Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai A) Đặt vấn đề: Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những yêu cầu thờng xuyên và căn bản. Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã phải tìm độ dài đoạn thẳng một cách trực tiếp thông qua đo đạc. Tiếp đến các lớp trên khi học sinh đợc tiếp cận ngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm đợc ngày càng vững chắc tính chất và mối quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm dần. Thay vào đó việc tìm độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng. Đặc biệt khi các em học đến lớp 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tơng đối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức tơng đối cao. ở đó, việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình học mà còn sử dụng tơng đối nhiều kiến thức từ đại số, chẳng hạn nh: tỉ lệ thức, tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức , qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng là tơng đối đa dạng. Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn trong t duy khi gặp loại toán tìm độ dài đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm đợc một số dạng của loại toán này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dới dạng chuyên đề. Sau đây tôi giới thiệu chuyên đề: Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai cho học sinh lớp 9. Qua chuyên đề này, tôi hy vọng nhận đợc sự trao đổi quý báu từ các thày cô. B) GiảI quyết vấn đề: I) điều tra thực trạng tr ớc khi nghiên cứu: Năm học 2003-2004 trở về trớc, khi cha phân loại và tập hợp các bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai dới dạng chuyên đề thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thờng đạt hiệu quả không cao. Biểu hiện cụ thể: học sinh thờng mất nhiều thời gian cho việc tìm lời giải và việc trình bày thì cha thật hợp lí. 3 II) Kiến thức đ ợc sử dụng * Phân môn đại số: tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến đổi phơng trình bậc hai . Đặc biệt trong chuyên đề này quan tâm nhiều đến các cách giải phơng trình bậc hai: + Phơng pháp: đa hai vế của phơng trình về hai luỹ thừa cùng bậc. + Phơng pháp: vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi phơng trình bậc hai về phơng trình tích. + Phơng pháp: nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức. * Phân môn hình học: mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng hợp nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9. Đặc biệt trong chuyên đề này quan tâm nhiều đến quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đờng tròn, đến diện tích của một số hình mà học sinh đã học. III) Những công việc đã làm 1) Tam giác Đồng dạng và ph ơng trình bậc hai Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó đợc bổ sung và sử dụng tơng đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em. Từ sự đồng dạng của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng hay nói khác đi ta có thể thiết lập đợc phơng trình về độ dài đoạn thẳng. *Chú ý: tính chất đờng phân giác trong tam giác, một số thức trong tam vuông đợc xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác. Bài1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Bài giải: * Đặt BH = x (x>0). * Do tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH nên ta có: H C A B 4 AB 2 = BC.HB 20 2 = (x + 9)x x 2 + 9x - 400 = 0 (x - 16)(x + 25) = 0 suy ra x 1 = 16 (thoả mãn) x 2 = - 25 (loại) * Từ hệ thức AH 2 = BH.HC AH 2 = 16.9 AH 2 = 144 AH = 12 (cm) * Vậy AH = 12cm. Bài2. Tam giác ABC có BC = 40cm, đờng phân giác AD = 45cm, đờng cao AH = 36cm. Tính độ dài đoạn thẳng DC, BD. Bài giải: * Đặt BD = x, DC = y (0<x<40, 0<y<40) * Xét tam giác vuông AHD, ta có: HD 2 = AD 2 AH 2 HD 2 = 45 2 36 2 HD 2 = 729 HD = 27 (cm) * Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A, cắt BC ở E. Ta có AE vuông góc với AD (hai phân giác của hai góc kề bù) nên: AD 2 = DE.DH CDBHE A 5 DE = 2 2 45 75 27 AD DH = = * Theo tính chất đờng phân giác trong và ngoài của tam giác ta có: 75 75 DB EB x x DC EC y y = = + (1) Mặt khác: x + y = 40 thay y = 40 x vào (1) và rút gọn ta có: x 2 115x + 1500 = 0 (x 2 - 15x) - (100x - 1500) = 0 (x - 15)(x - 100) = 0 Do 0<x<40 nên chỉ có x = 15 là thoả mãn. * Vậy DB = 15cm, DC = 25cm. Bài3. Cho tam giác ABC vuông ở A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lợt lấy các điểm K, M, H sao cho AKMH là hình vuông. Biết BC = 15 cm, hình vuông cạnh có độ dài 1cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB. Bài giải: * Đặt AB = x, AC = y (1<x< 15 ,1<y< 15 ) * Xét tam giác vuông ABC, ta có: x 2 + y 2 = 15 * Do AKMH là hình vuông nên MK//CH, suy ra KBM đồng dạng với HMC, do đó: K M H C A B 6 1 1 1 1 BK MK x MH CH y = = xy = x + y (1) * Đặt x + y = m (m>2), ta có: x 2 +y 2 = 15 x 2 +y 2 +2xy - 2xy = 15 (x + y) 2 - 2(x + y) = 15 m 2 2m + 1 = 16 (m 1) 2 = ( 4) 2 TH1: m 1 = 4 m = 5 TH2: m 1 =- 4 m = - 3 Do m>2 nên chỉ có m = 5 là thoả mãn. * Với m = 5 x + y = 5 y = 5 x, thay vào phơng trình (1) ta có: x(5 x) =x + 5 x x 2 5x + 5 = 0 = 5 suy ra: x 1 = 5 5 2 + ; x 2 = 5 5 2 đều thoả mãn điều kiện. * Vậy AB = 5 5 2 + cm hoặc AB = 5 5 2 cm 2) Đ ờng tròn và ph ơng trình bậc hai Đến lớp 9 học sinh đợc tìm hiểu về đờng tròn một cách hệ thống hơn. Trong đó: tính chất tiếp tuyến, quan hệ đờng kính và dây cung, quan hệ góc và đờng tròn , đ ợc đề cập một cách thờng xuyên hơn. Chính từ những vấn đề đó 7 làm nảy sinh sự đồng dạng, sự vuông góc và nh vậy quan hệ bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càng nhiều hơn. Bài1. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AD. Các điểm B, C thuộc nửa đờng tròn sao cho AB = BC = 2 5 cm, CD = 6cm.Tính bán kính của đuờng tròn. Bài giải: * Gọi giao điểm của AC và OB là H. * Do AB = BC, OA = OC nên OB là trung trực của AC suy ra OB AC và AH = HC. Mặt khác OA = OD nên ta có HO là đờng trung bình của tam giác ACD do đó HO = 1 2 CD = 3 (cm) và HC = 1 2 AC. * Gọi bán kính của đờng tròn có độ dài là x (cm) (x>0) * Tam giác ACD vuông ở C nên ta có: AC 2 = AD 2 CD 2 1 4 AC 2 = 1 4 (2x) 2 1 4 .6 2 1 4 AC 2 = x 2 9 HC 2 = x 2 9 . (1) * Tam giác BCH vuông ở H nên ta có: HC 2 = BC 2 BH 2 HC 2 = (2 5 ) 2 (OB HO) 2 HC 2 = 20 (x 3) 2 (2) * Từ (1), (2) ta có phơng trình: x 2 9 = 20 (x 3) 2 x 2 3x 10 = 0 8 (x 5)x + (x 5)2 = 0 (x 5)(x + 2) = 0 * Do x>0 nên chỉ có x = 5 là thoả mãn điều kiện. * Vậy bán kính có độ dài là 5 cm. Bài2. Cho đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính AB, hình thang ABCD nội tiếp trong đờng tròn đó và ngoại tiếp đợc một đờng tròn khác. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Bài giải: F E I O D C B A * Đặt DC = x, BC = y ( x>0, y>0) * Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp hình thang ABCD, suy ra các cạnh của hình thang đều là các tiếp tuyến của đờng tròn (I) từ đó ta dễ dàng chứng minh đợc DC + AB = AD + CB x + 2R = 2y y = 2 x + R (1) * Do tam giác ABC vuông ở C nên ta có: AC 2 = AB 2 BC 2 AC 2 = 4R 2 y 2 (2) 9 * Kẻ DE, CF vuông góc với AB (E, F đều thuộc AB), từ đó ta suy ra đợc OE = OF = 2 x . * Tam giác ABC vuông ở C đờng cao CF nên: AC 2 = AF.AB AC 2 = (R + 2 x ) .2R AC 2 = 2R 2 + Rx (3) * Từ (1), (2) và (3) ta có: 2R 2 + Rx = 4R 2 ( 2 x + R ) 2 2 4 x + 2Rx R 2 = 0 x 2 + 8Rx 4R 2 = 0 ' = 16R 2 + 4R 2 = 20R 2 x 1 = - 4R + 2 5 R (thoả mãn) x 2 = - 4R - 2 5 R (loại) * Vậy CD = 2R( 5 - 2) (đơn vị độ dài) Bài3 Cho đờng tròn tâm O bán kính R đờng kính AB. M là một điểm thuộc đ- ờng tròn sao cho MA<MB. Qua B vẽ đờng thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến tại M cắt d ở N và cắt AB tại K. Đờng thẳng d cắt đờng thẳng MO tại H. Đuờng thẳng AM cắt HK ở C. Biết MNOC là hình bình hành. Tính Oh theo R. Bài giải: 10 d N C K H O M B A * §Æt OH = x (x>0). * Ta cã ∆ OBH ®ång d¹ng víi ∆ NMH ⇒ BH OH MH NH = ⇒ BH.NH = OH.MH ⇒ BH(BN + BH) = OH.(R + OH) ⇒ BH.BN + BH 2 = OH.R + OH 2 ⇒ BH.BN + x 2 – R 2 = Rx + x 2 ⇒ BH.BN = R(R + x) (1) * Do N lµ giao cña hai tiÕp tuyÕn NB, NM suy ra BN = MN, mÆt kh¸c tø gi¸c MNOC lµ h×nh b×nh hµnh nªn MN = OC, tõ ®ã ta cã: BN = OC. (2) * Tõ (1), (2) ta cã: BH.OC = R(R + x) ⇒ BH 2 .OC 2 = R 2 (R + x) 2 (3) * Do tø gi¸c MNOC lµ h×nh b×nh hµnh nªn MN//OC mµ MN ⊥ MH OC ⊥ MH * Do KB ⊥ NH, MH ⊥ KN ⇒ O lµ trùc t©m cña ∆ KNH 11 ON HK mặt khác MC//ON (do tứ giác MNOC là hình bình hành), suy ra MC HK. * Tam giác MHC vuông ở C đờng cao OC nên: OC 2 = MO.OH (4) * Từ (3), (4) ta suy ra: BH 2 .MO.OH = R 2 (R + x) 2 (x 2 R 2 ).R.x = R 2 (R + x) 2 (x R)x = R(R + x) x 2 2Rx R 2 = 0 = R 2 + R 2 = 2R 2 x 1 = R - R 2 (loại) x 2 = R + R 2 (thoả mãn) * Vậy OH = R(1 + 2 ) (đơn vị độ dài) 3) Diện tích và ph ơng trình bậc hai Riêng về các công thức tính diện tích, xét về phơng diện đại số: chúng là các hàm số bậc hai về độ dài. Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình thì có thể làm xuất hiện phơng trình bậc hai. Bài1. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C. Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB hai nửa đờng tròn có đờng kính lần lợt là AB, AC còn trên nửa mặt phẳng đối thì vẽ nửa đờng tròn đờng kính BC. Cho AB = 8cm đặt S là diện tích của hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn nói trên và AC = x. Tìm x để S bằng diện tích của nửa tròn đờng kính AC. Bài giải: * Diện tích của nửa hình tròn đờng kính AB là: 12 [...]... DK = 6cm Tính độ dài AB Bài2: Cho hình vuông ABCD có cạnh 5cm Tính cạnh của tam giác đều AEF có E thuộc cạnh CD và F thuộc cạnh BC Bài3: Tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác BD Tia phân giác của góc A cắt BD tại I Biết BI = 10 5 cm, ID = 5 5 cm Tính độ dài đoạn thẳng DC Bài4: Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đờng phân giác Biết AB = 5cm, IC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BC Bài5:... có thể làm đợc một số bài tập của chuyên đề Chuyên đề: Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai thích hợp nhất cho đối tợng học sinh có lực học khá, giỏi Mặc dù vậy học học sinh có lực học trung bình có thể làm đợc một số bài đơn giản trong chuyên đề C) Kết luận: Khi đợc tiếp cận chuyên đề này, học sinh giải loại toán tìm độ dài đoạn thẳng đạt hiệu quả cao hơn nh: thời gian giải toán đợc... điểm của các đờng phân giác Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AB Bài6: Cho tam giác ABC cân tại A, đờng cao AD, H là trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng AD, biết AH = 14cm, BH = HC = 30cm Bài7: Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính 5cm đờng kính AB, M là điểm thuộc cung AB, H là một điểm chính giữa cung AM, tia BH cắt tiếp tuyến Ax tại K Tìm vị trí của M để MK vuông góc với Ax Bài8: Tam giác vuông... tích; mỗi phần chuyên đề xét ba bài tập: Bài1: mức độ kiến thức vừa phải, học sinh có lực học trung bình trở lên đều có thể làm đợc Bài2, bài3: đòi hỏi sự vận dụng nhiều đơn vị kiến thức hơn, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt hơn, sáng tạo hơn, các phần này học sinh lực học khá giỏi có thể làm đợc IV) Phạm vi áp dụng của đề tài: Chuyên đề: Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai đợc áp dụng cho... (thoả mãn) * Khi x = 8( 3 - 1) cm thì S bằng diện tích của nửa hình tròn đờng kính AC Bài2 Cho hình vuông ABCD có cạnh là 4cm Gọi M, N, E, F lần lợt là các điểm di động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF Tính độ dài đoạn thẳng MF để diện tích của tứ giác MNEF bằng hình vuông ABCD Bài giải: 13 5 diện tích 8 E D C N F A B M * Vì ABCD là hình vuông nên: AB = BC = CD = DA mà AM = BN =... toán Tất cả những điều đó góp phần làm cho ngày càng nhiều học sinh say mê môn toán Qua chuyên đề này, tôi hy vọng đợc ủng hộ và rất mong đợc sự trao đổi quý báu của các thầy cô để chuyên đề: Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai ngày một hoàn thiện hơn 17 18 ... tiếp tam giác vuông đó là 2:5 Tính độ dài bán kính đờng tròn nội tiếp Bài9: Cho đờng tròn tâm O bán kính R, điểm A cố định trên đờng tròn Kẻ tiếp tuyến Ax, điểm M tuỳ ý trên Ax; kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là 16 tiếp điểm) I là trung điểm của MA; BI cắt đờng tròn tâm O ở K, tia MK cắt đờng tròn (O) ở C a) Chứng minh: MIK đồng dạng BIM và BC//MA b) Tìm vị trí của M trên tia Ax để tứ . quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm dần. Thay vào đó việc tìm độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày. phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức tơng đối cao. ở đó, việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần