điểm tụ MXĐ Df hàm lim f ( x )  a     0,    / x  x0  x  D f , x  x0    | f ( x )  a |  Chú ý: Hàm f(x) khơng a xác định x0 a+ε y=a+ε a-ε x0-δ y=a-ε x0 x0+δ Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số x 1 Ví dụ: Tính giới hạn lim x 1 x  Hàm không xác định x0=1, giới hạn cho có dạng x 1 lim  x 1 x  Ta vẽ đường cong để minh họa cho kết dễ thấy Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy): Cho x0 điểm tụ MXĐ Df hàm f(x) n lim f ( x)  a  ( xn )  D f , xn  x0 , xn   xo x  x0 n   f ( xn )  a Chú ý: Ta thường dùng định nghĩa ngôn ngữ dãy để chứng minh giới hạn hàm không tồn cách dãy ( xn ),( xn' )  x0 ' f ( x ), f ( x cho dãy tương ứng n n ) có giới hạn khác Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Ví dụ: Chứng minh giới hạn sau khơng tồn lim sin x x Chọn dãy  xn   n   f ( xn )  sin n  0, n         xn    n 2   f ( xn )  sin   n 2   1, n 2  2  lim f ( xn )  0,lim f ( xn )  n n Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực : lim f ( x)  a    0, A  / x  y=a x  D f , x  A | f ( x)  a |  y=a lim f ( x)  a    0,B  / x  x  D f , x  B | f ( x)  a |  Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực : lim f ( x)    M  0,   / x  x0 x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M x0-δ x0+δ lim f ( x)    M  0,   / x  x0 x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) y=M lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn dạng u(x)v(x) : Giả sử :  lim u ( x )  a   x  x0  v( x)  b  xlim   x0 Ta có : lim  u ( x)  x  x0 v( x)  lim e x  x0 e Vậy: v ( x ) ln  u ( x )  b ln a e lim v ( x ) ln( u ( x )) x  x0 b a lim v ( x ) lim u ( x)v ( x )  lim u ( x) x x0 x x0 x  x0 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn phía: Số a gọi giới hạn trái y = f(x) điểm x0,     x  D f ,0  x0  x   | f ( x)  a |  ký hiệu lim f ( x)  a  x  x0 Số a gọi giới hạn phải y = f(x) điểm x0,     x  D f ,0  x  x0   | f ( x)  a |  ký hiệu lim f ( x )  a  x  x0 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn phía: Định lý: Hàm số y = f(x) có giới hạn x0 có giới hạn trái, giới hạn phải x0 chúng Chú ý: Ta dùng định lý để chứng minh không tồn giới hạn hàm (Ngồi cách dùng định nghĩa ngơn ngữ dãy) 2.Giới hạn phía thường dùng trường hợp hàm chứa bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hàm ghép Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số 2x Ví dụ: Chứng minh không tồn giới hạn lim x 3 x  cách tìm giới hạn phía 2x Ta có: lim   x 3 x  x→3- x-30 2x Vậy:  lim x 3 x  giới hạn trái, phải tồn không Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Ví dụ : Tính giới hạn x→0 hàm  sin2x ,x   f ( x)   x 5 x  2, x  sin2x lim f ( x)  lim 2   x x 0 x 0 lim f ( x)  lim (5 x  2)  x 0  x 0  Vậy: lim f ( x)  x 0 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số  Qui tắc lấy giới hạn: 1  ,   , 0   0 a.()   (a  0)  0, a    a  , a    Các dạng vô định :   0 ; ;   ; ; 0.;  ;  Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số  Một số kết giới hạn cần nhớ sin x tan x 1) lim  lim 1 x 0 x 0 x x x   1  2) lim 1    lim 1  x x  e x   x 0 x   n  n   3) lim[ f (x )]   lim f (x ) , n   x a  x a  lim g (x ) x a g (x )   4) lim [ f (x )] ( lim f (x )  )  lim f (x ) x a x a  x a   5) lim x a  n f (x )  n lim f (x ), f (x )  , n    x a  ln x x 6) lim   lim x    1,   x  x x   Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số VD Chứng tỏ lim x sin  x 0 x 1 2 Từ 1  sin  1, ta có x  x sin  x x x 2 Vì lim(x )  lim x  , nên lim x sin  x 0 x 0 x 0 x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số   VD Tính L  lim 2x  x  3x x  Khi x   x  , ta có:     L  lim 2x  | x |    x   x        lim 2x  x    x   x           lim x 2      x    x    Back Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số VD Tính L  lim x  L  lim x   lim x    2x  x  x (2x  x )  2x 2 2x  x  x 1 1  2 2  x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com)  lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số VD Tính L  lim x    4x   x     L  lim  x   x   x   x           lim x    1    x    x     Back Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số x  4x   VD Tính L  lim x 2 x 2 (x  1)  4x  L  lim x 2 x 2 (x  1)  (4x  1)  lim x 2   (x  2) (x  1)  4x     x  L  lim  x 2 (x  1)  4x  Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số 5x   8x VD Tính L  lim x 1 x  Ta có: 3 5x   8x 5x   2  8x   x 1 x 1 x 1 5x   8x   (x  1)  5x   2 (x  1)  64x  8x  4           L  lim   x 1  5x   64x  8x      Back 12 12 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số x x  2  VD 10 Tính L  lim   x   x    x x 1 x 1     L  lim 1    x   x  1        e ……………………………………………………………… Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) ... ý: Hàm f(x) khơng a xác định x0 a+ε y=a+ε a-ε x 0-? ? y=a-ε x0 x0+δ Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số x 1 Ví dụ: Tính giới... lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số 2x Ví dụ: Chứng minh khơng tồn giới hạn lim x 3 x  cách tìm giới hạn phía 2x Ta có: lim   x 3 x  x→ 3- x-30 2x Vậy: ... (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực : lim f ( x)    M  0,   / x  x0 x  D f ,| x  x0 |   f ( x)  M x 0-? ? x0+δ lim f ( x)    M  0, 