bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃITRƯỜNG THPT THU XÀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Giáo Viên: Ng

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

TRƯỜNG THPT THU XÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Giáo Viên: Nguyễn Phỉ Đức Trung

Năm 2008 - 2009

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Nghiên cứu sách giáo khoa môn toán lớp11và các đề tuyển sinh ĐH –

CĐ trong những năm gần đây tôi nhận thấy dạng bài toán về khoảng cách thường được sử dụng trong các kì thi Hơn nữa thời lượng dành cho các vấn đề

về khoảng cách ở lớp 11 lại rất ít, do đó giáo viên cũng khó khăn trong việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cùng các kinh nghiệm cần thiết để giải các dạng bài tập này

Không ít các bài toán về khoảng cách có thể giải được bằng phương pháp tọa độ, tuy nhiên không phải học sinh nào củng có khả năng chọn được

hệ trục tọa độ thích hợp với từng bài toán cụ thể Đặc biệt với học sinh lớp 11 thì điều này lại càng không thể

Xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh và giảng dạy của bản thân Tôi viết bài ‘ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU’

2 Về lý luận:

+ Học sinh đã có kiến thức về hai đường thẳng song, đường thẳng và mặt phẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

+ Học sinh đã biết các công thức tính toán ở lớp dưới

+ Giáo viên có trực tiếp soạn , giảng môn toán ở lớp 11.

3 Về thực tiễn:

+ Vấn đề về khoảng cách là vấn đề tương đối khó với đặc thù học sinh Trường THPT Thu Xà

+ Thời lượng học sinh được giáo viên hướng dẫn rất ít mà các bài tập ở dạng này thì đa dạng, phong phú về nội dung

+ Học sinh thường mắc sai lầm khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Giáo viên có điều kiện thực hiện đề tài do trực tiếp dạy khối 11 và 12

II NỘI DUNG

BÀI TOÁN

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

1.1 Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng (P), tính khoảng

cách d(M, (P)).

P

H M

1.2 Phương pháp giải:

Cách 1: + Dựng MH vuông góc với mặt phẳng (P) tại H

+ Tính độ dài đoạn thẳng MH Khi đó d(M, (P)) = MH.

Cách 2: Tìm đường thẳng d qua M và cắt mặt phẳng (P) tại I, trên d chọn điểm A (A ≠ I, A ≠ M), lúc đó:

d(M;(P)) IM d(M;(P))=IM.d(A;(P))

d(A;(P))  IA  IA

P I

M A

Q

P

M

H

+ Một số trường hợp ta có thể chọn điểm rơi H để bài toán đơn giản hơn.

i) Nếu tìm được mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) thì ta tìm giao

tuyến giữa (P) và (Q) Từ M hạ đường vuông góc với giao tuyến thì ta được khoảng cách.Trường hợp này ta áp dụng cách 1

ii) Nếu tìm được đường thẳng thích hợp đi qua M và cắt (P) tại I thì áp

dụng cách 2

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

2.1 Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng a và b, kí hiệu d(a;b)

2.2 Phương pháp giải:

Cách 1: (Áp dụng cho a và b chéo nhau và a  b )

+ Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc

với b tại B

+ Trong (P) dựng BA a tại A

+ Khi đó d(a; b) = AB.

Cách 2:

+ Dựng mặt phẳng (P) chứa b và (P) // a,

d(a; b) = d(a; (P)) = d(M; (P)) , với M (P)

Cách 3:

+ Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a.Giả sử (P) a = I

+ Dựng hình chiếu của b trên (P) là b’

+ Trong (P) kẻ OH b’ và từ H kẻ đường thẳng song với a cắt b tại B + Từ B kẻ đường song song với OH cắt a tại A

Khi đó d(a; b) = AB.

Cách 4: + Dựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) //b

+ Dựng mặt phẳng (Q) chứa b và (Q) //a

Khi đó d(a; b) = d((P); (Q))

A a

b

B P

b

a M

H P

a

b' I

B

H

P

b

a

Q

P

3.Bài tập áp dụng:

3.1 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a, SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC); SA = a 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Cách1:

Gọi O là trung điểm AC, F = GB SA

Đường thẳng BG cắt mặt phẳng (SAC) tại F

Khi đó d(G;(SAC))

d(B;(SAC))  GF 1

BF  3

=> d(G; (SAC)) = d(B;(SAC)).GF

BF = 1

3d(B;(SAC))

Mà OB SA, OB AC => OB (SAC) nên

d(B; (SAC)) = OB = a 2

2

Vậy d(G; (SAC)) = 1 a 2. a 2

3 2  6

Cách 2:

Dựng đường thẳng đi qua G song song với

SA, cắt AB tại N Khi đó:

d(G;(SAC)) = d(N; (SAC)).

Dựng NH AC tại H, ta có NH (SAC),

Suy ra d(N; (SAC)) = NH

Mà NH AN FG 1

OB  AB  FB  3 nên NH = 1OB a 2

3.2 (Đề thi TSĐH khối D năm 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC   BAD 90  0,BA = BC = a

AD = 2a Cạnh bên SA = a 2 và vuông góc với đáy Gọi H là hình chiếu của

A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Gọi I là trung điểm AD , suy ra tam giác ACD

vuông cân tại C Suy ra SC CD

(Định lý ba đường vuông góc)

Tam giác vuông SAB ta có SH 2

SB  3, khi đó

O

G A

C

B

S

F

O

F

G A

C

B

S

N H

S

H

I

d(H,(SAC)) = 2

3d(B,(SAC)) = 2a

3

(Với học sinh 12 các em có thể giải bằng phương pháp tọa độ cách khéo léo chọn

hệ tọa độ để giải)

2.3 (Đề thi TSĐH khối D năm 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB = BC = a, AA’

= a 2 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM, B’C

Giải:

Gọi E là trung điểm của BB’, khi đó

B’C // (AME).Vì vậy khoảng cách giữa B’C và

AM bằng khoảng cách giữa B’C va mặt phẳng

(AME)

d(B’C ; (AME)) = d(C; (AME))

Mà d(C; (AME)) = d (B; (AME)).

Tứ diện BAEM đôi một vuông góc với nhau

tại B.Gọi H là hình chiếu của B trên (AME)

 d(B; (AME)) = BH.

Ta có 12 1 2 12 12

BH  BM  BA  BE

= 12 42 22 72

a  a  a  a => d(B; (AME)) = BH = a

7

(Với học sinh 12 các em có thể giải bằng phương pháp tọa độ cách khéo léo

chọn hệ tọa độ để giải)

3.4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, BAD = 600, SO

(ABCD) và SO = 3a

4 a) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa AD và SB

Giải a) Dựng OI BC tại I Nhận thấy BC (SOI)

Dựng OH SI tại H, vì OH SI nªn OH (SBC)

OH BC









Vậy d(O; (SBC)) = OH.

Ta có OI = a 4

2 Kéo dài OI cắt AD tại J, lúc đó

A

B M C

A’

B’

C’

E H

I O

S

J H

L

IJ AD và IJ = 2IO = a 3

2 Ta thấy tam giác ISJ đều, dựng JL  SI tại L thì JL (SBC) và JL = SO = 3a

4

Vì AD //(SBC) nên d(A; (SBC)) = d(J; (SBC)) = JL = 3a

4

Suy ra d(O; (SBC)) = 3a

8

b) Do AD //(SBC) nên d(AD; SB) = d(AD; (SBC)) = JL = 3a

4

(Với học sinh 12 các em có thể giải bằng phương pháp tọa độ cách khéo

léo chọn hệ tọa độ để giải)

Với những ví dụ và những gợi ý nhỏ trong bài viết nay chúng ta có thể vận dụng

để giải các bài tâp sau

4.1 (Đề thi TSĐH khối B năm 2008)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M và N là trung điểm AE và

BC Chứng minh NM BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN

và AC

4.2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A’C’, C’B’ Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau

a) DE và AB’

b) A’B và B’C’

4.3 Cho hai tia Ax và By chéo nhau và góc giữa chúng bằng 600 và AB = a là đoạn vuông góc chung của chúng Trên By lấy điểm C sao cho BC = a Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)

b) Tính khoảng cách giữa AC và BD

4.4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, AA’ = c

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (A’C’D)

III KẾT LUẬN:

Bài viết ‘ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU’’

nhằm mục đích giúp học sinh lớp 11 –12 có thêm kinh nghiệm giải các bài tập về khoảng cách, đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh đại học Vì trình độ và thời gian có hạn nên bài viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn,rất mong được sự phê bình và góp ý của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để bài viết được hoàn chỉnh hơn nhằm làm tư liệu cho các em học sinh tham khảo học tập

Quảng Ngãi, ngày 06 tháng 4 năm 2009.

Người thực hiện

Nguyễn Phỉ Đức Trung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hình học 11 Nhà xuất bản GD

2 Hình học 11 nâng cao.Nhà xuất bản GD

3 Sách giáo viên hình học11.Nhà xuất bản GD

4 Sách giáo viên hình học 11 nâng cao.Nhà xuất bản GD

5 Trọng tâm kiến thức hình học 11 Tác giả: Phan Huy Khải

6 Tạp chí toán học và tuổi trẻ

7 Tuyển tập các đề thi TSĐH Tác giả : Lê Hoành Phò

MỤC LỤC

Trang

I.Mở đầu……….1

1 Lý do chọn đề tài……… 1

2 Về lý luận……….……….1

3 Về thực tiễn……… 1

II Nội dung……….2

1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……… 2

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……….2

3 Bài tập áp dụng ………4

4 Bài tập tự giải………6

III Kết luận:………7