Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1 Góc giữa hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.. Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vect

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1) Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác

Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u

và v lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức

 Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng   và  

 Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao

tuyến c tại một điểm trên c Khi đó:      ,   a b,

a

a'

P

c b

a

β

φ α

XÁC ĐỊNH GÓC

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ   vuông góc với giao tuyến c mà       a,

      b Suy ra      ,   a b,

4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian:

Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm

a) Giả sử đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là , a b 

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3, SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, SAa 2 (minh họa như hình vẽ) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

ABCDbằng:

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD

B2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó.

Lời giải Chọn A

Ta có: SAABCDnên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABC 

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 17.1: Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho

SA và vuông góc với a ABC Tính góc giữa SD và BC

A. 60 B. 90 C. 45 D. 30

Lời giải Chọn C

AD BC SD BC  SD AD ADS 

Câu 17.2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với BC2 ,a SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA3a (minh họa như hình vẽ) Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong

A. 20 ;30  B. 30 ; 40  C. 40 ;50  D. 50 ;60 .

Lời giải Chọn D

Ta có: BC/ /ADSD BC, SD AD, SDA ( Do SAD vuông tại A nên  SDA 90o)

Xét SAD vuông tại A , ta có:  3 3  3

Gọi I là trung điểm của AB Ta có IM INa

Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:

Vì   0 0 0

Câu 17.4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M là trung

điểm CD Tính cosin góc của AC và BM

3

.2

Câu 17.5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2a , BCa Các cạnh bên

của hình chóp cùng bằng a 2 Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

Lời giải

Chọn A

Ta có: AB CD nên // AB SC, CD SC, SCD.

Gọi M là trung điểm của CD Tam giác SCM vuông tại M và có SCa 2, CM a nên

là tam giác vuông cân tại M nên  SCD 45 Vậy AB SC ,  45

Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC Cho AB2 ,a

B

S

Câu 17.7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD, a 3,SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa như hình vẽ) Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm

trong khoảng nào?

A. 30 ; 40  B. 40 ;50  C. 50 ; 60  D. 60 ;70 .

Lời giải Chọn D

a 2a

Gọi OACBD và M là trung điểm SA

Xét MAB vuông tại A , ta có: MB AB2MA2  a2a2 a 2

Xét MAO vuông tại A , ta có: MO AO2MA2  a2a2 a 2

Câu 17.8: Cho hình chóp S ABC có các ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Góc giữa đường thẳng SA và ABC bằng

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có ABC  SBC

Trong mặt phẳng SBC kẻ SH BC SH ABC nên AH là hình chiếu của SA trên

ABC Do đó, SA ABC,  SA AH, SAH

Câu 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,

2

SAa (minh họa như hình vẽ) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SABbằng:

Lời giải Chọn A

H

S

B

Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0 , B a ;0; 0 , C a a ; ;0 và S0; 0;a 2.

Ta có: SAB:y  0 vectơ pháp tuyến của SAB là j 0;1;0 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90.

Lời giải Chọn A

Ta có: ADSABnên SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAB

Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0 , B a ;0; 0 , D0; ; 0a  và S0; 0;a 3

Ta có: SAB:y  0 vectơ pháp tuyến của SAB là j 0;1;0 

Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC có SAABC, SAa, ABC đều cạnh a Tính góc giữa SB và

ABC 

A. 30 o B. 60 C. 45 D. 90

Lời giải Chọn C

Ta có SAABCAB là hình chiếu của SBtrên mặt phẳng

Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC có SAABC, SAa, ABC đều cạnh a Gọi  là góc giữa SC

và mặt phẳng SAB Khi đó, tan bằng

Gọi I là trung điểm của AB Ta có: CI AB CI SAB

tan tan

52

Kẻ AH SBBC AH AH SBC

AH

 là hình chiếu của AClên mặt phẳng SBCAC SBC,  AC HC, ACH

Lời giải Chọn C

Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa SD và ABCD

Gọi OACBD Vì S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O0; 0; 0 , C a ;0; 0 , D0; ; 0a  và S0;0;a 3

Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó một vectơ pháp tuyến là k  0; 0;1 

Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với

AD AB BC a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa như hình vẽ)

Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SACbằng:

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm AD Ta có: ACM  và DCM vuông cân tại M

Xét ACD vuông cân tại C , ta có: ACCDa 2

Xét SAC vuông tại A , ta có: SC SA2AC2  4a22a2 a 6

Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh đáy bằng a và SASBSC SDa Khi đó, cosin

góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng



Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm SA

Do tam giác SAD và SAB đều nên BI SA  SAB , SAD  BI DI, 

Câu 17.17: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có ABa , trên đường thẳng d vuông góc với ABC

tại điểm A ta lấy một điểm D sao cho DBC đều Khi đó, góc giữa hai mặt phẳngABC và

DBCnằm trong khoảng nào?

Gọi M là trung điểm BC.

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC vàDBC

Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác

Ta có:SABC SDBC.cos

Mà:

2 0

S S

Câu 17.18:Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a 3 (minh họa như hình vẽ) Góc giữa mặt

bên và mặt đáy bằng:

Lời giải Chọn B

Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa SCD và ABCD

Gọi OACBD Vì S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD

Gọi M là trung điểm CD Ta có: CD SM CD SOM

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O0; 0; 0 , C a 2; 0; 0 , D 0;a 2;0 và S0; 0;a.

Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó một vectơ pháp tuyến là k  0; 0;1 

Gọi OACBD Ta có: BD SA BD SAC



Xét SAO vuông tại A , ta có:  3 

tanSOA SA a 3 SOA 60 o

Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0 , B a 2; 0; 0 , D 0;a 2; 0 và S0; 0;a 3

Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó một vectơ pháp tuyến là k  0; 0;1 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90.

Lời giải Chọn B

Suy ra: cos  ,   . 1   ,   45

2