Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.3 được biên soạn bởi ThS. Đoàn Thị Thanh Xuân có nội dung trình bày về: Các định nghĩa, tính chất; Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé cấp cao; Quy tắc ngắt bỏ vô lớn bé cấp thấp. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng tại đây.
lOMoARcPSD|16991370 Bài ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VC LỚN 3.1 Các định nghĩa 3.2 Tính chất (tham khảo) 3.3 Quy tắc ngắt bỏ vô bé cấp cao 3.4 Quy tắc ngắt bỏ vô lớn bé cấp thấp Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn 3.1 Các định nghĩa • (x ) vô bé x a lim (x ) x a (x ) • (x ) O((x )) x a lim x a (x ) ((x ) tiến nhanh (x )nên bậc (x ) lớn bậc (x ) VD (x ) tan x VCB x ; (x ) tan(cos x ) không VCB x VD sin x O(sin 2x ) x sin x sin x lim lim x sin 2x x cos x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vơ bé, vơ lớn • (x ) VCB bậc với (x ) x a (x ) lim x a (x ) (x ) • (x ) (x ) x a lim x a (x ) VD sin(x 1) bậc với x x sin(x 1) sin(x 1) lim lim x 1 x 1 x x x 1 VD sin x sin x x 3 sin x x sin x lim lim 3 x sin x x 0 x sin x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vơ bé, vơ lớn Vơ lớn • (x ) vô lớn x a lim (x ) x a (x ) • (x ) VCL((x )) x a lim x a (x ) ((x ) tiến nhanh (x )nên bậc (x ) lớn bậc (x ) • Ta có thứ tự VCL x sau : x x ln x x a x ,(, 0, a 1) VD (x ) x s inx VCB x ; x e VD lim x x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn 2.3 Quy tắc ngắt bỏ vô bé cấp cao (x ) O ((x )) (x ) lim lim x a (x ) O ( (x )) x a (x ) O ( ( x )) đại lượng vô bé cấp cao so với ( x) Chú ý: Trường hợp không thay VCB tương tương hai VCB tương đương với VCB thứ Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn Ghi nhớ Khi u(x ) , ta có cơng thức VCB tương đương: 1) sin u(x ) u(x ); 2) tan u(x ) u(x ) 3) arcsin u(x ) u(x ); 4) arctan u(x ) u(x ) [u(x )]2 u (x ) 5) cos u(x ) ; 6) e u(x ) 7) ln[1 u(x )] u(x ); 9) sinh u(x ) u(x ); u(x ) 8) u(x ) n n u (x ) 10) cosh u(x ) Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn VD: So sánh VCB sau x 1.(x ) x ; (x ) x sin x x2 2.(x ) cosx ; (x ) sin x arcsin x Ta có Giải (x ) lim lim sin x (x ) x 0 x Giới hạn không tồn nghĩa VCB không so sánh Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn Ta so sánh cách tính bậc VCB cos x 1 1 2 x ln x ln x 2 Suy bậc (x ) so với x x2 (x ) cosx e x ln 2 2 (x ) sin x arcsin x x x x Bậc (x ) so với x Vậy (x ) O((x )) Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn x cos x VD Tính L lim x 0 x x x (1 cos x ) Ta có: L lim x 0 x x2 x x x 2 lim lim x 0 x 0 x 2 x2 x sin x e e VD Tính L lim x 0 3x Không sử dụng VCB, ta dung quy tắc L’Hospital chương sau Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn ln(1 2x sin x ) VD Tính L lim x 0 sin x tan x 2 Khi x , ta có: ln(1 2x sin x ) 2x sin x 2 sin x tan x x x 2.x 2 L 2 x VD Tính L lim cosh x 1/ (1 cos x ) x L lim(1 (chx 1)) x2 x 0 2 x x lim 1 e x 0 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé, vô lớn 2.4 Quy tắc ngắt bỏ vô lớn cấp thấp (x ) T ((x )) (x ) lim lim x a (x ) T ((x )) x a (x ) T ( ( x)), T ( ( x)) đại lượng vô lớn bé cấp thấp so với ( x ), ( x ) Chú ý: Trường hợp KHÔNG ĐƯỢC THAY VCL tương đương HIỆU VCL CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCL THỨ BA Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài 4: HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 Định nghĩa Hàm số f gọi liên tục điểm a lim f ( x) f (a ) x a Nếu hàm số f không liên tục điểm a ta nói hàm số gián đoạn điểm a Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Hàm số liên tục VD Chứng tỏ hàm số sau liên tục x : x x , x 2 f (x ) x 3 , x 2 (x 2)(x 1) Ta có: lim f (x ) lim f (2) x 2 x 2 x 2 Do hàm số liên tục x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vô bé VD Tìm để hàm số sau liên tục x : tan2 x sin2 x ,x 0 f (x ) x ,x 0 Ta có: lim f (x ) f (0) x 0 2 x tan x sin x Khi x 2x 2x x lim f (x ) lim x 0 x 0 2x Vậy, f liên tục khi: lim f (x ) lim f (x ) f (0) x 0 x 0 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Đại lượng vơ bé VD Tìm để hàm số sau liên tục x : ln(cos x ) , x 2 x x arctan f (x ) ,x 0 2 Ta có f (0) 2 Khi x x ln(cos x ) ln[1 (cos x 1)] cos x 2 x ln(cos x ) lim f (x ) 2 x 0 arctan x 2x 3x Vậy, f liên tục khi: 17 2 12 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Hàm số liên tục 3.2 Liên tục phía • f liên tục bên phải điểm a lim f (x ) f (a ) x a • f liên tục bên trái điểm a lim f (x ) f (a ) x a VD Chứng tỏ hàm số sau không liên tục bên phải x , liên tục bên trái x : cos x , x f (x ) 1 ,x 0 Ta có: sin x , x • lim f (x ) lim sin x f (0) x 0 x 0 • lim f (x ) lim cos x f (0) x 0 x 0 Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Hàm số liên tục 3.3 Liên tục khoảng Định nghĩa: • f liên tục (a;b) f liên tục x (a;b) • f liên tục [a;b ] f liên tục (a;b) liên tục phải a liên tục trái b Định lý: Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm liên tục điểm a hàm liên tục a Mọi đa thức liên tục Mọi hàm sơ cấp liên tục khoảng tập xác định Nếu hàm f liên tục b lim g( x) b xa lim f ( g ( x)) f (lim g ( x)) f (b) xa xa Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số Tiệm cận đứng • x a tiệm cận đứng đồ thị hs y f (x ) lim f (x ) x a lim f (x ) x a VD Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2 f (x ) x 2x Ta có D [2; 1) (1; 2] lim f (x ) nên x 1 x tiệm cận đứng đồ thị Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số Tiệm cận ngang • y L tiệm cận ngang đồ thị hs y f (x ) lim f (x ) L lim f (x ) L x x Chú ý Đường cong y f (x ) có miền xác định đóng khơng có tiệm cận ngang Tiệm cận xiên • y ax b tiệm cận xiên đồ thị hs y f (x ) f (x ) lim a lim f (x ) ax b x x x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số VD Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số x 1 f (x ) x 1 |x | 1 x Ta có D \ {1} f (x ) x 1 x Suy lim f (x ) 1 lim f (x ) x x Vậy y 1 y tiệm cận ngang Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số VD Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số 3x 2x f (x ) x 1 Ta có D \ {1} , f (x ) 3x 2x • a lim lim 3 x x x x x x 4 • b lim[ f (x ) 3x ] lim x x x Vậy tiệm cận xiên y 3x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số Chú ý 3x 2x Ta viết 3x x 1 x 1 x x 1 Suy tiệm cận xiên y 3x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số VD Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y x (x 1) Ta có D y • a lim lim x x x x 3 • b lim x (x 1) 1.x x x lim x 2 3 x (x 1) x x (x 1) x Vậy y x tiệm cận xiên Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số VD 10 Tìm tiệm cận xiên ngang đồ thị hàm số y x x 4x x | x | 1 x x Ta có a lim x x • Khi x a b lim x x 4x x 2 y 2x • Khi x a b lim x x 4x y x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số Chú ý Ta giải nhanh sau y x (x 2) x x (x 2) 2x 2, x x x x 2 , x ………………………………………………………………… Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) ... lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số Tiệm cận đứng • x a tiệm cận đứng đồ thị hs y f (x ) lim f (x ) x a lim f (x ) x a VD Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2 f (x... tiệm cận đứng đồ thị Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm số Tiệm cận ngang • y L tiệm cận ngang đồ thị hs y f (x )... xiên đồ thị hs y f (x ) f (x ) lim a lim f (x ) ax b x x x Downloaded by nguyenphuong Phuong nguyen (Kimphuongrio@gmail.com) lOMoARcPSD|16991370 Bài Tiệm cận đồ thị hàm