kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ***** A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những yêu cầu thường xuyên và căn bản. Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã phải tìm độ dài đoạn thẳng một cách trực tiếp thông qua đo đạc. Tiếp đến các lớp trên khi học sinh được tiếp cận ngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm được ngày càng vững chắc tính chất và mối quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm dần. Thay vào đó việc tìm độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng. Đặc biệt khi các em học đến lớp 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tương đối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức tương đối cao. Ở đó việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình học mà còn sử dụng tương đối nhiều kiến thức từ đại số chẳng hạn như ; tỉ lệ thức, tính chất đẳng thức, bất đẳng thức…, qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng là tương đối đa dạng. Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn tromg tư duy khi gặp loại toán tìm độ dài đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm được một số dạng của loại toán này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi giới thiệu kinh nghiệm giải bài toán “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” cho học sinh lớp 8,9. Qua sáng kiến này tôi hy vọng nhận được sự trao đổi quý báu từ các bạn đồng nghiệp. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU. Năm học 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thường đạt hiệu quả không cao. Biểu hiện cụ thể ; học sinh 4 thường mất nhiều thời gian cho việc tìm lời giải và việc trình bầy thì chưa thật hợp lý. II – KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG. . Phân môn đại số : tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến đổi phương trình bậc hai , Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến các cách giải phương trình bậc hai. + Phương pháp : đưa hai vế của phương trình về hai luỹ thừa cùng bậc. + Phương pháp : vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biền đổi phương trình bậc hai về phương trình tích. + Phương pháp : nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức. . Phân môn hình học : Mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng hợp nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9. Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đường tròn, đến diện tích của một số hình mà học sinh đã học. III – NHỮNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM. 1) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó được bổ sung và sử dụng tương đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em. Từ sự đồng dạng của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng hay nói khác đi ta có thể thiết lập được phương trình về độ dài đoạn thẳng. * Chú ý : Tính chất đường phân giác trong tam giác, một số hệ thức trong tam giác vuông được xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác. *Bài tập 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH? Bài giải : 5 9 ? 20 x H C B A * Đặt BH = x cm ( 0 < x < 20 ) nên BC = x +9 cm Xét ABC ∆ và ∆ ABH có · · 0 90BAC AHB = = µ B chung ⇒ ( . )ABC HBA g g ∆ ∆ : AB BC BH AB ⇒ = ⇒ AB 2 = BH .BC Thay số : 20 2 = (x + 9)x ⇔ x 2 + 9x – 400 = 0 ⇔ ( x+ 25 ) ( x - 16) = 0 ⇔ x = - 25 hoặc x =16 Do ( 0 < x < 20 ) nên chỉ có x =16 là thoả mãn Vậy AH = 16 *Bài tập 2. Cho tam giác ABC , đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC theo thứ tự ở D và E . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A kẻ tia Dx sao cho và góc ADx bằng góc ADB Từ A kẻ AH vuông góc với Dx( H thuộc Dx). Biết DH = 27 cm ,AD = 45 cm ,BC = 40 cm . Tính độ dài DB,DC Bài giải : Đặt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40) Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC và AE là phân giác ngoài của tam giác ABC nên góc DAE bằng 90 0 (góc hợp bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là góc vuông ) Xét ∆ ADE và ∆ ADH có : · · · · 0 90 ( ) EAH AHD ADB ADH gt = = = EAD AHD ⇒ ∆ ∆ : (gg) 6 AD DH DE AD ⇒ = AD 2 = DE.DH ⇒ DE = 2 2 45 27 AD DH = = 75 - Theo tích chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có : 75 75 DB EB x x DC EC y y − = ⇒ = + (1) Mặt khác x + y = 40 thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn ta có : x 2 – 115x + 1500 = 0 ⇔ (x 2 – 15x) – (100x – 1500) = 0 ⇔ (x – 15)(x – 100) = 0 * Do 0 < x < 40 nên chỉ có x = 15 là thoả mãn. * Vậy DB = 15cm, DC = 25cm. *Lời giải hai bài toán trên áp dụng cho học sinh lớp 8 ,còn học sinh lớp 9 lời giải đơn giản hơn *Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm K, M, H sao cho AKMH là hình vuông. Biết BC = 15cm , hình vuông cạnh đó có độ dài 1cm.Tính độ dài đoạn thẳng AB ? Bài giải : *Đặt AB = x , AC = y , (1 < x < 15 , 1 < y < 15 ) * Xét tam giác vuông ABC ta có : 7 M K H C B A x 2 + y 2 = 15 *Do AHMK là hình vuông MK / / CH suy ra tam giác KBM đồng dạng với tam giác HMC , do dó 1 1 1 1 BK MK x MH CH y − = ⇒ = − ⇒ xy = x +y (1) Đặt x + y = m ( m > 2 ) , ta có : x 2 + y 2 = 15 ⇔ x 2 + y 2 +2xy – 2xy = 15 ⇔ (x + y ) 2 - 2 ( x+y) =15 ⇔ m 2 – 2m +1 = 16 ⇔ ( m - 1) 2 = ( ± 4) 2 Trường hợp 1 : m – 1 = 4 ⇔ m = 5 Trường hợp 2: m - 1 = - 4 ⇔ m = - 3 Do m > 2 nên chỉ có m =5 là thỏa mãn * Với m = 5 ⇒ x + y = 5 ⇒ y = 5 – x , thay vào phương trình (1) ta có x( 5 –x ) = x + 5 - x ⇔ x 2 – 5 x + 5 = 0 ⇔ ( x - 5 2 ) 2 = 5 4 ⇔ ( x - 5 2 ) 2 = 2 5 ( ) 2 ± Trường hợp 1 : x - 5 2 = 5 2 ; 1 5 5 2 x + = Hoặc 2 5 5 2 x − = Đều thoả mãn điều kiện Vậy AB = 5 5 2 + cm hoặc AB = 5 5 2 − cm 2) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Đến lớp 9 học sinh được tìm hiểu về đường tròn một cách hệ thống hơn . Trong đó tính chất tiếp tuyến , quan hệ giữa đường kính và dây cung , quan hệ giữa góc và đường …, được đề cập một cách thường xuyên hơn . Chính từ những vấn đề đó làm nảy sinh sự đồng dạng , sự vuông góc và như vậy quan hệ bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càng nhiều hơn . • Bài tập 1 . 8 Cho nửa đường tròn tâm 0 đường kính AD .Các điểm B,C,thuộc nửa đường tròn sao cho AB = BC = 2 5 cm , CD = 6 cm . Tính bán kính của đường tròn Bài giải * Gọi giao điểm của AC và OB là H . * Do AB = BC , OA = OC nên OB là đường trung trực của AC suyra OB ⊥ AC và AH = HC mặt khác ta có OH là đường trung bình của tam giác ACD Do đó OH = 1 2 CD = 3 ( cm ) và HC = 1 2 AC * Gọi bán kính của đường tròn có độ dài là x (cm) ( x> 3 ) * Tam giác ADC vuông ở C nên ta có : AC 2 = AD 2 – DC 2 ( Định lý Pitago ) ⇒ 2 2 2 1 1 1 (2 ) .6 4 4 4 AC x = − 2 2 1 9 4 AC x ⇒ = − ⇒ HC 2 = x 2 – 9 (1) * Tam giác BCH vuông ở H nên ta có : HC 2 = BC 2 – BH 2 ⇒ HC 2 = (2 5 ) 2 – (OB – HO) 2 ⇒ HC 2 = 20 – (x – 3) 2 (2) * Từ (1) và (2) ta có phương ttrình : x 2 – 9 = 20 – (x – 3) 2 ⇔ x 2 – 3x – 10 = 0 ⇔ (x – 5)x + (x – 5)2 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 2) = 0 * Do x > 3 nên chỉ có x = 5 là thoả mãn điều kiện. * Vậy bán kính có độ dài là 5cm. • Bài tập 2 9 Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, hình thang ABCD nội tiếp trong đường tròn đó và ngoại tiếp được một đường tròn khác. Tính độ dài đoạn thẳng CD ? Bài giải x y D E F I O C A B * Đặt DC = x, BC = y ( 0 < x, y < 2.R ) * Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD , suy ra các cạnh của hình thang đều là các tiếp tuyến của đường tròn (I ) từ đó dễ dàng chứng minh được DC + AB = AD + BC ⇒ x + 2R = 2y ⇒ y = 2 x + R (1) * Do tam giác ABC vuông ở C nên ta có : AC 2 = AB 2 – BC 2 ( Định lý Pitago ) ⇒ AC 2 = 4R 2 – y 2 (2) * Kẻ DE, CF vuông góc với AB ( E ,F thuộc AB ), từ đó ta suy ra được OE = OF = 2 x * Tam giác ABC vuông ở C đường cao CF nên : AC 2 = AF .AB ⇒ AC 2 = (R + 2 x ).2R ⇒ AC 2 = 2R 2 + Rx (3) * Từ (1), (2), (3) ta có ; 2R 2 + Rx = 4R 2 – ( 2 x + R) 2 10 ⇔ 2 4 x + 2 Rx - R 2 = 0 ⇔ x 2 + 8Rx – 4R 2 = 0 ∆ ’ = 16R 2 + 4R 2 = 20R 2 x 1 = - 4R + 2 5 R ( thoả mãn). x 2 = - 4R - 2 5 R ( loại). * Vậy CD = 2R( 5 - 2) ( đơn vị độ dài) • Bài tập 3. (Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002 ) Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB, M là một điểm thuộc đường tròn sao cho MA < MB. Qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến tai M cắt d ở N và cắt AB tại K. Đường thẳng d cắt đường thẳng MO tại H. Đường thẳng AM cắt HK ở C. Biết MNOC là bình hành. Tính OH theo R. Bài giải Bài giải Đặt OH = x ( x > 0 ) Ta có tam giác OBH đồng dạng với tam giác NMH ⇒ BH OH MH NH = ⇒ BH.NH = OH.MH ⇒ BH (BN + BH ) = OH ( R + OH ) ⇒ BH . BN + BH 2 = OH .R + OH 2 BH . BN + x 2 – R 2 = R x + x 2 BH . BN = R ( R + x) (1 ) * Do N giao của hai tiếp tuyến NB , NM suy ra BN = MN , mặt khác tứ giác MNOC là hình bình hành nên MN = OC , từ đó ta có : BN = OC ( 2 ) 11 O M N K d H C B A * Từ ( 1 ) , ( 2) ta có BH . OC = R ( R + x ) ⇒ BH 2 . OC 2 = R 2 ( R + x ) 2 ( 3 ) Do tứ giác MNOC là hình bình hành nên MN // OC mà MN ⊥ MH nên OC ⊥ MH Do BK ⊥ NH , MH ⊥ KN ⇒ O là trực tâm của tam giác KNH ⇒ ON ⊥ HK Mặt khác MC // ON ( do tứ giác MNOC là hình bình hành ) suy ra MC ⊥ HK. Tam giác MHC vuông ở C đường cao OC nên : OC 2 = OM. OH ( 4 ) Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta suy ra : BH 2 . MO . OH = R 2 ( R + x) 2 ⇒ (x 2 – R 2 ) R .x = R 2 ( R + x) 2 ⇔ ( x – R ) x = R ( R + x ) ⇔ x 2 – 2R x - R 2 = 0 ' ∆ = R 2 + R 2 = 2R 2 x 1 = R – R 2 ( loại ) x 2 = R + R 2 (thoả mãn ) Vậy OH = R ( 1 + 2 ) đơn vị độ dài 3) DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Riêng về các công thức tính diện tích , xét về phương diện đại số: chúng là các hàm số bậc hai về độ dài. Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình thì có thể làm xuất hiện phương trình bậc hai . Bài tập 1 ( Phát triển từ bài tập 83 – 84 hình học SGK toán 9) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C . Vễ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB hai nửa đường tròn có đường kính lần lượt là AB, AC còn trên nửa mặt phẳng đối vẽ nửa đường tròn đường kính BC . AB = 8 cm đặt S là diện tích của hình được giới hạn bởi ba đường tròn nói trên và AC = x . Tìm x để S bằng diện tích của nửa dường tròn đường kính AC 12 Bài giải Diện tích S là ( ) ( ) 2 2 1 1 8 8 2 8 8 8 x x x π π π π − + − = − ( cm 2 ) Để S bằng diện tích của nửa đường tròn đường kính AC thì : ( ) 2 1 2 8 8 x x π π = − ⇔ x 2 + 16 x – 128 =0 ∆ ’ = 64 + 128 = 192 x 1 = - 8 - 8 3 < 0 ( loại ) x 2 = - 8 + 8 3 > 0 ( thoả mãn ) * Khi x = 8 3 - 8 cm thì S bằng diện tích của nửa hình tròn đường kính AC. * Bài tập 2 ( Phát triển từ bài tập hình học trong SGK – SBT toán 8 ) Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Gọi M, N, E, F lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF. Tính độ dài đoạn thẳng MF để diện tích của tứ giác MNEF bằng 5 8 diện tích hình vuông ABCD. Bài giải 13 Diện tích của nửa đường tròn dường kính AB l :à 2 1 8 ( ) 8 2 2 π π = ( cm 2 ) • Diện tích của nửa đường tròn đường kính AC l :à 2 2 1 1 ( ) 2 2 8 x x π π = ( cm 2 ) • Diện tích của nửa đường tròn đường kính BCl :à ( ) 2 2 1 8 1 ( ) 8 2 2 8 x x π π − = − ( cm 2 ) [...]... thể làm được Bài 2, 3; đòi hỏi sự vận dụng nhiều đơn vị kiến thức hơn, sự vân dụng linh hoạt hơn, sáng tạo hơn, các phần này học sinh có lực học khá và giỏi có thể làm được 17 TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƠNG TRÌNH BẬC 2 A MỤC TIÊU - Hs biết tính độ dài đoạn thẳng thông qua p ,trình bậc 2 một cách thành thạo - Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập - Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bầy tính toán B CHUẨN... ID = 5 5 cm Tính độ dài đoạn thẳng DC ? Bài tập 4 Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao diểm của đường phân giác Biết AB = 5cm, IC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BC ? Bài tập 5 Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AB ? Bài tập 6 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, H là trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng AD ? Biết... tạo trong việc giải các bài toán nâng cao Khi được tiếp cận dạng toán này, học sinh giải loại toán tìm độ dài đoạn thẳng đạt hiệu quả cao hơn như ; thời gian giải toán được giảm bớt, số lượng bài tập làm được ngày càng nhiều, kỹ năng trình bày được nâng lên, ngoài ra học sinh thêm phần tự tin trong giải toán Tất cả những điều đó góp phần làm cho ngày càng nhiều học sinh say mê môn toán Qua sáng kiến... tính độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc 2 , - Gv soạn bài, đọc bài, phấn màu B C HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY VÀ TRÒ 1- Kiểm tra bài cũ h - Cho ∆ ABC vuông tại A, đờng cao AH, AC = 15cm, HB = 16cm Tính độ dài AH Bài giải - Đặt HC = x ( 0 < x < 15 ) c A Xét ∆ HAC : ∆ ABC (gg) ⇒ AC HC ⇔ = BC AC ⇔ ⇔ ⇔ AC2 = BC.HC 152 = (x + 16)x x2 + 16x – 225 = 0 (x – 9)(x + 15) = 0 Vì 0 < x < 20 nên x = 9 nhận 2- Bài. .. báu các bạn đồng nghiệp để sáng kiến 23 Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai ngày một hoàn thiên hơn 24 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa Toán 8 NXB Giáo dục 2 Sách bài tập Toán 8 NXB Giáo dục 3 Sách giáo khoa Toàn 9 NXB Giáo dục 4 Sách bài tập Toán 9 NXB Giáo dục 5.Một số vấn đề phát triển Toán 8 Vũ Hữu Bình 6.Một số vấn đề phát triển Toán 9 Vũ Hữu Bình 25 ... ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán Điều đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tượng học sinh thì chắc chắn kết quả thu được của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục được nâng lên Đối với học sinh khá , giỏi Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai còn áp dụng với nhiều loại toán khác Phát huy được trí tuệ thông minh của học sinh * Kết quả khảo sát... huyện 21 * Kết quả khảo sát qua các đội tuyển Nhiều năm kết quả học sinh giỏi của trường đã đạt kết quả cao Kết quả đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007- 2008 do tôi phụ trách xếp thứ 3 trên 26 trường trong huyện có 1 em được gọi vào bồi dưỡng đội tuyển để thi học sinh giỏi cấp tỉnh V) ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai được áp dụng cho học... sinh lớp 9 sau khi các em học hết chương trình hình học phẳng Tuy nhiên khi học xong mỗi chương trình hình học 9 thì học sinh có thể làm được một số bài tập của chuyên đề Sáng kiến Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thích hợp nhất cho đối tượng học sinh có lực học khá, giỏi Mặc dù vậy học sinh có học lực trung bình có thể làm đượng một số bài đơn giản trong chuyên đề VI ) NHỮNG ĐỀ... bảng trình bày Cách giải của bài toán này R−x 2 3R + x EF = 2 O1E = (2) (3) - Từ (1), (2), (3) ta có : 2  − x  R − x 3R + x  2 ÷ = 2 2   ⇔ 2x2 + 2Rx – 3R2 = 0 (4) ∆ ’ = R2 + 6R2 = 7R2 ⇒ ∆ ' = R 7 - Gv cùng Hs nhận xét bài làm của bạn x1 = − R + R 7 ; x2 = − R − R 7 20 2 2 - Vì x > 0 nên chỉ x1 thoả mãn D CỦNG CỐ - Rèn kỹ năng tính độ dài đoạn thẳng rất quan trọng nó giúp chúng ta giải các bài. .. đạo các tổ chuyên môn quan tâm tổ chức các chuyên đề , ngoại khóa để các đồng nghiệp cố thể cố thể trao đổi học hởi kinh nghiện lẫn nhau nhiều hơn Học sinh hứng thú hăng say học tập góp phần ngày càng nâng cao hiệu quả dạy học 22 C KẾT LUẬN Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là một nghệ thuật để giúp các em nắm được bài ,hiểu bài và có hứng thú ,kỹ năng Nhất là bài tập khó trong giờ . KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ***** A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những yêu. của loại toán này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi giới thiệu kinh nghiệm giải bài toán Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai cho. 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thường đạt hiệu quả không cao. Biểu