SKKN Kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI" 4 A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những yêu cầu thường xuyên và căn bản. Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã phải tìm độ dài đoạn thẳng một cách trực tiếp thông qua đo đạc. Tiếp đến các lớp trên khi học sinh được tiếp cận ngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm được ngày càng vững chắc tính chất và mối quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm dần. Thay vào đó việc tìm độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng. Đặc biệt khi các em học đến lớp 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tương đối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức tương đối cao. Ở đó việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình học mà còn sử dụng tương đối nhiều kiến thức từ đại số chẳng hạn như ; tỉ lệ thức, tính chất đẳng thức, bất đẳng thức…, qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng là tương đối đa dạng. Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn tromg tư duy khi gặp loại toán tìm độ dài đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm được một số dạng của loại toán này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi giới thiệu đề tài "Kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai" cho học sinh lớp 8,9. Qua sáng kiến này tôi hy vọng nhận được sự trao đổi quý báu từ các bạn đồng nghiệp. 5 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU. Năm học 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thường đạt hiệu quả không cao. Biểu hiện cụ thể ; học sinh thường mất nhiều thời gian cho việc tìm lời giải và việc trình bầy thì chưa thật hợp lý. II – KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG . Phân môn đại số : tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến đổi phương trình bậc hai , Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến các cách giải phương trình bậc hai. + Phương pháp : đưa hai vế của phương trình về hai luỹ thừa cùng bậc. + Phương pháp : vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biền đổi phương trình bậc hai về phương trình tích. + Phương pháp : nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức. . Phân môn hình học : Mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng hợp nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9. Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đường tròn, đến diện tích của một số hình mà học sinh đã học. III – NHỮNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM. 1) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 6 Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó được bổ sung và sử dụng tương đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em. Từ sự đồng dạng của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng hay nói khác đi ta có thể thiết lập được phương trình về độ dài đoạn thẳng. * Chú ý : Tính chất đường phân giác trong tam giác, một số hệ thức trong tam giác vuông được xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác. *Bài tập 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH? Bài giải : * Đặt BH = x cm ( 0 < x < 20 ) nên BC = x +9 cm AB BC BH AB ⇒ = ⇒ AB 2 = BH .BC Thay số : 20 2 = (x + 9)x ⇔ x 2 + 9x – 400 = 0 7 9 ? 20 x H C B A ⇔ ( x+ 25 ) ( x - 16) = 0 ⇔ x = - 25 hoặc x =16 Do ( 0 < x < 20 ) nên chỉ có x =16 là thoả mãn Vậy AH = 16 *Bài tập 2. Cho tam giác ABC , đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC theo thứ tự ở D và E . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A kẻ tia Dx sao cho và góc ADx bằng góc ADB Từ A kẻ AH vuông góc với Dx( H thuộc Dx). Biết DH = 27 cm ,AD = 45 cm ,BC = 40 cm . Tính độ dài DB,DC Bài giải : Đặt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40) Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC và AE là phân giác ngoài của tam giác ABC nên góc DAE bằng 90 0 (góc hợp bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là góc vuông ) Xét ∆ ADE và ∆ ADH có : 8 AD DH DE AD ⇒ = AD 2 = DE.DH ⇒ DE = 2 2 45 27 AD DH = = 75 - Theo tích chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có : 75 75 DB EB x x DC EC y y − = ⇒ = + (1) Mặt khác x + y = 40 thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn ta có : x 2 – 115x + 1500 = 0 ⇔ (x 2 – 15x) – (100x – 1500) = 0 ⇔ (x – 15)(x – 100) = 0 * Do 0 < x < 40 nên chỉ có x = 15 là thoả mãn. * Vậy DB = 15cm, DC = 25cm. *Lời giải hai bài toán trên áp dụng cho học sinh lớp 8 ,còn học sinh lớp 9 lời giải đơn giản hơn *Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm K, M, H sao cho AKMH là hình vuông. Biết BC = 15cm , hình vuông cạnh đó có độ dài 1cm.Tính độ dài đoạn thẳng AB ? Bài giải : 9 *Đặt AB = x , AC = y , (1 < x < 15 , 1 < y < 15 ) * Xét tam giác vuông ABC ta có : x 2 + y 2 = 15 *Do AHMK là hình vuông MK / / CH suy ra tam giác KBM đồng dạng với tam giác HMC , do dó 1 1 1 1 BK MK x MH CH y − = ⇒ = − ⇒ xy = x +y (1) Đặt x + y = m ( m > 2 ) , ta có : x 2 + y 2 = 15 ⇔ x 2 + y 2 +2xy – 2xy = 15 ⇔ (x + y ) 2 - 2 ( x+y) =15 ⇔ m 2 – 2m +1 = 16 ⇔ ( m - 1) 2 = ( ± 4) 2 10 M K H C B A Trường hợp 1 : m – 1 = 4 ⇔ m = 5 Trường hợp 2: m - 1 = - 4 ⇔ m = - 3 Do m > 2 nên chỉ có m =5 là thỏa mãn * Với m = 5 ⇒ x + y = 5 ⇒ y = 5 – x , thay vào phương trình (1) ta có x( 5 –x ) = x + 5 - x ⇔ x 2 – 5 x + 5 = 0 ⇔ ( x - 5 2 ) 2 = 5 4 ⇔ ( x - 5 2 ) 2 = 2 5 ( ) 2 ± Trường hợp 1 : x - 5 2 = 5 2 ; 1 5 5 2 x + = Hoặc 2 5 5 2 x − = Đều thoả mãn điều kiện Vậy AB = 5 5 2 + cm hoặc AB = 5 5 2 − cm 2) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Đến lớp 9 học sinh được tìm hiểu về đường tròn một cách hệ thống hơn . Trong đó tính chất tiếp tuyến , quan hệ giữa đường kính và dây cung , quan hệ giữa góc và đường 11 …, được đề cập một cách thường xuyên hơn . Chính từ những vấn đề đó làm nảy sinh sự đồng dạng , sự vuông góc và như vậy quan hệ bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càng nhiều hơn . • Bài tập 1 . Cho nửa đường tròn tâm 0 đường kính AD .Các điểm B,C,thuộc nửa đường tròn sao cho AB = BC = 2 5 cm , CD = 6 cm . Tính bán kính của đường tròn Bài giải * Gọi giao điểm của AC và OB là H . * Do AB = BC , OA = OC nên OB là đường trung trực của AC suyra OB ⊥ AC và AH = HC mặt khác ta có OH là đường trung bình của tam giác ACD Do đó OH = 1 2 CD = 3 ( cm ) và HC = 1 2 AC * Gọi bán kính của đường tròn có độ dài là x (cm) ( x> 3 ) * Tam giác ADC vuông ở C nên ta có : AC 2 = AD 2 – DC 2 ( Định lý Pitago ) 12 ⇒ 2 2 2 1 1 1 (2 ) .6 4 4 4 AC x = − 2 2 1 9 4 AC x ⇒ = − ⇒ HC 2 = x 2 – 9 (1) * Tam giác BCH vuông ở H nên ta có : HC 2 = BC 2 – BH 2 ⇒ HC 2 = (2 5 ) 2 – (OB – HO) 2 ⇒ HC 2 = 20 – (x – 3) 2 (2) * Từ (1) và (2) ta có phương ttrình : x 2 – 9 = 20 – (x – 3) 2 ⇔ x 2 – 3x – 10 = 0 ⇔ (x – 5)x + (x – 5)2 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 2) = 0 * Do x > 3 nên chỉ có x = 5 là thoả mãn điều kiện. * Vậy bán kính có độ dài là 5cm. • Bài tập 2 Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, hình thang ABCD nội tiếp trong đường tròn đó và ngoại tiếp được một đường tròn khác. Tính độ dài đoạn thẳng CD ? Bài giải 13 [...]... R Vậy OH = R ( 1 + 2) đơn vị độ dài 17 ( loại ) 2 2 (thoả mãn ) 3) DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Riêng về các công thức tính diện tích , xét về phương diện đại số: chúng là các hàm số bậc hai về độ dài Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình thì có thể làm xuất hiện phương trình bậc hai Bài tập 1 ( Phát triển từ bài tập 83 – 84 hình học SGK toán 9) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C Vễ trên... thể làm được Bài 2, 3; đòi hỏi sự vận dụng nhiều đơn vị kiến thức hơn, sự vân dụng linh hoạt hơn, sáng tạo hơn, các phần này học sinh có lực học khá và giỏi có thể làm được 23 TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƠNG TRÌNH BẬC 2 A MỤC TIÊU - Hs biết tính độ dài đoạn thẳng thông qua p ,trình bậc 2 một cách thành thạo - Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập - Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bầy tính toán B CHUẨN... Hs lên bảng trình bày Cách giải của −R + R 7 −R − R 7 ; x2 = 2 2 - Vỡ x > 0 nờn chỉ x1 thoả món bài toán này 28 - Gv cùng Hs nhận xét bài làm của bạn D CỦNG CỐ - Rèn kỹ năng tính độ dài đoạn thẳng rất quan trọng nó giúp chúng ta giải các bài tập trong hình học - Vì vậy các em đọc kỹ đầu bài, kỹ năng thành thạo tìm độ dài đoạn thẳng E HỚNG DẪN - Về nhà tự làm lại các bài đã chữa - Làm các bài tập bổ... ID = 5 5 cm Tính độ dài đoạn thẳng DC ? Bài tập 4 Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao diểm của đường phân giác Biết AB = 5cm, IC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BC ? Bài tập 5 Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AB ? Bài tập 6 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, H là trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng AD ? Biết... tạo trong việc giải các bài toán nâng cao Khi được tiếp cận dạng toán này, học sinh giải loại toán tìm độ dài đoạn thẳng đạt hiệu quả cao hơn như ; thời gian giải toán được giảm bớt, số lượng bài tập làm được ngày càng nhiều, kỹ năng trình bày được nâng lên, ngoài ra học sinh thêm phần tự tin trong giải toán Tất cả những điều đó góp phần làm cho ngày càng nhiều học sinh say mê môn toán Qua sáng kiến... tính độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc 2 , - Gv soạn bài, đọc bài, phấn màu B C HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY VÀ TRÒ h 1- Kiểm tra bài cũ - Cho ∆ ABC vuông tại A, đờng cao AH, AC = 15cm, HB = 16cm A c Tính độ dài AH Bài giải - Đặt HC = x ( 0 < x < 15 ) Xét ⇒ ∆ HAC : ∆ ABC AC HC = BC AC (gg) ⇔ AC2 = BC.HC ⇔ 152 = (x + 16)x ⇔ x2 + 16x – 225 = 0 ⇔ (x – 9)(x + 15) = 0 Vì 0 < x < 20 nên x = 9 nhận 24 2- Bài. .. quý báu các bạn đồng nghiệp để sáng kiến Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai ngày một hoàn thiên hơn CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa Toán 8 NXB Giáo dục 31 2 Sách bài tập Toán 8 NXB Giáo dục 3 Sách giáo khoa Toàn 9 NXB Giáo dục 4 Sách bài tập Toán 9 NXB Giáo dục 5.Một số vấn đề phát triển Toán 8 Vũ Hữu Bình 6.Một số vấn đề phát triển Toán 9 Vũ Hữu Bình 7 Bộ đề ôn thi TNTHCS... sinh lớp 9 sau khi các em học hết chương trình hình học phẳng Tuy nhiên khi học xong mỗi chương trình hình học 9 thì học sinh có thể làm được một số bài tập của chuyên đề Sáng kiến Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thích hợp nhất cho đối tượng học sinh có lực học khá, giỏi Mặc dù vậy học sinh có học lực trung bình có thể làm đượng một số bài đơn giản trong chuyên đề VI ) NHỮNG ĐỀ... hái học môn toán Điều đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tượng học sinh thì chắc chắn kết quả thu được của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục được nâng lên Đối với học sinh khá , giỏi Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai còn áp dụng với nhiều loại toán khác Phát huy được trí tuệ thông minh của học sinh * Kết quả khảo sát lớp 9 A Giỏi SL Khá % S L... huyện * Kết quả khảo sát qua các đội tuyển Nhiều năm kết quả học sinh giỏi của trường đã đạt kết quả cao Kết quả đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007- 2008 do tôi phụ trách xếp thứ 3 trên 26 trường trong huyện có 1 em được gọi vào bồi dưỡng đội tuyển để thi học sinh giỏi cấp tỉnh V) ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai được áp dụng cho học . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " ;KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI& quot; 4 A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là. loại toán này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi giới thiệu đề tài " ;Kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai& quot;. 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thường đạt hiệu quả không cao. Biểu