Đang tải... (xem toàn văn)
Miền xác định của hàm số đang xét là R 2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi. x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D.[r]
(1)1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án Thang điểm
***** ĐỀ THI GIỮA KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH
(Học kỳ II năm học 2016-2017)
Câu 1.(1,25đ)Khảo sát tính liên tục điểm O(0,0) hàm số
) , ( ) y , x ( c
) , ( ) y , x ( y x
y x ) y , x (
f 2
3
c tham số
Bài giải
Miền xác định hàm số f(x,y) xét D = R2.(0,25đ)
Ta có
2 23 32 2 23 2 23 2 23 2
y x
x sin y y
x y sin x y
x
x sin y y
x y sin x y
x
x sin y y sin x ) y , x ( f
0
2
3
2
2
2
2
2
2 2
y x
y y
x x y x
y y x
x x
sin y x
y y
sin y x
x y
x x sin y y x
y sin x
0 y x y y x x
2 3
(0,25đ) (x,y) nên theo nguyên lý kẹp
0 y
x
x sin y y sin x lim )
y , x ( f
lim 2 2
3
) , ( ) y , x ( )
0 , ( ) y , x
(
(0,25đ)
Do đó, d = f(0,0) = f(x,y) f(0,0) lim
) , ( ) y , x
( hàm số f(x,y) xét liên tục
điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, d f(0,0) = d tức f(x,y) f(0,0) lim
) , ( ) y , x
( hàm số f(x,y)
đang xét không liên tục điểm (0,0).(0,25đ)
Câu 2.(1,5đ) Cho hàm số
y b sin x a sin ) by ax ( ) y , x (
f
2.1 Tìm miền xác định D hàm số f(x,y); 2.2 Tìm lim f(x,y) ) , ( ) y , x
(
Bài giải
2.1 Hàm số
y b sin x a sin ) by ax ( ) y , x (
f xác định
0 y
0 x
miền xác định hàm số D = {(x,y)R2x 0}{(x,y)R2y 0}, tức tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy không nằm trục tọa độ Ox, Oy.(0,5đ)
2.2 Ta có axby.1.1
y b sin x a sin by ax y b sin x a sin ) by ax ( ) y , x ( f
0 y b x a by
ax (x,y) (0,0) nên theo nguyên lý kẹp
y b sin x a sin ) by ax ( lim )
y , x ( f lim
) , ( ) y , x ( )
0 , ( ) y , x
( (1,0đ)
Câu 3.(0,75đ) Chứng minh hàm số
x z arctan z
y arctan y
x arctan )
z , y , x (
f thỏa mãn phương
trình Laplace
z ) z , y , x ( f y
) z , y , x ( f x
) z , y , x ( f
2 2
2
2
không gian R3
Bài giải
Ta có 2 2 2 2 2 2 2
z x
z y
x y x
z
x z
1 y
1
y x
1 x
) z , y , x ( f
(2)2
2 2 2
2
) z x (
xz )
y x (
xy x
) z , y , x ( f
(0,5đ), tương tự ta có
2 2 2 2
2
) x y (
yx )
z y (
yz y
) z , y , x ( f
2 2 2 2 2 2 2
2
) y z (
zy )
x z (
zx z
) z , y , x ( f
0 z
) z , y , x ( f y
) z , y , x ( f x
) z , y , x ( f
2 2
2
2
(0,25đ)
Câu 4.(1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2 Tính gradf(x,y,z)
l ) z , y , x ( f
điểm M0(1,-1,1), biết
rằngl xác định véc tơ M0M1với M1(-1,0,-1)
Bài giải
+ Ta có
2 ) ( z
) , , ( f
2 ) ( y
) , , ( f
2 ) ( x
) , , ( f
z y x z
) z , y , x ( f
yz x y
) z , y , x ( f
z xy x
) z , y , x ( f
2
2
2
2
2
2
(0,25đ)
k 2i j 2k
z ) , , ( f j y
) , , ( f i x
) , , ( f ) , , (
gradf (0,25đ)
+ Ta có M0M1(11)i(01) j(11)k2i j2k M0M1 (2)212(2)2 3
do cosin phương véc tơ l ,
cos ,
3 cos
3
cos (0,5đ)
+ Suy
2i j 2k cos i cos j cos k l
) , , ( f
3 k j i k j i
2
(0,25đ)
Câu 5.(2,0đ) Khảo sát cực trị hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y +
Bài giải
Miền xác định hàm số f(x,y) xét D = R2
- Ta có
) y y x x ( 36 y 30 y 12 x 24 x y
) y , x ( f
) y )( x ( 12 x y xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x
) y , x ( f
2
2
Suy hệ phương trình để xác định điểm dừng (nếu có) hàm số xét
0 y y x x
0 ) y )( x ( ) y y x x (
0 ) y )( x ( 12
y ) y , x ( f
0 x
) y , x ( f
2
2
(3)3
3 x
1 x
1 y
2 y
2 y
2 x
0 x x
1 y
0 y y
2 x
0 y y x x
0 y
0 y y x x
0 x
2
2
2
(0,25đ)
Như vậy, hàm số xét có điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1)
- Ta có
) y ( y
) y , x ( f ) y , x ( C ) y ( 30 y 24 y
) y , x ( f
) x ( 12 y x
) y , x ( f ) y , x ( B ) x ( 12 24 x 12 y x
) y , x ( f
) y ( 12 x
) y , x ( f ) y , x ( A y 12 12 y 12 x
) y , x ( f
2 2
2
2
2 2
2
2(x 2) (y 1)(4y 5)
72 ) y ( ) y ( 12 ) x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x ( B ) y , x
( 2 2
(0,5đ)
+ Tại điểm dừng M1(2,2) ta có
0 12 ) , ( A
0 216 )
2 , (
nên điểm cực tiểu giá trị cực tiểu fct = f(2,2) = 21.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M2(2,12) ta có
0 ) , ( A
0 108 )
2 , (
nên điểm cực đại giá trị cực đại fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên khơng phải điểm cực trị.(0,25đ) + Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên khơng phải điểm cực trị.(0,25đ)
Câu 6.(1,5đ) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x,y) = x2 + y2 – xy – 4x miền đóng D tam giác giới hạn đường thẳng x = 0, y = 2x + 3y = 12
Bài giải
Miền xác định hàm số xét R2 hiển nhiên hàm số f(x,y) xét liên tục với
x, y miền xác định nó, nên hàm số đạt GTLN GTNN miền đóng D
Ta có hệ phương trình
0 x y y
) y , x ( f
0 y x x
) y , x ( f
(0,25đ) để xác định điểm dừng Hệ phương
trình có nghiệm
3 y
3 x
, tức có điểm dừng (8/3,4/3) điểm miền D
giá trị hàm số f(x,y) điểm
3 16
4 ,
f
.(0,25đ)
Bây ta xét giá trị hàm số f(x,y) biên miền D:
- Trên đường x = f(0,y) = y2 với y nên fmin = f(0,0) = fmax = f(0,4) = 16.(0,25đ)
- Trên đường y = f(x,0) = x2 – 4x với x nên fmin = f(2,0) = -4 fmax = f(6,0) = 12
(4)4 - Trên đường 2x + 3y = 12 x 16
3 40 x 19 ) y , x (
f với x nên
19 96 19
36 , 19 60 f
fmin
fmax = f(6,0) = 12.(0,5đ)
So sánh giá trị hàm f(x,y) tìm ta nhận
3 16 ) f (
GTNN điểm
3 ,
và GTLN(f) = 16 điểm (0,4).(0,25đ)
Câu 7.(1,75đ)Tìm cực trị hàm số
y x ) y , x (
f với điều kiện
2 y
1 x
1
2
Bài giải
Ta có
2 y
1 x
1 ) y , x ( y
1 x
1 y
1 x
1
2 2
2
2
Lập hàm
2 y
1 x
1 y
1 x ) y , x ( ) y , x ( f ) , y , x (
L 2 2 (0,25đ)
2 y
1 x
1 ) , y , x ( L
y y
1 y
) , y , x ( L
x x
1 x
) , y , x ( L
2
3
3
,(0,25đ) ta hệ phương trình xác định điểm dừng
1 y x
0 y
1 x
1
0 y y
1
0 x x
1
1 1
2
3
3
1 y x
2 2
.(0,25đ)
Tại 1 1 ta có
4 y
2 , f C
0 y x
2 , f B
4 x
2 , f A
y y
) y , x ( f
0 y x
) y , x ( f
x x
) y , x ( f
y y
) y , x ( f
x x
) y , x ( f
2 2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
dy dx Cdy Bdxdy Adx ) , ( f
d
(5)5 dx dy dy dx ) , ( d dy y
2 dx x
2 ) y , x ( d y
1 x
1 ) y , x
( 2 2 3 3
0 dx ) , ( f
d2
, tức dạng toàn phương d2f(x
0,y0) xác định âm, hàm số
y x ) y , x (
f đạt cực đại điểm (2,2) giá trị cực đại fmax f 2,2 1.(0,25đ)
Tại 2 1 ta có
4 y
2 , f C
0 y
x , f B
4 x
2 , f A
y y
) y , x ( f
0 y x
) y , x ( f
x x
) y , x ( f
y y
) y , x ( f
x x
) y , x ( f
2 2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
dy dx Cdy Bdxdy Adx ) , ( f
d
(0,25đ) Mặt khác ta có
dx dy dy dx ) , ( d dy y
2 dx x
2 ) y , x ( d y
1 x
1 ) y , x
( 2 2 3 3
0 dx ) , ( f
d2
, tức dạng toàn phương d2f(x
0,y0) xác định dương, hàm số
y x ) y , x (