Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Góc hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác   Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức  u.v   cos   cos u, v    u.v   2) Góc đường thẳng mặt phẳng: a a' P Muốn xác định góc đường thẳng a  P  ta tìm hình chiếu vng góc a a  P   a, a ' Khi đó,  a,  P      3) Góc hai mặt phẳng: Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vng góc với hai mặt phẳng      Khi đó, góc         ,     a , b Tính góc a ,b       Phương pháp 2: β b φ c a α  Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng       Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến c điểm c Khi đó:    ,     a ,b     Trang 162 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ    vng góc với giao tuyến c mà        a ,   ,       a ,b        b Suy   4) Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian: Chọn hệ trục thích hợp cụ thể hóa tọa độ điểm   a) Giả sử đường thẳng a b có vectơ phương a, b  a b a, b       a, b  Khi đó: cos a.b  b) Giả sử đường thẳng a có vectơ phương a  a n Khi đó: sin  a,  P        a,  P   a.n P  có vectơ pháp tuyến n   c) Giả sử mặt phẳng      có vectơ pháp tuyến a, b  a b   Khi đó: cos   ,            ,     a.b BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định hình chiếu SC mặt phẳng  ABCD  B2: Tính góc SC hình chiếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Trang 163 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A D B C Ta có: SA   ABCD  nên AC hình chiếu SC mặt phẳng  ABC    Do đó:  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA Xét hình vng ABCD ta có: AC  a  Xét SAC vng A , ta có: tan SCA SA a   30 o    SCA AC a Bài tập tương tự phát triển: Câu 17.1: Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi cho SA  a vng góc với  ABC  Tính góc SD BC A 60 B 90 C 45 D 30 Lời giải Chọn C S A B D C   450 SD, BC    SD, AD   ADS Ta có: AD / / BC   Câu 17.2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với BC  2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  3a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SD BC nằm khoảng nào? Trang 164 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  20;30  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 B  30; 40  C  40;50 D  50;60  Lời giải Chọn D  ( Do SAD vuông A nên SDA   90o ) Ta có: BC / / AD   SD, BC    SD, AD   SDA  Xét SAD vng A , ta có: tan SDA SA 3a   arctan  56o    SDA AD 2a 2 Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có AC  BD  a Gọi M , N trung điểm BC , AD Biết MN  a Tính góc AC BD A 450 B 30 C 600 D 900 Lời giải Chọn C A I N a a a 2a B 2a D M C Gọi I trung điểm AB Ta có IM  IN  a Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:  cos MIN IM  IN  MN a  a  3a   1200     MIN 2.IM IN 2.a.a Trang 165 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 AC , BD    IM , IN   1800  1200  600 Vì IM / / AC , IN / / BD   Câu 17.4: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM A B C D Lời giải Chọn B      AC CM  CB AC.BM    cos  AC , BM   cos AC , BM     a AC BM a      AC.CM  AC.CB    a2  a2 a2 a a2   a cos1200  a.a.cos1200    24  2 a a a 2 Câu 17.5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , BC  a Các cạnh bên hình chóp a Khi đó, góc hai đường thẳng AB SC bằng: A 45 B 30 C 60 D 90 Lời giải Chọn A S A D M B C   Ta có: AB //CD nên  AB , SC  CD , SC  SCD     Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vuông M có SC  a , CM  a nên   45 Vậy  tam giác vuông cân M nên SCD AB , SC  45   Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , I trung điểm BC , AD AC Cho AB  2a , CD  a MN  a Tính góc    AB, CD  A 135 B 60  C 90 D 45 Lời giải Trang 166 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn D A N 2a I a a D B 2a M C   IN / / CD; IN  CD  a Theo tính chất đường trung bình tam giác:   IM / / AB; IM  AB  a      AB, CD    IM , IN  Áp dụng định lý cosin ta có: cos   IM  IN  MN 2       450 2.IM IN 2 Câu 17.7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SC BD nằm khoảng nào? A  30; 40  B  40;50  C  50; 60  D  60;70  Lời giải Chọn D Trang 167 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Gọi O  AC  BD M trung điểm SA BD  Xét hình chữ nhật ABCD , ta có: OB  OA  AB  AD a  3a 2 a    a 2 Xét MAB vng A , ta có: MB  AB  MA2  a  a  a Xét MAO vuông A , ta có: MO   Xét MBO , ta có: cos MOB AO  MA2  a  a  a OB  OM  BM a  2a  2a   69o    MOB 2.OB.OM 2.a.a 2   69o ( Do MOB   90o ) SC , BD    MO, BD   MOB Ta có: SC / / MO   Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ     Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a; 0;0  , C a; a 3;0 , D 0; a 3; S  0;0; 2a    Ta có: SC  a; a 3; 2a  SC có vectơ phương u  1; 3; 2   BD   a; a     3;  BD có vectơ phương v  1; 3;     u.v SC , BD         SC , BD   69o Suy ra: cos  2.2 2 u.v Câu 17.8: Cho hình chóp S ABC có ABC SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Góc đường thẳng SA  ABC  A 45 B 75 C 60 D 30 Trang 168 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A C H B Theo giả thiết ta có  ABC    SBC  Trong mặt phẳng  SBC  kẻ SH  BC  SH   ABC  nên AH hình chiếu SA  SA,  ABC     SA, AH   SAH  ABC  Do đó,  Giả sử AB  a Ta có: SBC ABC tam giác nên H trung điểm BC AH  SH   Xét tam giác vuông SHA ta có tan SAH a SH   45   SAH AH  Vậy  SA,  ABC    45 Câu 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Trang 169 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  BC  SA Ta có:   BC   SAB  nên SB hình chiếu SC mặt phẳng  SAB   BC  AB   Do đó:  SC ,  SAB     SC , SB   BSC Xét SAB vuông A , ta có: SB  SA2  AB   Xét SBC vng B , ta có: tan BSC a   a  a BC a   30o    BSC SB a 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;  , C  a; a;0  S 0; 0; a  Ta có:  SAB  : y   vectơ pháp tuyến  SAB  j   0;1;0    SC  a; a; a  SC có vectơ phương u  1;1;       j.u  Suy ra: sin  SC ,  SAB         SC ,  SAB    30 o j u Câu 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAB  bằng: Trang 170 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 30 B 45 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Ta có: AD   SAB  nên SA hình chiếu SD mặt phẳng  SAB   Do đó:  SD,  SAB     SD, SA    ASD Xét SAD vng A , ta có: tan  ASD  AD a    ASD  30o SA a 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;  , D  0; a;  S 0; 0; a  Ta có:  SAB  : y   vectơ pháp tuyến  SAB  j   0;1;0    SD  0; a; a  SD có vectơ phương u  0;1;       j.u Suy ra: sin  SD,  SAB         SD,  SAB    30 o j u Trang 171 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC cạnh a Tính góc SB  ABC  A 30o B 60 C 45 D 90 Lời giải Chọn C S C A B Ta có SA   ABC   AB hình chiếu SB mặt phẳng ASB   SD, AD   450  ABC      Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC cạnh a Gọi  góc SC mặt phẳng  SAB  Khi đó, tan  A B C D Lời giải Chọn A S a a A C a I B CI  AB Gọi I trung điểm AB Ta có:   CI   SAB  CI  SA Trang 172 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   SI hình chiếu SC mặt phẳng  SAB    SC ,  SAB     SC , SI   CSI   CI   tan   tan CSI SI CI SA  AI a  a a2    2  Câu 17.13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với  ABCD  cà SA  a Tính sin góc tạo AC mặt phẳng  SBC  A B C D Lời giải Chọn D Kẻ AH  SB  BC  AH  AH   SBC    AC , HC   ACH  AH hình chiếu AC lên mặt phẳng  SBC    AC ,  SBC     Tam giác SAB vuông  AH  SA AB a 6.a a   SB a 7 AH ACH   Vì AHC vng H  sin  AC Câu 17.14:Cho hình chóp S ABCD có cạnh đá a , cạnh bên 2a (minh họa hình vẽ) Góc cạnh bên mặt đáy bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Trang 173 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn C Ta có: góc cạnh bên mặt đáy góc SD  ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD   OD hình chiếu SD  ABCD   Do đó:  SD,  ABCD     SD, OD   SDO Xét hình vng ABCD ta có: OD  BD AB a 2    a 2  Xét SOD vng O , ta có: cos SDO OD a   60o    SDO SD 2a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có: AC  BD  AB  2a SO  SD  OD  a  a  a   Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O  0; 0;  , C  a;0;  , D  0; a;  S 0;0; a  Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1   SD  0; a; a  SD có vectơ phương u  0;1;       k u    SD,  ABCD    60o Suy ra: sin  SD,  ABCD       k u Trang 174 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 có đáy ABCD hình thang vng A B với AD  AB  2BC  2a; SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAC  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm AD Ta có: ACM DCM vuông cân M   45o  45o  90o  CD  AC mà CD  SA nên CD   SAC   ACD   ACM  DCM  SC hình chiếu SD mặt phẳng  SAC   SD,  SAC     SD, SC   CSD Do đó:  Xét ACD vng cân C , ta có: AC  CD  a Xét SAC vng A , ta có: SC  SA2  AC  4a  2a  a  Xét SCD vuông C , ta có: tan CSD CD a   30o    CSD SC a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;  , D  0; a;  S  0; 0; 2a  Trang 175 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Ta có: SD   0; 2a; 2a   SD có vectơ phương u   0;1; 1    AS   0;0; 2a   2     AS , AC    2 a ; a ;  AC   a; a;      SAC  có vectơ pháp tuyến n   1;1;0   u n   Suy ra: sin  SD,  SAC         SD,  SAC    30o u.n Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a SA  SB  SC  SD  a Khi đó, cosin góc hai mặt phẳng  SAB   SAD  A B 3 C D  Lời giải Chọn B S I A D B C Gọi I trung điểm SA  BI  SA  Do tam giác SAD SAB nên    SAB  ,  SAD   BI , DI DI  SA      Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2     a   a  a  2 2 IB  ID  BD      cos BID  IB.ID 3 a a 2    Vậy cos  SAB  ,  SAD     Câu 17.17:Cho tam giác ABC vuông cân A có AB  a , đường thẳng d vng góc với  ABC  điểm A ta lấy điểm D cho DBC Khi đó, góc hai mặt phẳng  ABC   DBC  nằm khoảng nào? Trang 176 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  40o ;50o  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 B  50o ; 60o  C  60o ;70o  D  70 o ;80o  Lời giải Chọn B D a A C a a M B Gọi M trung điểm BC  BC  DM  BC   DMA  Ta có:   BC  DA  ABD    DBC   BC   DMA  BC  Mặt khác:    AM , DM   DMA  ABC  ,  DBC      DMA   ABC   AM  DMA  DBC  DM     Ta có: AM  BC AB a BC a   , DM   2 2 Xét ADM vng A , ta có: cos  AMD  AM 3   AMD  arccos  54 o DM 3 Cách khác: Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   DBC  Theo công thức diện tích hình chiếu đa giác Ta có: S ABC  S DBC cos  Mà: S DBC  1 a2 DB.DC sin 60  a 2.a  2 2 Mặt khác: S ABC   cos   1 AB AC  a 2 S ABC 3     arccos  54 o S DBC 3 Trang 177 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 17.18:Cho hình chóp S ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a (minh họa hình vẽ) Góc mặt bên mặt đáy bằng: A 30 C 60 B 45 D 90 Lời giải Chọn B Ta có: góc mặt bên mặt đáy góc  SCD   ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD   Gọi M trung điểm CD Ta có: CD  SM  CD   SOM  CD  OM CD   SOM   SCD    ABCD   CD  Do đó:    SM , OM   SMO  SCD  ,  ABCD     SOM    SCD   SM    SOM    ABCD   OM Xét hình vng ABCD ta có: OM  a OD  BD AB 2a    a 2 2 Xét SOD vuông O , ta có: SO  SD  OD   Xét SOM vng O , ta có: tan SMO a   a   a SO a   45o    SMO OM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có: AC  BD  AB  2a SO  SD  OD  3a  2a  a Trang 178 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020     Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O  0; 0;  , C a 2; 0; , D 0; a 2;0 S  0; 0; a   Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1 z   x  y  2z  a  a a a    SCD  có vectơ pháp tuyến n  1;1;  SCD  : x  y     k n    Suy ra: cos   SCD  ,  ABCD        SCD  ,  ABCD    45o k.n Câu 17.19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn C  Gọi O  AC  BD Ta có: BD  SA  BD   SAC  BD  AC Trang 179 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  BD   SAC   SBD    ABCD   BD    Do đó:     SBD  ,  ABCD     SO, AC   SOA SAC    SBD   SO    SAC    ABCD   AC Xét hình vng ABCD ta có: OA  AC AB a 2    a 2 SA a   60o    SOA OA a  Xét SAO vuông A , ta có: tan SOA Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ       Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B a 2; 0; , D 0; a 2; S 0; 0; a  Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1  SBD  : x a  y a  z a   3x  y  z  a     SBD  có vectơ pháp tuyến n    3; 3;  k.n   Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    60 o k.n Câu 17.20:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  2a , AD  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  bằng: Trang 180 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 30 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 C 60 B 45 D 90 Lời giải Chọn B  Vẽ AM  BD M Ta có: BD  SA  BD   SAM  BD  AM  BD   SAM   SBD    ABCD   BD  Do đó:    SM , AM   SMA  SBD  ,  ABCD     SAM  SBD  SM       SAM    ABCD   AM Xét ABD vuông A , ta có: 1 1       AM  a 2 AM AB AD 4a 4a a  Xét SAM vng A , ta có: tan SMA SA a   45o    SMA AM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ  2a  Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a; 0;  , D  0; ;  S  0;0; a     Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1 x y z     x  y  z  2a  a 2a a    SBD  có vectơ pháp tuyến n  1; 3;  SBD  :   Trang 181 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  k n Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    45o k n Trang 182 ... góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt. .. 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn... 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAB  bằng: Trang 170 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU