Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tương đối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG

QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tương đối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức tương đối cao Ở đó việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình học mà còn sử dụng tương đối nhiều kiến thức từ đại số chẳng hạn như ; tỉ lệ thức, tính chất đẳng thức, bất đẳng thức…, qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng là tương đối đa dạng

Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn tromg tư duy khi gặp loại toán tìm

độ dài đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm được một số dạng của loại toán này Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi

giới thiệu kinh nghiệm giải bài toán “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua

phương trình bậc hai” cho học sinh lớp 8,9 Qua sáng kiến này tôi hy vọng

nhận được sự trao đổi quý báu từ các bạn đồng nghiệp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU.

Năm học 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm

độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thường đạt hiệu quả không cao Biểu hiện cụ thể ; học sinh

thường mất nhiều thời gian cho việc tìm lời giải và việc trình bầy thì chưa thật hợp lý

II – KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG.

Phân môn đại số : tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến

đổi phương trình bậc hai , Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến các cách giải phương trình bậc hai

đổi phương trình bậc hai về phương trình tích

Phân môn hình học : Mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng

hợp nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9 Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đường tròn, đến diện tích của một số hình mà học sinh đã học

III – NHỮNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM.

1) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó được

bổ sung và sử dụng tương đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em

Từ sự đồng dạng của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng hay nói khác đi ta có thể thiết lập được phương trình về độ dài đoạn thẳng

* Chú ý : Tính chất đường phân giác trong tam giác, một số hệ thức trongtam giác vuông được xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác

*Bài tập 1.

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm Tính

độ dài AH?

Bài giải :

* Đặt BH = x cm ( 0 < x < 20 )nên BC = x +9 cmXét ∆ABC và ∆ABH có

Bài giải :

Đặt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40)

9

? 20

x

B

A

Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC và AE là phân giác ngoài của tam giác ABC nên góc DAE bằng 900 (góc hợp bởi hai tia phân giác của hai góc

EAH AHD ADB ADH gt

= ⇒ ∆ EAD : ∆ AHD (gg)

thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn ta có :

x2 – 115x + 1500 = 0

⇔ (x2 – 15x) – (100x – 1500) = 0 ⇔ (x – 15)(x – 100) = 0

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm

K, M, H sao cho AKMH là hình vuông Biết BC = 15cm, hình vuông cạnh đó

có độ dài 1cm.Tính độ dài đoạn thẳng AB ?

Bài giải :

A

2) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Đến lớp 9 học sinh được tìm hiểu về đường tròn một cách hệ thống hơn Trong đó tính chất tiếp tuyến , quan hệ giữa đường kính và dây cung , quan hệ giữa góc và đường …, được đề cập một cách thường xuyên hơn Chính từ những vấn đề đó làm nảy sinh sự đồng dạng , sự vuông góc và như vậy quan hệ bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càng nhiều hơn

* Gọi giao điểm của AC và OB là H

* Do AB = BC , OA = OC nên OB là đường trung trực của AC suyra

OB ⊥AC và AH = HC mặt khác ta có OH là đường trung bình của tam giác ACD Do đó OH = 1

2CD = 3 ( cm ) và HC =1

2 AC

* Gọi bán kính của đường tròn có độ dài là x (cm) ( x> 3 )

* Tam giác ADC vuông ở C nên ta có :

* Từ (1) và (2) ta có phương ttrình :

x2 – 9 = 20 – (x – 3)2

⇔ x2 – 3x – 10 = 0 ⇔(x – 5)x + (x – 5)2 = 0

* Vậy CD = 2R( 5 - 2) ( đơn vị độ dài)

• Bài tập 3 (Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002 )

Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB, M là một điểm thuộc đường tròn sao cho MA < MB Qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB Tiếp tuyến tai M cắt d ở N và cắt AB tại K Đường thẳng d cắt đường thẳng MO tại H Đường thẳng AM cắt HK ở C Biết MNOC là bình hành Tính OH theo R

Bài giải

Bài giải

3) DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Riêng về các công thức tính diện tích , xét về phương diện đại số: chúng

là các hàm số bậc hai về độ dài Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình thì có thể làm xuất hiện phương trình bậc hai

Bài tập 1 ( Phát triển từ bài tập 83 – 84 hình học SGK toán 9)

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C Vễ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng AB hai nửa đường tròn có đường kính lần lượt là AB, AC còn trên nửa mặt phẳng đối vẽ nửa đường tròn đường kính BC AB = 8 cm

đặt S là diện tích của hình được giới hạn bởi ba đường tròn nói trên và AC = x Tìm x để S bằng diện tích của nửa dường tròn đường kính AC

* Khi x = 8 3 - 8 cm thì S bằng diện tích của nửa hình tròn đường kính AC

* Bài tập 2 ( Phát triển từ bài tập hình học trong SGK – SBT toán 8 )

Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Gọi M, N, E, F lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF Tính độ dài

đoạn thẳng MF để diện tích của tứ giác MNEF bằng 5

8 diện tích hình vuông ABCD

90 90

AMF BNM AMF BMN BNM BMN NMF

S MNEF = S ABCD - 4S ∆AMF = 42 – 2y(4 – y)

* Theo giả thiết diện tích của tứ giác MNEF bằng 5

8 diện tích hình vuông ABCD nên :

(2)

* Bài tập 3 ( Phát triển từ bài tập trong SGK toàn 8).

Cho các điểm A, B thuộc cạnh MP, các điểm C, D lần lượt thuộc các cạnh

NP, MN của tam giác NMP sao cho ABCD là hình chữ nhật Biết MP = 30cm, chiều cao NH = 10cm (H thuộc MP), hình chữ nhật có diện tích 63cm2 Tính các kích thước của hình chữ nhật

Bài giải

p h

i n

m

b a

* Đặt BC = x ( 0 < x < 10 ), CD = y ( 0 < y < 30 ) Gọi I là giao điểm

4) MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.

Bài tập 1

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Tia phân giác góc HAC cắt

HC ở D Gọi K là hình chiếu của D trên AC……….? DK = 6cm Tính độ dài AB

Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao diểm của đường phân giác

Biết AB = 5cm, IC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BC ?

Tam giác vuông có một cạnh góc vuông là 12cm Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác vuông đó là 2 : 5 Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp ?

Bài tập 9

Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A cố định trên đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax, điểm M tuỳ ý trên Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B là tiếp điểm ) I là trung điểm của MA, BI cắt đường tròn tâm O ở K, tia MK cắt đường tròn (O) ở C

a) Chứng minh tam giác MIK đồng dạng tam giác BIM và BC // MA.b) Tìm vị trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ?

TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƠNG TRÌNH BẬC 2

A MỤC TIÊU.

- Hs biết tính độ dài đoạn thẳng thông qua p ,trình bậc 2 một cách thành thạo

- Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập

- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bầy tính toán

B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

- Hs học kỹ cách tính độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc 2 ,

- Gv soạn bài, đọc bài, phấn màu

C HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY VÀ TRÒ

1- Kiểm tra bài cũ.

- Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao

2- Bài giảng.

* Bài tập 1; Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông Diện tích

100cm2 và có khoảng cách đến 2cạnh góc vuông bằng 4cm và 8cm Tính độ dài các cạnh góc vuông

A

- GV cho Hs chép bài, ghi giả thiết,

vẽ hình, kết luận của bài toán

- Gv : Vì hình thang ABCD cân,

y y

⇒ y = 25 −x2 (2) Từ (1) v (2) ta có :à

x 25−x2 = 12 ⇔ x4 – 25x2 + 144 = 0Đặt x2 = t (t 0)

⇔ t2 – 25t + 144 = 0 ⇔ (t – 16)(t – 9) = 0 ⇔ t =16

 = (nhận)

K y

x

D

B A

* Bài tập 3; Cho 2 đường tròn (O1), (O2) có cùng bán kính R cắt nhau tại M, N

Và OD1 = R, Hình vuông ABCD có A, D nằm trên cung nhỏ MN của (O2) và B,

C nằm trên cung nhỏ MN của (O1) Tình cạnh hình vuông theo R

Bài giải.

- Gv cho Hs đọc đề, phân tích đề,

vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của bài toán

- Gv : Em nào có cách làm bài tập này

- Gọi Hs lên bảng trình bày Cách giải của

bài toán này

- Về nhà tự làm lại các bài đã chữa.

- Làm các bài tập bổ xung trong sáng kiến này, (Gv photocopy đa Hs bài tập)

IV ) KẾT QUẢ Sau một thời gian áp dụng những biện pháp trên vào thực tế giảng dạy tôi thấy

Hứng thú học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt ở các đối tượng học sinh Trước đây một bộ phận không nhỏ học sinh sợ ,ngại học môn toán Nhưng sau khi áp dụng các biện pháp trên các em trở lên tin tưởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán Điều

đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tượng học sinh thì chắc chắn kết quả thu được của giáo viên rất tốt

hiệu quả giáo dục được nâng lên Đối với học sinh khá , giỏi “Tìm

độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” còn áp dụng

với nhiều loại toán khác Phát huy được trí tuệ thông minh của học sinh

Khi áp dụng sáng kiến 17 40,5 16 38,1 8 19 1 2,4

* Kết quả học sinh thi vào cấp 3 của trường đỗ tỉ lệ cao so với các trường khác trong huyện.

* Kết quả khảo sát qua các đội tuyển

Nhiều năm kết quả học sinh giỏi của trường đã đạt kết quả cao Kết quả đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007- 2008 do tôi phụ trách xếp thứ 3 trên 26 trường trong huyện có 1 em được gọi vào bồi dưỡng đội tuyển để thi học sinh giỏi cấp tỉnh

V) ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình

bậc hai” được áp dụng cho học sinh lớp 9 sau khi các em học hết

chương trình hình học phẳng Tuy nhiên khi học xong mỗi chương trình hình học 9 thì học sinh có thể làm được một số bài tập của

chuyên đề.

Sáng kiến “Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình

bậc hai” thích hợp nhất cho đối tượng học sinh có lực học khá, giỏi

Mặc dù vậy học sinh có học lực trung bình có thể làm đượng một số bài đơn giản trong chuyên đề.

VI ) NHỮNG ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ

Trong thời gian tới rất mong các cấp lãnh đạo các tổ chuyên môn quan tâm tổ chức các chuyên đề , ngoại khóa để các đồng nghiệp cố thể cố thể trao đổi học hởi kinh nghiện lẫn nhau nhiều hơn Học sinh hứng thú hăng say học tập góp phần ngày càng nâng cao hiệu quả dạy học

C KẾT LUẬN.

Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là một nghệ thuật để giúp các em nắm được bài ,hiểu bài và có hứng thú ,kỹ năng Nhất là bài tập khó trong giờ luyện tập ,bồi dưỡng học sinh giỏi

Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải có sự say mê lương tâm nghề nghiệp sẽ đạt được kết quả mong muốn

Tuy nhiên không phải đối với tất cả học sinh chúng ta đều phải truyền tải nội dung trên Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp những bài phù hợp với học sinh Cung cấp cho học sinh hệ thống từ bài dễ đến bài khó để tạo tiền đề cho học sinh có tư duy sáng tạo trong việc giải các bài toán nâng cao

Khi được tiếp cận dạng toán này, học sinh giải loại toán tìm độ dài đoạn thẳng đạt hiệu quả cao hơn như ; thời gian giải toán được giảm bớt, số lượng bài tập làm được ngày càng nhiều, kỹ năng trình bày được nâng lên, ngoài ra học sinh thêm phần tự tin trong giải toán

Tất cả những điều đó góp phần làm cho ngày càng nhiều học sinh say

mê môn toán.

Qua sáng kiến này, tôi hy vọng được đồng nghiệp ủng hộ và rất mong được sự trao đổi quý báu các bạn đồng nghiệp để sáng kiến

“Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai” ngày

một hoàn thiên hơn.

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Toán 8 NXB Giáo dục.

2 Sách bài tập Toán 8 NXB Giáo dục.

3 Sách giáo khoa Toàn 9 NXB Giáo dục.

4 Sách bài tập Toán 9 NXB Giáo dục.

5.Một số vấn đề phát triển Toán 8 Vũ Hữu Bình.

6.Một số vấn đề phát triển Toán 9 Vũ Hữu Bình.

7 Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002.

(Sở GD-ĐT Hải Dương)