BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp : Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo h nh theo cách : , ta tiến Cách : Dựa v o định nghĩa ( Xác định đường vuông góc chung ) Cách n y thường tiến h nh ta biết hai đường thẳng Khi ta l m sau : vuông góc với Bước : Xác định mặt phẳng (P) chứa vuông góc với đường thẳng Tức l đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) , có đường thẳng Bước : Tìm giao điểm I đường thẳng với mặt phẳng (P) Từ I kẻ IH vuông góc với với H Khi IH l đoạn vuông góc chung hai đường thẳng , Bước : Tính độ d i đoạn thẳng IH Ta thường vận dụng hệ thức lượng tam giác v tam giác đồng dạng ; định lý Pitagor để tính độ d i đoạn IH Cách : Dựa v o khoảng cách đường thẳng v mặt phẳng song song Giả sử ta cần tính khoảng cách hai đường thẳng chéo sau : Bước : Lấy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d( = d( , ta tiến h nh v song song với đường thẳng Khi Nên lấy cho ta dễ d ng tính khoảng cách Bước : Tính khoảng cách đường thẳng v mặt phẳng (P) THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC l tam giác vuông , AB = BC = a , cạnh bên AA’ = a√ Gọi M l trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v khoảng cách hai đường thẳng AM , B’C Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Từ giả thiết suy tam giác ABC vuông cân B Thể tích khối lăng trụ l : √ √ (đvtt) Gọi E l trung điểm BB’ Khi mặt phẳng (AME) // B’C nên d(AM,B’C) = d(B’C,(AME)) Nhận thấy d(B,(AME)) = d(C,(AME)) Gọi h l khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) Do tứ diện BAME có BA , BM , BE đôi vuông góc nên suy đường cao : √ Khoảng cách hai đường thẳng B’C v AM khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) : h= √ Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình vuông cạnh a Gọi M v N l trung điểm cạnh AB v AD , H l giao điểm CN v DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) v SH = a√ Tính thể tích khối chóp S.CDNM v khoảng cách hai đường thẳng DM v SC theo a Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tính thể tích khối chóp S.CDNM Ta có : SH ⏊ (ABCD) suy SH l đường cao √ √ (đvtt) Tính khoảng cách DM v SC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! + Ta có : ΔCDN = ΔDAM (c.g.c) { ⏊ ⏊ Kẻ HK ⏊ Với : { => DM ⏊ => DM ⏊ => HK ⏊ MD => HK = d(DM,SC) √ => HK = √ √ Thí dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC l tam giác vuông cân B , AB = BC =2a , hai mặt phẳng (SAB) v (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M l trung điểm AB , mặt phẳng qua SM v song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) v (ABC) Tính thể tích khối chóp S.BCNM v khoảng cách hai đường thẳng AB v SN theo a Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Theo giả thiết : ⏊ { => SA ⏊ (ABC) => SA l đường cao hình chóp S.BCMN Do : { ⏊ ⏊ ( ̂ => BC ⏊ (SAB) ) ̂ Trong tam giác vuông SAB ta có : SA = AB.tan =2 Nên = 2a√ v =2 √ = √ Kẻ NI // AB để có AMNI l hình vuông , khoảng cách AB đến SN l hướng cao ΔSAI , gọi h l chiều cao , ta có : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ ( √ √ ) Thí dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình thoi , AC cắt BD gốc tọa độ O ( Biết √ ) Gọi M l trung điểm cạnh SC a Tính góc v khoảng cách hai đường thẳng SA v BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích hình chóp S.ABMN Giải : Cách : a Giả thiết => SO ⏊ (ABCD) ; SA = SC = 2√ Ta có OM // SA => Góc (SA , MB) = ̂ OB ⏊ (SAC) => OB ⏊ OM Tam giác OBM có tan ̂ = => tan ̂ = √ => ̂ Vẽ OH ⏊ SA => OH ⏊ OM v OH ⏊ OB => OH ⏊ (OMB) Vì SA // OM => SA // (OMB) => d(SA,MB) = d(H,(OMB)) = OH = √ SD = N => N l trung điểm SD b (ABM) Ta có : => Tương tự : Vậy √ √ Cách : a O l trung điểm BD => D M l trung điểm SC => M( ; O l trung điểm AC => C ( √ ) ; ⃗⃗⃗⃗ √ ) ( Gọi √ ); l góc nhọn tạo SA v BM cos = | √ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Gọi (α) l mặt phẳng chứa SA v // BM Suy PT : (α) : √ √ Ta có : d(SA,BM) = d(B,(α)) = PT mp(ABM) : √ √ √ √ PT tham số SD : { √ Tọa độ điểm N = SD ⃗⃗⃗⃗ ( √ ) (ABM) => N( √ ) ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ) [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( √ ) [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ Vậy √ √ √ √ (đvtt) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!