Bài toán xác định góc góc giữa 2 mặt phẳng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC – GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU - Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng P là góc tạo bởi đường th

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC – GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – GÓC

GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

- Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (P) là góc tạo bởi đường thẳng SA

và hình chiếu SB của nó trên mặt phẳng (P)

Tức là ( ( ))̂ ( )̂  SB ⏊ (P)  SB chính là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (P)

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng

Tức là (( ) ( ))̂ ( ̂ với {) ( ) ( )

⏊ ( ) ( )

- Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc tạo bởi một đường thẳng này và một đường thẳng song song với đường thẳng kia

Tức là ( ̂ ( ) ̂) với d //

Hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau

và cùng song song với hai đường thẳng kia :

Tức là ( ̂ ( ) ̂ )

THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a ,

SB = a√ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB , BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN

và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM , DN

Giải :

Gọi H là hình chiếu của S trên AB => SH ⏊ (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có nên SAB vuông tại S

=> SM = = a

Do đó SAM đều cạnh a , nên ta có : SH = √

Diện tích tứ giác BNDM

=

Kẻ thêm MG // ND , ta có ND = √( ) √ và ta có :

MG = √

Kẻ thêm SK vuông góc với MG , ta có : MH.MA = MK.MG

 MK = √

√ => cos ( )̂ √

√

Chú ý : Ta có thể tính diện tích tứ giác BNDM

√ √ ( vì MN ⏊ BD )

Thí dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt

bên SAB là tam giác đều và SC = a√ Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

1 Chứng minh SH ⏊ (ABCD) , AC ⏊ (SHK)

2 Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SHD)

Giải :

1 SB = BC = a =>

Do đó SBC vuông tại B

CB ⏊ (SAB) => CB ⏊ SH

Mặt khác SH ⏊ AB => SH ⏊ (ABCD)

Ta có HK // BD => HK ⏊ AC

Suy ra AC ⏊ (SHK)

2 Gọi I = CK HD => DIK ~ CDK

 CK ⏊ (SHD) => CK ⏊ HD Góc ̂ là góc giữa SC và (SHD)

DIK ~ DHA => DI =

SI = √ = √

√ => cos ̂ √

√

Thí dụ 4 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , điểm cách đều ba điểm A , B , C Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC bằng 2√

Giải :

Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên √

Mặt khác

 là tứ diện đều

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có là đường cao

Trong tam giác ABC có :

AG = √

Trong tam giác vuông có :

̂ α α √

α

ă ụ √ √ α

Thí dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA = a

vuông góc với đáy (ABCD)

1 Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông

2 Tính cosin góc nhị diện (SBC,SDC)

Giải :

1 Các mặt bên là tam giác vuông

Ta có : SA ⏊ (ABCD) => { ⏊ ⏊

 Các tam giác SAB , SAD vuông tại A

Ta có : ⏊

⏊ } => BC ⏊ (SAB) => BC ⏊

 Tam giác SCD vuông tại D

2 Cosin góc nhị diện (SBC,SDC)

Vẽ BE ⏊ SC Vì tam giác SBC và tam giác SDC có các cạnh bằng nhau tương ứng nên DE ⏊ SC và BE = DE

Tam giác SBC có :

=> BE = √

Ta có cos(( ) ( ))̂ =

Thí dụ 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA

vuông góc với đáy và SA = a√

1 Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (SBC) và tính AH

2 Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

3 Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

Giải :

1 Chứng minh AH ⏊ (SBC) và tính AH :

Ta có : BC ⏊ (SAB) => BC ⏊ AH mà SB ⏊ AH

Tam giác SAB vuông cho :

 √

2 Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) :

Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC

 Góc giữa SC và (ABCD) là ̂

Ta có : tan ̂ =

√

√ √ ̂

3 Tính khoảng cách từ O đến (SBC) :

Ta có : AH ⏊ (SBC) => AH ⏊ HC Vẽ OI ⏊ HC

 OI ⏊ (SBC) => OI là khoảng cách từ O đến (SBC)

 OI = √

( đường trung bình )

Thí dụ 7 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 1 , CC’ = m

( m > 0 ) Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng

Giải :

Kẻ BD // AB’ ( D A’B’ )

 ( ̂ ) ( ̂ )

 ̂ hoặc ̂

TH1 : Nếu ̂

Vì lăng trụ đều nên BB’ ⏊ (A’B’C’)

Áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có :

BD = BC’ = √ à DC’ = √

Kết hợp ̂ ta suy ra BDC’ đều

Do đó  m = √

TH2 : Nếu ̂

Áp dụng đinh lý cosin cho BDC’ suy ra m = 0 ( loại )

Vậy m = √

Chú ý : Có thể sử dụng phương pháp vecto hoặc tọa độ với nhận xét :

Cos( ̂ ) | ( ̂ | ) | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Thí dụ 8 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp

tam giác đều cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA’ = b Gọi α là góc giữa hai

mp(ABC) và mp(A’BC) Tính tanα và thể tích chóp A’.BCC’B’

Giải :

Gọi O là tâm đáy suy ra A’O ⏊ (ABC) và góc α = ̂

Tính tanα

tanα với OI = AI = √ √

= √

=

√

√

√ √

Thí dụ 9 : Cho hình lăng trụ tam giác đề ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a

Gọi C’’ là trung điểm của C’C , tính góc giữa hai đường thẳng C’’B và A’B’ Tính góc giữa hai mặt phẳng (C’’AB) và (ABC)

Giải :

Vì AB // A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB

Dễ thấy AC’’ = BC’’ nên ABC’’ là tam giác cân Từ đó ̂

Vậy góc giữa AB và BC’’ là ̂

Gọi M là trung điểm của AB thì :

MB = √

, MB ⏊ MC’’

Từ đó cos ̂

√ Cũng từ kết quả trên , ta có :

(CMC’’) ⏊ AB và CMC’’ là tam giác vuông tại C

Nên góc giữa mp(BAC’’) và (CAB) là ̂

Ta có tan ̂

Vậy ̂ hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng

Thí dụ 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , AB = a ,BC = 2a ,

cạnh bên SA vuông góc với đáy , SA = a Tính :

a Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp

b Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp

Giải :

a Dễ thấy {( ) ⏊ ( )( ) ⏊ ( ) nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng

Ta có (SDA) ⏊ CD và SDA là tam giác vuông tại A nên ̂ là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD)

Từ đó : tan ̂

Tương tự tan ̂  ̂

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc mà tan = và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc

b Vì (SAD) ⏊ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng

Ta cũng có CD ⏊ (SAD) nên (SCD) ⏊ (SAD)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng

Tương tự , ta có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng

Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

Trong mp(ABCD) , qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC , nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J , thì IJ ⏊ SC

Do đó ̂ hoặc ̂ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)

Ta có : AJ = AC.tan ̂ √

√ Đặt ̂ α thì tan α =

√

√

√ = 2√

Đặt ̂ β thì tan β =

̂

√

√

√

√

Đặt ̂ thì tan = √ √

√ √ √ Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là mà tan √