giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học vềgiải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáoviên và học sinh cũng chưa c

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết

Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các

em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lậpphương trình, hệ phương trình Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểuhọc, các bài toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phươngtrình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9 Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lậpphương trình, hệ phương trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm đượcquy tắc chung (các bước giải) Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lạikhông biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lờigiải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình, hệphương trình Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong cácbài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, nhưng đại đa số học sinh

bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cáchlàm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý

Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học vềgiải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáoviên và học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu thamkhảo ở các trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu

Trường tôi đang giảng dạy là một trường DTNT nên đa số các em đều là đồngbào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất hạn chế đặc biệt là về các môn khoahọc tự nhiên, nhiều em con đọc viết rất chậm khi lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thumôn Toán của các em tương đối còn yếu, còn chậm

Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã thôi

thúc tôi ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với cácđồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9”, ứng dụng của Toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích, tìm hiểu môn

Toán cũng như các môn khoa học khác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phươngtrình, hệ phương trình một cách kỹ càng, chính xác

Giúp các em học sinh có kỹ năng thực hành giải toán tương đối thành thục khigặp bài toán đòi hỏi bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

4 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp tìm lời giải bài toán, các bài toán giải bằng cách lập phương trình

và hệ phương trình trong chương trình toán THCS ở lớp 9

5 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS ở lớp 9 trên

cơ sở các bài toán về “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” của Chương III - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”

của Chương IV - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán giải bằng cách lập phương trình và

hệ phương trình trong các sách tham khảo

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp trực quan

Phương pháp tìm tòi

Phương pháp làm việc với sách

7 Đóng góp khoa học của sáng kiến

Kinh nghiệm “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã được vận dụng trong quá trình giảng dạy

môn Toán lớp 9 ở trường PT DTNT Tây Nguyên và bước đầu đã giúp cho học sinhhứng thú hơn trong việc học Toán

Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối với họcsinh lớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán bằngcách lập phương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu mônToán, yêu thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác.

8 Kết cấu của đề tài gồm Mở đầu, hai phần, kết luận, tài liệu tham khảo.

đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả.” Sự phát triển của các khoa học

đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K Marx): “Một khoa học chỉ thực sự pháttriển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học.”

Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo

và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, cóđầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay

Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạyhọc hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyếtvấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng cácphương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tựhọc, tự nghiên cứu cho học sinh

Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra nhữngphương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học cótính đặc thù cao là môn Toán.

Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoahọc hiện đại Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh Đặcbiệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thukiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại Vì thế để giúp các em học tậpmôn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầynhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy mộtcách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất

1.2 Thực trạng của vấn đề

Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hộinhiều kiến thức Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trìnhhọc tập là phương trình Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đãđược giải phương trình Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền sốthích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức vàcao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp Đến lớp 8, lớp 9 các đề toántrong chương trình đại số về phương trình là bài toán có lời Các em căn cứ vào lờibài toán đã cho phải tự mình thành lập phương trình, hệ phương trình và giải phươngtrình, hệ phương trình Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giảiphương trình, hệ phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương

trình, hệ phương trình Đó là dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình,

hệ phương trình” Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng

rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí vàphải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống.Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng được những khả năng trênnên không giải được các dạng của bài toán lập phương trình

Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với họcsinh THCS là một việc làm mới mẻ Đề bài cho không phải là những phương trình, hệ

phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, họcsinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời vănsang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn

bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quátrình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số

vô lý Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liềnvới nội dung thực tế Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liênquan đến thực tế Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế

Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này Mặc khác, cũng cóthể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho họcsinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán,chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinhcòn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việchọc sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này Đốivới việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới đượchọc nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình Xuấtphát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao Nhiều em nắm được lýthuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được Do vậyviệc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm

lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy,đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấycần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câuhỏi và tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung

tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập Để giúp học sinh bớt khó

khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập

phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹcàng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.

Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạngbài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, khôngchỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phươngpháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành Nếu làm được điều

đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn

Kết luận phần 1

Từ những lí do nêu trên, do đó giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinhnhững kiến thức như trong sách giáo khoa (SGK) mà còn dạy cho học sinh cách giảibài tập Giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựatrên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằngcách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đạilượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng Và khi lập được phương trình rồi thìđòi hỏi phải giải cho chính xác, tìm ra kết quả rồi sau cùng mới kết luận bài toán Đây

là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn không những đối với học sinh mà còn đối vớigiáo viên Do đó giáo viên không những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải màcần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tưduy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngàycàng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lậpphương trình, hệ phương trình

Phần 2 GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9

2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình”

Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quankhác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả caotrong công tác Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cáchlập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phùhợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao đểcác em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thờikích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi

Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắngnghe ý kiến của các em Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia traođổi nhóm khi cần thiết Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có tráchnhiệm với bản thân và tập thể

Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng

bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào mộtquy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Cụ thể nhưsau :

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau

- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn

và phù hợp

Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm

của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồikết luận)

Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận

dạng bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải Bước 1 có tính chất quyết định nhất Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.

2.2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cầnđảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :

Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.

Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn họcsinh tìm hiểu đề toán Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ

đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đãcho những gì, yêu cầu tìm những gì Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quátrình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đềbài là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán Nó giúp học sinh rất nhiều trongviệc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …

Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều vớiđiều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán

Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09

Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

Phân tích :

Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:

+ số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a b

Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của

số cần tìm Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx 10y x 

Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :

Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lậpluận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học Vì mỗi câu lập luận trong bài giảiđều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán Do đó giáo viên cần phảigiúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ

đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số đểlập luận và lập nên phương trình Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toánbằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phươngpháp biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó

ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết Học sinh có thể sử dụng cách lập

bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi nhữngbiểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng.

Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?

Phân tích :

Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem

là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung 1

24 công việc Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Khi đó nếu gọi :

+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A

+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B

Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.

Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tínhtoàn diện của bài giải Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, khôngthừa cũng không thiếu Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không

bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiệncủa bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phảichú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kếtluận bài toán cho chính xác Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diệnnhất

Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22

Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.

Hướng dẫn giải :

Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)

thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)

y x

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng

Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt

Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tínhtoàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làmđược

Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24