18 bài toán xác định góc trong không gian file word có lời giải chi tiết image marked

BÀI TỐN XÁC ĐỊNH GĨC TRONG KHƠNG GIAN Trong tập có góc hai mặt bên, em nhớ góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng a b (với a b nằm hai mặt phẳng) vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng điểm TRONG LỜI GIẢI CĨ TRÌNH BÀY: PHƯƠNG PHÁP THAM KHẢO (BÀI GIẢNG KHÔNG ĐỀ CẬP VÌ PHƯƠNG PHÁP NÀY KHƠNG THUẬN LỢI LẮM CHO THI TRẮC NGHIỆM – PHÙ HỢP CHO MỘT VÀI BẠN KHÔNG NẮM VỮNG HÌNH KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN) Phương pháp tọa độ khơng gian a) Phương trình mặt phẳng ( MNP ) qua ba điểm M ( xM ; yM ; zM ) , N ( xN ; yN ; zN ) , P ( xP ; yP ; zP ) : + Mặt phẳng ( MNP ) qua điểm M ( xM ; yM ; zM ) có vectơ pháp tuyến n =  MN , MP  = ( A; B; C ) có dạng: A ( x − xM ) + B ( y − yM ) + C ( z − zM ) =  Ax + By + Cz + D = + Khoảng cách từ điểm I ( xI ; yI ; zI ) đến mặt phẳng ( MNP ) : IH = d ( I , ( MNP ) ) = Cơng thức tính nhanh: d ( I , ( MNP ) ) = AxI + ByI + CzI + D A2 + B + C  MN , MP  MI    MN , MP     AB, CD  AC   b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD là: d ( AB, CD ) =  AB, CD    c) Góc hai đường thẳng AB CD theo công thức: cos ( AB, CD ) = AB.CD AB CD d) Góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( MNP ) : ( ABC ) có vectơ pháp tuyến cos ( ( ABC ) , ( MNP ) ) = n1 =  AB, AC  , ( MNP ) có vectơ pháp tuyến n2 =  MN , MP  , đó: n1.n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22  ( ( ABC ) , ( MNP ) )  ? e) Góc đường thẳng AB mặt phẳng ( MNP ) : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính u = AB ( MNP ) có vectơ pháp tuyến n =  MN , MP  sin ( AB, ( MNP ) ) = u.n u.n  ( AB, ( MNP ) )  ? Câu 1: [2H1-2]Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a , SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG mặt phẳng ( ABCD ) A arctan 85 17 B arctan 10 17 C arcsin 85 17 D arccos 85 17 Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm CD , kẻ GK song song với SO cắt OM K , suy K hình chiếu G mặt phẳng ( ABCD ) , suy ( BG, ( ABCD ) ) = GBK Ta có AO = a 10 a a 10 , SO = , GK = SO = , 2 a OK = OM nên OK = 3 Dùng định lý cosin ta có BK = a 34 tan ( BG, ( ABCD ) ) = tan GBK = Câu 2: GK 85 = BK 17 [2H1-3]Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a , SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG đường thẳng SA A arccos 330 110 B arccos 33 11 C arccos 11 D arccos 33 22 Lời giải Chọn B Gọi M trung điểm CD Gọi E = BD  AM , suy GE //SA Suy ( BG, SA) = ( BG, GE ) a Vì G, E trọng tâm tam giác SCD ACD nên GE = SA = 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Kẻ GK song song với SO cắt OM K , suy K hình chiếu G mp ( ABCD ) Ta có AO = 2a a 10 a a 10 , SO = , GK = SO = , BE = 3 2 a Vì OK = OM nên OK = 3 Dùng định lí cosin ta có BK = Xét BEG , có BE = suy cos BGE = Câu 3: a 34 a 11  BG = 2a a 11 a , GE = , BG = , 3 BG + GE − BE 33 = BG.GE 11 [2H1-3]Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , SA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng ( SDM ) ( SBC ) A arctan 11 110 B arctan 110 11 C arctan 110 33 D arctan 110 11 Lời giải Chọn D Gọi O tâm hình vng ABCD , gọi E = AC  DM , suy E trọng tâm tam giác BCD Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng ( SBC ) , I thuộc đường thẳng SM , suy hình chiếu H E lên mặt phẳng ( SBC ) nằm đoạn thẳng CI Kẻ HK ⊥ SM K ( HK //CM ) , Ta có SO = SA2 − OA2 = CH = CI (( SDM ) , ( SBC ) ) = ( HK , EK ) a 10 2 SO.OM a 110 = , EH = OI = 2 3 SO + OM 33 a 110 HK = CM = Suy tan ( ( SDM ) , ( SBC ) ) = tan ( HK , EK ) = tan HKE = 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 4: [2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc, góc OCB = 30 , ABO = 60 AC = a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA A arctan 93 B arctan 31 C arctan 93 D arctan 31 Lời giải Chọn C Phương pháp dụng hình Gọi H hình chiếu M lên mp ( OBC ) Vì AM = BM nên OH = 2HB Suy ( OA, CM ) = ( MH , CM ) = CMH Đặt OB = x , ta có OA = x , OC = x , OA2 + OC = x = AC = 6a  x = a a Ta có MH = OA = , 3 HC = OC + OH = Suy tan CMH = a 31 HC 93 = HM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 5: [2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mặt phẳng ( OBC ) 60 , OB = a , OC = a Gọi M trung điểm cạnh OB Góc hai mặt phẳng ( AMC ) ( ABC ) 35 A arcsin B arcsin 32 35 C arcsin 35 D arcsin 34 35 Lời giải Chọn A Ta có góc AC mặt phẳng ( OBC ) 60 Suy OA = OC tan 60 = a AM = OA2 + OM = 5a CM = OC + OM = 3a AC = OC + OA2 = 2a Suy ra: S ACM = a 14 (Dùng công thức Hê-rông) a3 VA.OCM = OA.OC.OM = Suy 6 d ( O, ( ACM ) ) = Kẻ OI 3VO ACM =a = d ( B, ( ACM ) ) S ACM 14 vuông d ( O, AC ) = OI = góc AC với I, suy BI vng góc với AC OA.OC a = AC Tam giác OIB vng O có OI = sin ( ( ACM ) , ( ABC ) ) = Câu 6: a a 10 , OB = a  BI = 2 d ( B, ( ACM ) ) BI = 35 [2H1-3]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = 2a Gọi F trung điểm SC , tính góc  hai đường thẳng BF AC A  = 60 B  = 90 C  = 30 D  = 45 Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn B C1: Phương pháp dựng hình Gọi O = AC  BD , OF //SA  OF ⊥ ( ABCD )  OF ⊥ AC Lại có AC ⊥ BD nên AC ⊥ ( BDF )  AC ⊥ BF Vậy ( AC.BF ) = 90 C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , C ( a; a;0 ) , S ( 0;0;2a ) a a   a a  Suy F  ; ; a  , BF =  − ; ; a  , AC = ( a; a;0 ) 2   2  Vậy BF AC =  BF ⊥ AC  ( BF , AC ) = 90 Câu 7: [2H1-3]Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc  đường thẳng BM mặt phẳng ( ABC ) A cos  = 21 B cos  = 10 C cos  = 14 D cos  = Lời giải Chọn A C1: Phương pháp dựng hình Gọi H trung điểm AC MH //SA  MH ⊥ ( ABC ) Vậy hình chiếu BM lên mặt phẳng ( ABC ) BH Suy ( BM , ( ABC ) ) = ( BM , BH ) = MBH Ta có MH = a , BH = a , SB = SC = a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tam giác MHB vuông H nên BM = BH + MH = BH a 21 = , cos MBH = BM C2: Phương pháp tọa độ Gọi H trung điểm AC MH //SA  MH ⊥ ( ABC ) a  Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi H ( 0;0;0) , ( 0;0;a ) , B  ;0;0     −a   BM =  ;0; a  , HM = ( 0;0; a )   Giả sử góc BM mp ( ABC )  ta có sin  = Câu 8: BM HM BM HM = 21  cos  = 7 [2H1-3]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính góc  hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) A  = 90 C  = 30 B  = 60 D  = 45 Lời giải Chọn B C1: Phương pháp dựng hình Ta chứng minh BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ SD Kẻ BH ⊥ SC (1) Ta có BD ⊥ ( SAC )  SC ⊥ BD ( 2) Từ (1) , ( 2)  SC ⊥ ( BHD )  SC ⊥ DH Vậy ( ( SBC ) , ( SDC ) ) = ( BH , DH ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tam giác SBC vuông B , đường cao BH  BH = DH = nên ta có 1 = 2+ = 2 BH SB BC 2a a BH + DH − BD Áp dụng định lí cơsin vào tam giác BHD ta có cos BHD = =− BH DH Vậy cos ( ( SBC ) , ( SDC ) ) = cos ( BH , DH ) =  ( ( SBC ) , ( SDC ) ) = 60 C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S ( 0;0; a ) Suy SB = ( a;0; − a ) , SC = ( a; a; − a ) , SD = ( 0; a; − a ) Mặt phẳng ( SBC ) có vectơ pháp tuyến n =  SB, SC  = ( a ;0; a ) Mặt phẳng ( SDC ) có vectơ pháp tuyến k =  SD, SC  = ( 0; − a ; − a ) Vậy cos ( ( SBC ) , ( SDC ) ) = Câu 9: n.k n.k =  ( ( SBC ) , ( SDC ) ) = 60 [2H1-3]Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB = a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vng góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) A  = 45 a Tính góc  tạo hai đường thẳng SB AC B  = 90 C  = 30 D  = 60 Lời giải Chọn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C1: Phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) cắt theo giao tuyến SA vng góc với mp ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) Dựng AK ⊥ SB Ta có BC ⊥ AB , BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAC )  BC ⊥ AK Vậy AK ⊥ ( SBC ) , từ suy AK = a Tam giác SAB vuông A , đường cao AK nên ta có 1 1 = − = 2− = 2 2 SA AK AB a a a  SA = a Dựng hình bình hành ACBD hình vẽ, AC //BD  ( AC, SB ) = ( BD, SB ) Tính SD = a , SB = a , BD = a nên tam giác SBD Vậy ( AC, SB ) = SBD = 60 C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Bz //SA Khi theo cách ta có: B ( 0;0;0) , A ( a;0;0) , C ( 0; a;0) , S ( a;0; a ) , suy BS = ( a;0; a ) , AC = ( −a; a;0 ) Vậy cos ( AC , SB ) = BS AC BS AC =  ( AC, SB ) = 60 Câu 10: [2H1-3]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khơi chóp S.ABCD a3 Tính góc  đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) A  = 45 B  = 60 C  = 30 D  = 90 Lời giải Chọn C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C1: Phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) cắt theo giao tuyến SA vuông góc với mp ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) Do SA = 3VS ABCD =a S ABCD Tam giác SAD vuông A nên SD = SA2 + AD2 = a Ta có CD ⊥ AD , CD ⊥ SA  CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ SD Vậy diện tích tam giác SCD là: S SCD = a2 SC.CD = 2 Gọi I hình chiếu B lên mặt phẳng ( SCD ) , ( SB, ( SCD ) ) = ( SB, SI ) = BSI Mặt khác BI = 3VB.SCD 3VS ABCD a = = S SCD S SCD Tam giác SAB vuông A nên SB = SA2 + AB2 = a Tam giác SIB vuông I nên sin BSI = BI =  BSI = 30 SB Vậy ( SB, ( SCD ) ) = 30 C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi theo cách ta tính SA = a , nên A ( 0;0;0) , D ( a;0;0 ) , B ( 0; a;0) , C ( a; a;0 ) , S ( 0;0; a ) Suy SD = ( a;0; − a ) , SC = ( a; a; − a ) , SB = ( 0; a; − a ) Mặt phẳng ( SCD ) có vectơ pháp tuyến n =  SD, SC  = ( a ; a ; 2a ) Vậy sin ( SB, ( SCD ) ) = n.SB n SB =  ( SB, ( SCD ) ) = 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 11: [2H1-3]Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính cơsin góc  hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) A cos  = B cos  = C cos  = D cos  = Lời giải Chọn A C1: Phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) cắt theo giao tuyến SA vng góc với mp ( ABC ) nên SA ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm AB , tam giác ABC nên CM ⊥ AB Lại có SA ⊥ ( ABC )  SA ⊥ CM suy CM ⊥ ( SAB )  CM ⊥ SB Dựng CI ⊥ SB SB ⊥ ( CMI )  SB ⊥ IM Vậy IM ⊥ SB , CI ⊥ SB  ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = ( MI , CI ) Hai tam giác SAB MIB đồng dạng nên SA SB MB.SA AB.SA a  MI = = = = MI MB SB SA2 + AB Tam giác CMB vuông M nên CM = CB − MB = Tam giác IMB vuông I nên IB = MB − IM = Tam giác CIB vuông I nên CI = CB − IB = a a a 15 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác IMC ta có: cos CIM = CI + IM − CM 1  cos  = = 2CI IM 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ M trung điểm BC , Oz //SA a a    a  Khi M ( 0;0;0 ) , A  ;0; a  ;0;0  , B  0; ;0  , S         a a  a   a  Suy SA = 0;0; − a , SB =  − ; ; − a  , MS =  ;0; a  , MB =  0; ;0  2       ( )  a 3a  Mặt phẳng ( SAB ) có vectơ pháp tuyến n =  SA, SB  =  ; ;0     −a a2  Mặt phẳng ( SBC ) có vectơ pháp tuyến k =  MS , MB  =  ;0;    Vậy cos ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = n.k = n.k Câu 12: [2H1-3]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SA = a , SB = a mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính cơsin góc đường thẳng SM DN A B C a D a Lời giải Chọn A C1: Phương pháp dựng hình Gọi E trung điểm AD , F trung điểm AE Ta có MF //BE //ND  ( SM , DN ) = ( SM , MF ) Ta có SM = SB + SA2 AB − =a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  SM = SA  SH ⊥ MA , với H trung điểm MA  SH ⊥ ( ABCD ) BE = AB2 + AE = a  MF = SF = SH + HF = a a a ; HF = BD = ; SH = SA2 − HA2 = 2 a ( SHF vuông H ) Định lí cơsin SMF : SF = SM + MF − 2SM MF cos SMF  5a 5a a 5  cos ( SM , MF ) = = a2 + − 2a .cos SMF  cos SMF = 4 5 C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục có gốc H , trục hoành HB , trục tung HK , trục cao HS SH = SA2 − HA2 = a  a 3  a  3a a    M  ; 0;  , S  0;0;  , D  − ; 2a;  , N  ; a;0     2     Vậy cos ( SM , DN ) = SM DN SM DN = Câu 13: [2H1-3]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tam giác SBC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ( ABCD ) , đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC ) góc 60 Tính góc ( SBD ) ( ABCD ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A  B  C  D  Lời giải Chọn D C1: Phương pháp dựng hình Từ S dựng SH ⊥ BC , suy SH ⊥ ( ABCD ) Từ H dựng HI //AC , I  BD , suy HI ⊥ BD Góc ( SBD ) ( ABCD ) SIH  DC ⊥ BC Ta có   DC ⊥ ( SBC )  ( SD, ( SBC ) ) = DSC = 60 DC ⊥ SC  DC ⊥ SH  SC = CD SB.SC a = a  SH = =  SH = IH  SHI vuông cân H tan 60 BC Vậy SIH =  C2: Phương pháp tọa độ Từ S dựng SH ⊥ BC , suy SH ⊥ ( ABCD ) Từ H dựng HI //AC , I  BD suy HI ⊥ BD Góc ( SBD ) ( ABCD ) SIH Chọn hệ trục tọa độ có gốc H , trục hồnh HB , trục tung Hy song song với CD , trục cao HS  DC ⊥ BC  DC ⊥ ( SBC )  ( SD, ( SBC ) ) = DSC = 60 DC ⊥ SC Ta có   DC ⊥ SH  SC = CD 2a SB.SC a = a  SH = =  BH = SB − SH = tan 60 BC 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  a a 2  a  2a   ) ; a 3;0  (vì HC = BC − BH = ;0;0  , D  − H ( 0;0;0) , S  0; 0;  , B  3 3       ( ( ) ) Ta có  SB, SD  = a 2; a 2; 2a  n1 = 1;1; vectơ pháp tuyến ( SBD )  HB, HD  = ( 0;0; 2a )  n2 = ( 0;0;1) vectơ pháp tuyến ( ABCD )   ( )  cos ( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = cos n1 , n2 = Vậy SIH =  n1.n2 = n1 n2 Câu 14: [2H1-3]Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh bên 2a , góc tạo AB mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AC AM A B C D Lời giải Chọn D C1: Phương pháp dựng hình AM = 2a = a (trung tuyến tam giác đều) Khi cos ( AC , AM ) = a2 = 4a a Gọi N trung điểm BC  AN //AM  ( AC, AM ) = ( AC, AN ) Suy cos ( AC, AM ) = cos ( AC, AN ) = cos CAN Xét tam giác ANC có cos CAN = Ta có AN = AM = a , AC = Vậy cos CAN = AC + AN − CN AC AN 13a 4a , CN = CC 2 + CN = 3 3  cos ( AC , AM ) = 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C2: Phương pháp tọa độ  a  ;0;0  , A ( 0; a;2a ) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi M ( 0;0;0 ) , A ( 0; a;0) , C    4a  a  ; a; 2a   AC = Ta có AC =  − , AM = ( 0; a;0 )  AM = a 3   Vậy cos ( AC , AM ) = AC AM AC AM = Câu 15: [2H1-3]Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC với đáy ABC tam giác vuông C có AB = cm , BAC = 60 , diện tích tam giác ACC 10cm2 Tính tang góc tạo hai mặt phẳng ( C AB ) ( ABC ) A B C D Lời giải Chọn A C1: Phương pháp dựng hình Ta có AB = ( ABC )  ( CAB ) Kẻ CH ⊥ AB Ta chứng minh AB ⊥ ( CCH ) C H = ( C AB )  ( C HC ) Ta có  C H = ( C AB )  ( ABC ) Nên (( CAB ) , ( ABC ) ) = (CH , CH ) = CHC Trong ABC có cos CAB = AC  AC = ( cm ) AB Trong AHC có CH = AC.sin 60 = ( cm ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Có S AC C = C A.C C  C C = ( cm ) Trong CCH có tan CHC  = CC  = CH C2: Phương pháp tọa độ ( ) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi C ( 0;0;0) , A ( 0;4;0) , B 3;0;0 , C ( 0;0;5) Ta có ( ABC )  ( Oxy )  ( ABC ) : z = ( ( ) ) Lại có C A = ( 0; 4; − ) , C B = 3;0; −  C A, C B  = −20; − 20 3; − 16 ( ) Suy ( C AB ) có VTPT n = 5;5 3; ( ABC ) có VTPT n = ( 0;0;1) Khi cos ( ( C AB ) , ( ABC ) ) = Áp dụng công thức + tan  = n.n n n = 37  tan ( ( C AB ) , ( ABC ) ) = cos  Câu 16: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Góc đường thẳng AC ( ABC ) A  B  C  D arcsin Lời giải Chọn A C1: Phương pháp dựng hình Ta có AH ⊥ ( ABC ) nên CH hình chiếu vng góc AC lên ( ABC ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi ( AC , ( ABC ) ) = ( AC , CH ) = ACH Xét tam giác ACH vuông H ta có tan ACH = Vậy ( AC , ( ABC ) ) =  AH = CH C2: Phương pháp tọa độ ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , A ( −a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , ( ) A 0;0; a Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vectơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) ( ) Vectơ phương đường thẳng AC u = AC = a 0; − 3; Khi sin ( AC , ( ABC ) ) = u.k u.k =  Vậy ( AC , ( ABC ) ) = Câu 17: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Góc hai mặt phẳng ( BCCB) ( ABC ) A arctan B arctan C arctan D arctan Lời giải Chọn B C1: Phương pháp dựng hình Gọi E điểm đối xứng với H qua điểm B , ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AH //BE BE ⊥ ( ABC )  BE = AH = a Kẻ EK ⊥ BC , EF ⊥ BK Ta có BC ⊥ ( BEK )  BC ⊥ BK Khi (( BCCB) , ( ABC ) ) = ( BK , EK ) = BKE Xét tam giác KEB vuông K KBE = 60 , ta có EK = BE sin 60 = Xét tam giác BEK vng E , ta có tan BKE = Vậy a BE a = = EK a (( BCCB) , ( ABC ) ) = arctan C2: Phương pháp tọa độ ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , A ( −a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , ( ) A 0;0; a Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vectơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) Mặt phẳng ( BCB) có vectơ pháp tuyến n =  BC , BB = a Khi cos ( ( BCC B ) , ( ABC ) ) = Vậy n.k n.k = ( ) 3;1; −  tan ( ( BCC B ) , ( ABC ) ) = (( BCCB) , ( ABC ) ) = arctan Câu 18: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC ABC có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết AA = 3a Góc hai mặt phẳng ( ABBA) ( ABC ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A arccos B arccos C arccos D arccos 12 Lời giải Chọn D C1: Phương pháp dựng hình Tính AI = a , AG = 2a AI = 3 Kẻ GE ⊥ AB , ta có AB ⊥ AE EG = a a 69 , AG = AA2 − AG = Vậy 3 ( ( ABBA) , ( ABC ) ) = ( AE, EG ) = AEG Xét tam giác AEG vuông G ta tan AEG = Vậy AG = 23  cos AEG = EG 12 ( ( ABBA) , ( ABC ) ) = arccos 126 C2: Phương pháp tọa độ ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I ( 0;0;0) , A 0; a 3;0 , C ( a;0;0) , B ( −a;0;0 ) ,  a   a a 69  G  0; ;0  , A  0; ;  3     Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vectơ pháp tuyến k = ( 0;0;1)  69  ; Mặt phẳng ( ABBA) có vectơ pháp tuyến n =  AB, AA = a  − 23;  3   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi cos ( ( ABBA ) , ( ABC ) ) = Vậy n.k n.k = 12 ( ( ABBA) , ( ABC ) ) = arccos 126 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 4: [2H 1-3 ]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc, góc OCB = 30 , ABO = 60 AC = a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA... Ta có MH = OA = , 3 HC = OC + OH = Suy tan CMH = a 31 HC 93 = HM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 5: [2H 1-3 ]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Góc... ABC có cos CAB = AC  AC = ( cm ) AB Trong AHC có CH = AC.sin 60 = ( cm ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Có S AC C = C A.C C  C C = ( cm ) Trong