TÍNH góc GIỮA ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP sử DỤNG mô HÌNH cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MƠ HÌNH CƠ BẢN Người thực hiện: Nguyễn Hữu Thận Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANHMỤC HỐLỤC NĂM 2021 Mục lục Nội dung Mục lục 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng 2.1.2 Kiến thức liên quan đến chun đề ……………………… 2.1.3 Mơ hình ……………………………………… 2.1.3.1 Mơ hình 1…………………………………… 2.1.3.2 Mơ hình 2…………………………………… 2.1.3.3 Mơ hình 3…………………………………… 2.2 Cơ sở thực tiễn ……………………………………………… 2.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng phương pháp sử dụng mơ hình bản: 2.3.1 Dạng 1: Sử dụng mơ hình 2.3.2 Dạng 2: Sử dụng mơ hình 2.3.3 Dạng 3: Sử dụng mơ hình 2.3.4 Bài tập vận dụng………………… 2.3 Kiểm chứng , so sánh KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………… 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu kham khảo Trang 2 2 3 3 5 6 6 11 12 12 12 13 14 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Góc đường thẳng mặt phẳng toán thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia Rèn luyện cho học sinh có kỹ tính góc nhanh chóng, hiệu mục tiêu vơ quan trọng Trong q trình dạy học hình học khơng gian nói chung dạy tập tính góc đường thẳng mặt phẳng chương trình tốn 11 nói riêng học sinh thường lung túng, dễ nhầm lẫn thời gian xác định góc đường thẳng mặt phẳng Vì vậy, để giúp em xác định tính góc nhanh hơn, hiệu hơn, sáng tạo phương pháp “Tính góc đường thẳng mặt phẳng phương pháp sử dụng mơ hình bản” Đây đề tài tơi chọn để viết sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy mơn hình học khơng gian bậc THPT nhận thấy đa số học sinh thiếu tự tin giải tốn hình khơng gian nói chung tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng nói riêng Hầu hết em theo lối mịn tư duy: nghiên cứu tính chất hình – định hướng phương pháp - xác định góc (có thể phải dựng hình) – tính góc Trong đó, khâu yếu em dựng hình, xác định góc cần tính Điều làm nhiều thời gian; dẫn đến thời gian làm không đảm bảo tham gia kì thi có nội dung Chính vậy, đề tài tơi nghiên cứu, thử nghiệm áp dụng nhằm đưa giải pháp để: - Mọi đối tượng học sinh hứng thú, dễ áp dụng - Giảm thời gian làm ( tăng tốc độ làm ), hiệu làm cao - Phù hợp với xu thi trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp dành cho đối tượng học sinh: - Học sinh lớp 11 12 - Học sinh ôn thi học sinh giỏi khối 11 12 - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp phân tích giải vấn đề - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lí thuyết NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Kí hiệu: ( d, (P) ) góc d (P) - Nếu d ⊥ (P) ( d, (P) ) = 90 - Nếu d khơng vng góc với (P) ( d, (P) ) góc d hình chiếu d ' (P) d P Nhận xét : 0 - Với đường thẳng d (P) thì: ≤ ( d, (P) ) ≤ 90 d/ /(P) - Nếu  ( d, (P) ) = d ⊂ (P) 2.1.2 Kiến thức liên quan - Nếu d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) d ⊥ (α ) - Nếu d ⊥ (α ) đường thẳng d vng góc đường thẳng nằm (α ) - Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a ⊂ ( P ) ⇒ ( P) ⊥ ( Q)  a ⊥ ( Q ) - Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng - Cho (P) ⊥ (Q), A ∈ (Q) Nếu đường thẳng d qua A vng góc với (P) d ⊂ (Q) - Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với (R) giao tuyến (nếu có) (P) (Q) vng góc với (R) - Nếu AB / /(P) d ( A, ( P) ) = d ( B, ( P) ) A d ( A, ( P) ) AI - Nếu AB ∩ (P) = { I} d B, ( P) = BI ( ) B A B I P P 2.1.3 Mơ hình 2.1.3.1 Mơ hình 1: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC Gọi H, K hình chiếu S A lên SB SC Khi đó: a BC ⊥ (SAB) K b AH ⊥ ( SBC ) c SC ⊥ ( AHK ) Chứng minh: C a Do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC A H  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) Như   BC ⊥ SA B  AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ BC b Vì BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH Như   SC ⊥ AH ⇒ SC ⊥ ( AHK )  SC ⊥ AK c Vì AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC Như  2.1.3.2 Mơ hình (Phát triển mơ hình 1): Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, A D ⊥ D C Gọi B ', C ', D ' S hình chiếu A lên SB , SC SD Khi đó: a BC ⊥ (SAB) , CD ⊥ (SAD) b AB ' ⊥ ( SBC ), AD ' ⊥ ( SDC ) D' C' c Các điểm A, B ', C ', D ' đồng phẳng SC ⊥ ( AB ' C ' D ') B' Chứng minh: D A * Áp dụng mơ hình ta có - Từ hình chóp S ABC suy ra: B BC ⊥ (SAB) , AB ' ⊥ ( SBC ) , SC ⊥ ( AB ' C ') (1) - Từ hình chóp S ADC suy ra: CD ⊥ (SAD) , AD ' ⊥ ( SDC ) , SC ⊥ ( AC ' D ') C(2) Từ (1) (2) ý a ý b chứng minh * Vì SC ⊥ ( AB ' C ') SC ⊥ ( AC ' D ') nên ( AB ' C ') ≡ ( AD ' C ') => Các điểm A, B ', C ', D ' đồng phẳng SC ⊥ ( AB ' C ' D ') 2.1.3.3 Mơ hình 3: Cho hình chóp OABC có OA, OB, O C đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O lên ( ABC ) Khi đó: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC C Chứng minh: Gọi M = CH ∩ AB OC ⊥ OA OC ⊥ AB ⇒ OC ⊥ (OAB ) ⇒  OC ⊥ OB OC ⊥ OM - Do  N - Vì H hình chiếu O lên ( ABC ) nên: OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ AB  AB ⊥ OC ⇒ AB ⊥ (OCH ) ⇒ AB ⊥ OM  AB ⊥ OH Như  H B O A M - Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OCM : 1 = + 2 OH OC OM (1) - Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAB : 1 = + 2 OM OA OB (2) Từ (1) (2) suy ra: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC 2.2 Cơ sở thực tiễn: Trong trường THPT có nhiều đối tượng học sinh, cơng việc giảng dạy cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu vận dụng giải tốn khơng phải cơng việc đơn giản giáo viên Để giảng dạy nâng cao kết học tập học sinh trường THPT Hàm Rồng, thực nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ, tạo động lực, tạo phong trào thi đua, học sinh giúp đỡ học tập, nghiên cứu chun đề Trong khơng thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, từ đến nâng cao Với mục tiêu: đối tượng hứng thú, say mê phải đạt hiệu cao giải tốn 2.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng phương pháp sử dụng mơ hình bản: 2.3.1 Dạng 1: Sử dụng mơ hình Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân tại B , BA = BC = a , SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Gọi H hình chiếu A SC Tính tan góc hợp đường thẳng AH với mặt phẳng ( SBC ) A B C D Lời giải Chọn D S H A C K B Gọi K hình chiếu A đường thẳng SB Khi ta có: AK ⊥ ( SBC ) (theo tính chất mơ hình 1) Vậy HK hình chiếu HA mặt phẳng ( SBC ) nên ( AH ; ( SBC ) ) = ·AHK Xét tam giác vng AKH có: AS AB AS AB 2a 21 = = , SB AS + AB AS AC AS AC = a , AK = +) AH = SC = AS + AC +) AK = Vậy tan ( AH ; ( SBC ) ) = tan ·AHK = AH − AK = 3a AK = HK Bài 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông tại B , AC = 2a 5, AB = a , SA = 5a vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Gọi K hình chiếu A SB Tính tan góc hợp đường thẳng AK với mặt phẳng ( SAC ) A B C 15 D Lời giải Chọn C S Gọi H hình chiếu A lên SC Khi đó: theo tính chất mơ hình H  AK ⊥ ( SBC )  AK ⊥ KH ⇒  ( SAC ) ⊥ ( AHK )  SC ⊥ ( AHK ) Từ K kẻ IK ⊥ ( SAC ) , I ∈ ( SAC ) I ∈ AH · Suy ta: ( AK ; ( SAC ) ) = ( AK ; AI ) = KAI I C A K Xét tam giác vng AKI có: AK = AS AB = SB AS AB AS + AB = 5a , B AS AC Xét tam giác vng SAC có: AH = SC · · Vậy tan ( AK ; AI ) = tan KAI = tan KAH = = KH = AK AS AC AS + AC 2 = 10a , AH − AK 15 = AK 2.3.1 Dạng 2: Sử dụng mơ hình Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy SA = 2a Tính sin góc đường thẳng SB mặt phẳng (SCD) A 15 B 10 C D Chọn B S Gọi H, E hình chiếu A, B lên SD, (SCD) Do tam giác SAD vuông cân nên H trung điểm SD Áp dụng mơ hình ta được: AH ⊥ ( SCD) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH = SD = a 2 H Vì AB// (SCD) nên d ( B, ( SCD) ) = d ( A,( SCD) ) = a ⇒ Sin ( SB, ( SCD) ) = d ( B,( SCD) ) SB A BE a 10 = = = SB a 5 D E B C · Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân tại A, AB = a, BAC = 1200 , SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi H, K hình chiếu A lên SB, SC Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng (AHK) A 300 B 450 C 600 D 900 Chọn B S E K I H a a C A O B D Gọi AD đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi E hình chiếu A lên SD Khi đó: ·ABD = ·ACD = 900 Theo tính chất mơ hình 2, ta có: A, B, E, K đồng phẳng SD ⊥ (AHK) ) ( ( ) · · , AE = SDA · =α Do đó: SA, ( AHK ) = SA BC = AB + AC − AB.AC cos1200 ⇒ BC = a , AD = R = tan α = BC = 2a sin1200 SA = ⇒ α = 450 AD 2.3.1 Dạng 3: Sử dụng mơ hình Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Tính cosin góc đường thẳng SA mặt phẳng (SBC): A B 3 C D Chọn B 10 Gọi M trung điểm SC Khi góc SA mặt phẳng (SBC) góc OM mặt phẳng (SBC) OM = a a SA = , SO = SA2 − AO = 2 Gọi H hình chiếu O lên (SBC) Do OS, OB, OC đơi vng góc nên: 1 1 a = + + = ⇒ OH = 2 2 OH SO OB OC a OH Ta có sin ϕ = = ⇒ cosϕ = OM 3 Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng tại A B , AB = BC = a, AD = 2a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 300 Giá trị sin góc SB với mặt phẳng ( SCD ) A B C D Lời giải Chọn D S H 2a A D a B a C a E  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SB hình chiếu SC mặt phẳng ( SAB )  BC ⊥ SA Ta có:  ( ) ( ) · , ( SAB ) = SC · , SB = BSC · ⇒ SC Theo giả thiết ta có ·BSC = 300 11 Ta có: SB = BC a = = a ° tan ·BSC tan 30 SA2 = SB − AB = 3a − a = 2a ⇒ SA = a Gọi { E} = AB ∩ CD Vì AD = BC , AD / / BC nên B trung điểm AE Gọi H hình chiều A ( SCD) Áp dụng mơ hình ta có: 1 1 = + + = ⇒ AH = a ⇒ d ( A, (SCD) ) = a 2 2 AH AS AD AE a d ( A, ( SCD ) ) EA a = = ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = Ta có: d ( B, ( SCD ) ) EB Suy sin ( SB; ( SCD ) ) = d( B ;( SCD ) ) SB = d( B ;( SCD ) ) SA2 + AB = = 2.3.4 Bài tập vận dụng: Câu Cho hình chóp S ABC Đáy ABC tam giác có AB = 6a, BC = 7a, AC = 8a , SA = 5a SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Gọi K hình chiếu B SC Tính sin góc hợp đường thẳng BK với mặt phẳng ( SAC ) A 267 47 B 267 47 C 276 47 D 267 74 Câu Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi α , β , γ góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) Khi giá trị lớn biểu thức P = A ( tan tan α tan β tan γ α + 1) ( tan β + 1) ( tan γ + 1) 225 B B C 125 D 15 D 22 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB = 2a, BC = a , góc ·ABC 1200 , SD vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SD = a Tính cos góc tạo SB mặt phẳng ( SAC ) Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi I , N trung điểm SA , SI , M điểm nằm cạnh AB cho AM = 2MB Gọi α góc MN mặt phẳng ( IBD ) , giá trị sin α A C 12 226 226 D 113 226 Câu Cho tứ diện gần ABCD có AB = CD = 5, AC = BD = 34, AD = BC = 41 A 226 226 B 226 226 C Gọi M, G trung điểm AC trọng tâm tam giác BCD Tính sin góc α tạo MG với mặt phẳng (ABD) A 360 22301 B 1440 22301 C 10 23301 D 12 10 23301 2.4 Kiểm chứng- so sánh Năm học 2017 – 2018 tơi phân dạy mơn tốn lớp 11B1, 11B4; Năm học 2020 – 2021 phân dạy mơn tốn lớp 11C1, 11C2 trường THPT Hàm Rồng Kết kiểm tra lớp học sinh học xong phần kiến thức góc đường thẳng mặt phẳng, tơi thu kết sau: Nhóm 11B1 11B4 11C1 11C2 Sĩ số 42 38 53 45 Giỏi SL 15 12 21 17 TL% Khá SL 35,7% 31,6% 39,6% 37,8% 20 14 22 20 TL% Trung bình SL TL% Yếu SL TL% 47,6% 36,8% 41,5% 44,4% 12 10 0 0 0% 0% 0% 0% 16,7% 31,6% 18,9% 17,8% KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua năm giảng dạy, thấy khả tiếp thu vận dụng phương pháp để giải tập tính góc đường thẳng mặt phẳng mang lại kết đáng mừng + Số học sinh hiểu vận dụng giải tập có hiệu cao dần thể số lượng chất lượng học sinh có điểm thi vào trường Đại học tăng 13 + Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập tính góc đường thẳng mặt phẳng tiếp cận với phương pháp giải nêu sáng kiến kinh nghiệm + Học sinh tự chọn cho cách giải cách giải nêu sáng kiến kinh nghiệm 3.2 Kiến nghị Để vận dụng tốt, hiệu phương pháp tính góc đường thẳng mặt phẳng, giáo viên cần thường xuyên củng cố cho học sinh tính chất mơ hình Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh khối 11 học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn, tốt nghiệp THPT Đề tài phương pháp sáng tạo nên không tránh khỏi chủ quan, thiếu sót Vì tơi mong đóng góp ý kiến q báu Thầy Cơ, bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn! Xin chân thành cám ơn! Thanh Hoá, ngày 12 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Xác nhận Hiệu trưởng Người viết đề tài Nguyễn Hữu Thận 14 TÀI LỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập hình học lớp 11 Sách giáo khoa giáo viên Phân dạng phương pháp giải tốn hình học khơng gian lớp 11- Lê Hồnh Phị Một số số báo “ Tốn học tuổi trẻ” 15 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Nguyễn Hữu Thận Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – trường THPT Hàm Rồng Các sáng kiến kinh nghiệm HĐ cấp Sở GD&ĐT đánh giá từ loại C trở lên STT Tên SKKN Xếp loại PP giai bai toan so sánh nghiệm cua tt b2 với số B Định hướng giải mọt số toán hình học khơng gian B PP giai bai toan so sánh nghiệm cua tt b2 với số C (Phát triển bổ sung SKKN năm 2006) PP giải số dạng toán hhkg phần QHSS lớp 11 C Dạy học trình chiếu bảng với phần mềm B GEOMETRY SKETCHPAD Dùng máy tính casio fx570ES hỗ trợ giải phương C trình, bất phương trình hệ phương trình Năm học 2006 2009 2014 2015 2018 2019 16 ... Nếu d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) d ⊥ (α ) - Nếu d ⊥ (α ) đường thẳng d vng góc đường thẳng nằm (α ) - Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a... 2.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng phương pháp sử dụng mơ hình bản: 2.3.1 Dạng 1: Sử dụng mơ hình Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân tại B , BA = BC = a , SA = 2a vng góc. .. hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng - Cho (P) ⊥ (Q), A ∈ (Q) Nếu đường thẳng d qua A vng góc với (P) d ⊂ (Q) - Nếu hai mặt phẳng