SKKN kinh nghiệm giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG NỐI CÁC TIẾP ĐIỂM CỦA HAI TIẾP TUYẾN KẺ TỪ MỘT Đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG NỐI CÁC TIẾP ĐIỂM CỦA HAI TIẾP TUYẾN KẺ

TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

Người thực hiện: Nguyễn Công Hiến Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 7

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 10

3.1 Kết luận 10

3.2 Kiến nghị 10

TÀI LIỆU THAM KHẢO 11

CÁC TỪ VIẾT TẮT

THCS - Trung học cơ sỏ

THPT - Trung học phổ thông

VTPT - Véc tơ pháp tuyến

VTCP - Véc tơ chỉ phương

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lí của nhà nước Công cuộc đổi mới này đề ra những những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, những yêu cầu đó được phản ánh trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2000 như sau:

Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc; công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước; giữ gìn và phát huy các giá trị vǎn hoá của dân tộc, có nǎng lực tiếp thu tinh hoa vǎn hoá nhân loại; phát huy tiềm nǎng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ nǎng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức

kỷ luật; có sức khoẻ, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa

"hồng" vừa "chuyên" như lời dặn của Bác Hồ [1]

Trong nhà trường, với vị trí đặc biệt của môn Toán, nhiệm vụ của giáo viên dạy bộ môn toán là:

 Truyền thụ tri thức, kĩ năng toán học cho học sinh

 Phát triển trí tuệ chung cho học sinh

 Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ cho học sinh, bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát triển và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, đường thẳng và đường tròn chiếm một vị trí quan trọng; kiến thức về đường thẳng và đường tròn xuyên

suốt chương trình từ THCS đến THPT Bài toán “Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn” thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT Quốc gia ở mức

độ vận dụng hoặc vận dụng cao Rất nhiều học sinh đã bỏ bài toán này vì lựa chọn phương pháp giải không phù hợp dẫn đến mất thời gian và không đi đến kết quả đúng

Với lí do trên và những kinh nghiệm học hỏi được từ các đồng nghiệp cùng

với điều kiện chủ quan của bản thân đã giúp tôi chọn đề tài: “Kinh nghiệm giải

bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến

kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

+ Nêu phương pháp giải quyết bài toán trên một cách nhanh, chính xác nhất

+ Hỗ trợ giáo viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

+ Định hướng giải quyết bài toán mở rộng trong không gian hỗ trợ giáo viên và học sinh ôn tập thi THPT Quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: + Phương pháp lý thuyết: nghiên cứu các tài liệu có liên quan xây dựng cơ

sở lý thuyết

+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Rút ra từ quá trình giảng dạy trong hai năm học

+ Phương pháp so sánh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

a

h

C B

A

M0(x0;y0)

n= A;B ( )

x

y

O

T

R

I

b

a

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

a b c ; b2 a b ' ; c2 a c ' ; h2 b c' ' ; a h b c  ; 2 2 2

h b c ;

- Phương trình tổng quát củađường thẳng  đi qua điểm M x y0 ( ; ) 0 0 và có VTPT

( ; )

n A B là: A x x(  0 ) B y y(  0 ) 0  [2]

- Phương trình đường tròn dạng: x2 y2  2ax 2by c  0 (với điều kiện

a b  c ) có tâm I a b( ; ) bán kính R a2 b2  c [2]

- Phương trình đường tròn tâm I a b( ; ), bán kính R: (x a ) 2  (y b ) 2 R2 [2]

- Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn ( )C tâm I a b( ; ), bán kính R

( ; )

d I R

   [3]

- Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn ( )C tâm I a b( ; ), bán kính R tại điểm T

thì IT   và IT R [3]

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn ( )C có tâm I a b( ; ), bán kính R và điểm

( ; )

M x y nằm phía ngoài đường tròn ( )C Từ điểm M x y( ; ) 0 0 kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

T1

H

Khi gặp bài toán này, hầu hết học sinh đều nghĩ ngay đến việc đi tìm tọa

độ các tiếp điểm T T1 ; 2 sau đó suy ra tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

Để tìm được tọa độ các tiếp điểm T T1 ; 2 học sinh phải xác định được phương trình các tiếp tuyến hoặc phải viết được phương trình đường tròn ( ')C

tâm M và có bán kính R'  MI2  R2 sau đó giải hệ phương trình mới có được tọa độ T T1 ; 2

Kết quả khảo sát thực trạng tư duy nhóm học sinh khi gặp bài toán cụ thể như sau:

Bài toán cụ thể: “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C

có phương trình x2 y2  2x 2y 2 0  Từ điểm M(3;5) kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2”.

Năm học Tổng số HS tham

gia khảo sát

Tư duy giải quyết bài toán Tìm các tiếp

điểm T T1 ; 2

Hướng giải quyết khác (Viết PT đường thẳng TT1 2)

Với cách giải quyết này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn trong quá trình giải Trong khi đó thời gian làm bài thi có hạn nên học sinh khi gặp bế tắc hoặc gặp phải con số “không đẹp” thì thường sẽ bỏ qua bài toán này

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn ( )C có tâm I a b( ; ), bán kính R và điểm

( ; )

M x y nằm phía ngoài đường tròn ( )C Từ điểm M x y( ; ) 0 0 kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

T2

T1

H

Trước hết, bài toán chỉ yêu cầu tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng

1 2

TT ; không yêu cầu tìm tọa độ các tiếp điểm T T1 ; 2 Vì vậy chúng ta sẽ vận dụng tính chất của véc tơ để tìm tọa độ điểm H như sau:

- Dễ nhận thấy H chính là giao điểm của TT1 2 với IM và TT1 2 IM tại H

- Xét IMT1 vuông tại T1 và có H là hình chiếu vuông góc của T1 trên cạnh

1

IH IM IT R

                                            

(1)

- Do H thuộc đường thẳng IM (2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình; giải hệ ta được tọa độ điểm H

* Bài toán cụ thể: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C có phương trình 2 2

x y  x y  Từ điểm M(3;5) kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

Lời giải:

T 2

T1

H

- Đường tròn ( )C có phương trình x2 y2  2x 2y 2 0   (x 1)2 (y 1)2  4 ( )C

 có tâm I(1;1) và bán kính R 2

- Ta có: IM (2; 4) 



đường thẳng IM có VTPT là n  (2; 1)   phương trình là:

(IM) : 2( x 1) 1(  y 1) 0   2x y  1 0  (1)

1

IH IM IT R 

nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình:

2(x 1) 4(  y 1) 4   x 2y 5 0  (2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 2 1 0 7 9;

x y

H

x y



Kết luận: 7 9;

5 5

H  

* Một số bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho đường tròn ( )C có phương trình x2 y2  4x 2y 4 0  Từ điểm

(4;3)

M kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa

độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

Bài 2: Cho đường tròn ( )C có phương trình x2 y2  6x 2y 6 0  Từ điểm

(8;3)

M kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa

độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

Bài 3: Cho đường tròn ( )C có phương trình x2 y2  3x 2y  1 0 Từ điểm

(3; 2)

M  kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ( )C ; gọi T T1 ; 2 là các tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng TT1 2

Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( )C x: 2y2 2x 2y 2 0  Gọi

;

M N thứ tự là tiếp điểm của đường tròn ( )C với các cạnh AB và AC Tìm tọa

độ đỉnh A biết trung điểm của MN là 7 9;

5 5

H  

Hướng dẫn:

Từ ( )C x: 2 y2  2x 2y 2 0  (1;1)

2

I R



 





Từ

7 9

5 5 2

A R







M

C B

A

Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC 60 0 Đường tròn ( )C nội tiếp tam giác ABC

có tâm I(1;1) và tiếp xúc với các cạnh AB AC; thứ tự tại M N; Tìm tọa độ đỉnh

A biết đường thẳng MN có phương trình 2x y  5 0 

Hướng dẫn:

PT (

I

AI MN









)

PT (

PT (

AI

H MN









60

IH

R BAC











Từ I H; A

R









2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

+ Với phương pháp trên, bài toán đã trở nên đơn giản và “nhẹ nhàng” hơn rất nhiều

+ Bản thân các đồng nghiệp cũng không còn “ngại” khi gặp các bài toán tương tự

+ Đối với việc bồi dưỡng, ôn luyện học sinh khá giỏi, học sinh cũng không còn “sợ” khi gặp dạng toán tương tự, tư duy tự tin hơn và giải toán tốt hơn

Sau khi áp dụng phương pháp đã nêu trên, khảo sát lại nhóm học sinh về nội dung này, tôi có bảng so sánh và kết quả như sau:

Năm học

Tổng số

HS tham gia khảo sát

Tư duy giải quyết bài toán khi chưa áp dụng đề tài Kết quả sau khi áp dụng đề tài

Tìm các tiếp điểm T T1 ; 2

Hướng giải quyết khác (Viết PT đường thẳng

1 2

TT )

Phương pháp tìm H

thông qua biểu thức

1

IH IM IT R

Tỷ lệ giải quyết bài toán thành công

+ Việc mở rộng bài toán trong không gian, chúng ta cũng có phương pháp giải tương tự, hỗ trợ tốt cho đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia

Bài toán cụ thể: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2  (y 1) 2  (z 1) 2  1

và đường thẳng d x:  2  y z Hai mặt phẳng ( ),( ')P P chứa d, tiếp xúc với ( )S

tại T và T' Tọa độ trung điểm H của TT' là:

A 1 5; ; 5

H   

  B 2 5; ; 7

H   

H   

H    

Phương pháp giải:

+ Gọi ( )  là mặt phẳng (ITT'); ( ) ( )

IT P IT d

d





Vậy M là hình chiếu vuông góc của I trên d  tọa độ M

.

H IM

IH IM R













  tọa độ H

+ Đáp án: A 1 5; ; 5

H   

α ( )

T'

T

I

(P')

(P)

d

* Một số bài tập áp dụng (Cho dạng mở rộng trong không gian):

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1) 2  (y 1) 2  (z 1) 2  1 và

d     

 Hai mặt phẳng ( ),( ')P P chứa d, tiếp xúc với

( )S tại T và T' Tìm tọa độ trung điểm H của TT'

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x 2y 2z 1 0  và

( ) : 2Q x y  2z 5 0  Mặt cầu ( )S tâm I , tiếp xúc với ( )P và ( )Q thứ tự tại T

và T' Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ( )S biết tọa độ trung điểm của TT' là

(2; 2;0)

Hướng dẫn:

( )

PT

PT

PT

P

Q







PT

H

M d











Để ý rằng ( ) ( )P  Q  MT MT' cùng với tọa độ H M;  I

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Mặc dù bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn nhưng phương pháp giải không đi sâu vào khai thác tiếp tuyến mà chủ yếu dựa vào tính chất hình học, tọa độ véc tơ để giải quyết

Nên tìm phương pháp giải quyết bài toán đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hiện bằng cách sử dụng kiến thức liên quan

Việc mở rộng bài toán trong không gian cũng phải được áp dụng để có phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất đáp ứng ôn tập dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia

3.2 Kiến nghị

Đối với giáo viên, không nên cho rằng đây là bài toán khó và bỏ qua; khi dạy học sinh dạng bài toán này, nên tạo tư tưởng thoải mái cho học sinh và cố gắng trình bày bài toán sao cho đơn giản, nhẹ nhàng Nên sử dụng hình ảnh trực quan để học sinh học sinh dễ hiểu

Đối với học sinh, không nên bỏ qua bài toán này; khi gặp bài toán dạng này hãy bình tĩnh để tìm phương án giải phù hợp

Do thời gian nghiên cứu có hạn, quá trình thực nghiệm áp dụng chưa rộng rãi với các đối tượng học sinh Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Đã ký) Nguyễn Đình Bảy

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

NGƯỜI VIẾT SKKN

(Đã ký)

Nguyễn Công Hiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trích Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2020

2 Hình Học 10, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016

3 Phân dạng và Phương pháp giải toán Hình Học 10, Trần Thị Vân Anh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016

4 Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2019