Đang tải... (xem toàn văn)
cả hai giới hạn ở vế phải đẳng thức trên tồn tại hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 1 dạng này, được gọi là hội tụ; còn nếu có ít nhất một trong hai giới hạn ở vế phải đẳng thức trên k[r]
(1)Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 3.1 Đạo hàm
3.1.1 Định nghĩa đạo hàm, đạo hàm phía, ý nghĩa hình học ý nghĩa học đạo hàm Định nghĩa 3.1.1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a,b), tức D(f) = (a,b) Khi đó, hàm số y = f(x) xác định lân cận điểm x0D(f), xét x thuộc lân cận đó, đặt x = x – x0 (được gọi số gia đối số điểm x0, rõ ràng xx0 x0) y = f(x) – f(x0) = f(x0+x) – f(x0) (được gọi số gia hàm số điểm x0) Nếu
x
) x ( f ) x x ( f lim x
x
) x ( f ) x ( f lim x y
lim 0
0 x
0 x
x
x 0
tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0, đồng thời ta nói rằng, hàm số y = f(x) khả vi điểm x0
Vì x0 điểm thuộc khoảng (a,b) nên ta dùng x thay cho x0 để tiện sử dụng, người ta thường ký hiệu đạo hàm hàm số f(x) điểm x biểu thức sau đây: y’,
, y'x f'(x),
dx dy
tùy trường hợp, không gây hiểu nhầm
Nếu hàm số y = f(x) khả vi điểm x(a,b) ta nói f(x) khả vi khoảng (a,b) Ví dụ 3.1.1.1 Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm hàm số sau
(a) y = f(x) = c (c số) với D(f) = (a,b) Ta có y = f(x+x) – f(x) = c – c =
x lim x
) x ( f ) x x ( f lim x y lim ) x ( ' f
0 x
x
x
(b) y = f(x) = xn (nN) với D(f) = (a,b)
Ta có
n
1 k
1 k k n k n n
n
0 k
k k n k n n
n
) x ( x C ) x ( x -) x ( x C x
-x) + (x = f(x) -x) + f(x = y
n
2 k
2 k k n k n
n n x n
1 k
1 k k n k n
0 x
x x lim C x ( x) C x ( x)
) x ( x C ) x ( lim x y lim ) x ( ' f
nx x
C x C ) x ( x C ) x ( lim x
C 1n n 1n n n
n
2 k
2 k k n k n
x n n
(c) y = f(x) = ax (a > 0) với D(f) = R
Ta có
x ) a ( a lim x y lim ) x ( ' f ) a ( a a -a = f(x) -x) f(x = y
x x
0 x
x x
x x x + x
a ln a x
1 a lim
a x
x
0 x
x
(d) y = f(x) = sinx với D(f) = R Ta có
2 x sin
x x cos x sin ) x sin(x = f(x) -x) + f(x =
y
x
2 x sin
x x cos lim = x
f(x) -x) + f(x lim x y lim (x) f'
0 x
x
x
x cos x cos
x x cos lim
2 x
2 x sin lim
x x cos
2 x
2 x sin lim
0 x
2 x
x
(2)Định lý 3.1.1.1 Hàm số y = f(x) xác định khoảng (a,b) tồn đạo hàm điểm x(a,b) hàm số y = f(x) liên tục điểm x
Định nghĩa 3.1.1.2 Trong định nghĩa 3.1.1.1 nếu
x
) x ( f ) x x ( f lim x
y
lim 0
0 x
0
x
tồn
hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x0,
x
) x ( f ) x x ( f lim x
y
lim 0
0 x
0
x
tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0
Cũng Định nghĩa 3.1.1.1 x0 điểm thuộc khoảng (a,b) nên ta dùng x thay cho x0 để tiện sử dụng, người ta thường ký hiệu đạo hàm bên trái hàm f(x) điểm x f’(x-0) đạo hàm bên phải hàm f(x) điểm x f’(x+0)
Định lý 3.1.1.2 f’(x-0) = f’(x+0) = L f’(x) = L (L số hữu hạn) Ví dụ 3.1.1.2 Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm hàm số y = f(x) = |x|
- Khi x > sgn(x) = y = f(x) = x y = f(x+x) – f(x) = x+x – x = x
) x sgn( 1 lim x x lim x y lim ) x ( ' f
0 x
x
x
- Khi x < sgn(x) = -1 y = f(x) = -x y = f(x+x) – f(x) = -(x+x) – (-x) = -x
) x sgn( ) ( lim x
x lim x y lim ) x ( ' f
0 x
x
x
Do f’(x) = sgn(x) x ≠ - Khi x = 0:
+
x
) ( f ) x ( f lim x
) ( f ) x ( f lim x
y lim ) 0 ( ' f
0 x
0 x
0 x
1 ) ( lim x
0 x lim
0 x
0
x
+
x
) ( f ) x ( f lim x
) ( f ) x ( f lim x
y lim ) 0 ( ' f
0 x
0 x
0 x
1 lim x
0 x lim
0 x
0
x
Do f’(0–0) ≠ f’(0+0) nên không tồn f’(0)
Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x hệ số góc tiếp
tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ x
Ý nghĩa học đạo hàm: Quan hệ quãng đường s vật thể, tương ứng
với thời gian t, thể qua hàm số y = s(t) Khi đó, đạo hàm s’(t) vận tốc chuyển động vật thể thời điểm t
3.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm hàm số sơ cấp
Định lý 3.1.2.1 Giả sử hàm số f(x), g(x) xác định khoảng (a,b) tồn đạo hàm f’(x), g’(x) điểm x(a,b), hàm số f(x) + g(x), f(x).g(x), g(x) 0
) x ( g
) x ( f
tồn đạo hàm điểm x xác định sau:
(1) [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)
(2) [f(x).g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) (3)
) x ( g
) x ( ' g ) x ( f ) x ( g ) x ( ' f ) x ( g
) x ( f
2 '
(3)Nhận xét
- Quy tắc (1) suy rộng cho việc tính đạo hàm tổng hữu hạn hàm số, chẳng hạn, tổng hàm số [f(x) + g(x) + h(x)]’ = f’(x) + g’(x) + h’(x)
- Quy tắc (2) suy rộng cho việc tính đạo hàm tích hữu hạn hàm số, chẳng hạn, tích hàm số [f(x).g(x).h(x)]’ = f’(x).g(x).h(x) + f(x).g’(x).h(x) + f(x).g(x).h’(x)
Định lý 3.1.2.2 (Đạo hàm hàm hợp)
1 Giả sử hàm số u = f(x) có D(f) = (a,b) R(f) = (c,d), tồn đạo hàm u'x f'(x)tại điểm x(a,b);
2 Giả sử hàm số y = g(u) có D(g) = R(f), tồn đạo hàm y'u g'(u) u = f(x); Khi hàm hợp y = g[f(x)] tồn đạo hàm x xác định sau: '
x ' u '
x y u y
Nhận xét Có thể mở rộng định lý cho trường hợp hàm hợp số hữu hạn hàm số Chẳng hạn, y = g(u), u = f(v), v = h(x) '
x ' v ' u '
x y u v y
Định lý 3.1.2.3 (Đạo hàm hàm ngược)
Giả sử hàm số y = f(x) có D(f) R(f), đơn điệu tăng (giảm) D(f) tồn đạo hàm
0 ) x ( ' f y'
x với xD(f), hàm số ngược x = f
-1(y) tồn đạo hàm ' y
x với yR(f) xác định sau:
y
x '
x ' y
Định lý 3.1.2.4 (Đạo hàm theo tham số)
Giả sử hàm số y = f(x) cho dạng tham số
) t ( y y
) t ( x x
hàm số x(t) y(t) xác định khoảng (a,b), đồng thời tồn đạo hàm x’(t), y’(t) x’(t) ≠ điểm t(a,b) Khi tồn đạo hàm y'x f'(x) điểm x = x(t) xác định sau:
) t ( ' x
) t ( ' y ) x ( ' f
y'x
Định lý 3.1.2.5 (Đạo hàm hàm ẩn)
Giả sử y hàm đối số x cho đẳng thức F(x,y) = Nếu tồn đạo hàm ' x
y xác định sau:
(1) Tính đạo hàm vế trái đẳng thức F(x,y) = (khi xem y hàm x) cho biểu thức đạo hàm vừa tính khơng;
(2) Giải phương trình vừa nhận y nhận 'x y'x f(x,y)
Nhận xét Việc sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm hàm số cho biểu thức phức tạp khơng đơn giản Khi đó, ta biến đổi biểu thức hàm số dạng đơn giản sử dụng định lý (các quy tắc tính đạo hàm) với đạo hàm hàm sơ cấp (dưới đây) để tính đạo hàm hàm số cho
Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp
1 a a
ax )' x
( với aR
*) N n ( x
1 n )' x (
) N n ( nx
)' x (
n n n
1 n n
a ln a )' a
(4)a ln x
1 )' x
(loga với a > x ≠
x )' x
(ln
với x ≠
(sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx
x cos
1 )' x
(tan 2
x sin
1 (cot)' 2
2
x
1 )' x (arcsin
với |x| <
2
x
1 )'
x (arccos
với |x| <
2
x
1 )' x (arctan
2
x
1 )'
x cot arc (
Ví dụ 3.1.2.1 Tính đạo hàm f’(x) hàm số y = f(x) = axsinx Cách Sử dụng định nghĩa để tính
Ta có y = f(x+x) – f(x) = ax+xsin(x+x) – axsinx = ax[sinx.(axcosx – 1) + cosx.axsinx]
x
x sin a x cos ) x cos a ( x sin a lim x y lim ) x ( ' f
x x
x x
x
x
x sin lim a lim x cos x
1 x cos a lim x sin a
0 x x x x
0 x x
+ lima x a0
0
x
+
x x sin lim
0
x
+
x
1 x cos x
1 a x cos lim x
1 x cos a lim
x
0 x x
0 x
2
x
0 x x
0 x
2 x
2 x sin x x
1 a x cos lim x
1 x cos x
1 a x cos lim
a ln a ln
2 x
2 x sin lim x lim x
1 a lim x cos
lim
2
0
x x x
0 x
x
) x cos x sin a (ln a ) x cos a ln x (sin a ) x ( '
f x x
Cách Sử dụng quy tắc để tính
Đặt u(x) = ax v(x) = sinx y = f(x) = u(x).v(x) y’ = f’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) = ax.lna.sinx + ax.cosx = ax(lna.sinx + cosx)
(5)Ta thấy, đối số hàm ln hàm số khác nên ta phải dùng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp: Đặt u = arctanx y = lnu
x arctan ) x (
1 x
1 x arctan
1 x
1 u u y
y 'x 2 2 2
' u ' x
(b) y = earcsinx
Ta thấy, đối số hàm số mũ số e hàm số khác nên ta phải dùng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp: Đặt u = arcsinx y = eu
2 x arcsin
2 x
arcsin
u ' x ' u ' x
x e
x
1 e x
1 e u y y
(c) y = xx
Ta thấy biểu thức xx hàm lũy thừa hàm số mũ, nên ta dùng phép biến đổi sau: Lấy loga số e hai vế đẳng thức y = xx ta lny = lnxx = xlnx y = exlnx
Do y = exlnx, đặt u = xlnx y = eu
) x ln ( x x x x ln e ) x ln x ( e u y
y 'x xlnx x
u ' x ' u '
x
Ví dụ 3.1.2.3 Cho hàm số y = x + x3 với D(f) = R(f) = R, tính đạo hàm ' y x
Hàm số y = f(x) = x + x3 liên tục đơn điệu D(f) đạo hàm y'x 13x2 0 với xD(f), nên tồn hàm ngược x = f-1(y) với D(f-1) = R(f),
2 '
x ' y
x
1 y
1 x
Ví dụ 3.1.2.4 Tính đạo hàm hàm số y = f(x) cho dạng tham số
t sin b ) t ( y y
t cos a ) t ( x x
3
với
2 t 0
t tan a b ) t sin ( t cos a
t cos t sin b ) t ( ' x
) t ( ' y
y 2
2 '
x
Ví dụ 3.1.2.5 Giả sử hàm số y = y(x) thỏa mãn biểu thức arctany – y + x = 0, tính đạo hàm ' x y Đạo hàm hai vế biểu thức arctany – y + x = theo x xem y hàm đối số x ta
2 '
x '
x ' x '
x ' x ' y
y 1 y y y
y y y ) y
(arctan
3.1.3 Các định lý giá trị trung bình
Định lý 3.1.3.1 (Định lý Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có D(f) = (a,b) R(f) = R [f: (a,b)R] đạt cực trị khả vi điểm c(a,b) f’(c) =
Chứng minh
Theo giả thiết f(x) khả vi điểm x = c tức tồn f’(c), f’(c-0), f’(c+0) f’(c-0) = f’(c+0) = f’(c), tức tồn giới hạn f'(c) f'(c 0) f'(c 0)
x ) c ( f ) x c ( f lim
0
x
Mặt khác, c điểm cực đại hàm f(x) (a,b), tức f(c) f(x) với x(a,b) nên
0 x
) c ( f ) x c ( f lim ) c ( ' f
0 x
) c ( f ) x c ( f lim ) c ( ' f
0 x x
) c ( f ) x c ( f
0 x x
) c ( f ) x c ( f
0 x
0 x
Suy f’(c–0) = f’(c+0) = 0, f’(c) =
(6)Định lý 3.1.3.2 (Định lý Rolle) Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục [a,b] khả vi (a,b); f(a) = f(b) tồn điểm c(a,b) cho f’(c) =
Chứng minh
Vì f(x) liên tục [a,b] nên theo định lý 2.3.2.1 f(x) đạt giá trị bé m giá trị lớn M Có thể có hai trường hợp:
Trường hợp m = M, m f(x) M nên f(x) = m = M, nghĩa hàm số f(x) không đổi [a,b], tức f’(x) = với x[a,b] ta lấy c điểm [a,b] f’(c) =
Trường hợp m ≠ M, trường hợp hai điểm cực đại cực tiểu trùng với điểm a điểm b được, lại quay trường hợp có giả thiết f(a) = f(b) Suy ra, hai điểm cực đại cực tiểu đạt điểm c(a,b), vậy, theo định lý Fermat f’(c) =
Định lý 3.1.3.3 Định lý số gia hữu hạn (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục [a,b] khả vi (a,b); tồn điểm c(a,b) cho f'(c)
b a
) b ( f ) a ( f
Chứng minh
Xét hàm số (x a),
b a
) b ( f ) a ( f ) x ( f ) a ( f ) x (
h
theo giả thiết, hàm số f(x)C[a,b] khả vi (a,b) nên hàm số h(x) C[a,b] khả vi (a,b)
Mặt khác
0 ) a ( f ) b ( f ) b ( f ) a ( f ) a b ( b a
) b ( f ) a ( f ) b ( f ) a ( f ) b ( h
0 b a
) b ( f ) a ( f ) a a ( b a
) b ( f ) a ( f ) a ( f ) a ( f ) a ( h
h(a) = h(b)
Như vậy, hàm số h(x) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện định lý Rolle nên áp dụng định lý Rolle hàm số h(x) c(a,b) cho
h’(c) = f'(c)
b a
) b ( f ) a ( f b a
) b ( f ) a ( f ) c ( ' f ) c ( '
h
Định lý 3.1.3.4 (Định lý Cauchy) Giả sử hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục [a,b], khả vi (a,b), g’(x) ≠ với x(a,b) g(a) ≠ g(b); tồn điểm c(a,b) cho
) c ( ' g
) c ( ' f ) b ( g ) a ( g
) b ( f ) a ( f
Chứng minh
Xét hàm số g(x) g(a),
) a ( g ) b ( g
) a ( f ) b ( f ) x ( f ) a ( f ) x (
h
theo giả thiết, hàm số f(x), g(x)
C[a,b] khả vi (a,b) g(a) ≠ g(b) nên hàm số h(x) C[a,b] khả vi (a,b)
Mặt khác
0 ) a ( f ) b ( f ) b ( f ) a ( f ) a ( g ) b ( g ) a ( g ) b ( g
) a ( f ) b ( f ) b ( f ) a ( f ) b ( h
0 ) a ( g ) b ( g
) a ( f ) b ( f ) a ( g ) a ( g ) a ( g ) b ( g
) a ( f ) b ( f ) a ( f ) a ( f ) a ( h
h(a) = h(b)
Như vậy, hàm số h(x) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện định lý Rolle nên áp dụng định lý Rolle hàm số h(x) c(a,b) cho
h’(c) =
) c ( ' g
) c ( ' f ) b ( g ) a ( g
) b ( f ) a ( f ) c ( ' g ) a ( g ) b ( g
) a ( f ) b ( f ) c ( ' f ) c ( '
h
(7)Nhận xét
(1) Nếu f(a) = f(b) cơng thức f'(c) b
a ) b ( f ) a ( f
trở thành f’(c) = 0, nghĩa định lý Rolle trường hợp riêng định lý Lagrange
(2) Nếu g(x) = x công thức
) c ( ' g
) c ( ' f ) b ( g ) a ( g
) b ( f ) a ( f
trở thành f'(c), b
a ) b ( f ) a ( f
nghĩa định lý Lagrange trường hợp riêng định lý Cauchy
3.2 Đạo hàm cấp cao
3.2.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao
Cho hàm số f(x) xác định, liên tục [a,b] khả vi điểm x(a,b), f’(x) gọi đạo hàm cấp hàm số f(x) ký hiệu ký hiệu f(1)(x) Nếu hàm số f’(x) khả vi điểm x(a,b) đạo hàm cấp f’(x) gọi đạo hàm cấp hàm số f’(x) ký hiệu f”(x) hay f(2)(x)… Tổng quát: Nếu hàm số f(n-1)(x), gọi đạo hàm cấp n– hàm số f(x), khả vi điểm x(a,b) đạo hàm cấp f(n-1)(x), gọi đạo hàm cấp n hàm số f(x), tức f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’
Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau đây, mà sau sử dụng công thức đạo hàm cấp n
(a) f(x) = xa (aR)
- Đạo hàm cấp f(x) f’(x) = axa-1
- Đạo hàm cấp f(x) f”(x) = [f’(x)]’ = (axa-1) = a(a – 1)xa-2
- Dự đoán đạo hàm cấp n f(x) f(n)(x) = a(a – 1)(a – 2)…(a – n + 1)xa-n Chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp toán học
- Khi n = công thức
- Giả sử cơng thức với n, tức ta có f(n)(x) = a(a – 1)(a – 2)…(a – n + 1)xa-n
- Ta phải chứng minh công thức với n + 1, thật vậy: theo định nghĩa f(n+1)(x) = [f(n)(x)]’ hay f(n+1)(x) = [a(a – 1)(a – 2)…(a – n + 1)xa-n]’ = a(a – 1)(a – 2)…(a – n + 1)(a – n)xa-n-1 =
a(a – 1)(a – 2)…(a – n + 1)[a – (n+1) + 1]xa-(n+1) (đpcm)
Đặc biệt, a = mN*
m n
m n !
n
m n x
) n m ) ( m ( m
x
n m
) n ( m
(b) f(x) = ax f(n)(x) = (ax)(n) = axlnnn Đặc biệt, a = e (ex)(n) = ex
(c) f(x) = sinx, ta thấy
x sin )
x ( f , x cos ) x ( f
x sin ) x ( f , x cos )
x ( f
x sin )
x ( " f , x cos ) x ( f
) ( )
5 (
) ( )
3 (
) (
Dự đoán đạo hàm cấp n f(x) = sinx
k n x sin ) (
1 k n x cos ) ( x
sin k
k )
n (
Chứng minh phương pháp quy nạp toán học
- Khi n = 1, tương ứng với k = (sinx)(1) = (-1)0cosx = cosx; cịn n = 2, tương ứng với k = (sinx)(2) = (-1)1sinx = - sinx; công thức
- Giả sử công thức với n, tức ta có
k n x sin ) (
1 k n x cos ) ( x
sin k
k )
(8)- Ta phải chứng minh công thức với n+1,
+ Với n = 2k+1 n+1 = (2k+1)+1 = 2(k+1), theo định nghĩa (sinx)(n+1) = [(sinx)(n)]’ = [(-1)kcosx]’ = (-1)k(-1)sinx = (-1)k+1sinx = (sinx)(n+1);
+ Với n = 2k n+1 = 2k+1, theo định nghĩa ta có (sinx)(n+1) = [(sinx)(n)]’ = [(-1)ksinx]’ = (-1)kcosx = (sinx)(n+1) (đpcm)
Cách khác:
- Đạo hàm cấp f(x) = sinx
x sin x cos ) x (sin ) x (
f(1) (1)
- Đạo hàm cấp f(x) = sinx
x sin 2 x sin x cox x sin ) x ( f ) x ( f ) ( ) ( ) ( ) (
- Đạo hàm cấp f(x) = sinx
x sin 2 x sin x cox x sin ) x ( f ) x ( f ) ( ) ( ) ( ) (
- Dự đoán đạo hàm cấp n f(x) = sinx
n x sin ) x ( f(n)
Chứng minh phương pháp quy nạp toán học
- Khi n = cosx
2 x sin ) x (sin ) x (
f(1) (1)
, công thức
- Giả sử công thức với n, tức ta có
n x sin ) x (
f(n)
- Ta phải chứng minh công thức với n+1, thật vậy, theo định nghĩa
n x cos n x cos n x n x sin ) x ( f ) x ( f ) ( ) ( ) ( ) n ( ) n ( ) n ( x sin 2 n x sin n x
cos (đpcm)
Tóm lại
k n x cos ) ( k n x sin ) ( n x sin x sin k k ) n (
(d) f(x) = cosx, coi tập, sinh viên tự chứng minh
k n x sin ) ( k n x cos ) ( n x cos x
cos k 1
k ) n ( (e) x 1 ) x ( f
với x ≠ -1
Ta viết f(x) dạng tương đương ) x ( ) x (
f
- Đạo hàm cấp f(x)
2 1 ) ( ) ( ) x ( ) ( ) x )( ( )' x ( ) x )( ( ) x ( ) x ( f
- Đạo hàm cấp f(x)
2 ) ( ) ( ) x ( ! ) ( ) x ( ) ).( ( )' x ( ) x ).( ( ) ( ) x ( ) ( ) x ( f
- Dự đoán (n) n n 1
(9)Chứng minh phương pháp quy nạp tốn học
- Khi n = 2
1 1 ) ( ) x ( ) ( ) x ( ! ) ( ) x ( f
, công thức
- Giả sử công thức với n, tức ta có (n) n n 1
) x ( ! n ) ( ) x ( f
- Ta phải chứng minh công thức với n+1, thật vậy, theo định nghĩa
n (n 1) (1)
) ( n n ) ( ) n ( ) n ( ) x !.( n ) ( ) x ( ! n ) ( ) x ( f ) x ( f
(n1)1 n (n 1)1 n1 (n1) 1
n ) x ( )! n ( ) ( ) x )!.( n ( ) ( )' x ( ) x ( ) n ( ! n ) ( (đpcm) (f) x 1 ) x ( f
với x ≠ 1, coi tập, sinh viên tự chứng minh (n) n 1
) x ( ! n ) x ( f
(g) 2
x 1 ) x ( f
với x ≠ 1
Ta biến đổi f(x) thành dạng đơn giản
x b x a ) x )( x ( x 1 ) x ( f 2 b a b a b a ) x )( x ( ) b a ( x ) b a ( ) x )( x ( ) x ( b ) x (
a
,
) n ( ) n ( n x 1 x 1 ) x ( f x 1 x 1 x 1 ) x ( f
Do đó, từ kết ví dụ (f), (g) suy
nn1 n1
) n ( ) x ( ) x ( ) ( ! n ) x ( f
(h) f(x) = lnx với x > - Đạo hàm cấp f(x)
x )' x (ln ) x (
f(1)
- Đạo hàm cấp f(x) 2 2
) ( ) (( ) ( ) ( x ) ( x ) ( x ) x ( f ) x (
f
- Đạo hàm cấp f(x) 3 3
) ( ) (( ) ( ) ( x ! ) ( x ) ).( ( x ) ( ) x ( f ) x (
f
- Dự đoán đạo hàm cấp n f(x) n n ) n ( x )! n ( ) ( ) x (
f
Chứng minh phương pháp quy nạp toán học - Khi n =
x x ! ) ( x )! 1 ( ) ( ) x ( f 1 ) (
, công thức
- Giả sử công thức với n, tức ta có n n ) n ( x )! n ( ) ( ) x (
f
- Ta phải chứng minh công thức với n+1, thật vậy, theo định nghĩa
n
n n n ) ( n n ) ( ) n ( ) n ( x ! n ) ( x ) n )!.( n ( ) ( x )! n ( ) ( ) x ( f ) x (
f
(đpcm)
3.2.2 Công thức Leibniz
(10)Giả sử hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục [a,b] tồn đạo hàm f(k)(x), g(k)(x) (1 k n) điểm x(a,b), hàm số f(x).g(x) tồn đạo hàm đến cấp n điểm x(a,b) xác định sau:
n k ) k ( ) k n ( k n ) n ( ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x (
f với quy ước f(0)(x) = f(x)
và g(0)(x) = g(x)
Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp toán học - Khi n = 1, công thức Leibniz trở thành
f(x).g(x) C f (x).g (x) C10f(1)(x).g(0)(x) C11f(0)(x).g(1)(x) f'(x).g(x) f(x).g'(x)
1 k ) k ( ) k ( k '
là đẳng thức
- Giả sử công thức Leibniz với n, tức ta có n k ) k ( ) k n ( k n ) n ( ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f
- Ta phải chứng minh công thức với n + 1, thật vậy, theo định nghĩa
n k ) ( ) k ( ) k n ( k n ) ( n k ) k ( ) k n ( k n ) ( ) n ( ) n ( ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f n k ) k ( ) k n ( ) k ( ) k n ( k
n f (x).g (x) f (x).g (x)
C ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f
C0n (n 1) (0) (n) (1) 1n (n) (1) (n 1) (2)
) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f
C 3n (n 2) (3) (n 3) (4)
) ( ) n ( ) ( ) n ( n ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f C
nn (1) (n) (0) (n1)
) n ( ) ( ) n ( ) ( n n ) x ( g ) x ( f ) C C ( ) x ( g ) x ( f ) C C ( ) x ( g ) x ( f ) C C ( ) x ( g ) x ( f
C0n (n 1) (0) n0 1n (n) (1) 1n n2 (n 1) (2) n2 3n (n 2) (3)
) x ( g ) x ( f C ) x ( g ) x ( f ) C C ( ) x ( g ) x ( f ) C C (
nn nn (2) (n 1) nn nn (1) (n) nn (0) (n 1)
f (x).g (x) C f (x).g (x) C f (x).g (x) C f (x).g (x) C0n 1 (n1) (0) 1n 1 (n) (1) n2 1 (n 1) (2) 3n 1 (n 2) (3)
n
0 k ) k ( ) k n ( k n ) n ( ) ( n n ) n ( ) ( n n ) n ( ) ( n
n )f (x).g (x) C f (x).g (x) C f (x).g (x) C f (x).g (x)
C
(đpcm)
vì 0n
0
n C
C , kn 11
1 k n k
n C C
C (1 k n) nn 11 n
n C
C Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số f(x) = x3sinx
Nếu đặt u(x) = x3 v(x) = sinx f(n)(x) = [x3sinx](n) = [u(x).v(x)](n) = [v(x).u(x)](n), áp dụng Công thức Leibniz ta được
n k ) k ( ) k n ( k n ) n ( ) x ( u ) x ( v C ) x ( v ) x ( v
Ta thấy u’(x) = 3x2, u”(x) = 6x, u(3)(x) = 6, u(k)(x) = với k nên
k ) k ( ) k n ( k n n k ) k ( ) k n ( k n ) n ( ) x ( u ) x ( v C ) x ( u ) x ( v C ) x ( f ) x ( v C x ) x ( v C x ) x ( v C x ) x ( v
C0n (n) 1n (n 1) n2 (n 2) 3n (n 3)
) x ( v ) n )( n ( n ) x ( v x ) n ( n ) x ( v nx ) x ( v
x3 (n) (n1) (n2) (n3)
trong ,
2 n x sin ) x (
v(n)
, n x cos ) n ( x sin ) x (
v(n 1)
n x sin ) n ( x sin ) x (
v(n 2)
(11)
2 nx x cos ) n )( n ( x n nx x sin ) n ( n x x ) x (
f (n) 2
3.2.3 Công thức Taylor, khai triển
Cho hàm số f(x) xác định, liên tục [a,b] tồn đạo hàm điểm x(a,b) đến cấp (n+1) (a,b), tìm đa thức Pn(x) bậc n cho với c(a,b) f(c) = Pn(c), f (c) P(k)(c)
n )
k
(
(1 k n)
Muốn vậy, ta tìm Pn(x) dạng Pn(x) = a0 + a1(x-c) + a2(x-c)2 + … + an(x-c)n thỏa mãn điều kiện
- Thay x = c vào Pn(x) ta Pn(c) = a0
- Thay x = c vào n
n
1 )
1 (
n (x) a 2a (x c) na (x c)
P ta
) (
n (c) 1!a
P
- Thay x = c vào n
n
2 )
2 (
n (x) 2a 3.2a (x c) n(n 1)a (x c)
P ta
) (
n (c) 2!a
P
…
- Thay x = c vào
n
1 k i
k i i
k )
k (
n (x) k!a i(i 1) (i k 1)a (x c)
P ta Pn(k)(c)k!ak
- Thay x = c vào Pn(n)(x)n!anta n )
n (
n (c) n!a
P
Từ đẳng thức với yêu cầu hàm số f(x) đa thức Pn(x) suy a0 = f(c),
! k
) c ( f a
) k (
k (1 k n)
Như vậy, đa thức cần tìm k
n
0 k
) k (
n (x c)
! k
) c ( f ) x (
P
Bây ta đặt Rn(x) = f(x) – Pn(x), cách áp dụng định lý Cauchy, ta chứng minh
n )
1 n (
n (x c)
)! n (
) c ( f ) x (
R
với c số nằm x c
Như vậy, ta có n
) n ( k n
0 k
) k (
n k n
0 k
) k (
) c x ( )! n (
) c ( f ) c x ( ! k
) c ( f )
x ( R ) c x ( ! k
) c ( f ) x (
f
với c
là số nằm x c, gọi công thức Taylor khai triển Taylor hàm f(x) điểm x = c
Khi c = khai triển Taylor gọi khai triển Mac Laurin
n )
1 n ( k n
0 k
) k (
x )! n (
) x ( f x ! k
) ( f ) x (
f
với < <
Các khai triển Mac Laurin số hàm sơ cấp (nN*)
x !
n
) n ) ( ( x !
k
) k ) ( ( x !
) ( x ! 1 ) x
( 2 k n
n k
2 n
0 k
k k n n
x x !
k
) k n ) ( n ( n x !
) n ( n x ! n x C )
x
(
n n k
k
n
0 k
k k n k n
x ) ( x !
k
) k n ) ( n ( n ) ( x !
) n ( n x !
n x C ) ( )
x
(
1 n n
n n
n
x ) x (
1 )
1 ( x ) ( x x x
1
(12)1 n n n
2
x ) x (
1 x
x x x
1
(0 < < 1)
1 n n n
n n
x ) x (
1 n
1 ) ( n x ) ( x x ) x
ln(
(0 < < 1)
1 n n n
2
x ) x (
1 n
1 n x x x ) x
ln(
(0 < < 1)
1 n x n
2 x
x )! n (
e ! n x ! x ! x
e
(0 < < 1)
x sin )! n (
x ) ( )! n (
x ) ( ! x ! x x x sin
n n
n n
3
(0 < < 1)
x cos )! n (
x ) ( )! n (
x ) ( ! x ! x x cos
1 n n n
2 n
2
(0 < < 1) 3.3 Định lý L’Hospitale
Định lý 3.3.1 Giả sử hàm số f(x), g(x) thỏa mãn điều kiện (1) limf(x) 0,
a
x limxag(x)0(a hữu hạn vô cùng)
(2) Các hàm số f(x), g(x) khả vi lân cận điểm x = a g(x) ≠ lân cận đó, trừ điểm x = a
(3) Tồn giới hạn (hữu hạn vô cùng)
) x ( ' g
) x ( ' f lim
a x
Khi
) x ( ' g
) x ( ' f lim ) x ( g
) x ( f lim
a x a
x
Nhận xét 3.3.1 Định lý 3.3.1 cho khả tìm giới hạn biểu thức có dạng vơ định
0
Ví dụ 3.3.1 Tìm giới hạn (a)
) x x cos( ln
) x sin(
lim 2
2
0
x , (b)
2 x
x 1 ln
x arctan
lim
Bài giải
(a) Ta thấy f(x) = sin(3x2)0 g(x) = ln[cos(2x2 – x)]0 x0, nên biểu thức giới hạn cần tìm có dạng vơ định
0
hàm số f(x), g(x) hàm sơ cấp nên khả vi miền xác định tương ứng nó; mặt khác ta có
x x
) x x tan( ) x x )( x (
) x cos( x lim
6 ) x x tan( ) x (
) x cos( x lim
) x ( ' g
) x ( ' f lim
2 2
2
0 x
2
0 x
x
x x
) x x tan( ) x )( x (
) x cos( lim
6
x x
) x x tan( x
x x ) x (
x ) x cos( x
lim
2 2
0 x
2
2
(13)6 ) )( (
1
6
x x
) x x tan( lim ) x lim )( x lim (
) x cos( lim
6
2
0 x x x
x
2
x
2
) x ( ' g
) x ( ' f lim ) x x cos( ln
) x sin( lim
0 x
2
0
x
(b) Ta thấy arctanx
2 ) x (
f
x 1 ln ) x (
g 2
x+, nên biểu thức giới
hạn cần tìm có dạng vơ định
0
hàm số f(x), g(x) hàm sơ cấp nên khả vi miền xác
định tương ứng nó; mặt khác ta có
2
x lim
x
x 1
1 x
1
lim ) x ( ' g
) x ( ' f lim
x
2
x x
g'(x)
) x ( ' f lim
x 1 ln
x arctan
lim
0 x x
Định lý 3.3.2 Giả sử hàm số f(x), g(x) thỏa mãn điều kiện (1) limf(x) ,
a
x limxag(x)(a hữu hạn vơ cùng)
(2) Các hàm số f(x), g(x) khả vi lân cận điểm x = a g(x) ≠ lân cận đó, trừ điểm x = a
(3) Tồn giới hạn (hữu hạn vô cùng)
) x ( ' g
) x ( ' f lim
a x
Khi
) x ( ' g
) x ( ' f lim ) x ( g
) x ( f lim
a x a
x
Nhận xét 3.3.2 Định lý 3.3.2 cho khả tìm giới hạn biểu thức có dạng vơ định
Ví dụ 3.3.2
Tìm giới hạn (a) a
x x
x ln lim
với a > 0, (b) x m
x a
x lim
với mN a > 1, (c) ln(1 cosx)
) x ln(sin lim
0 x Bài giải
(a) Ta thấy f(x) = lnx+ g(x) = xa+ x+, nên biểu thức giới hạn cần tìm có dạng vơ định
hàm số f(x), g(x) hàm sơ cấp nên khả vi miền xác định tương ứng nó; mặt khác ta có
0 ) x ( ' g
) x ( ' f lim x
x ln lim
x lim a ax
1 lim ax
x
lim ) x ( ' g
) x ( ' f lim
x a x a
x a x
1 a x
x
(b) Giới hạn cần tìm có dạng vơ định
0 a ln
! m a
1 lim a ln
! m a ln a
! m lim a
ln a
x ) m ( m lim a
ln a mx lim a
x
lim x m
x m m
x x ) ' L ( ) ' L (
2 x
2 m
x ) ' L (
x m
x ) ' L (
x m
x
(14)(c) Biểu thức cần tìm giới hạn có dạng vơ định
2
0 x
0 x
x ) ' L (
0 x
2 x cos x sin
2 x sin x cos lim x
sin
) x cos ( x cos lim
x cos
x sin
x sin
x cos
lim ) x cos ln(
) x ln(sin lim
2 1
2 x cos lim
x cos lim
2
2 x cos
x cos lim
0 x
0 x
0
x
Nhận xét 3.3.3
(1) Nội dung Định lý 3.3.1., 3.3.2 tương tự nhau, khác điều kiện (1), nên ta phát biểu thành định lý sau: Nếu xa (hoặc x) hàm số f(x), g(x) có giới hạn , tức
) x ( g
) x ( f lim
a
x có dạng vơ định 0
0
,
) x ( ' g
) x ( ' f lim ) x ( g
) x ( f lim
a x a
x
giới hạn vế trái đẳng thức tồn (hữu hạn vô cùng)
(2) Nếu phải tìm giới hạn biểu thức có dạng vơ định 0., tức tìm limf(x).g(x)
a x
vớilimf(x)
a
x vàlimxag(x)thì biến đổi tích f(x).g(x) thành 1g(x)
) x ( f
dạng vô định
0
,
) x ( f
) x ( g
dạng vô định
, để sử dụng Định lý L’Hospitale
(3) Nếu phải tìm giới hạn biểu thức có dạng vơ định - , tức tìmlimf(x) g(x)
a
x
với
f(x)
lim
a
x vàlimxag(x)thì biến đổi tích f(x) - g(x) thành dạng tích sau
hoặc
) x ( f
1 ) x ( g
1 ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x (
f ,
) x ( f
) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x (
f ,
) x ( g
) x ( f ) x ( g ) x ( g ) x (
f có khả có dạng vơ định 0., sau sử dụng Nhận xét 3.3.3.(2) để sử dụng Định lý L’Hospitale
(4) Nếu phải tìm giới hạn biểu thức có dạng vơ định 00, 0, 1, tức phải tìm giới hạn biểu thức f(x)g(x) ta dùng phép biến đổi f(x)g(x) = eg(x).lnf(x) tính liên tục hàm số mũ ta
) x ( f ln ) x ( g lim ) x ( f ln ) x ( g a x ) x ( g a x
a x
e e
lim )
x ( f
lim
Sau đó, sử dụng Nhận xét 3.3.3.(2) giới hạn
) x ( f ln ) x ( g lim
a
x để sử dụng Định lý L’Hospitale
(5) Mặc dù Định lý L’Hospitale hay gọi Quy tắc L’Hospitale cơng cụ mạnh để tìm giới hạn khơng phải cơng cụ vạn năng, nghĩa khơng thể thay tồn phương pháp tìm giới hạn khác
Ví dụ 3.3.3 Tìm giới hạn tanx x lim
2 x
Bài giải
(15)
x sin lim x
sin
1 lim )' x (cot
' x lim x cot
2 x lim x tan x
lim
2 x
2 x
x ) ' L (
2 x
x
1 x
sin
lim
2
2 x
Ví dụ 3.3.4 Tìm giới hạn
x 1
1 x ln
1 lim
1 x Bài giải
Biểu thức cần tìm giới hạn có dạng vơ định - nên theo Nhận xét 3.3.3.(3) ta biến đổi biểu thức cho tìm giới hạn sau
(x 1)lnx'
)' x ln x ( lim x ln ) x (
x ln x lim x ln ) x ( x
1 x ln
1 lim x
1 x ln
1 lim
1 x ) ' L (
1 x
x
x
lnx 1 1
1 lim )' x ln x x (
)' x ( lim x ln x x
1 x lim
x x x ln
x 1 lim
1 x
x ) ' L (
1 x
x
2
1 x ln lim
1
1 x
Ví dụ 3.3.5 Tìm giới hạn (a) 2lnx
0 xlim x
, (b)
x ln
1
xlimx x 1 , (c)
x tan
4 x
x tan lim
Bài giải
(a) Biểu thức cần tìm giới hạn có dạng vơ định 00 nên theo Nhận xét 3.3.3.(4) ta biến đổi biểu thức cho tìm giới hạn sau
x ln
x ln lim x ln x ln
6 lim x ln
6
0 x
0 x
0
x e
e x
lim
, ta có
(1 2lnx)'
)' x (ln lim x ln
x ln lim
0 x ) ' L (
0 x
3 lim
x
x
lim
0 x
0
x
3 x ln
6
0
xlim x e
(b) Biểu thức cần tìm giới hạn có dạng vô định 0 nên theo Nhận xét 3.3.3.(4) ta biến đổi biểu thức cho tìm giới hạn sau
lnx
1 x x ln lim x
ln x x ln
x x x ln x ln
1
x x ln
1 x
2 x
2
e e
lim e
lim
x x lim
ta có
x 1
x lim
x
1 x
1
lim )'
x (ln
' x x ln lim x
ln x x ln lim
2 x
2
x
x ) ' L (
x
x x 1 e e
lim 1
1
x lim
1
x 1
1 lim
x x
x x
lim lnx
1 x
2 x
x
x
(16)) x ln(tan x tan lim ) x ln(tan x tan
4 x x tan
4 x
4 x
e e
lim x
tan lim
ta có limsin2x
x sin
2 x cos
1 x tan
1
lim )' x (cot
' ) x ln(tan lim x
2 cot
) x ln(tan lim ) x ln(tan x tan lim
4 x
2
4 x
x ) ' L (
4 x
x
e e x
tan
lim tan2x
4 x
Ví dụ 3.3.6 Chứng minh giới hạn (a)
x sin
x sin x lim
2
0
x , (b) x sinx
x sin x lim
x
khơng thể tìm Quy tắc L’Hospitale, giới hạn tìm phương pháp khác
Bài giải
(a) Ta thấy
x sin x ) x (
f x0
x
sin , g(x) = sinx0 x0; nên biểu thức
cần tìm giới hạn
x sin
x sin x
) x ( g
) x ( f
2
có dạng vơ định
0
Ta thấy
x cos
x cos x sin x lim )'
x (sin
' x sin x lim
0 x
0 x
không tồn x
1 cos lim
0
x không tồn tại, điều
kiện (3) Quy tắc L’Hospitale khơng thỏa mãn, nên khơng thể tìm
x sin
x sin x lim
2
0
x Quy tắc Ta tìm giới hạn cách khác
0
x x sin lim
x sin x lim
x x sin
x sin x lim x
sin x sin x lim
0 x
0 x
0 x
0
x
x
1
sin
(b) Ta thấy f(x) = x – sinx g(x) = x + sinx x +; nên biểu thức cần tìm giới hạn
x sin x
x sin x ) x ( g
) x ( f
có dạng vơ định
Ta thấy
2 x tan lim x cos
x cos lim )' x sin x (
' x sin x
lim
x x
x
không tồn tại, điều kiện (3) Quy tắc L’Hospitale khơng thỏa mãn, nên khơng thể tìm
x sin x
x sin x lim
x
Quy tắc Ta tìm giới hạn cách khác
1
0
x x sin lim
x x sin lim
x x sin
x x sin lim
x x sin x
x x sin x
lim x sin x
x sin x lim
x x x
x
x
|sinx|
3.4 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số
Định nghĩa 3.4.1 Hàm số y = f(x) xác định khoảng I gọi lồi với aI, bI với t[0,1] ln có tf(a) + (1 – t)f(b) f[ta + (1 – t)b]
(17)Định nghĩa 3.4.2 Hàm số y = f(x) xác định khoảng I gọi lõm với aI, bI với t[0,1] có tf(a) + (1 – t)f(b) f[ta + (1 – t)b]
Xem ý nghĩa hình học hàm số lõm Học liệu tham khảo bắt buộc [1]
Việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số dựa định lý sau Định lý 3.4.1 Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục [a,b] khả vi (a,b) Khi đó: (1) Điều kiện cần đủ để hàm số f(x) đơn điệu tăng (giảm) [a,b] f’(x) [f’(x) 0] với x(a,b)
(2) Nếu f’(x) [f’(x) 0] với x(a,b) f’(x) > [f’(x) < 0] điểm x(a,b) f(b) > f(a) [f(b) < f(a)]
Định lý 3.4.2 Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục [a,b] khả vi (a,b) (có thể trừ số hữu hạn điểm); giả sử c(a,b) tức a < c < b (có thể x = c hàm số f(x) không khả vi)
(1) Nếu x qua x = c (từ trái sang phải) mà f’(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) f(x) đạt cực đại
(2) Nếu x qua x = c (từ trái sang phải) mà f’(x) đổi dấu từ dương (-) sang âm (+) f(x) đạt cực tiểu
(3) Nếu x qua x = c mà f’(x) khơng đổi dấu f(x) khơng đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm
Định lý 3.4.3 Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục khoảng I giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp f”(x) > I Khi đó, với a < b, aI bI; hàm số f(x) lồi [a,b]
Định lý 3.4.4 Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục khoảng I giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp f”(x) < I Khi đó, với a < b, aI bI; hàm số f(x) lõm [a,b]
Việc khảo sát biến thiên hàm số y = f(x) thường thực theo trình tự sau: (1) Xác định D(f)
(2) Xác định tính chẵn, lẻ tuần hồn hàm số (3) Tìm f’(x), tìm khoảng đơn điệu tăng, giảm (4) Xác định điểm cực đại, cực tiểu (nếu có)
(5) Tìm f”(x), xác định điểm uốn (nếu có), xác định tính lỗi, lõm (nếu cần) (6) Tìm đường tiệm cận đứng, ngang xiên (nếu có)
(7) Lập bảng biến thiên (8) Vẽ đồ thị
Xem ví dụ Học liệu tham khảo bắt buộc [1]
3.5 Vi phân cấp vi phân cấp cao, ứng dụng vào phép tính gần
(18)Theo định nghĩa đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x = x0 ta có
A A x
) x ( o lim A x
) x ( o A lim x
) x ( o x A lim x y lim ) x ( ' f
0 x
x
x
x
0
o(x)
VCB cấp cao so với x Suy y f’(x0).x x0 hay f(x) f(x0) + f’(x0).x Ta sử dụng công thức để tính gần giá trị hàm số điểm x biết giá trị hàm số điểm x0 gần với điểm x
Ví dụ 3.5.1 Tính giá trị gần hàm số y = f(x) điểm x tương ứng (a) yf(x) x x = 3,98; (b)
x
x ) x ( f y
x = 0,15
Bài giải (a) Chọn x0 =
2 ) ( f ) x ( f y
02 , 98 , x x x
0
0
, mặt khác
x
1 ) x ( '
f
4
1 x
2 ) x ( ' f
0
0
Thay giá trị vừa xác định vào công thức gần f(x) f(x0) +
f’(x0).x ta ( 0,02) 1,995
1 98 ,
3
(b) Chọn x0 =
1
0 ) ( f ) x ( f y
15 , 0 15 , x x x
5
0
0
, mặt khác
4
2
x
x ) x (
4 )
x ( '
f
2 ,
2 ) (
4 x
2 x ) x (
4 )
x ( '
f
4
2
4
0
0
0
Thay giá trị vừa xác định vào
công thức gần f(x) f(x0) + f’(x0).x ta đượcf(0,15)10,2.0,150,97
Ví dụ 3.5.2 Tính giá trị gần (a) 3 26,19; (b) sin290 Bài giải
(a) Xét hàm số
3
x
1 ) x ( ' f x ) x (
f , chọn x0 = 27 f(x ) x 27
0 ,
27
27
1 ) 27 ( ' f
3
x = 26,19 – 27 = -0,81 Thay giá trị vừa xác định vào công thức gần
đúng f(x) f(x0) + f’(x0).x ta ( 0,81) 2,97 27
1 19 , 26
3
(b) Xét hàm số f(x) = sinx với
180 29 29 180
x 0 Chọn
6 180 30 30 180
x0 0
2 sin x
f
180
180 29
x
Mặt khác f’(x) = cosx
2 cos x
'
f
Thay
các giá trị vừa xác định vào công thức gần f(x) f(x0) + f’(x0).x ta
48 , ) 180 (
3 29
sin
Định nghĩa 3.5.1 (Vi phân cấp 1) Giả sử hàm số y = f(x) xác định, liên tục [a,b] khả vi (tức tồn đạo hàm) điểm x = x0(a,b) Khi biểu thức f’(x0)x gọi vi phân cấp hàm số y = f(x) điểm x = x0 ký hiệu dy df, nghĩa dy = f’(x0)x df = f’(x0)x Đặc biệt, f(x) = x dx f'(x ) x (x)' x x x
0 x x
x x
0
(19)Vì x0 điểm thuộc khoảng (a,b) nên ta dùng x thay cho x0 dy = f’(x)dx gọi vi phân cấp hàm số f(x) điểm x Từ ta suy
dx dy ) x ( '
f , nghĩa đạo
hàm hàm y = f(x) điểm x tỷ số hai vi phân dy dx điểm x, điều giải thích cho việc dùng ký hiệu
dx dy
cho f’(x) Các tính chất vi phân cấp (1) d[f(x)] = d[f(x)]
(2) d[f(x) + g(x)] = d[f(x)] + d[g(x)] (3) d[f(x)g(x)] = g(x)d[f(x)] + f(x)d[g(x)]
(4)
) x ( g
) x ( g d ) x ( f ) x ( f d ) x ( g ) x ( g
) x ( f
d 2
với g(x) ≠
(5) Công thức vi phân cấp trường hợp đối số hàm số biến độc lập, tức hàm hợp Tính chất gọi tính bất biến dạng vi phân cấp
Bảng vi phân cấp hàm sơ cấp
TT x biến độc lập Biến u = u(x)
1 d(x) = x-1dx d(u) = u-1du
2 d(ax) = axlnadx d(ex) = exdx d(au) = aulnadu d(eu) = eudu
3 xlna
dx ) x (log
d a với a > x ≠
x dx ) x (ln
d
với a > x ≠
a ln u
du ) u (log
d a với a > u ≠
u du ) u (ln
d
với a > u ≠
4 d(sinx) = cosxdx d(sinu) = cosudu
5 d(cosx) = -sinxdx d(cosu) = -sinudu
x cos
dx ) x (tan
d 2
u cos
du ) u (tan
d 2
7
x sin
dx )
x (cot
d 2
u sin
du )
u (cot
d 2
8 2
x
dx )
x (arcsin d
với |x| <
2
u
du )
u (arcsin d
với |u| <
9 2
x
dx )
x (arccos d
với |x| <
2
u
du )
u (arccos d
với |u| <
10 2
x
dx ) x (arctan d
2
u
du ) u (arctan d
11 2
x
dx )
x cot arc ( d
2
u
du )
u cot arc ( d
Định nghĩa 3.5.2 (Vi phân cấp cao) Giả sử dy = f’(x)dx vi phân cấp hàm số y = f(x) điểm x, x thay đổi, thay đổi theo, hàm số x Nếu hàm số có vi phân cấp điểm x vi phân gọi vi phân cấp hàm số y = f(x) ký hiệu d2y = d(dy) = d[f’(x)dx] = f(2)(x)dx2 Tổng quát, vi phân cấp n hàm số y = f(x) vi phân cấp vi phân cấp n-1 hàm số f(x) ký hiệu dny = d(dn-1y) = d[f(n-1)(x)dxn-1] = f(n)(x)dxn
(20)(2) dn[f(x) + g(x)] = dn[f(x)] + dn[g(x)]
(3)
n
0 k
k k
n k n n
) x ( g d ) x ( f d C )
x ( g ) x ( f d
Chú ý Công thức vi phân cấp n khơng cịn đối số hàm số
biến độc lập
Bài tập
3.1 Dùng định nghĩa đạo hàm, tìm đạo hàm hàm số sau đây, miền xác định (a) f(x)x2 2x5 (b) f(x)3 x
(c) f(x)ln(1x) (d)
1 x
1 x ) x ( f
3.2 Dùng định nghĩa đạo hàm, tìm đạo hàm trái f’(x-0), đạo hàm phải f’(x+0) đạo hàm f’(x) (nếu tồn tại), điểm x tương ứng, hàm số sau
(a)
x ) x (
f x = (b) f(x) sin2x x =
(c)
0 x
0 x x sin x ) x ( f
2
x = (d) f(x)1x2 x = 1
3.3 Xác định a, b để hàm sau liên tục khả vi với xR (a)
1 x x
1 x b ax ) x (
f 2 (b)
0 x x sin b x cos a
0 x b
ax )
x ( f
(c)
1 x x
1
1 x bx a ) x ( f
2
3.4 Chứng minh rằng, đạo hàm hàm số lẻ hàm số chẵn đạo hàm hàm số chẵn hàm số lẻ, đạo hàm hàm số tồn
3.5 Chứng minh rằng, đạo hàm hàm số tuần hoàn hàm số tuần hồn có chu kỳ, đạo hàm hàm số tồn
3.6 Dùng định nghĩa đạo hàm, tính giới hạn sau (a)
x ) x ( lim
12
0 x
(b) x 4
16 lim
x
4
x
(c)
x x 27 lim
3
0 x
(d) x 1
2 x x lim
4
1
x
HD: (a) Xét hàm số f(x) = (1+x)12, tìm f’(0) theo cách: Cách Dùng định nghĩa đạo hàm nhận biểu thức giới hạn cần tính; Cách Theo quy tắc Hai kết phải f’(0) Cách giải (b), (c) (d) tương tự cách giải (a)
3.7 Tính đạo hàm hàm số sau
(a) 4
2
x
x arcsin y
với |x| < (b) y lnx
(c)
b a x
a x x b b a
y
với a > 0, b > 0, x > (d) y xxxvới x >
(e) yaxx xax xxavới a > 0, x > (f) y = x.|x| (g) lnx
x
x ) x (ln
y với x > (h) ylnx x2 1
(21)(l) y = (sinx)tanx (m) yexarctanexln 1e2x
3.8 (a) Tìm đạo hàm y biết y = y(x) thỏa mãn biểu thức y'x + 3y = x; (b) Tìm đạo hàm x 'y biết x = x(y) thỏa mãn biểu thức y = x + lnx với x > 0; (c) Tìm đạo hàm '
y
x biết x = x(y) thỏa mãn biểu thức y = x + ex; (d) Tìm đạo hàm '
y
x biết x = x(y) thỏa mãn biểu thức 2
x
x y
với x <
3.9 Tính đạo hàm y hàm số y = f(x) cho dạng tham số 'x (a)
at cos t cos a y
at sin t sin a x
(b)
) t cos ( a y
) t sin t ( a x
với t
(c)
) t ln( y
t t
x
(d)
at at
e at y
e x
3.10 Tìm đạo hàm y hàm ẩn 'x
(a) x y yx (b) xsinyysinx0
(c) exey2xy 1 (d) x
y
x y e
x
y
(e) x y a với a > (f) ln x2 y2
x y
arctan
3.11 Tìm phương trình tiếp tuyến với đường elip b y a x
2
2
điểm M(x0,y0) nằm elip HD: Sử dụng ý nghĩa hình học đạo hàm quy tắc tính đạo hàm hàm ẩn
3.12 Chứng minh đẳng thức n n
0 k
k n n2
kC
HD: Tính đạo hàm hàm số y = (1+x)n điểm x =
3.13 Hàm số f(x) với D(f) = [a,b] tương ứng sau đây, có thỏa mãn định lý Rolle khơng? Nếu thỏa mãn thỏa mãn với giá trị c(a,b) nào?
(a) f(x) = x2 – 6x +100 với [a,b] = [1,5] (b) f(x)3 8xx2 với [a,b] = [0,8] 3.14 Cho hàm số
) x ( ) x (
f với D(f) = [0,16], f(0) = f(16) = Tuy nhiên, đạo hàm
8 x
2 )
x ( ' f
3
với x(0,16) Điều có mâu thuẫn với định lý Rolle không?
3.15 Chứng minh rằng, đạo hàm f’(x) hàm số f(x) = x3 – x2 – x + có nghiệm thực (-1,1) 3.16 Chứng minh bất đẳng thức
(a) sinasinb ab (b) arctanaarctanb ab (c)
2
cos tan
tan
cos với
(d)
a b a b a ln b
b
a
với < a < b
(e) nbn1(ab)an bn nan1(ab) với b < a
(f)
1 a a
a
n ) n (
1 a n
1
với a > 0, nN
(22)3.17 Chứng minh bất đẳng thức (a) ex 1x
với x ≠ (b) ln(1 x) x
2 x x
2
với x >
(c) sinx x
6 x x
3
với x > (d)
3 x x x tan
3
với
2 x
0
HD: Với bất đẳng thức, xét hàm số f(x) thích hợp, chẳng hạn f(x) = ex – x – (a) Lưu ý rằng, f’(x) > hàm số f(x) đơn điệu tăng, cịn f’(x) < hàm số đơn điệu giảm 3.18 Chứng minh đẳng thức
(a) sgn(x)
x
x arcsin x
arctan
2 2
với |x|
(b) 3arccosxarccos(3x4x3) với
2 x
HD: Lưu ý đạo hàm biểu thức mà biểu thức số 3.19 Tính tổng
(a)
n
1 k
1 k n(x) kx
P (b)
n
1 k
1 k n(x) k x
Q
(c)
n
1 k
n(x) ksinkx
R (d)
n
1 k
n(x) kcoskx
S
HD: Để ý (a) (xk)’ = kxk-1, (b) Qn(x) = Pn(x) + x[Pn(x)]’ = [xPn(x)]’, (c) (coskx)’ = -ksinkx, (d) (sinkx)’ = kcoskx
3.20 Chứng minh hàm số f(x) khả vi đến cấp n f(axb)x(n) anf(n)(axb)
3.21 Giả sử hàm số f(x) hàm số chẵn có miền xác định đối xứng qua gốc tọa độ khả vi cấp điểm x =
(a) Chứng minh tất đạo hàm bậc lẻ điểm x = khơng (b) Tìm khai triển Mac Laurin hàm số f(x) = cosx
3.22 Giả sử hàm số f(x) hàm số lẻ có miền xác định đối xứng qua gốc tọa độ khả vi cấp điểm x =
(a) Chứng minh tất đạo hàm bậc chẵn điểm x = không (b) Tìm khai triển Mac Laurin hàm số f(x) = sinx
3.23 Tính đạo hàm cấp n hàm số f(x) sau đây, điểm x = x0 tương ứng (a) f(x) = arctanx x = (b) f(x) = xn-1lnx x =
3.24 Cho hàm số f(x) = (x – a)n.g(x) có miền xác định D(f) = R, g(x) hàm số liên tục có đạo hàm liên tục đến cấp n – D(f) Tìm f(n)(a)
3.25 Tính đạo hàm cấp n hàm số
d cx
b ax ) x ( f
với cx + d ≠ 0, từ kết nhận suy đạo hàm cấp n hàm số sau
(a)
d cx
ax )
x ( f
với cx + d ≠ (b)
d cx
b ) x ( f
với cx + d ≠
(c)
x
1 ) x ( f
với x ≠ (d)
x
1 ) x ( f
với x ≠ -1 (e)
x ) x (
f với x≠0
3.26 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau
(a) 2 2
x a
1 )
x ( f
với x ≠ a (b)
x
x ) x ( f
2
(23)(c)
) x ( x
1 )
x ( f
với x ≠ x ≠ (d)
2 x x
1 )
x (
f 2
với x ≠ x ≠
(e)
4 x
1 x ) x (
f 2
với x ≠ 2 (f)
1 x
1 x ) x (
f 2
2
với x ≠ 1
(g)
c bx
a )
x ( f
với bx + c > (h) f(x) = ln(x2 + x – 2) với x2 + x – >
(i) x
e x ) x (
f (k) f(x) = exxn
3.27 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau (a) f(x) = sin(ax) (b) cos(ax)
(c) f(x) = sin(ax)cos(bx) (d) f(x) = cos(ax)cos(bx) (e) f(x) = sin(ax)sin(bx) (f) f(x) = sin2x (g) f(x) = cos2x (h) f(x) = sin2x.cos2x (i) f(x) = sin3x (k) f(x) = cos3x (l) f(x) = sinx.cos2x 3.28 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau
(a) f(x) = eaxsin(bx) (b) f(x) = eaxcos(bx) 3.29 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau
(a) f(x) = (ax2 + bx + c)sin(dx) (b) f(x) = (ax2 + bx + c)cos(dx) (c) f(x) = (ax2 + bx + c)edx (d)
b ax
b ax ln ) x ( f
với
b ax
b
ax
3.30 Dùng Quy tắc L‘Hospitale để tìm giới hạn
(a) x
2 x
x x e
xe lim
(b)
x sin
x lim
1
x
(c) ln(e e )
) a x ln(
lim x a
a
x
(d)
) x ln(
x tan lim
1
x
(e) 1 2ln(sinx)
x ln lim
0
x (f)
x cot
x lim
0
x
(g) 2
a
x (2ax )
ax sin lim
(h)
1 e
x arctan lim
x x
(i) ln(sinx)
) ax ln(sin lim
0 x
(k)
) x ln(
e e lim
x x
0
x
(l) e e
x ln x
lim x
2
1
x
(m)
6 x x sin x arctan
x xe x sin
lim 3
2 x
x
3.31 Tìm giới hạn (a) lim x2lnx
0
x (b)
0
x x
1 x sin x
1
lim (c)
e 1
1 x
lim x
0 x
(d) lim lnx.ln(x 1)
0
x (e)
1 p q
x 1 x
q x
1 p
lim (f)
cotx 2cosx
x lim
2 x
(g)
x e ) x ( lim
x
0 x
(h)xlim(2arctanx)lnx
(24)(a) lnx
0
xlim (1x) (b)
x cos
2 x
) x (tan lim
(c) x
1 x
x x e
lim
(d) x x
x x e
lim
(e)
2
x
0
x x
x tan
lim
(f)
x tan
1
x tan4x
lim
(g) ln(e 1)
0 x
x
x
lim
(h)
2a
x tan
a
x a
x
lim (i) x
1
x 2x 1
x tan
lim
(k)
2
x
x x
0
x b xlnb
a ln x a
lim
(l)
2
x
0
x x
x arcsin
lim
3.33 Chứng minh giới hạn (a)
x cot
x sin x lim
0 x
, (b) x
x lim
2
x
, (c) x
x cos x lim
x
khơng thể tìm
được Quy tắc L’Hospitale, giới hạn tìm phương pháp khác 3.34 Tính giá trị gần
(a) Hàm số y = arcsinx x = 0,51;
(b) Diện tích hình trịn có bán kính r = 3,02m; (c) Thể tích hình cầu có bán kính r = 2,01m 3.35 Tính giá trị gần (a)
5 ) 037 , (
3 ) 037 , (
2
(25)Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 4.1 Nguyên hàm tích phân không xác định
4.1.1 Định nghĩa, bảng nguyên hàm
Định nghĩa 4.1.1 Cho hàm số f(x) xác định (a,b); ta nói hàm số F(x) xác định (a,b) nguyên hàm f(x) F(x) khả vi (a,b) F’(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx với x(a,b)
Ví dụ 4.1.1
(a) Nếu hàm số f(x) = x3 ngun hàm
4 x ) x ( F
4
' x f(x)
4 x ) x ( '
F
4
(b) Nếu hàm số f(x) = + cos5x nguyên hàm
5 x sin x ) x (
F
) x ( f x cos '
x sin x ) x ( '
F
Định lý 4.1.1 Giả sử hàm số F(x) khả vi (a,b) F(x) nguyên hàm hàm số f(x) với x(a,b) Khi đó:
(1) Với số C F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) với x(a,b); (2) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) với x(a,b) có dạng F(x) + C
Định nghĩa 4.1.2 Cho hàm số f(x) xác định (a,b), giả sử hàm số F(x) xác định (a,b) nguyên hàm f(x) (a,b) họ nguyên hàm F(x) + C (C số tùy ý) f(x) (a,b) gọi tích phân khơng xác định f(x) với x(a,b) ký hiệu f(x)dx, dx vi phân đối số x
Ký hiệu gọi dấu tích phân, f(x) gọi hàm số lấy tích phân, x gọi biến lấy tích phân, f(x)dx gọi biểu thức dấu tích phân
Chú ý Khi cần sử dụng khái niệm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) [a,b] có nghĩa
F(x) nguyên hàm f(x) với x(a,b) F’(a+0) = f(a), F’(b–0) = f(b)
Định lý 4.1.2 Mọi hàm số f(x) xác định, liên tục [a,b] có nguyên hàm [a,b] Các tính chất nguyên hàm
(1)f(x)dx'f(x)
(2)df(x)dxf(x)dx
(3)dF(x)F(x)Cvới C số tùy ý
(4)Af(x)dxAf(x)dxvới A ≠ số tùy ý
(5)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
(6) Nếuf(x)dxF(x)Cvà u = (x) thìf(u)duF(u)Cvới C số tùy ý
Bảng nguyên hàm (1)0dxC
(26)(3)
C khi 1
1 x
1
C x ln dx
x
(4)
x arctanx C
1 dx
2
(5) arcsinx C
x
dx
2
(6) C e dx e C
a ln
a dx
a x x
x
x
(7)sinxdxcosxC
(8)cosxdxsinxC
(9) cotxC x
sin dx
2
(10) tanxC x
cos dx
2
4.1.2 Các phương pháp tính tích phân khơng xác định 4.1.2.1 Sử dụng bảng nguyên hàm
Đây phương pháp tính tích phân tự nhiên nhất, ta biến đổi hàm số lấy tích phân biến lấy tích phân, tức biến đổi biểu thức dấu tích phân dạng sử dụng nguyên hàm
Ví dụ 4.1.2 Tính tích phân
(a)(2x35x27x3)dx2x3dx5x2dx7xdx3dx C
x x x x C x x x x
2 3 2 4 3
(b)
dx x x dx x 2x x x dx xdx x dx x dx
x
x
2
1
2 2
3 2
3
C x x x 12 x C x
1 x x
1
1
6
2
(c) C
) c ab ln(
) c ab ( dx ) c ab ( dx c b
a 2 3
x x
3 x
3 x
x
(d) (1x ) d(1x )
1 ) xdx ( ) x ( dx x
x 2
1 2
1 2
C x ) x ( C ) x ( C
) x (
1 2
3
2
(e)(x2 3x1)10(2x3)dx(x23x1)10(2x3)dx C
11 ) x x ( ) x x ( d ) x x (
11
2 10
2
(27)(f) C
x ln C ) x (ln ) x (ln d ) x (ln x
dx ) x (ln dx x
x
ln
5
4
(g) e C
3 ) x cos ( d e ) xdx sin ( e xdx sin
e3cosx 3cosx 3cosx 3cosx
(h)(tanxcotx)2dx(tan2x2tanxcotxcot2x)dx(tan2x2cot2x)dx
sindxx
x cos
dx dx
) x (cot dx
) x (tan dx
) x cot x
(tan2 2 2 2
C x cot x
tan
4.1.2.2 Đổi biến
Trong nhiều trường hợp, tính tích phânf(x)dx,nếu để biến lấy tích phân x khơng
thấy tích phân cần tính gần với dạng số ngun hàm bản, cần tìm cách đổi sang biến mới, để hy vọng với biến tích phân cần tính có dạng gần với ngun hàm Khơng thể có quy tắc cụ thể để thực phép đổi biến thích hợp được, nhiên, đưa hai dạng đổi biến thường dùng sau đây:
(1) Đặt biến cũ x = (t) với (t) hàm đơn điệu, khả vi liên tục biến t Khi đó, công thức đổi biến làf(x)dxf (t)d[(t)]f (t)'(t)dt
(2) Đặt biến u = (x) với (x) hàm đơn điệu, khả vi liên tục biến cũ x Khi đó, cơng thức đổi biến làf(x)'(x)dxf[(x)]d(x)f(u)du
Sau tìm nguyên hàm với biến mới, cần biểu diễn kết trở biến cũ Ví dụ 4.1.3 Tính tích phân
(a) dx
x x sin
3
, đặt
2
3
2
3
t t sin
x x sin
dt t dt ) t ( ' dx
t ) t ( x x t
C x cos C t cos tdt sin t
tdt sin t dx x
x
sin
2
3
(b)(2x3)20dx, tính tích phân mà không cần đổi biến, tức cần khai triển biểu
thức (2x + 3)20 theo Công thức nhị thức Newton lấy tích phân số hạng được, nhiên cách có khối lượng tính tốn lớn Đơn giản hơn, ta đổi biến t = (x) = 2x + dt = d[(x)] = ’(x)dx = 2dx dt
2 dx
C 42
) x ( C 42 t C 21 t dt t dt t dx ) x (
21 21
21 20
20
20
Nhận xét Qua ví dụ (b) ta tổng quát hóa một trường hợp đổi biến sau: Giả sử ta
cần tích tích phânf(ax dxb) với a ≠ 0, mà nguyên hàm tích phânf(x)dxđã biết F(x),
khi ta đổi biến t = ax + b dt = (ax + b)’dx = adx dt a dx
,
C ) b ax ( F a C ) t ( F a dt ) t ( f a dt a ) t ( f dx ) b ax (
f
(28)Khi tính tích phânf(ax dxb) , thực tế khơng cần đổi biến ax + b = t, mà cần
để ý d(ax b) a
1
dx f(ax b)d(ax b) F(ax b) C a
1 dx ) b ax (
f
, chẳng
hạn, cần tính tích phânsin(ax dxb) với a ≠ 0, ta có
C ) b ax cos( a ) b ax ( d ) b ax sin( a dx ) b ax
sin(
(c)x2 x3 dx5 , đặt x35 tx35t2 dx3 5d(t2)x35'dx(t2)'dt
t dt
3 tdt t ) dx x ( x dx
5 x x tdt dx x tdt dx x
3 2 3 2
(x 5) x C
9 C x C t C t
2 3 3 3
Nhận xét Qua ví dụ (c) ta tổng quát hóa một trường hợp đổi biến sau: Nếu hàm
dưới dấu tích phân tích hai thừa số, thừa số phụ thuộc vào hàm (x) đó, cịn thừa số ’(x) (có thể sai khác hệ số khơng đổi) dùng phép đổi biến (x)
(d) dx
x ) x ln
(
, ta thấy đạo hàm thừa số (2lnx + 5)
x
thừa số
x
khác với đạo hàm thừa số (2lnx + 5) hệ số nên theo nhận xét ta đổi biến 2lnx + = (x) = t
Khi d(2lnx + 5) = dt (2lnx + 5)’dx = dt dt x dx dt dx x
2
,
C
) x ln ( C t C t dt t dt t x dx ) x ln ( dx x
) x ln
( 3 4
3
(e) dx ) x ( f
) x ( ' f
, đổi biến f(x) = t d[f(x)] = dt hay f’(x)dx = dt,
C ) x ( f ln C t ln t dt )
x ( f
dx ) x ( ' f dx ) x ( f
) x ( ' f
chẳng hạn, cần tính tích phân
1 x
xdx
2 , ta thấy đặt f(x) = x
2 + f'(x)
2
x , tích phân
x 1 C ln
C x ln C ) x ( f ln dx ) x ( f
) x ( ' f 1 x
xdx 2
2
(f) dx
) x ( f
) x ( ' f
, đổi biến f(x) = t d[f(x)] = dt hay f’(x)dx = dt,
C ) x ( f C t C t
1 1 dt t t dt )
x ( f
dx ) x ( ' f dx ) x ( f
) x ( '
f
2
1
Ta nhận kết đổi biến f(x) t 4.1.2.3 Tích phân phần
Theo tính chất vi phân cấp 1: d(uv) = udv + vdu hay udv = d(uv) – vdu
udv d(uv) vdu uv vdu với u = (x) v = (x) hàm khả vi liên tục x Nhờ công thức mà việc lấy tích phânudv đưa việc lấy tích phânvdu có khả đơn giản tích phânudv dạng với tích phânudv
(29)Chẳng hạn, tích phân dạngP(x)eaxdx, P(x)sinaxdx,P(x)cosaxdx,trong P(x) đa
thức nên đặt u = P(x) dv tương ứng biểu thức eaxdx, sinaxdx, cosaxdx; tích phân dạng P(x)lnxdx,P(x)arcsinaxdx,P(x)arccosaxdx,trong P(x) đa thức nên đặt u
tương ứng hàm số lnx, arcsinx, arccosx dv = P(x)dx Ví dụ 4.1.4 Tính tích phân
(a)lnxdx, đặt u = lnx cịn dv = dx,
x dx
du v = xlnxdxudvuvvdu C
e x ln x C ) x (ln x C x x ln x dx x ln x x dx x x ln
x
(b)arctanxdx,đặt u = arctanx cịn dv = dx, 2 x
dx du
v = x
2
x
xdx x
arctan x vdu uv
udv xdx
arctan
C ) x ln( x arctan x x
) x ( d x arctan
x 2
2
(c)xsinxdx, đặt u = x dv = sinxdx, du = dx v = -cosx
C x sin x cos x dx ) x cos ( ) x cos ( x udv xdx
sin
x
Nhận xét Nếu chọn biểu thức u dv không khéo, chẳng hạn, u = sinx, dv = xdx, du =
cosxdx, x2
v x cosxdx
2 x sin x udv xdx
sin
x 2 dẫn đến tích phân khác phức tạp
hơn tích phân xuất phát!
(d)x2exdx, chọn u = x2, dv = exdx, du = 2xdx, v = ex
x2exdx udv x2ex xexdx
Như vậy, ta hạ bậc x xuống đơn vị Để tính xexdxta lại tiếp tục sử dụng
phương pháp tích phân phần Đặt u = x, dv = exdx, du = dx, v = ex
C e xe dx e xe udv dx
xex x x x x
Do đóx2exdxx2ex 2(xex ex)C(x22x2)ex C
(e)Iexsinxdx, đặt u = ex, dv = sinxdx, du = exdx, v = -cosx
I exsinxdx udv ex( cosx) ex( cosx)dx excosx excosxdx
Đến đây, ta có cảm giác rằng, việc sử dụng phương pháp tích phân phần khơng đến đích tích phân vừa nhận khơng đơn giản tích phân xuất phát Tuy vậy, ta tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân phần tích phân Iexcosxdx Đặt u = ex, dv = cosxdx,
du = exdx, v = sinx excosxdxudvexsinxexsinxdxexsinxI Do I = -excosx + exsinx – I (sinx cosx) C
2 e xdx sin e I
x
x
(f) Cách tính tích phân I gợi ý cho ta việc tính đồng thời hai tích phân
xdx cos e J
xdx sin e I
(30)Sử dụng phương pháp tích phân phần tích phân I, J tương tự Ví
dụ (e) ta hệ phương trình ẩn I, J
2 x
1 x
x x
C ) x cos x (sin e J
C ) x cos x (sin e I
x sin e J I
x cos e J I
Ví dụ 4.1.5 Tìm cơng thức truy hồi để tính tích phân
2 2 n
n
) a x (
dx
I với a ≠ nN*
2 2 n 2 2 2 n 2 2 2 n1 2 2 2 n
n
) a x (
dx x a
1 )
a x (
dx a
1 dx ) a x (
x ) x a ( a
1 ) a x (
dx I
1 2 n
n
) a x (
) xdx ( x a
1 I a
1
Đặt u = x, 2 2 n
) a x (
xdx dv
du = dx
2 n
2
n 2
) a x (
) x ( d v ) a x (
xdx dv
1 n 2
n 2
2 n 2 n
2
2
) a x (
1 ) n (
1 )
a x ( n
1 ) a x ( d ) a x ( ) a x (
) a x ( d
uv vdu
a I a
1 udv a
1 I a
1 ) a x (
dx
In 2 2 n 2 n 1 2 2 n 1 2
1 2 n 2 n 2 n
n
) a x (
dx )
1 n (
1 )
a x )( n (
x a
1 I a
1 vdu uv
a I a
1
1 n
1 n 2
1 n
1 n 2
1 n
2 I
2 n
3 n a
1 )
a x )( n ( a
x I
) n ( a
1 )
a x )( n ( a
x I
a
Như vậy, ta tìm công thức truy hồi n 2 2 2 n 1 2 In 1 n
3 n a
1 )
a x )( n ( a
x
I
với n
C
a x arctan a
a x
a x d
a
a x
a dx
a x
dx
I 2 2
2
2
Qua số ví dụ tập, ta bổ sung số tích phân thường gặp vào Bảng nguyên hàm để dùng cần
Bảng nguyên hàm (bổ sung) (11) dxlnf(x)C
) x ( f
) x ( ' f
(12) dx2 f(x)C )
x ( f
) x ( ' f
(13) C
a x arctan a a x
dx
2
2
với a ≠
(14) C
a x
a x ln a
1 a x
dx
2
2
với a ≠
(15) C
a x arcsin x
a dx
2
2
với a ≠
(16) lnx x a C
a x
dx
2
(31)(17) C x tan ln x sin
dx
(18) C
4 x tan ln x cos
dx
(19)tanxdxlncosx C
(20)cotxdxlnsinx C
4.1.3 Tính tích phân phân thức hữu tỷ Phân thức hữu tỷ phân thức có dạng ,
) x ( Q
) x ( P
trong P(x) Q(x) đa thức Phân thức hữu tỷ gọi thực bậc P(x) nhỏ bậc Q(x), ngược lại, bậc P(x) lớn bậc Q(x) gọi khơng thực
Phân thức hữu tỷ đơn giản phân thức thực có dạng sau: (I)
a x
A
(II) m
) a x (
A
mN*\{1}
(III)
q px x
B Ax
2
q 0,
p2
tức tam thức bậc hai x2 + px + q khơng có nghiệm thực
(IV) 2 n
) q px x (
B Ax
nN*\{1} q 0,
p2
tức tam thức bậc hai x2 + px + q khơng có nghiệm thực
Trong bốn trường hợp trên, số A, B, a, p, q số thực Các phân thức nói gọi tương ứng phân thức hữu tỷ đơn giản loại I, II, III IV
4.1.3.1 Tính tích phân phân thức hữu tỷ đơn giản
Tính tích phân phân thức loại I: Alnx a C
a x
) a x ( d A dx a x
A
Tính tích phân phân thức loại II:
) a x ( d ) a x ( A ) a x (
) a x ( d A dx ) a x (
A m
m m
C )
a x (
1 ) m (
A C
) a x ( m
A
1 m
m
Tính tích phân phân thức loại III:
dx q px x
B Ax
2
- Bước Tính tích phân
px q
x dx
2
Ta biến đổi
4 p q p x
p q p x p x q px x
2
2
2
2
, q
4 p2
nên
có thể đặt a , p
q
2
a
2 p x q px
x
2
2
Đặt dt dx
2 p x
t 2
a t q px
x C
a t arctan a a t
dt q
px x
dx
2
2
, trở
về biến cũ ta C
p q
p x arctan p
q
2 q
px x
dx
2
2
(32)- Bước Tính tích phân
dx q px x
B Ax
2
Ta thấy đạo hàm mẫu số biểu thức lấy tích phân (x2 + px + q)’ = 2x + p, ta biến
đổi tử số biểu thức lấy tích phân thành dạng
2 Ap B ) p x ( A B
Ax ,
2
2
2 I
2 Ap B I A q px x
dx
Ap B q px x
dx ) p x ( A dx q px x
B Ax
Tính
2
2
2
1 ln(x px q) C
q px x
) q px x ( d q px x
dx ) p x (
I
x2 + px + q > với x
Tính 2
2
2
2 C
p q
p x arctan p
q
2 q
px x
dx
I
tính Bước
Do C
p q
p x arctan p
q
Ap B ) q px x ln( A dx q px x
B Ax
2
2
2
Ví dụ 4.1.3.1.1 Tính tích phân (a)
6x 25 x
dx
2 , (b)
3 x x
dx
2 Bài giải
(a)
,
25 x x
dx
I 2 đặt p = q = 25 q 16
4 p2
, áp dụng kết ta
C
3 x arctan C 25
6 x arctan
25
2 C
p q
p x arctan p
q
2 I
2
2
2
hoặc biến đổi trực tiếp C
4 x arctan 4 ) x (
) x ( d 16
) x (
dx 25
x x
dx
I 2 2 2 2
(b)
,
2 x x
dx
1 x x
dx I
2
2 đặt p = -1
2
q
4 q p2
, áp dụng kết
trên ta
C
p q
p x arctan p
q
2 I
2
C
1 x arctan C ) (
1 x arctan )
1 (
2
2
hoặc biến đổi trực tiếp
4
1 x
dx
1
2 x x
dx
1 25 x x
dx
I 2
2
C
1 x arctan
2
1 x
2 x d
2
2
2
Ví dụ 4.1.3.1.2 Tính tích phân (a)
x x
dx ) x (
2 , (b)
5 x x
xdx
2 , (c)
x x
dx ) x x (
2
3
(33)(a) , x x dx ) x (
I 2 đặt A = 3, B = -1, p = -4, q = q
4
p2
, áp dụng kết ta
được
C
p q p x arctan p q Ap B ) q px x ln( A dx q px x B Ax I 2 2 C 2 x arctan ) x x ln( C ) ( 4 x arctan ) ( ) ( ) ( ) x x ln( 2
2
hoặc biến đổi trực tiếp
dx
8 x x x 2 dx x x ) x ( x x dx ) x (
I 2 2 2
C 2 x arctan ) x x ln( ) x ( ) x ( d x x ) x x ( d x x dx
5 2 2 2
2
(b)
, x x xdx x x xdx I
2 đặt A = 1, B = 0, p = 1,
2
q 0,
4 q
p2
áp
dụng kết ta
1
2 2 C p q p x arctan p q Ap B ) q px x ln( A dx q px x B Ax I 2 2 C x arctan x x ln C x arctan 2 x x ln 2
C
3 x arctan x x ln C x arctan ln x x ln
2
hoặc biến đổi trực tiếp
x x dx ) x ( dx x x 2 ) x ( x x xdx
I 2 2 2
x x dx ) x x ln( x x dx 2 x x ) x x ( d x x dx 2 2 2
C
2 x arctan ) x x ln( x x d ) x x ln( 2 2
C
3 x arctan x x ln
1 2
(c) , x x dx ) x x (
I 4 2
3
đổi biến t = x2, dt = 2xdx hay dt
2 xdx dt t t t 2 1 x x xdx ) x (
I 4 2 2
2
Đặt A = 2, B = 3, p = 1, q = 0, q p2
áp dụng
kết ta
2 2
(34)1 2 2 C t arctan ) t t ln( C 1 t arctan 1 ) t t ln(
2
, C t arctan ) t t ln( dt t t t 2
I 2
trở biến cũ ta
C x arctan ) x x ln( I 2
4
Tính tích phân phân thức loại IV:
dx ) q px x ( B Ax
Jn 2 n
- Bước 1: Biến đổi biểu thức dấu tích phân ta
J Ap B I A ) q px x ( dx Ap B ) q px x ( dx ) p x ( A dx ) q px x ( Ap B ) p x ( A n n n
- Bước 2: Tính
) q px x ( d ) q px x ( ) q px x ( ) q px x ( d ) q px x ( dx ) p x (
I 2 n n
2 n 1 n 1 n 2 n C ) q px x ( n 1 C ) q px x ( n ) q px x ( d ) q px x (
- Bước 3: Tính ,
4 p q p x dx ) q px x ( dx J n 2 n
đặt
2 p x
t
4 p q a
2
) a t ( dt
J 2 2 n
Ta thấy J tích phân
2 2 n
n ) a t ( dt
I với a ≠ nN*,
tính Ví dụ 4.1.5 ta xác định công thức truy hồi để tính tích phân n n 2 n I n n a ) a t )( n ( a t
I
với n
C
a t arctan a a t dt
I1 2 Trở biến cũ
ta n 1 2 n 1
2 2 n I n n p q p q p x p q ) n ( 2 p x I
J
với n tích phân
ban đầu 2 2 C2
4 p q p x arctan p q I ,
hay n 2 2 n 1 2 In 1
2 n n p q 4 ) q px x ( p x ) p q )( n ( I
J
với n tích phân ban đầu
2 2 C p q p x arctan p q I
Do I ,
2 Ap B ) q px x ( ) n ( A
Jn n n
trong n 2 2 n 1 2 In 1
2 n n p q 4 ) q px x ( p x ) p q )( n (
I
với n tích phân ban đầu
(35)Ví dụ 4.1.3.1.3 Tính tích phân (a)
2 3
3 ) x ( dx
I , (b)
2 2
2 ) 10 x x ( dx ) x ( J Bài giải
(a) Tích phân cho
2 2 n
n ) a x ( dx
I với n = a = 1, sử dụng công thức truy hồi
đã biết n 2 n In
2 n n a ) a x )( n ( a x
I
với n 2 C1
a x arctan a a x dt
I
ta
được 3 2 2 2 31 2 31 2 2 I2
4 ) x ( x ` I 3 1 ) x )( ( x I , 2 2 2 2 I ) x ( x I 2 1 ) x )( ( x I
1 C1 arctanx C1
1 x arctan 1
I ,
do
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
3 I ) x ( x ) x ( x I ) x ( x ) x ( x I ) x ( x I C x arctan ) x ( x ) x ( x 2
2
(b)
2 2 2 2 2 2 2 2
2 ) 10 x x ( dx ) 10 x x ( dx ) x ( dx ) 10 x x ( ) ( ) x ( ) 10 x x ( dx ) x ( J 2 2 ) x ( dx ) 10 x x ( ) 10 x x ( d
, tích phân thứ đổi biến z = x2 + 2x + 10 dz = (2x + 2)dx, tích phân thứ hai đổi biến t = x + dt = dx,
2 21
1 2 2 2 2 ) t ( t ) ( z 3 t dt dz z t dt z dz J C t arctan 18 ) t ( 18 t z 3 t dt 2 2
2
, trở biến cũ, ta
C x arctan 54 ) 10 x x ( 18 x ) 10 x x ( ) 10 x x ( dx ) x (
J2 2 2 2 2
4.1.3.2 Tính tích phân phân thức hữu tỷ nhờ phân tích thành phân thức hữu tỷ đơn giản
Trước lấy tích phân phân thức hữu tỷ
) x ( Q ) x ( P
cần thực phép biến đổi phép tính đại số sau: (1) Nếu ) x ( Q ) x ( P
là phân thức hữu tỷ không thực thực phép chia P(x) cho Q(x), kết
nhận có dạng ,
) x ( Q ) x ( P ) x ( M ) x ( Q ) x ( P 1
M(x) đa thức, cịn
) x ( Q ) x ( P1
phân thức hữu tỷ thực sự;
(2) Phân tích mẫu số phân thức thừa số tuyến tính bậc hai: Q(x) = (x – a)m…(x2 + px + q)n…, q 0,
4 p2
tức tam thức bậc hai x2 + px + q khơng có nghiệm thực (hay có nghiệm liên hợp phức);
(3) Phân tích phân thức hữu tỷ thực phân thức đơn giản nhất: 1 2
(36)) q px x ( C x B ) q px x ( C x B ) q px x ( C x B q px x C x B ) a x ( A ) a x ( A
2 n n n
1 n n n 2 2 1 m m m m
(4) Tìm hệ số Ak, Bk Ck phương pháp hệ số bất định (5) Cuối cùng, việc tính tích phân tích phân phân thức
) x ( Q ) x ( P
được đưa việc tính tích phân đa thức M(x) phân thức hữu tỷ đơn giản
Khi phân tích mẫu số Q(x) phân thức thừa số tuyến tính bậc hai có trường hợp:
Trường hợp Q(x) có nghiệm thực khác nhau, tức Q(x) phân tích thừa số bậc khơng lặp lại
Trường hợp Q(x) có nghiệm thực, có số nghiệm bội, tức Q(x) phân tích thừa số bậc số thừa số lặp lại
Trường hợp Q(x) có nghiệm phức đơn, tức khai triển Q(x) có chứa thừa số bậc hai không lặp
Trường hợp Q(x) có nghiệm phức bội, tức khai triển Q(x) có chứa thừa số bậc hai lặp
Ví dụ 4.1.3.2.1 Tính tích phân dx,
) x )( x )( x ( x x2
nghiệm Q(x) thuộc Trường hợp
) x )( x )( x ( ) C B A ( ) C B A ( x ) C B A ( x C x B x A ) x )( x )( x ( x
x2
C B A C B A C B A C B A
dx
2 x dx dx x dx dx ) x )( x )( x ( x x2 C ) x ( ) x ( ) x ( ln C x ln x ln x ln dx x dx 7
Ví dụ 4.1.3.2.2 Tính tích phân dx, ) x ( ) x ( x
nghiệm Q(x) thuộc Trường hợp
x D ) x ( C ) x ( B x A ) x ( ) x ( x 3 ) x ( ) x ( ) D C B A ( ) D C B A ( x ) D B A ( x ) D A ( 3 32 D C B 32 A D C B A D C B A D B A D A
23 2
) x ( dx x dx 32 dx ) x ( ) x ( x
(xdx1) 325 xdx3 325 d(xx 11) 83 d(x(x 1)1) 12 d(x(x 1)1) 325 d(xx 33)
2 3 C x x ln 32 ) x ( ) x ( C x ln 32 ) x ( ) x ( x ln 32
2
(37)Ví dụ 4.1.3.2.3 Tính tích phân
x (x 1)(x x 1),
dx x x dx 2
5 nghiệm Q(x) thuộc
Trường hợp
x x
E Dx x C x B x A ) x x )( x ( x 2 2 ) x x )( x ( x B Ax x ) E C ( x ) E D C B ( x ) D C A ( 2 E D C B A B A E C E D C B D C A
dx
1 x x x 1 x dx x dx x x dx 2 x dx 1 x x ) x x ( d 1 x ln x dx x x x 1 x ln x 2 2 C x arctan 1 x x ) x ( ln x C x arctan ) x x ln( 1 x ln x 2
2
Ví dụ 4.1.3.2.4 Tính tích phân dx, ) x ( x x 2
nghiệm Q(x) thuộc Trường hợp
2 2 2 2 ) x ( ) D B ( x ) C A ( Bx Ax ) x ( D Cx x B Ax ) x ( x x D C B A D B C A B A
32 2 2 2 2
) x ( xdx x xdx dx ) x ( x x C ) x ( ) x ln( ) x ( ) x ( d x ) x ( d 2 2 2 2
4.1.4 Tính tích phân hàm vơ tỷ đơn giản 4.1.4.1 Tính tích phân dạng
b) ,(ax b) , dx, ax ( , x R 2 1 n m n m
R phân thức hữu tỷ
đối với biếnx,(ax b) ,(ax b) 2,
2 1 n m n m
; mk, nkZ Phép đổi biến ax + b = ts với s = BSCNN(n1, n2, …) biến đổi hàm lấy tích phân thành phân thức hữu tỷ biến t
Ví dụ 4.1.4.1 Tính tích phân
) x ( ) x ( dx I
Bài giải Ta thấy n1 = n2 = nên BSCNN(n1,n2) = 6, dùng phép 2x + = t6, suy
) t (
x dx = 3t5dt
dt
1 t 1 t t dt t t t dt t ) x ( ) x ( dx I C 1 x ln x x 2 C t ln t t
(38)4.1.4.2 Tính tích phân dạng
bx c ax
dx
2 Để tính tích phân loại này, ta tách bình phương đủ tam thức bậc hai ax2 + bx + c, đưa tích phân (15) (16)
Ví dụ 4.1.4.2 Tính tích phân (a)
5 x x
dx I
2 , (b)
1 x x
dx I
2
Bài giải (a) lnx x 2x C
4 ) x (
) x ( d
5 x x
dx
I
2
2
áp dụng tích
phân (16)
(b)
C
3
3 x arcsin
3 x
1
3 x d
3
1 x x
dx I
2
2
C ) x arcsin(
1
áp dụng tích phân (15)
4.1.4.3 Tính tích phân dạng
dx c bx ax
B Ax
2 Để tính tích phân loại này, ta tách tử số Ax + B đạo hàm tam thức bậc hai ax2 + bx + c phân tích tích phân thành tổng hai tích phân:
J a Ab B I a
A dx c
bx ax
a Ab B ) b ax ( a
A
dx c bx ax
B Ax
2
2
trong
(ax bx c) C
1 1 ) c bx ax ( d ) c bx ax ( c bx ax
) c bx ax ( d
I
1
2 2
2
C c bx ax
2 2
c bx ax
dx J
2 dạng tích phân 4.1.4.2 xét Ví dụ 4.1.4.3 Tính tích phân (a)
dx
1 x x
3 x I
2 , (b)
dx
8 x x
4 x I
2 Bài giải
(a)
1 x x
dx 13
1 x x
dx ) x ( dx x x
13 ) x (
dx x x
3 x I
2
2
2 ) x (
) x ( d
2 13 x x 2
2 x x
dx
2 13
1 x x
) x x ( d
2
2
2
C
2 ) x ( x ln 13 x x 2
2 ) x (
) x ( d
2 13 x x 2
5 2
2
C x x x ln 13 x x 2
5
áp dụng tích phân (12), (16)
(b)
dx
8 x x
13 ) x (
dx x x
4 x I
(39)
2
2
2
) x (
) x ( d 13 x x
) x x ( d
8 x x
dx 13
8 x x
dx ) x (
C ) x arcsin( 13 x x C
3 x arcsin 13 x x
3
áp dụng tích
phân (12), (15)
4.1.4.4 Tính tích phân dạng
) ax bx c
x (
dx
2 Phép đổi biến t
1
x đưa dạng tích phân dạng tích phân 4.1.4.2 xét
Ví dụ 4.1.4.4 Tính tích phân (a)
1 x x x
dx I
2 , (b)
3 x x ) x (
dx I
2
Bài giải
(a) ,
1 x x x
dx I
2
đặt
t
x hay
1 t t
5 t
t dt
I t dt dx x t
2 2
lnt (t 1) C
4 ) t (
) t ( d
5 t t
dt
1 t t
5 t
t dt
I
2
2
C x
1 x x x ln C x x
1 x ln C t t t ln
2
2
2
áp
dụng tích phân (16)
(b) ,
3 x x ) x (
dx I
2
đặt 2
t dt dx t 1 x t 1
x
1 x
1 t
,
C
4 t t ln
4 t
dt
1
1 t
dt
3 t 1 t 1 t
t dt
I
2
2
C )
1 x (
3 x x
ln C 1 x
1
x ln
1 2
4.1.4.5 Tính tích phân dạng
bx c, ax
dx ) x ( P
2
n trong Pn(x) đa thức bậc n Tích phân tính
được nhờ đồng thức ,
c bx ax
dx c
bx ax ) x ( Q c bx ax
dx ) x ( P
2
1 n
n
Qn-1(x)
là đa thức bậc n – với hệ số bất định, số thực Bây lấy đạo hàm đồng thức quy đồng mẫu số, ta nhận đẳng thức hai đa thức mà từ xác định hệ số đa thức Qn-1(x) số
Ví dụ 4.1.4.5 Tính tích phân
dx
2 x x
4 x x x I
2
Bài giải Ở n = nên đồng thức tương ứng
2 x x
dx
x x ) b x b x b ( dx x x
4 x x x
2
0 2
(40)Đạo hàm hai vế đồng thức ta
2 x x x x
1 x ) b x b x b ( x x ) b x b ( x x
4 x x x
2
0 2
1 2
2
x 2x 3x (2b x b )(x 2x 2) (b x b1x b0)(x 1)
2
1 2
3
) b b ( x ) b b b ( x ) b b ( x b x x
x3 2 2 1 2 1 0 1 0
2 x x
dx
5 x x x x I
2
6 b
6 b
3 b
4 b
b
3 b b b
2 b
2 b
1 b
3
2
2
0
0
0
1
2
x 2x
2 x x
1 ) x (
) x ( d x x x x
1 2
2
2
C x x x ln x x x x C ) x ( x ln
5 2 2 2
4.1.4.6 Tính tích phân nhị thức vi phânxm(abxn)pdx,trong m, n, pQ Nhà toán học
Tsebusep chứng minh, tích phân xác định trường hợp sau:
(1) pZ, đặt x = ts với s BSCNN mẫu số số hữu tỷ m, n; tích phân đưa tích phân hàm số hữu tỷ;
(2) Z,
n
m
phép đổi biến a + bxn = ts với s mẫu số phân số p, biến đổi tích phân thành tích phân hàm hữu tỷ;
(3) p Z,
n
m
đó, để đưa tích phân hàm hữu tỷ, dùng phép đổi biến ax-n + b = ts với s mẫu số phân số p
Ví dụ 4.1.4.6 Tính tích phân
(a)
, x x
dx
I 10
4
(b) ,
x a ) x a (
dx x I
2 2
3
(c)
2
x x
dx I
Bài giải
(a) Viết hàm lấy tích phân dạng x x 1 x x ,
10
1 10
nên p = -10 số nguyên,
2
m
4
n Do tích phân xác định thuộc trường hợp tích phân
nhị thức vi phân, nên ta sử dụng phép đổi biến x = t4 (4 BSCNN mẫu số phân số m n) Khi dx = 4t3dt
10 2 10 10
4 (t 1)
tdt 1 t
dt t
1 x x
dx I
dt ) t ( dt ) t ( ) t (
dt ) t (
dt ) t ( )
1 t (
dt ) 1 t ( )
1 t (
dt ) 1 t (
4 10 10 10 10 10
C ) t (
1 )
1 t (
1 )
1 t ( d ) t ( ) t ( d ) t (
4 10 8 9
, trở biến cũ, ta
C
1 x
4
1 x
1
1 x x
dx
I 9
4
10
(41)(b) Viết hàm lấy tích phân dạng
3 2 2 2
3
x a x x a x a
x
nên m = 3, n =
2
p , suy
2 n
1
m
là số nguyên Do tích phân xác định thuộc trường hợp thứ hai tích phân nhị thức vi phân, nên ta sử dụng phép đổi biến a2 – x2 = t2 (2 mẫu số
phân số p) Khi xdx = -tdt x2 = a2 – t2
x a x dx
x a ) x a (
dx x
I
3 2
2 2
3
C
t a t C t a t t dt a dt dt t
t a tdt
t t a
2 2
2 2
2
2
2
, trở biến cũ, ta
C x a
x a I
2
2
(c) Viết hàm lấy tích phân dạng 2
4 x x
x x
1
nên m = -4, n =
1 p ,
suy
2
1 p n
1
m
là số ngun Do tích phân xác định thuộc trường hợp thứ ba tích phân nhị thức vi phân, nên ta sử dụng phép đổi biến x-2 +1 = t2 (-2 = -n mẫu số phân số p) Khi x-3dx = -tdt
1 t
1
x2 2
4 21
2
4 x x
x x
dx I
C
3 t t dt t tdt
t t dx
x x x dx x x x
3
1
2 2
1 2
4
, trở biến
cũ, ta C
x
x 1 x C x
3 x x
x C
1 x x
I 3
2
3 2
3
2
4.1.5 Tính tích phân hàm lượng giác
4.1.5.1 Tính tích phân dạng R(sinx,cosx)dx,trong R phân thức hữu tỷ Các tích phân
dạng đưa tích phân phân thức hữu tỷ nhờ phép đổi biến lượng giác vạn
2 x tan
t , suy ,
t
t x
sin 2
,
t
t x
cos 2
2
x = 2arctant
t
tdt
dx 2
Cần lưu ý rằng, phép đổi biến vạn
2 x tan
t nhiều trường hợp đưa đến việc tính tốn phức tạp hàm số sinx, cosx biểu diễn qua t dạng phân thức hữu tỷ chứa t2
Trong số trường hợp đặc biệt, việc tìm tích phân dạngR(sinx,cosx)dxcó thể đơn giản
hơn: (1) Nếu R(sinx,cosx) hàm lẻ sinx, tức R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx) dùng phép đổi biến t = cosx; (2) Nếu R(sinx,cosx) hàm lẻ cosx, tức R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx) dùng phép đổi biến t = sinx; (3) Nếu R(sinx,cosx) hàm chẵn sinx cosx, tức R(-sinx,-cosx) = R(sinx,R(-sinx,-cosx) dùng phép đổi biến t = tanx
Ví dụ 4.1.5.1 Tính tích phân (a) ,
5 x cos x sin
dx
(b) ,
x cos
dx ) x sin x
(sin
(c) dx,
x sin x sin
x cos x cos
4
5
(d)
2sinxcosx cos x x
sin
dx
2
Bài giải (a) Đổi biến
2 x tan
t ,
t
t x
sin 2
22
t
t x cos
t
tdt
dx 2
(42)Do
2
2 2 ) t ( dt t t dt t t t t t tdt x cos x sin dx C t ) t ( ) t ( d
2
, trở biến cũ ta C
2 x tan x cos x sin dx
(b) Hàm lấy tích phân lẻ sinx
x cos x sin x sin x cos ) x sin ( x
sin
nên ta dùng phép đổi biến t = cosx, suy sin2x = – t2, cos2x = 2cos2x – = 2t2 – 1, dt = -sinxdx Do
dt t dt t 2 t t ) dt )( t ( x cos xdx sin ) x sin ( x cos dx ) x sin x (sin 2 2 2
dt 32 2tdt 1 2t 32 2t 1dt 2t 1 2t 34 2dtt 1 2dtt 1 2 t t d t t d t t t d 1 t t d t
C,
1 t t ln t C t ln t ln t
trở biến cũ ta
C x cos x cos ln x cos x cos dx ) x sin x (sin
(c) Hàm lấy tích phân lẻ cosx
x sin x sin x cos x cos x sin x sin ) x cos ( ) x cos ( 5
nên ta dùng phép đổi biến t = sinx, suy cos2x = – sin2x = – t2, cosxdx = dt Do
dt t t t t dt t t x sin x sin xdx cos ) x cos ( x cos dx x sin x sin x cos x cos 2 2 2 , C t arctan t t t dt t dt
dt 2 2
trở biến cũ ta
C ) x arctan(sin x sin x sin dx x sin x sin x cos x cos
(d) Hàm lấy tích phân chẵn sinx cosx
x cos x cos x sin x sin ) x cos ( ) x cos )( x sin ( ) x sin ( 2
2
nên ta dùng phép đối biến
t = tanx, suy ,
t t x tan x tan x sin
2
, t 1 x tan 1 x cos
2
x = arctant
t dt dx
Do
2 2 2 2 t 1 t 1 t t t t t dt x cos x cos x sin x sin dx
C,
2 t t ln 2 ) t ( ) t ( d t t dt 2
2
trở biến cũ ta
(43)4.1.5.2 Tính tích phân dạng sinmxcosndxtrong hai trường hợp (1) Ít số m
hoặc n số lẻ dương, n số lẻ dương dùng phép đổi biến t = sinx, m số lẻ dương dùng phép đổi biến t = cosx; (2) Cả hai số m, n số chẵn dương, biến đổi hàm số lấy tích phân nhờ cơng thức lượng giác: sin2x,
2 x cos x
sin (1 cos2x),
2 x
sin2
) x cos ( x
cos2
Ví dụ 4.1.5.2 Tính tích phân (a)sin4xcos5xdx,(b) , x cos x cos
xdx sin
3
(c)sin2 xcos2xdx
Bài giải
(a) Vì n số lẻ dương nên ta dùng phép đổi biến t = sinx nên dt = d(sinx),
sin4 xcos5xdx sin4x.cos4 x(cosxdx) sin4x.(1 sin2 x)2d(sinx) t4(1 t2)t2dt
, C t
t t dt t dt t dt t
9
4
trở biến cũ ta
C
x sin
x sin
x sin xdx cos x sin
9
5
4
(b) Vì m số lẻ dương nên ta dùng phép đổi biến t = cosx nên dt = -sinxdx,
sin xcos x(sinxdx) (1 cos x)cos x(sinxdx) (1 t )t dt x
cos x cos
xdx
sin 3 34
4
3
3
, C t t
t C t t dt t dt
t
3
5 3
2
4
trở biến cũ ta
C x cos x cos
x cos
1 x cos x cos
xdx
sin
3
3
(c) Cả hai số m, n số chẵn dương nên ta sử dụng cơng thức hạ bậc, ta biến đổi
hàm lấy tích phân sau
(1 cos4x)
8 x sin x sin ) x cos x (sin x cos x
sin
2
2
C 32
x sin x ) x ( xd cos 32
1 x xdx cos dx dx ) x cos ( xdx cos x
sin2
4.1.5.3 Tính tích phân dạng tanmxdx
và cotmxdx,trong m số nguyên dương Khi đó,
ta dùng cơng thức lượng giác
x cos
1 x
tan2 2
x sin
1 x
cot2 2 để hạ liên tiếp bậc hàm số tan cot
Ví dụ 4.1.5.3 Tính tích phân (a)tan7dx, (b)cot6xdx
Bài giải
(a)
tan xdx
x cos
dx x tan dx
1 x cos
1 x tan xdx
tan x tan dx
tan7 5 2 2
dx
x cos
1 x tan
x tan xdx tan x tan )
x (tan xd
tan 2
6
(44)
tan xd(tanx) tanxtan xdx
6 x tan xdx tan x
cos dx x tan
x
tan
6
2
6
tanxdx
x cos
dx x tan
x tan
x tan dx x cos
1 x tan
x tan
x tan
2
6
2
6
C x cos ln
x tan
x tan
x tan xdx tan ) x (tan xd tan
x tan
x
tan6
(b)
cot xdx
x sin
dx x cot dx
1 x sin
1 x cot xdx
cot x cot xdx
cot6 4 2 2
dx
x sin
1 x cot
x cot xdx
cot x cot )
x (cot xd
cot 2
5
2
dx
x sin
1 )
x (cot xd cot
x cot xdx
cot dx x sin
dx x cot
x cot
2
5
2
C x
x cot
x cot
x cot x
) x (cot d
x cot
x cot dx
x sin
dx
x cot
x
cot 5
2
5
4.1.5.4 Tính tích phân dạng dx x cos
x tan
n m
và dx, x sin
x cot
n m
trong n số dương chẵn Khi đó, ta dùng cơng thức lượng giác tan x
x cos
1
2 cot x
x sin
1
2 để biến đổi hàm số lấy tích phân
Ví dụ 4.1.5.4 Tính tích phân (a) dx, x cos
x tan
6
(b) dx
x sin
1
4 Bài giải
(a)
d(tanx)
x cos
1 x tan x
cos dx x cos
1 x tan dx
x cos
x
tan
2
2
4
4
tan4x.(1 tan2 x)2d(tanx) (tan4x 2tan6x tan8x)d(tanx)
C
x tan
x tan
x tan ) x (tan xd tan )
x (tan xd tan ) x (tan xd tan
5
9
6
4
(b)
(1 cot x)d(cotx)
x sin
dx ) x cot ( dx x sin
1 x sin
1 dx
x sin
1
2
2
4
C
x cot x cot )
x (cot xd cot ) x (cot d
3
2
4.1.5.5 Tính tích phân dạng
x cos
dx
I2n 1 2n 1 ,
x sin
dx
J2n 1 2n 1 đó, ta chứng minh hai công thức truy hồi tương ứng sau đây:
1 n n
2
n
n
2 I
n
1 x cos
x sin n
1 x cos
dx
I
với C
4 x tan ln x cos
dx
I1
1 n n
2
n
n
2 J
n
1 x sin
x cos n
1 x sin
dx
J
với C
2 x tan ln x sin
dx
J1
Ví dụ 4.1.5.5 Tính tích phân
x sin
dx
5
(45)1 2
2
2
5 J
2
1 x sin
x cos
1 x
sin dx J
J
hay
5 J
4 1 x sin
x cos x sin
dx J
3
4 J
4 x sin
x cos
1
với 3 3 2.11 2.1 2.11 2 J1
2 x sin
x cos J
1
1 x sin
x cos
1 x
sin dx x
sin dx
J
với C
2 x tan ln x sin
dx
J1 C
2 x tan ln x sin
x cos x sin
x cos x
sin dx
2
5
4.1.5.6 Tính tích phân dạng sin(mx).cos(nx)dx, cos(mx).cos(nx)dxvà sin(mx).sin(nx)dx
Khi đó, cơng thức lượng giác: sin( ) sin( )
2 cos
sin ,
cos( ) cos( )
2 cos
cos , cos( ) cos( )
2 sin
sin cho khả biểu diễn tích hàm lượng giác dạng tổng
Ví dụ 4.1.5.6 Tính tích phân (a)sin2x.cos5xdx, (b) dx x cos x cos x cos
Bài giải
(a) sin3xdx
2 xdx sin dx ) x sin( x sin xdx cos x sin
C
x cos 14
x cos )
x ( xd sin ) x ( xd sin
(b)
dx
4 x cos
x cos dx x cos x cos
x cos dx x cos x cos x cos
dx
4 x cos
x cos dx
x cos
x cos dx x cos x cos
dx
4 x cos dx
x cos dx
x cos dx
x cos
d 4x
4 x cos 4
x d
x cos 4
x d
x cos 4
x d
x cos
C x sin
x sin
x sin
x sin
1
4.1.5.7 Tính tích phân dạngR(x, a2 x2dx,R(x, a2x2dx,và R(x, x2a2dx, R phân thức hữu tỷ, đưa tích phân hàm hữu tỷ sint cost phép đổi biến lượng giác thích hợp;
- Đối với dạngRx, a2 x2dxthì dùng phép đổi biến x = asinu x = acosu
- Đối với dạngRx, a2 x2dxthì dùng phép đổi biến x = atanu x = acotu
- Đối với dạngRx, x2 a2dxthì dùng phép đổi biến
u cos
a
x
u sin
a x
Ví dụ 4.1.5.7 Tính tích phân (a) dx, x
x
a2
(b) ,
x a x
dx
2
(c)
a dx x
x
2
2
Bài giải
(a) Đặt x = asinu dx = acosudu acosudu u
sin a
u sin a a dx
x x
a2 2 2
acosu C
2 u tan ln a udu sin a u sin
du a du u sin
u sin a du u sin
u cos a
(46)C u cos a u cos
u sin ln
a
cosu,
u sin
2 u cos
2 u cos u sin
2 u cos
2 u sin
2 u tan
2
trở biến cũ ta
C x a x
x a a ln a dx x
x
a 2
2 2
2
(b) Đặt x = atanu du
u cos
a
dx 2
atanu.cosa udua tan u 1a sinduu a
x a x
dx
2 2
2
, C u cos
u sin ln a C u tan ln a
trở biến cũ ta C
x a x a ln a
x a x
dx 2
2
2
(c) Đặt
u cos
a
x du
u cos
u sin a
dx 2
và
cos u
du a
dx a x
x
3 2
2
, áp dụng công thức
truy hồi 2n 1 2n 1 2n I2n 1
n
1 u cos
u sin n
1 u cos
du
I
với n = C
4 u tan ln u cos
du
I1
ta C,
4 u tan ln u cos
u sin I 1 u cos
u sin u cos
du
I3 2
, C u ln u cos
u sin a I a dx a x
x
2
3 2
2
trở biến cũ ta
C x
a x x ln a a x x dx a x
x 2 2
2
2
4.2 Tích phân xác định
4.2.1 Bài tốn tính diện tích hình thang cong, định nghĩa tính phân xác định
Giả sử hàm số y = f(x) xác định [a,b] Xét hình thang cong AabB hình giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), đường thẳng x = a, x = b y = (trục hoành Ox) Làm để tính diện tích S hình thang cong này?
(47)Bây giờ, từ điểm xi (0 i n) ta kẻ đường thẳng x = xi, vậy, ta chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ Pi-1xx-1xiPi (1 i n) có đáy xi (1 i n) Do đó, ký hiệu diện tích hình thang cong AabB S diện tích hình thang cong nhỏ thứ i Si
x ) ( f S
S
n
1 i
i i n
1 i
i
Về mặt hình học, ta thấy rằng: n lớn diện tích S hình thang cong AabB tính cơng thức xác
Định nghĩa Tổng 1 2 n n
n
1 i
i
i) x f( ) x f( ) x f( ) x
(
f
được gọi tổng tích phân
của hàm số y = f(x) [a,b] Giới hạn tổng tích phân
n
1 i
i i
x
maxlimi f( ) x được gọi tích phân
xác định hàm số y = f(x) [a,b] ký hiệu là
b
a
dx ) x (
f Khi đó, ta nói hàm số f(x) khả tích
trên [a,b], [a,b] khoảng lấy tích phân, a cận b cận tích phân, x biến
số lấy tích phân, f(x) hàm số lấy tích phân f(x)dx biểu thức dấu tích phân
4.2.2 Các lớp hàm khả tích
Định lý (1) Nếu f(x) liên tục [a,b] f(x) khả tích [a,b]; (2) Nếu f(x) bị chặn [a,b] có số hữu hạn điểm gián đoạn [a,b] f(x) khả tích [a,b]; (3) Nếu f(x) bị chặn đơn điệu [a,b] f(x) khả tích [a,b]
Các nhà tốn học chứng minh rằng, giới hạn
n
1 i
i i
x
maxlimi f( ) x
tồn hữu hạn lớp hàm khả tích, khơng phụ thuộc vào độ dài xi cách chọn i đoạn [xi-1,xi]
4.2.3 Các tính chất tích phân xác định (1)
a
b b
a
dx ) x ( f dx ) x ( f
(2) f(x)dx
a
a
(3)
b
c c
a b
a
dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f
(4)
b
a b
a
dx ) x ( f C dx ) x (
Cf (C số)
(5)
b
a b
a b
a
2
1(x) f (x)dx f (x)dx f (x)dx
f
(6) Nếu m f(x) M [a,b] m(b a) f(x)dx M(b a)
b
a
[a,b]
4.2.4 Các quy tắc tính tích phân xác định
(1) Cơng thức Newton – Leibniz: f(x)dx F(x)ba F(b) F(a),
b
a
F(x) nguyên hàm
(48)Từ công thức Newton – Leibniz suy rằng, tích phân b
a
dx ) x (
f không phụ thuộc vào ký hiệu
biến số lấy tích phân, chẳng hạn b
a b
a
dt ) t ( f dx ) x (
f hai tích phân F(b) – F(a)
(2) Tích phân phần: udv uv vdu,
b
a b a b
a
u = u(x), v = v(x) hàm số liên tục khả vi [a,b]
(3) Đổi biến: f(x)dx f (t) '(t)dt,
b
a
x = (t), ’(t) f[(t)] hàm số liên tục
trên [,], a = (), b = ()
(4) Nếu f(x) hàm số lẻ, tức f(-x) = -f(x), f(x)dx 0;
a
a
f(x) hàm số chẵn, tức
f(-x) = f(f(-x), f(x)dx f(x)dx
a
0 a
a
(5) Nếu f(x) hàm số liên tục tuần hoàn với chu kỳ T > 0, tức f(x+T) = f(x), f(x)dx f(x)dx
T
0 T
a
a
Ví dụ 4.2.1 Chứng minh quy tắc (4)
- Giả sử hàm số f(x) hàm số lẻ, ta đổi biến t = -x
a x a t
a x a t
, dt = -dx
f(t) = f(-x) = -f(x), f(x)dx f(t).( dt) f(t)dt f(x)dx f(x)dx f(x)dx
a
a a
a a
a a
a a
a a
a
- Giả sử hàm số f(x) hàm số chẵn, ta đổi biến t = -x
0 x t
a x a t
, dt = -dx
và f(t) = f(-x) = f(x),
a
0 a
0
a
a
a
dx ) x ( f dt ) t ( f dt ) t ( f ) dt ).( t ( f dx ) x ( f
a a
0 a
0 a
0
a a
a
dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f
Ví dụ 4.2.2 Tính tích phân (a)
1
0
, dx x
I (b)
b
a
dx x
I với R, < a < b định nghĩa
và quy tắc
Bài giải (a) Theo định nghĩa, để tính I ta lập tổng tích phân hàm số f(x) [0,1] Ở f(x) = x2, a = 0, b = 1; ta chia đoạn [0,1] thành n phần nhau,
n n
0 n
a b
xi
(1 i
n)
n i
xi (0 i n) Bây ta chọn i = xi (1 i n), suy
2
i i
n i ) x ( f ) (
f
(1 i n) nên
i limn1 n(n 1)(62n 1)
n lim n n
i lim x ) ( f lim dx
x
I 3
n n
1 i
2 n n
1 i
2
0 x n
1 i
i i
x max
0
i i
3 n lim n lim n n 1 lim
n n
n
(49)Theo quy tắc tính tích phân xác định ta 3 3 x dx x I 3
2
(b) Tính I định nghĩa Ở f(x) = x, ta chia đoạn [a,b] thành n phần điểm tạo thành cấp số nhân có số hạng a công bội q: x0 = a, x1 = x0q = aq, x2 = x1q = aq2, …, xi = xi-1q = aqi, …, xn = xn-1q = aqn = b, suy n
a b
q xi xixi1 aq
i – aqi-1 = aqi-1(q – 1) (1 i n), maxxi q Bây ta chọn i = xi-1 = aqi-1 (1 i n), suy raf( i) f(xi1) xi1 (aqi1) a q (i1),
n i i ) i ( n i i
i) x a q aq (q 1)
( f n i i 1 n i ) i )( ( 1 n 1 q ) q ( a q ) q ( a ) q ( ) q ( q ) q ( a q q a b q a b ) q ( a q q ) q ( a q q ) q (
a 1 1 1
1 1 n 1 n 1
( 1)q
1 lim a b q q lim a b q q a b lim x ) ( f lim q 1 ) ' L ( 1 q 1 1 1 q n i i i x max i a b q lim ) ( a b 1 q 1
Tính I quy tắc
1 a b x dx x I 1 b a b
a
Nhận xét: Khi = 2, a = b = I
3 1 dx x I 2
2
(a)
Ví dụ 4.2.3 Tìm giới hạn n n S
lim
với
n1
1 i n i n
S cách xây dựng tổng tích phân hàm số
thích hợp
Bài giải Ta thấy
n n i n n i n i n n S n n i n i n i
n
tổng tích phân hàm
số f(x) = x4 [0,1] Thật vậy, ta chia đoạn [0,1] thành n phần nhau,
n n n a b
xi
(1 i n)
n i
xi (0 i n) Bây ta chọn i = xi (1 i n), suy i i n i ) x ( f ) ( f
(1 i n) nên n
n i n i i i S n n n i x ) (
f
n n n n n n n n n n i i i x n i i i x
max n limS limS limS
1 lim S n lim x ) ( f lim x ) ( f lim i
i
Mặt khác, theo định nghĩa
5 x dx x x ) ( f lim n i i i x max i
, 5
1 S lim n n
(50)Từ kết tốn tính diện tích hình thang cong định nghĩa tính phân xác định ta thấy, f(x) tích phân
b
a
dx ) x (
f diện tích S hình thang cong giới hạn đường y = f(x)
các đường thẳng x = a, x = b, y = Trong trường hợp tổng quát S f(x)dx
b
a
Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f1(x) y = f2(x) [f1(x) f2(x)] hai đường thẳng x = a, x = b tính theo công thức S f (x) f (x)dx
b
a
2
Trong trường hợp tổng quát
thì S f (x) f (x)dx
b
a
2
Nếu đường cong cho phương trình tham số
) t ( y
) t ( x
diện tích S hình thang cong giới hạn đường cong này, đường thẳng x = a, x = b đoạn [a,b] trục Ox tính cơng thức S (t) '(t)dt,
2
1
t
t
t1 t2 xác định từ phương trình a = (t1) phương trình b = (t2), với (t), (t) ’(t) hàm liên tục [t1,t2]
Nếu đường cong cho phương trình r = r() tọa độ cực (r,) diện tích S hình quạt cong giới hạn hai tia = , = ( < ) cung AB đường cong r = r(), r() hàm số liên tục [,], tính công thức r ( )d
2
S
Xem ví dụ [1]
4.2.5.2 Tính độ dài cung đường cong phẳng
Nếu đường cong y = f(x) liên tục [a,b] đạo hàm f’(x) liên tục [a,b] độ dài cung tương ứng đường cong tính theo cơng thức
b
a
2
dx ) x ( ' f L
Nếu đường cong cho phương trình tham số
) t ( y
) t ( x
2
1
t
t
2
, dt ) t ( ' ) t ( ' L
trong t1 t2 xác định từ phương trình a = (t1) phương trình b = (t2), với (t), (t) ’(t) hàm liên tục [t1,t2]
Nếu đường cong cho phương trình r = r() tọa độ cực (r,) với , r() hàm số liên tục [, ]
r ( ) r'( ) d
L 2
Xem ví dụ [1]
4.2.5.3 Tính thể tích vật thể
Nếu diện tích thiết diện ngang vật thể tạo mặt phẳng vng góc với trục Ox biểu diễn hàm số x dạng S = S(x) với a x b thể tích phần vật thể nằm mặt phẳng vng góc với trục Ox x = a x = b tính công thức
b
a
(51)Nếu hình thang cong giới hạn đường cong y = f(x) đường thẳng y = 0, x = a, y = b quay quanh trục Ox thể tích vật thể trịn xoay tính cơng thức
b
a x f (x)dx
V
Nếu hình giới hạn đường cong y = f1(x) y = f2(x) [0 f1(x) f2(x)] đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox thể tích vật trịn xoay tính cơng
thức
b
a
2
2
x f (x) f (x)dx
V
Xem ví dụ [1]
4.2.5.4 Tính diện tích mặt tròn xoay
Nếu cung đường cong y = f(x) với a x b quay quanh trục Ox diện tích mặt trịn xoay tính cơng thức
b
a
2 x f(x) f'(x) dx
S
Nếu cung đường cong y = f(x) với a x b quay quanh trục Ox cho phương trình tham số
) t ( y
) t ( x
với t1 t t2 diện tích mặt trịn xoay tính cơng thức
1
t
t
2
x (t) '(t) '(t) dt
S
Xem ví dụ [1]
4.3 Tích phân suy rộng
4.3.1 Khái niệm cách tính tích phân suy rộng
Trong phần ta xây dựng khái niệm tích phân xác định trường hợp cận tích phân hữu hạn hàm số lấy tích phân bị chặn, phần ta xét trường hợp mà hai điều kiện bị vi phạm, tức cận tích phân vơ hạn, hàm số lấy tích phân khơng bị chặn
4.3.1.1 Tích phân suy rộng loại (cận tích phân vơ hạn)
Tích phân suy rộng loại hàm số f(x) [f(x) hàm số bị chặn], từ a đến + xác định đẳng thức f(x)dx lim f(x)dx
b
a b
a
Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi hội tụ; cịn giới hạn khơng tồn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi phân kỳ
Tương tự, tích phân suy rộng loại hàm số f(x) [f(x) hàm số bị chặn], từ - đến b xác định đẳng thức f(x)dx lim f(x)dx
b
a a b
Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi hội tụ; giới hạn khơng tồn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi phân kỳ
Trường hợp, tích phân suy rộng loại hàm số f(x) [f(x) hàm số bị chặn], từ - đến
+ xác định đẳng thức
b
c b c
a
alim f(x)dx lim f(x)dx
dx ) x (
f (c số hữu hạn) Nếu
(52)Ví dụ 4.3.1.1 Tính tích phân (a) , x ln x
dx
2
e
(b) cosxdx,
0
(c)
x 2x5
dx
2
Bài giải
(a)
lim 81 2ln1 b
x ln
1 lim
x ln
) x (ln d lim x ln x
dx lim x ln x
dx
2 b
b
e b
b
e b
b
e b
e
2
2
8 b ln
1 lim
2
b
, tích phân suy rộng loại hội tụ (b) cosxdx lim cosxdx limsinx lim(sinb sin0) limsinb
b b
b b
b
0 b
0
, giới hạn không
tồn tại, tích phân suy rộng loại phân kỳ
(c)
b
0 b
0
a a
0
2
5 x x
dx lim
5 x x
dx lim
5 x x
dx
x x
dx
x x
dx
b
0 b
0
a a
b
0
2 b
0
a
2
a 2
1 x arctan lim 2
1 x arctan lim 2 ) x (
) x ( d lim
) x (
) x ( d lim
2
1 b arctan lim 2 arctan 2 arctan
1 b arctan lim
2
1 b arctan
1 arctan lim
2
a b
a
2 2 2 arctan 2
1 b arctan lim
b
, tích phân suy rộng loại hội tụ
4.3.1.2 Tích phân suy rộng loại (hàm số lấy tích phân khơng bị chặn) Tích phân suy rộng loại hàm số f(x) có
f(x)
lim
0 b
x , từ a đến b xác định đẳng thức f(x)dx lim f(x)dx
b
a b
a
Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi hội tụ; giới hạn khơng tồn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi phân kỳ
Tích phân suy rộng loại hàm số f(x) có
f(x)
lim
0 a
x , từ a đến b xác định đẳng thức f(x)dx lim f(x)dx
b
a b
a
Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi hội tụ; giới hạn khơng tồn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi phân kỳ
Trường hợp, tích phân suy rộng loại hàm số f(x) có
f(x)
lim
0 a
x xlimb0f(x),
từ a đến b xác định đẳng thức
b
c c
a b
a
dx ) x ( f lim dx ) x ( f lim dx ) x (
f (a < c < b) Nếu hai
giới hạn vế phải đẳng thức tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi hội tụ; cịn có hai giới hạn vế phải đẳng thức khơng tồn tích phân suy rộng loại dạng này, gọi phân kỳ
Ví dụ 4.3.1.2 Tính tích phân (a) , x dx
1
0
(b) ,
x cos
dx
2
0
(c)
1
1
2
x
dx
(53)(a) Hàm lấy tích phân khơng bị chặn điểm x =
0
0
0
0
x ln lim x
ln lim x dx lim x dx
(ln1 ln ) lim( ln )
lim
0
0 , tích phân suy rộng loại phân kỳ
(b) Hàm lấy tích phân
x cos
1
khơng bị chặn điểm
2
x
0
0 cosx
dx lim
x cos
dx
2 4 ln tan2
2 tan lim ln
2 x tan ln lim
0
0
0 , tích phân suy rộng loại
phân kỳ
(c) Hàm lấy tích phân
2
x
1
không bị chặn tại điểm x = 1
1 0
0
1
0
2
0
1
2
1
1
2 limarcsinx limarcsinx
x
dx lim
x
dx lim
x
dx
arcsin( ) limarcsin(1 ) 2 2
lim
0
0 , tích phân suy rộng loại hội tụ
4.3.2 Dấu hiệu hội tụ (tiêu chuẩn so sánh) tích phân suy rộng 4.3.2.1 Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại
Giả sử f(x), g(x) hai hàm số không âm khả tích [a,+), tồn số c > a cho f(x) g(x) với x[c,+)
(1) Nếu
a
dx ) x (
g hội tụ
a
dx ) x (
f hội tụ,
a
dx ) x (
f phân kỳ
a
dx ) x (
g phân kỳ
(2) Nếu k
) x ( g
) x ( f lim
x với < k < + tích phân suy rộng
a
dx ) x (
f
a
dx ) x (
g hội tụ
hoặc phân kỳ
Hệ
Nếu
) x ( g
) x ( f lim
x và
a
dx ) x (
g hội tụ
a
dx ) x (
f hội tụ,
g(x)
) x ( f lim
x
a
dx ) x (
g phân kỳ
thì
a
dx ) x (
f phân kỳ
Trường hợp hàm số f(x) có dấu tùy ý, ta có: Nếu tích phân
a
dx ) x (
f hội tụ tích
phân
a
dx ) x (
f hội tụ; đó, ta nói tích phân
a
dx ) x (
f hội tụ tuyệt đối Cịn tích
phân
a
dx ) x (
f hội tụ tích phân
a
dx ) x (
f phân kỳ ta nói tích phân
a
dx ) x (
f hội tụ khơng
(54)Ví dụ 4.3.2.1 (a) Chứng minh tích phân suy rộng
a p
x dx
hội tụ p > 1, phân kỳ p 1;
(b) Khảo sát tính hội tụ tích phân
0
dx ) x sin(
Bài giải (a) Theo định nghĩa
p
a b lim p
1
p x lim dx x lim x
dx lim x
dx p p
b b
a p
b b
a p b
b
a p b
a
p
- Nếu p >
p
a x dx
b lim b
lim
p
a p
p b p
b
, tức tích phân suy rộng
a p
x dx
hội tụ
- Nếu p
p
blim b tức tích phân suy rộng
a p
x dx
phân kỳ
Kết sử dụng (mà không cần phải chứng minh lại) khảo sát tính hội tụ tích phân suy rộng loại
(b) Nếu đặtx tthì (I I )
2 dt t
t sin dt
t t sin dt t
t sin dx ) x
sin(
2
0
0
2
- Tích phân
2
0
1 dt
t t sin
I tích phân bình thường hàm số lấy tích phân hàm bị chặn Thật
vậy, cận tích phân t = hàm số lấy tích phân có khả khơng bị chặn
0 t lim t
t sin lim t t
t sin lim t
t sin lim
0 t t
t
t
- Tích phân
dt t
t cos lim t
t cos lim t
) t (cos d lim dt
t t sin lim dt t
t sin I
b
2 b
b
2 b
b
2 b b
2 b
2
dt t
t cos dt
t t cos lim dt
t t cos lim
2 b
2 b
b
2
b
Ta thấy 32 32
t t
t
cos mà tích phân
2
t dt
đã biết hội
tụ theo (a) nên tích phân dt t
t cos
2
hội tụ theo dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại 1, suy
ra dt
t t cos I
2
2
hội tụ
- Như vậy, tích phân
2
2 dt
t t sin
I hội tụ, suy tích phân
0
dx ) x
sin( hội tụ
Ví dụ 4.3.2.2 Khảo sát tính hội tụ tích phân suy rộng
1
dx x cos
Bài giải Ký hiệu
x cos ) x (
f 2
x ) x (
g , ta thấy
2 x
x
x
x cos lim ) x ( g
) x ( f lim
2 1
x
1 x
1 sin lim
x
1 x
1 sin lim
x
1 x
1 sin lim
x
4 x
1 sin
lim
2
0 x
1
x
2
x
2
x
(55)Do đó, theo hệ tích phân
1
dx x cos dx ) x (
f hội tụ tích
phân
1
1 x
dx dx
) x (
g biết hội tụ
4.3.2.2 Dấu hiệu hội tụ (tiêu chuẩn so sánh) tích phân suy rộng loại
Giả sử f(x), g(x) hai hàm số không âm khả tích (a,b], hai hàm đồng thời khơng bị chặn x = a (điểm x = a gọi điểm bất thường điểm gián đoạn) Giả sử f(x) g(x) với x(a,c] (a < c < b)
(1) Nếu b
a
dx ) x (
g hội tụ thì
b
a
dx ) x (
f hội tụ, nếu
b
a
dx ) x (
f phân kỳ thì
b
a
dx ) x (
g phân kỳ
(2) Nếu k
) x ( g
) x ( f lim
0 a
x với < k < + tích phân suy rộng b
a
dx ) x (
f và
b
a
dx ) x (
g hội tụ phân kỳ
Hệ
Nếu
) x ( g
) x ( f lim
0 a
x và b
a
dx ) x (
g hội tụ thì b
a
dx ) x (
f hội tụ,
g(x)
) x ( f lim
0 a
x và
b
a
dx ) x (
g phân kỳ
thì b
a
dx ) x (
f phân kỳ
Trường hợp hàm số f(x) có dấu tùy ý, ta có: Nếu tích phân b
a
dx ) x (
f hội tụ tích
phân b
a
dx ) x (
f hội tụ; đó, ta nói tích phân
b
a
dx ) x (
f hội tụ tuyệt đối Cịn tích
phân b
a
dx ) x (
f hội tụ tích phân
b
a
dx ) x (
f phân kỳ ta nói tích phân b
a
dx ) x (
f hội tụ không
tuyệt đối
Ví dụ 4.3.2.3 (a) Chứng minh tích phân suy rộng
b
a
p
) x b (
dx
,
b
a
p
) a x (
dx
với a < b hội tụ
khi p < 1, phân kỳ p (b) Khảo sát tính hội tụ tích phân
1
0
3
2
dx x
x cos
Bài giải (a) Theo định nghĩa
b
a p
b
a
p
b
a
p lim(b x)
p
1 ) x b (
dx lim
) x b (
dx
1 p
) a b ( lim
1 p
1 p p
0
Nếu p < lim p 0,
0
cịn p >
0 p
p
1 lim
lim cuối p =
)
x b ln( lim x
b dx
lim ba
0 b
a
0
Do đó, p < tích phân suy rộng
b
a
p
) x b (
dx
hội tụ, p
1 tích phân suy rộng
b
a
p
) x b (
dx
(56)Đối với tích phân
b
a
p
) a x (
dx
chứng minh tương tự
Các kết sử dụng (mà không cần phải chứng minh lại) khảo sát tính hội tụ tích phân suy rộng loại
(b) Hàm số lấy tích phân khơng bị chặn x Ta viết hàm số lấy tích phân dạng sau
) x ( g ) x (
1 x
1 x
1 1 x
1 x
1 x
1 x
x cos
x
x cos ) x (
f 13
3
3
3
3
3
2
Áp dụng
kết (a) ta thấy tích phân suy rộng
1
0
3
2
dx x
x cos
hội tụ tích phân suy rộng
1
0
x
dx
hội tụ
Ví dụ 4.3.2.4 Khảo sát tính hội tụ tích phân
1
0
2
x
xdx sin
Bài giải
Tích phân
1
0
2
x
xdx sin
tích phân suy rộng loại hàm lấy tích phân khơng bị chặn x =
Ta thấy
x
1 x
1 x
1 ) x )( x (
1
x
1
x
x sin
2
2
[0,1] Vì tích phân
1
0
2 1
0 (1 x)
dx
x
dx
tích phân hội tụ nên tích phân
1
0
2 dx
x
x sin
hội tụ, suy tích phân
1
2
x
xdx sin
hội tụ tuyệt đối
BÀI TẬP 4.1 Tính tích phân
(a)x xdx (b)
5
x dx
(c)
dx x
x
2
(d)
dx x
x
2
(e)e3x3xdx (f)tan2xdx
(g)
dx x x
2
(h)(2tanx3cotx)2dx (i)xcos(x2)dx
(k)
x ln x
dx
(l)x3 ax2 dxb
với a ≠ (m) sinxcosxdx
(n)cos(sinx).cosxdx
4.2 Tính tích phân
(a)cos(ax dxb) với a ≠ (b)eaxbdx (c)
2
a x
dx
với a ≠ (d)
2
x a
dx
với a ≠ (e)
a x
dx
2 với a ≠ (f)sinx
dx
(g)
x cos
dx
(57)(k)
x x
dx
(l)
cos x
xdx sin
4 (m)
dx x cos x sin
2
(n)
x
dx x
10
(o)
2x
x xdx
2
4 (p) dx
5 e
e
x
x
(q)
5dx e
e
x
x
(r) dx
) x sin( x
x cos x sin
4.3 Tính tích phân
(a)xlnxdx (b)arcsinxdx (c)x2arctanxdx
(d)(x1)exdx (e)x2sinxdx (f)x5ex2dx
(g)(x2 2x3)cosxdx (h)e2xcosxdx (i)sin xdx
(k)
dx ) x cos(ln J
dx ) x sin(ln I
(l) a2 dxx2 với a ≠
(m)
bxdx cos e J
bxdx sin e I
ax ax
với a2 + b2 > (n)
x sin b x cos a
xdx cos J
x sin b x cos a
xdx sin I
với a2 + b2 >
4.4 Chứng minh đẳng thức (n, mZ) tìm công thức truy hồi In In,m
(a)
sin xdx
n n n
x cos x sin xdx
sin
I n
1 n n
n
(b)
cos xdx
n n n
x sin x cos xdx cos
I n
1 n n
n
(c)
x sin
dx
n n x sin
x cos n
1 x
sin dx
In n n 1 n 2
(d)
x cos
dx
n n x cos
x sin n
1 x cos
dx
In n n 1 n 2
(e)
n m xdx sin
x cos n m
1 n n
m
x sin x cos
n m xdx sin x cos n m
1 m n
m
x sin x cos
xdx sin x cos I
2 n m
n m
n m
n m
n m m
, n
(f)
e cos xdx
n a
) n ( n n
a
) x sin n x cos a ( x cos e xdx cos e
I 2 2 2 2 ax n
1 n ax n
ax n
(g)
x ln xdx
1 m
n x ln m
x xdx ln x
I n m n
1 m n
m n
4.5 Tính tích phân
(a)
dx x 11 x x
4 x
2
3 , (b)
5 x x
xdx
2
4 , (c)
2
) x (
dx x
(d)
dx
x
7 x x x
2
, (e)
dx 16 x x
1 x
2
5
(58)(a)
x x
dx
, (b)
x 2x
dx
2 , (c) dx
2 x x
2 x
2
(d)
2x x
2 x
dx
2 , (e)
dx x x ) x (
2 x
2 , (f)(1x2)32
dx
(g)
32
) x a (
dx
, (h)
1 x x
dx
2
4.7 Tính tích phân
(a)
sinx
dx
, (b)
4sinxcosx x
sin
xdx cos
2
, (c)
sinx x
sin
xdx cos
2
(d)sin3xdx, (e) dx, x sin
x cos5
(f) dx
x sin
x cos
4
4.8 Dùng định nghĩa để tính tích phân sau (a)
1
0 x a a dx
I với < a ≠ (b)
2
0
xdx sin
I (c)
x
0
tdt cos )
x (
I với x >
sau tính quy tắc để kiểm tra kết 4.9 Tính tích phân
(a)
0 x
dx
xe (b)
e
1
dx x
x ln
(c)
r
0
2
dx x r
(d)
3
3
2 dx
x cos
x sin x
(e)
1
1
2
dx x
x arcsin x
(f)
3
3 2
dx x
x sin x
(g)
1
xdx arctan
x (h)
4
0
dx x cos
x sin x
(i)
0 e x
dx
e x
4.10 Tìm giới hạn n n S
lim
cách xây dựng tổng tích phân hàm số thích hợp
(a)
n
1 i
n i
n
S (b)
n
1 i n
i n
1
S (c)
n
1 i
p p
n i
n S
(d)
n
1 i
2 n
i n
1 n
S (e)
n1
1 i n
i n
1
n
S (f)
n
1 i n
n i sin n S
(g)
n
1 i n
n i n
S (h) n
n
! n
)! n ( n
S (i)
n
1 i n
i n
1
S ( > 0, > 0) 4.11 Chứng minh quy tắc tính tích phân: Nếu f(x) hàm số liên tục tuần hoàn với chu kỳ T, tức
f(x+T) = f(x), f(x)dx f(x)dx
T
0 T
a
a
4.12 Chứng minh công thức
(a) n 1
2
0 n n
2 nxdx cos x cos
L
với nN
(b)
n
1 k
k
1 n
0 n n
k 2
1 nxdx sin x cos
(59)(c)
n
1 k
1 i n
4
0 n n
1 i
) ( ) ( xdx tan
I với nN
(d)
)! n m (
)! n ( )! m ( dx ) x ( x B
1
0
1 n
m n ,
m
với m, nN* (Hàm Beta)
4.13 (a) TínhI sin xdx,
2
0 n
n
(b) Chứng minh công thức Wallis
1 n
1 ! )! n (
! )! n ( lim
2
n
4.14 Chứng minh rằng
m n
n m nxdx sin mx
sin với m n số ngun dương
4.15 Tìm diện tích hình giới hạn đường
(a) y = 4x – x2 trục Ox (b) x + y = 0, y = 2x – x2 (c) y = x2, ,
2 x y
2
y = 2x (d) y2 = 2x, x2 + y2 = 8, x (e) y = x2 + 2x – 3, y = –x2 – 2x + (f) x = –2y2, x = – 3y2 4.16 Tìm độ dài cung đường cong
(a) y2 = x3 từ x = đến x = (y 0) (b)
t sin y
t cos x
5
từ t1 = đến
2 t2
(c)
3 sin a
r 3 từ 1 = đến
2
2
(a > 0) (d)
3 cos a
r 3 từ 1 = đến
2
2
(a > 0)
4.17 Tính tích phân (a)
e
e
dx x
ln (b)
3
0
3
dx x x sgn
4.18 Chứng minh công thức
(a)
b
a b
a
dx ) x b a ( f dx ) x (
f với f(x) liên tục [a,b]
(b)
1
0 b
a
dx x ) a b ( a f ) a b ( dx ) x (
f với f(x) liên tục [a,b]
(c)
2
0
0
dx ) x (cos f dx ) x (sin
f với f(t) liên tục [0,1]
(d)
0
dx ) x (sin f dx ) x (sin
xf với f(t) liên tục [0,1]
(e)
1 n
1 k
C n
n
0 k
k n
4.19 Tính thể tích vật thể trịn xoay
(a) Hình phẳng {y = 2x – x2, y = 0} quay quanh trục Ox (b) Hình phẳng {y2 + x – = 0, x = 0} quay quanh trục Oy (c) Hình phẳng {y = x2, y = 4} quay quanh đường thẳng x = -2
(60)(a)
1
2
x dx
(b)
2
x
dx
(c)
0 x
dx
xe (d)
0
xdx sin x
(e)
2
3
) x (
xdx
(f)
(x 1)(x 4)
dx
2
2 (g)
0
2
5 x x
xdx
(h)
dx x
x arctan
2
4.22 Tính tích phân suy rộng loại (a)
2
0
2
x
dx x
(b)
1
0 x(1 x)
dx
(c)
1
1
x dx
(d)
0
xdx ln x
(e)
1
0
x
dx
(f) e
1
x ln x
dx
(g)
3
1
2
3 x x
dx
(h)
2
0 x2
dx
4.23 Khảo sát tính hội tụ tích phân suy rộng (a)
1 10
x
dx
(b)
0
dx x
x sin
(c)
2
) x (
dx
(d)
1
dx x
) x ln(
(e)
1
2
dx x
) x ln(
(f)
1
dx x
sin (g)
3 x(x 1)(x 2)
dx
(h)
2
2
1 x
dx
(i)
1
0
3
x
dx
(k)
2
0
2
) x (
dx
(l)
1
0
4 n
x
dx x
(61)Chương Chuỗi số chuỗi hàm 5.1 Chuỗi số
5.1.1 Định nghĩa chuỗi hội tụ, tính chất chuỗi hội tụ, tiêu chuẩn Cauchy
Xét dãy số vơ hạn u1, u2, …, un, …, un = f(n) với nN* Biểu thức u1 + u2 + …+ un +… =
1 n
n
u gọi chuỗi số (hay chuỗi), số u1, u2, …, un, … gọi số hạng
chuỗi; un = f(n) gọi số hạng tổng quát
Tổng n số hạng chuỗi ký hiệu Sn gọi tổng riêng thứ n chuỗi: Sn = u1 + u2 + … + un =
n
1 k
k
u
Chuỗi gọi hội tụ, tổng riêng Sn chuỗi có giới hạn n n S
lim
tồn hữu hạn; ngược lại, giới hạn n
n S
lim
không tồn chuỗi gọi phân kỳ Trong trường hợp chuỗi hội tụ, ta ký hiệu S limSn,
n
S gọi tổng chuỗi Ví dụ 5.1.1 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số
1 n
1 n
aq với a ≠
Bài giải
Các số hạng un = aqn-1 (nN*) chuỗi aq a aq aq2 aqn
n
n
số hạng
của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = a ≠ công bội q
- Nếu |q| ≠
1 q
1 q q
a S
lim S q
q a q
q u aq
S n
n n
n
1 n
1 k
1 k n
- Nếu |q| =
a khi n 2k 1
k n a ) ( lim S lim
n
1 k
1 k n
n
n q = -1, tức giới hạn
không tồn tại;
S lima limna
lim
n n
1 k n n
n q =
Tóm lại, chuỗi
1 n
1 n
aq với a ≠ hội tụ |q| < phân kỳ |q| Kết sử
dụng cần, mà không cần phải chứng minh lại
Ví dụ 5.1.2 Chứng minh rằng, chuỗi số
1
1
1
hội tụ tìm tổng Bài giải
Biểu diễn số hạng tổng quát chuỗi
) n )( n ( n
1 un
dạng tổng phân số đơn
giản
2 n
C n
B n A
phương pháp hệ số bất định, ta A = 1/2, B = -1 C = 1/2;
4 S lim
n 1 n
1 2 u S
2 n
1 n
2 n
u n
n n
1 k
k n
n
(62)4 S lim )
3 n )( n )( n (
1
1 S S ) m n ) ( n )( n (
1 m
1 m
1
S n
n )
2 ( n n )
m (
n
Điều kiện cần chuỗi hội tụ: Nếu chuỗi số 1 n
n
u hội tụ thìlimun
n
Chứng minh: Giả sử chuỗi số
1 n
n
u hội tụ,
S S lim
S S lim
1 n n
n n
, mặt khác un = Sn – Sn-1 nên
S S limS limS S S
lim u
lim n 1
n n n n n n n
n Điều kiện limun
n cần đủ để chuỗi số
1 n
n
u hội tụ Chẳng hạn, xét chuỗi
số 1 n n
1
(gọi chuỗi điều hòa), ta thấy n lim u lim
n n
n , nhiên chuỗi số lại phân kỳ Thật vậy, giả sử ngược lại, chuỗi
1 n n
1
hội tụ,
n n n n n n n n
2 n
n n
S lim S
lim S
S lim S S lim
S S lim
0 S S S lim S
lim n
n n
n , điều mâu thuẫn với 2
1 n
1 n
n k
n S
S
n
1 k n
1 k n
1 k n n
2
Như vậy, chuỗi số 1 n
n
u cólimun
n phân kỳ
Ví dụ 5.1.3 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số 11
4 2
1
Bài giải
Số hạng tổng quát chuỗi
n lim
1
n
1 lim n
n lim u
lim n
n u
n n
n n n n
0 3
1
nên chuỗi cho phân kỳ
Các tính chất chuỗi hội tụ (1) Nếu chuỗi số
1 n
n
u hội tụ có tổng S chuỗi số
1 n
n
cu (c số) hội tụ có
tổng cS
(2) Nếu chuỗi số 1 n
n
u ,
1 n
n
v hội tụ có tổng tương ứng Su, Sv chuỗi số
1 n
n n v
u
cũng hội tụ có tổng Su + Sv
(3) Tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số không thay đổi bỏ bớt số hữu hạn số hạng chuỗi
Tiêu chuẩn Cauchy
Điều kiện cần đủ để chuỗi số 1 n
n
u hội tụ với > bé tùy ý cho trước, tìm số
nguyên dương n0 cho p > q n0
p
1 q k
k q
p S u
S
(63)Chuỗi số 1 n
n
u có un > với n gọi chuỗi số dương Vì un+1 > Sn+1 = Sn + un+1 > Sn nên {Sn} dãy số tăng Do dãy số {Sn} bị chặn n
n S
lim
, chuỗi hội tụ; ngược lại dãy số {Sn} khơng bị chặn
n n S
lim , chuỗi phân kỳ
Các dấu hiệu so sánh
(1) Cho hai chuỗi số dương
1 n
n,
u
1 n
n
v Giả sử un với n n0N*, chuỗi
1 n
n
v hội tụ chuỗi
1 n
n
u hội tụ, chuỗi
1 n
n
u phân kỳ chuỗi
1 n
n
v phân kỳ
(2) Cho hai chuỗi số dương u ,
1 n
n
1 n
n
v Nếu tồn giới hạn hữu hạn k v u lim
n n
n hai chuỗi số đồng thời hội tụ đồng thời phân kỳ
(3) Giả sử hàm số f(x) hàm số dương, liên tục đơn điệu giảm [1,+), đồng thời
0 ) x ( f lim
x Khi đó, tích phân suy rộng
1
dx ) x (
f chuỗi số
1 n
n
u với un = f(n), đồng thời hội tụ
hoặc đồng thời phân kỳ
Ví dụ 5.1.4 Chuỗi số 1 n
n
3 n
1
hội tụ n n
3 3
1 n
1
với n chuỗi số
1 n
n
1 n
n
3
1
hội tụ theo Ví dụ 5.1.1 tương ứng với a = q = 1/3
Ví dụ 5.1.5 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số 11
1
1
Bài giải
Số hạng tổng quát chuỗi
1 n
1 un
So sánh chuỗi với chuỗi điều hịa có số hạng
tổng qt
n vn :
3 1 n
n lim v
u lim
n n n
n Do chuỗi cho phân kỳ chuỗi điều hòa phân kỳ
Các quy tắc khảo sát tính hội tụ chuỗi số Quy tắc D’Alembert Cho chuỗi số dương u
1 n
n
Nếu D
u u lim
n n
n
chuỗi
1 n
n
u hội tụ D
< 1, phân kỳ D > Còn D = 1, khẳng định chuỗi hội tụ hay phân kỳ mà phải dùng cách khác để khảo sát
Quy tắc Cauchy Cho chuỗi số dương u
1 n
n
Nếu limn u C
n
n chuỗi
1 n
n
u hội tụ C < 1,
phân kỳ C > Cịn C = 1, khơng thể khẳng định chuỗi hội tụ hay phân kỳ mà phải dùng cách khác để khảo sát
Ví dụ 5.1.6 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số (a) 1 n
10 n
n
, (b)
1 n
n
n
2
n 1
1
(64)(a) Áp dụng Quy tắc D’Alembert D n
1
2 lim )
1 n (
n lim u
u
lim 10
n 10 10
n n
1 n
n
Vì D > nên
chuỗi phân kỳ
(b) Áp dụng Quy tắc Cauchy C
2 e n 1 lim n 1 lim u
lim
n
n n
n n
n
n
Vì C > nên
chuỗi phân kỳ
Ví dụ 5.1.7 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số
1
1
1
1 2 2 2
Bài giải
Số hạng tổng quát chuỗi n 2
n
u , áp dụng Quy tắc D’Alembert
1
n 1
1 lim )
1 n (
n lim u
u lim
D 2
n 2
n n
1 n
n
không khẳng định chuối hội tụ hay phân kỳ
Bây ta áp dụng dấu hiệu so sánh với tích phân suy rộng: Từ f(n) n
1 un 2
1 b lim x lim x
dx lim x
dx dx
) x ( f x
1 ) x ( f
b b
1 b b
1 b
1
2
, suy tích phân suy
rộng hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ
5.1.3 Chuỗi số có số hạng với dấu
5.1.3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện Định lý Giả sử chuỗi số
1 n
n
u với số hạng có dấu Nếu chuỗi số
1 n
n
u hội tụ chuỗi số
1 n
n
u hội tụ Khi chuỗi số
1 n
n
u gọi hội tụ tuyệt đối
Trong trường hợp, chuỗi số 1 n
n
u hội tụ mà chuỗi số
1 n
n
u phân kỳ chuỗi số
1 n
n
u gọi hội tụ có điều kiện (hay bán hội tụ)
Chú ý Điều kiện chuỗi
1 n
n
u hội tụ điều kiện đủ để chuỗi
1 n
n
u hội tụ,
là điều kiện cần
Chú ý Nếu nhờ Quy tắc D’Alembert Quy tắc Cauchy mà biết chuỗi
1 n
n
u phân kỳ khẳng định chuỗi
1 n
n
u phân kỳ Thật vậy, limu limun
n n
n nên chuỗi
1 n
n
u phân kỳ
5.1.3.2 Chuỗi đan dấu
Chuỗi đan dấu chuỗi số ( 1) u u1 u2 u3 u4
1 n
n
n
(65)Dấu hiệu hội tụ chuỗi đan dấu (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy số dương u1, u2, …, un, … giảm dần limun
n chuỗi số
1 n
n n
u )
( hội tụ có tổng n 1
n
n
n n
u S lim u ) (
S
|Rn| < un+1,
n
1 k
k k
n ( 1) u
S tổng riêng thứ n chuỗi số
1 n k
k k n
n S S ( 1) u
R
phần dư thứ n chuỗi số
Ví dụ 5.1.8 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số
4
3
2
2
2
Bài giải
Chuỗi cho chuỗi đan dấu có số hạng tổng quát
1 n
n
un 2
2 u1 ,
2
1
2
u2 2
,
3
1
3
u3 2
,
4
1
4
u4 2
, … nên u1 > u2 > u3 > u4 > … nên
điều kiện thứ Dấu hiệu Leibniz thỏa mãn Mặt khác
n n
1 lim n
n lim u lim
n n n
n
nên
điều kiện thứ hai Dấu hiệu Leibniz thỏa mãn Do theo Dấu hiệu Leibniz chuỗi hội tụ Ví dụ 5.1.9 Xét chuỗi đan dấu
1 n
1 n
n )
( , ta có
4
1 hay u1 u2 u3
0 n lim u lim
n n
n nên chuỗi
1 n
1 n
n )
( hội tụ theo Dấu hiệu Leibniz, chuỗi
1 n
n
1 n
n n
1 )
( chuỗi điều hịa nên phân kỳ Do đó, chuỗi số
1 n
1 n
n )
( chuỗi số hội tụ có điều kiện
5.2 Chuỗi hàm
5.2.1 Định nghĩa
Chuỗi
1 n
n n
3
1(x) u (x) u (x) u (x) u (x)
u , số hạng chuỗi hàm
số x, gọi chuỗi hàm
Tập hợp giá trị x mà hàm un(x) với n xác định chuỗi 1 n
n(x)
u hội tụ, gọi miền hội tụ chuỗi hàm ký hiệu X Mỗi giá trị miền hội tụ X tương ứng với giá trị xác định giới hạn limSn(x)
n với
n
1 k
n n(x) u (x)
S gọi tổng riêng thứ n chuỗi hàm Như vậy, giới hạnlimSn(x)
n hàm số x, ký hiệu S(x), gọi tổng chuỗi hàm
, ) x ( u )
x ( S ) x ( u ) x ( R
1 n k
k n
1 n
n
n
gọi phần dư thứ n chuỗi hàm
Chuỗi hàm 1 n
n(x)
u miền hội tụ X, gọi hội tụ miền X với > bé tùy ý cho trước, mà tìm số n0N* để với n n0 |Rn(x)| < với xX
Ví dụ 5.2.1 Cho chuỗi hàm 1 n
n(x)
u với
2 x
x n
1 ) x ( u
n
n
Xét hội tụ của chuỗi
(66)Bài giải Tại x =
1 n
2
0
0 n
1 ) ( u
n n
n
, chuỗi hàm
1 n
n(x)
u trở thành
chuỗi số
1 n
n
1 n
n
1 n
2 )
0 (
u Ta có
2n 1
1 n lim n
2 ) n (
2 lim ) ( u
) ( u lim
n n
n
n n
1 n n
, D 2
0
n lim
n lim
n
n lim
n n
n
theo Quy tắc D’Alembert chuỗi
1 n
n
1 n
2
phân kỳ
Tại x =
) n (
1
1
1 n
1 ) (
u n
n
n
, chuỗi hàm
1 n
n(x)
u trở thành chuỗi
số
1 n
n
n n
) n (
1 )
1 (
u Ta có
2n 1
1 n lim ) n (
1
) n (
1 lim
) ( u
) ( u lim
n n
1 n n n
1 n n
, D
0
n lim
n lim
n
n lim
n n
n
theo Quy tắc D’Alembert chuỗi
1
n n
) n (
1
hội
tụ
5.2.2 Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi hàm
1 n
n(x)
u miền hội tụ X, hội tụ miền X với > bé tùy ý cho trước, tìm số n0N* cho p > q n0
p
1 q k
k q
p(x) S (x) u (x)
S với xX
Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu hàm số u1(x), u2(x), u3(x), …, un(x), … miền X có giá trị tuyệt đối khơng vượt số dương a1, a2, a3, …, an, … tương ứng, đồng thời chuỗi số
1 n
n
a hội
tụ chuỗi hàm 1 n
n(x)
u hội tụ miền X
Cần lưu ý rằng, Tiêu chuẩn Weierstrass điều kiện đủ để chuỗi hàm hội tụ miền X
Ví dụ 5.2.2 Chứng minh chuỗi hàm 1 n
n(x)
u với
n n
nx sin ) x ( u
n
n hội tụ tuyệt đối R = (-,+)
Bài giải Hiển nhiên 32 n
n
n a
n n n
1 n
n nx sin ) x (
u với n với xR Ta biết
chuỗi số
1 n
p
n
n n
n n
1
a với
2
p chuỗi hội tụ, chuỗi dương
1 n
n
n n
nx sin
hội tụ
nên chuỗi 1 n
n
n n
nx sin
hội tụ, đồng thời hội tụ tuyệt đối; theo Tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi
1 n
n
n n
nx sin
hội tụ R
(67)(1) Nếu số hạng un(x) chuỗi hàm 1 n
n(x)
u hàm liên tục miền X, đồng thời
chuỗi hàm
1 n
n(x)
u hội tụ miền X tổng S(x) chuỗi hàm hàm liên tục miền X
(2) Nếu số hạng un(x) chuỗi hàm 1 n
n(x)
u hàm liên tục miền X, đồng thời chuỗi hàm
1 n
n(x)
u hội tụ miền X có tổng S(x) chuỗi
b
a n n
n b
a
n(x)dx u (x) dx
u hội tụ có tổng
b
a
dx ) x (
S với [a,b]X, tức
là
b
a b
a n1 n
n b
a
n(x)dx u (x) dx S(x)dx
u với [a,b]X
(3) Nếu hàm số un(x) với n xác định, khả vi miền X chuỗi hàm
1 n
' n(x)
u hội tụ miền X tổng S’(x), với S(x) tổng chuỗi hàm
1 n
n(x)
u , tức u (x) u (x) S'(x)
,
1 n
n
n '
n
trong miền X
5.2.4 Chuỗi lũy thừa 5.2.4.1 Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm có dạng a a (x a) a (x a) a (x a) ,
0 n
n n
n n
1
0
đó a, a0, a1, …, an, … số thực
5.2.4.2 Định lý Abel (tính chất chuỗi lũy thừa) Nếu chuỗi lũy thừa
0 n
n n(x a)
a hội tụ x = x0 hội tụ, đồng thời hội tụ tuyệt x
thỏa mãn bất đẳng thức |x – a| < |x – x0|
Nhận xét Khơng tính tổng qt, ta nghiên cứu chuỗi lũy thừa dạng
0 n
n nt
a sau
thay t = x – a; ngược lại, nghiên cứu chuỗi lũy thừa dạng
0 n
n n(x a)
a sau thay a = Hệ Mọi chuỗi lũy thừa có khoảng hội tụ (-R, R) có tâm điểm a: |x – a| < R hay a
– R < x < a + R, bên khoảng chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối, cịn ngồi khoảng chuỗi phân kỳ Tại đầu mút khoảng hội tụ (x = a R) tính chất hội tụ/hội tụ tuyệt đối/hội tụ có điều kiện/phân kỳ tùy theo chuỗi lũy thừa cụ thể, mà để khẳng định được, cần phải khảo sát trực tiếp chuỗi tương ứng với giá trị x hai đầu mút khoảng hội tụ
Số R nửa độ dài khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Trong trường hợp đặc biệt, bán kính hội tụ R vơ hạn; R = chuỗi lũy thừa hội tụ điểm x = a, cịn R = + chuỗi lũy thừa hội tụ toàn trục số thực R
(68)hàm chuỗi lũy thừa dạng chuỗi hàm Để tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa, ta tìm bán kính hội tụ, sau khảo sát trực tiếp hội tụ chuỗi hai đầu mút khoảng hội tụ
5.2.4.3 Quy tắc tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa
Nếu
n n
n a
a
lim
n n
n a
lim bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa
0 n
n nx
a xác
định sau:
0
khi
0
R
Ví dụ 5.2.3 Khảo sát hội tụ chuỗi lũy thừa 1!(x5)2!(x5)2 3!(x5)3
Bài giải Đặt t = x – 5, số hạng tổng quát chuỗi lũy thừa n n n n
n(x) n!(x 5) n!t a t
u
với an n!
Ta có
n! lim(n 1)
)! n ( lim a
a lim
n n
n n
n nên bán kính hội tụ chuỗi R = 0,
chuỗi hội tụ t = x – = 0, tức chuỗi hội tụ x = Ví dụ 5.2.4 Khảo sát hội tụ chuỗi lũy thừa
1 n
n nx
a với
! n
1 an
Bài giải
Ta có
n
1 lim )! n (
! n lim ! n
1 )! n (
1 lim a
a lim
n n
n n
1 n
n
nên bán kính hội tụ chuỗi
là R = +, chuỗi hội tụ với giá trị x(-,+) Chú ý Nếu chuỗi lũy thừa viết dạng
0 n
n(x)
u với un(x)anxn theo Quy tắc D’Alembert Quy tắc Cauchy, ta tìm khoảng hội tụ theo bất đẳng thức
1 ) x ( u
) x ( u lim D
n n
n
theo bất đẳng thức C lim u (x) n
n
n
Ví dụ 5.2.5 Khảo sát hội tụ chuỗi lũy thừa x x x
3
Bài giải Số hạng tổng quát chuỗi lũy thừa n n n
n a x
n x ) x (
u với
n an
Cách 1
n lim
1
n 1
1 lim n
n lim n 1 n
1 lim a
a lim
n n
n n
n n
n
nên bán kính hội tụ
của chuỗi R 1
, chuỗi hội tụ với giá trị x thỏa mãn bất đẳng thức -1 < x <
Tại x = -1, chuỗi trở thành chuỗi đan dấu
1
hội tụ theo Dấu hiệu Leibniz;
còn x = 1, chuỗi trở thành chuỗi điều hòa
1 chuỗi phân kỳ
(69)Cách Ta có
n 1
1 lim x n
n lim x n
n x lim n x n
x lim ) x ( u
) x ( u lim D
n n
n n n
n n
1 n n
x
n lim
1 x
n
Từ suy ra, để chuỗi hội tụ D phải nhỏ 1, tức D11x1 Do
đó khoảng hội tụ chuỗi 1x1
Tại hai đầu mút, xét tương tự Cách Cuối cùng, tìm miền hội tụ chuỗi -1 x < -1 hay [ 1,-1)
Ví dụ 5.2.6 Khảo sát hội tụ chuỗi lũy thừa
) x (
) x ( ) x
( 2
3
2
Bài giải Số hạng tổng quát chuỗi lũy thừa n n
2 n
n a (x 2)
n ) x ( ) x (
u với n 2
n
a ,
nếu đặt t = x – chuỗi trở thành
1 n
n n
n
n
n(x 2) a t
a với n 2
n
a
Cách 1
n lim
1
n 1
1 lim ) n (
n lim n
1 ) n (
1 lim a
a lim
2 n
n 2
n 2 n
n n
n
nên bán kính
hội tụ chuỗi R 1
, chuỗi hội tụ với giá trị t thỏa mãn bất đẳng thức -1 < t < -1 < x - < < x <
Tại x = 3, chuỗi trở thành
1
1
1
1 2 2 2 chuỗi hội tụ chuỗi
1
1
1
1 p p p hội tụ p > 1; x = 1, chuỗi trở thành chuỗi đan dấu
5
1
1
1
1 2 2 2 2
hội tụ tuyệt đối
Vậy miền hội tụ chuỗi x hay [1,3]
Cách Ta có
2
n
n
2 n
n n
1 n
n (n 1)
n x lim n
) x ( ) n (
) x ( lim D ) x ( u
) x ( u lim D
2 x
n lim
1
x
n 1
1 lim x ) n (
n lim
x 2
n
n
2
n
Từ suy ra, để chuỗi hội
tụ D phải nhỏ 1, tức D1 x2 11x211x3 Do khoảng hội tụ chuỗi 1x3
Tại hai đầu mút, xét tương tự Cách Cuối cùng, tìm miền hội tụ chuỗi x hay [1,3]
5.2.4.4 Tính chất chuỗi lũy thừa (1) Chuỗi lũy thừa
0 n
n nx
a hội tụ đoạn [a,b] nằm khoảng hội tụ
(2) Tổng S(x) chuỗi lũy thừa 0 n
n nx
(70)(3) Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi lũy thừa 0 n
n nx
a đoạn [a,b] nằm
khoảng hội tụ nó: a x dx a x dx
0 n
b
a n n b
a n n
n
Đặc biệt, với x(-R,R) thì
0 n
1 n n
0 n
x
0 n n x
0 n n
n x
1 n
a dt
t a dt
t
a chuỗi chuỗi
lũy thừa có khoảng hội tụ (-R,R) Như vậy,
0 n
n nx
a ) x (
S x
1 n
a dt
) t ( S
0 n
1 n n x
0
(4) Có thể tính đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa 0 n
n nx
a điểm x thuộc khoảng
hội tụ nó:
0 n
1 n n
n
, n n ,
0 n
n
nx a x na x
a chuỗi chuỗi lũy thừa có khoảng hội
tụ (-R,R) Như vậy,
0 n
n nx
a ) x (
S S'(x) na x
0 n
1 n n
Chú ý Có thể lấy tích phân tính đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa vô số lần khoảng hội tụ
Ví dụ 5.2.7 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
0 n
n
x ) n
( tính tổng S(x) chuỗi
miền hội tụ
Bài giải Ta viết chuỗi cho dạng 0 n
n nx
a với an = n +
Ta có
0
0
n lim
n lim
n 1
n lim n
2 n lim
n ) n ( lim a
a lim
n n n
n n
n n
n
, bán
kính hội tụ chuỗi R 1
, nên khoảng hội tụ chuỗi -1 < x<
Tại x = -1 chuỗi lũy thừa 0 n
n nx
a trở thành chuỗi đan dấu
0 n
n n
a )
( với an = n + 1, chuỗi
phân kỳ
a lim(n 1)
lim
n n
n , tức vi phạm điều kiện cần chuỗi hội tụ; x = chuỗi lũy thừa
0 n
n nx
a trở thành chuỗi số
0 n
n
a với an = n + chuỗi phân kỳ
a lim(n 1)
lim
n n
n , tức vi phạm điều kiện cần chuỗi hội tụ Như vậy, miền hội tụ chuỗi cho -1 < x < hay (-1,1) Để tính tổng
0 n
n
x ) n ( ) x (
S miền hội tụ (-1,1) ta tích phân từ đến x hai vế đẳng
thức trên:
x
1 x
0 x
x lim
x
x lim x lim x
dt t ) n ( dt ) t ( S
n n n
n n
1 k
k n
1 n
n
0 n
x
0 n x
0
0 x lim n
n -1 < x < Do
, ,
x
0 (1 x)
1 x
1 dt
) t ( S ) x ( S
miền hội tụ (-1,1)
(71)Ví dụ 5.2.8 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1 n
n
n x
và tính tổng S(x) chuỗi miền hội tụ
Bài giải Ta viết chuỗi cho dạng 0 n
n nx
a với
n an
Ta có
0
1
n lim
1
n 1
1 lim n
n lim n 1 n
1 lim a
a lim
n n
n n
n n
n
, bán kính
hội tụ chuỗi 1 n
n
n x
R 1
, nên khoảng hội tụ chuỗi -1 < x<
Tại x = -1: Chuỗi lũy thừa 1 n
n
n x
trở thành chuỗi đan dấu
1 n
n
n ) (
hội tụ theo Dấu hiệu Leibniz,
còn x = 1: Chuỗi lũy thừa 1 n
n
n x
trở thành chuỗi điều hòa
1 n n
1
là chuỗi phân kỳ
Như vậy, miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1 n
n
n x
là -1 x < hay [-1,1)
Để tính tổng
1 n
n
n x )
x (
S miền hội tụ [-1,1) ta đạo hàm hai vế đẳng thức trên:
x
1 x
0 x
x lim
x
x lim x lim x n
x )
x ( ' S
n n n
n n
0 k
k n
0 n
n
1 n
, n
limxn
n -1 x <
x
1 ln ) x ln( t
1 ln t
dt dt
) t ( ' S ) x (
S x
0 x
0 x
0
miền hội tụ [-1,1) chuỗi
5.2.4.5 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa
Mọi hàm số f(x) khả vi vô hạn lần khoảng |x – a| < R a – R < x < a + R khai triển thành chuỗi lũy thừa vô hạn dạng Taylor khoảng hội tụ tới nó:
0 n
n )
n (
) a x ( ! n
) a ( f ) x (
f khoảng thỏa mãn điều kiện
, ) a x ( )! n (
) c ( f lim ) x ( R
lim n
) n (
n n
n
Rn(x) phần dư cơng thức Taylor, c = a + (x – a) < < Khi a = 0, chuỗi nhận chuỗi Mac Laurin
0 n
n ) n (
x ! n
) ( f ) x ( f
Nếu khoảng chứa điểm a, với n thỏa mãn bất đẳng thức |f(n)(x)| < M, M số dương, limRn(x)
n hàm số f(x) khai triển thành chuỗi Taylor Ví dụ 5.2.9 Khai triển hàm f(x) = sin2x thành chuỗi lũy thừa theo x
Bài giải Ta thấy f’(x) = 2sinxcosx = sin2x ) n ( x sin ) x (
(72)
1 k n
k n
) (
) n ( sin 2 ) n ( sin ) ( f
1 k k
n
n )
n (
và
2 n c sin ) c (
f(n 1) n Nên phần dư
2 n c sin )! n (
) x ( x )! n (
2 n c sin ) x ( R
1 n
n n
n
Vì
)! n (
) x ( lim
1 n
n
với x, 2
n c
sin
limRn(x)
n Như vậy, khai triển hàm f(x) = sin2x dạng chuỗi Taylor sau đây:
x ! x ! x ! x !
2 x sin ) x (
f
7
2
(- < x < +)
Nhận xét Qua ví dụ ta thấy, việc sử dụng trực tiếp công thức Taylor để khai triển hàm
số thành chuỗi lũy thừa, việc tính tốn cồng kềnh việc chứng minh limRn(x)
n đơn giản Trong nhiều trường hợp, người ta thường sử dụng khai triển dạng công thức Mac Laurin số hàm sơ cấp sau để khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa:
! n x ! x ! x e
n
x
(- < x < +)
)! n (
x ) ( ! x ! x x x sin
1 n n
3
(- < x < +)
)! n (
x ) ( ! x ! x x cos
n n
2
(- < x < +)
) n (
x ) ( x x x x arctan
1 n n
3
(-1 x 1)
n x ) ( x x ) x ln(
n n
(-1 < x 1)
x x x x
1 2 n
(-1 < x < 1)
x !
3 ) )( ( x !
) ( x ! 1 ) x
( 2 3 , khai triển cuối đúng: + n -1 x
+ -1 < n < -1 < x + n -1 -1 < x <
Chẳng hạn, Ví dụ 5.2.9 trên, ta thực sau: Ta biến đổi
x cos 2 x sin ) x (
f thay cos2x khai triển thành chuỗi lũy thừa hàm số
)! n (
t ) ( ! t ! t t cos
n n
2
(- < x < +) với t = 2x ta
)! n (
) x ( ) ( !
) x ( !
) x ( x cos
n n
2
Sau thay khai triển vào biểu thức
x cos 2 x sin ) x (
f nhận kết giống kết nhận
x ! x ! x ! x !
2 x sin ) x (
f
7
2
(- < x < +)
(73)Bài giải
Thay x –x vào khai triển biết x
!
) )( ( x !
) ( x ! 1 ) x
( 2 3 ta
nhận x
!
) )( ( x !
) ( x ! 1 ) x
( 2 3
5.2.5 Chuỗi Fourier (Tự đọc học liệu bắt buộc [1]) BÀI TẬP
5.1 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số
(a)
2
5
3
4
2
(b)
9
3
2
1
(c)
15 11
4
3
2 4
(d)
4
1
1
1
(e)
7
1
1
1
(f)
9
1
1
1
(g)
24 12
1 3
2
(h)
3
5 3
3 3
1
(i)0,60,510,5010,5001 (k) ! 10 ! 10 !
10
(l)1,11,011,0011,0001 (m)1111
5.2 Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ chuỗi số (a)
1 n
n
1 10
n
(b)
1 n
n
1
1
(c)
1 n
n
3
1
(d)
1 n
2
) n ( n
1 n
(e)
1 n
2 n
n
) (
4
(f)
1 n
p
n
với p < (g)
1 n
1 n
m m
với m > 5.3 Áp dụng dấu hiệu so sánh (1) để xét hội tụ chuỗi số
(a)
5 ln
1 ln
1 ln
1 ln
1
(b)
1 n
n n
1
2
5.4 Áp dụng dấu hiệu so sánh (2) để xét hội tụ chuỗi số
(a)
1
1
1
1
3
2
(b)
1
4
3
3
2
2
1
1
5.5 Áp dụng dấu hiệu so sánh (3) để xét hội tụ chuỗi số
(a)
29 ln 29
1 19
ln 19
1 ln
1
(b)
1 n
p
n
với p >
5.6 Áp dụng Quy tắc D’Alembert Quy tắc Cauchy để xét hội tụ chuỗi số (a)
1 n
n
2
1 n n
1 n n
(b)32,122,0132,0014
(c)
11 10 11 10 11 10 11
10
4
3
2
(d)
4 10 11
1 10 11
1 10 11 10 11
5
5
5
5.7 Nghiên cứu hội tụ xác lập đặc tính hội tụ (hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện) chuỗi đan dấu sau
(a)
11 10
1
(b)1,11,021,0031,0004 (c)
1 n
2 n
1 n n
(74)5.8 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
1 n
n
x
1
5.9 Chứng minh rằng, chuỗi lũy thừa
1 n
n
x hội tụ không (-1,1)
5.10 Chứng minh rằng, chuỗi hàm
1 n
2 n
n nx sin
hội tụ tuyệt đối R = (-,+)
5.11 Chứng minh rằng, chuỗi lũy thừa
1 n
n
n n
x
hội tụ tuyệt đối đoạn [-1,1] 5.12 Nghiên cứu hội tụ chuỗi:
(a)
1 n
n
! n x
(b)
7 x 16 x x x
20 15
10
5
(c)
1 n
n n
) x ( n
1 n
(d)
1 n
n ) n ( n
n ) x (
(e)
1 n
2 ) n ( n
! n x
5.13 Tìm tổng chuỗi:
(a)
a x a
x a
x a
4
3
2
với a > (b)
a
x a
x a x
3
2
với a >
(c)
a x a
x a
2
4
3
2 với a > (d) 2x 4x 6x 8x
3
5.14 Khai triển hàm f(x) thành chuỗi lũy thừa
(a) f(x)ex2theo lũy thừa x (b) f(x) = lnx theo lũy thừa (x – 1) (c)
x ) x (