Giải bài toán tìm tọa độ điểm trong hệ tọa độ oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY Người thực hiện: Lê Đăng Bản Chức vụ: P Tổ trưởng CM SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA, NĂM 2016 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Tọa độ điểm 2.1.2 Phương trình đường thẳng 2.1.3 Khoảng cách 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài toán tổng quát 2.3.2 Bài toán tổng quát 2.3.3 Bài toán tổng quát 10 2.3.4 Bài toán tổng quát 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hình học nói chung hình học phẳng nói riêng phân môn Toán học có tác dụng tốt việc phát triển tư trừu tượng cho học sinh đa dạng phong phú Với đời phương pháp tọa độ, tức dùng công cụ véctơ kết hợp với tính chất hình học để giải toán hình học phẳng làm nhẹ phần độ phức tạp toán Tuy nhiên phương pháp đòi hỏi học sinh phải có kỹ phân tích thích hợp giải tốt vấn đề Bài toán tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất hình học hệ tọa độ Oxy thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia Đây toán khó dùng để phân loại học sinh Vì để giúp học sinh giải tốt toán tìm tọa độ điểm hệ tọa độ Oxy lựa chọn đề tài "Giải tìm tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy" làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Cung cấp thiến thức, kỹ thuật để học sinh phân tích, phát giải toán tìm tọa độ điểm hệ tọa độ Oxy, từ nâng cao kết học sinh giải tập tọa độ mặt phẳng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Điểm, đường thẳng, đường tròn, khoảng cách, góc… hệ tọa độ Oxy, mối quan hệ đối tượng để từ phân dạng đưa phương pháp giải toán tìm điểm mặt phẳng tọa độ 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, thông tin mạng internet có liên quan đến đề tài - Phương pháp phân tích, tổng hợp từ lý thuyết rút phương pháp giải NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Kiến thức học chương trình lớp 10 2.1.1 Tọa độ điểm Cho A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; yB ) ; C ( x C ; yC ) uuur - Véc tơ AB ( x B − x A ; y B − y A )  x + x B yA + yB  ; - Toạ độ trung điểm I AB I  A ÷ 2   uuur uuur - Độ dài vectơ AB AB = AB = ( xB − xA ) + ( yB − yA ) - Nếu A, B, C đỉnh tam giác, gọi G trọng tâm tam giác ABC ta  x + x B + x C y A + y B + yC  ; có: G  A ÷ 3   2.1.2 Phương trình đường thẳng  x = x + at - Phương trình tham số đường thẳng :  ( t ∈ R tham số) y = y + bt  - Phương trình tắc đường thẳng : x − x y − y0 = ( a.b ≠ ) a b - Phương trình tổng quát đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = (với A, B không đồng thời 0) - Vị trí tương đối đường thẳng: ∆1: A1x + B1y + C1 = (1) ( A12 + B12 ≠ ) ∆2: A2x + B2y + C2 = (2) ( A22 + B22 ≠ ) Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2, có nghiệm hệ phương trình (1) (2) - Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt ∆1: A1x + B1y + C1 = ( A12 + B12 ≠ ) ∆2: A2x + B2y + C2 = (A 2 + B22 ≠ ) Phương trình hai đường phân giác góc hợp ∆1 ∆2 là: A1 x + B1 y + C1 A +B 2 =± A2 x + B2 y + C A22 + B22 2.1.3 Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng ∆: Ax + By + C = cho bởi: d(M0; ∆) = Ax0 + By0 + C A2 + B 2.2 Thực trạng vấn đề Bài toán tìm tọa độ điểm hệ tọa độ Oxy dạng thường xuyên xuất đề thi Đại học, Cao đẳng trước toán thường gặp đề thi THPT Quốc gia từ năm 2015 Qua thực tiễn giảng dạy, nhận thấy giải toán thuộc dạng học sinh thường thường lúng túng định hướng cách giải Phương pháp tọa độ mặt phẳng học sinh bắt đầu làm quen chương trình THCS, đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều toán dạng này, học sinh thường không nhận diện dạng toán chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải vấn đề 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Cung cấp số kiến thức tọa độ phẳng học lớp 10 - Phân dạng toán tìm điểm từ mức độ dễ đến khó qua toán tổng quát (bài toán gốc) - Hướng dẫn học sinh nhận dạng, định hướng cách giải toán 2.3.1 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1: Trong hệ toạ độ Oxy tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ thoả mãn tính chất: a) M ∈ ∆’ (Với ∆ ≠ ∆’) b) d ( M , ∆ ') = h (Khi biết h) (Khi biết phương trình ∆, ∆’) Bài toán giải đơn giản sau: a) Nhận thấy M = ∆ ∩ ∆ ' toạ độ điểm M nghiệm hệ phương trình gồm phương trình ∆, ∆’ b) Do M ∈ ∆ nên ta tham số toạ độ M theo phương trình tham số ∆ (giả sử theo tham số t) Dựa vào giả thiết d ( M , ∆ ') = h , suy tham số t Từ tìm toạ độ điểm M Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng có phương trình ∆: 2x – y + = ∆’: 4x + 3y – = Tìm toạ độ điểm M biết a) M thuộc ∆ ∆’ b) d ( M , ∆ ') = Giải: 2 x – y + = a) Toạ độ M nghiệm hệ phương trình  Giải hệ tìm 4 x + y – = M(-2 ; 3) b) Tham số hoá toạ độ điểm M : M(t ; 2t + 7) ∈ ∆ d ( M , ∆ ') = ⇔ 4t + 3(2t + 7) − 42 + 32 t = −1 = ⇔ 10t + 20 = 10 ⇔  t = −3 Vậy: M(-1; 5), M(-3; 1) Ví dụ (Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2013): Trong hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng ∆: x – y = Đường tròn (C) bán kính R = 10 cắt ∆ điểm A, B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Giải: Định hướng: Để viết phương trình đường tròn (C) ta cần xác định toạ độ tâm đường tròn + Gọi I tâm đường tròn, M giao điểm tiếp tuyến A, B với (C) + M(0; a) ∈ Oy với a ≥ Gọi H trung điểm AB ⇒AH = AB/2 = 2 + Tam giác IAM vuông nên 1 1 1 = + 2⇔ = + 2 AH AM AI AM 10 ⇒ AM = 10 ⇒ MH = + Ta có MH = d(M, ∆) nên : AM − AH = a = ⇔ a = ±8 Do a ≥ nên a = ⇒ M(0; 8) + Do IM qua M vuông góc với ∆ nên IM: x + y – = ⇒ I (t; – t) ∈ IM + Tam giác vuông IHA có: IH = IA2 − AH = ⇔ d ( I , ∆) = ⇔ t − (8 − t ) t =  I (5;3) = 2⇔ ⇔ t =   I (3;5) + Kiểm tra điều kiện IM = IA2 + AM = : Điểm I(5; 3) thoả mãn Vậy (C) có phương trình: ( x − 5) + ( y − 3) = 10 Ví dụ (Đề minh họa THPT Quốc Gia năm 2015: Trong hệ toạ độ Oxy, tam giác OAB có đỉnh A, B thuộc đường thẳng ∆: 4x + 3y – 12 = điểm K(6; 6) làm tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm ∆ cho AC = AO điểm C, B nằm khác phía so với điểm A Biết C có hoành độ 25 , tìm toạ độ đỉnh A, B Giải: Định hướng cách giải: - Từ giả thiết ta suy toạ độ điểm C - Do AO = AC nên điểm A nằm trung trực OC (gọi ∆’) ⇒ A = AB ∩ ∆’ - Kẻ AH ⊥ OK gọi A’ giao điểm AH OB Suy H trung điểm AA’ - Lập phương trình OK ⇒ phương trình AH ⇒ toạ độ điểm H ⇒ toạ độ điểm A’ ⇒ phương trình OA’ - Khi B giao điểm đường thẳng: OA’ AB Lời giải chi tiết: xc = 24  24 12  , C ∈ ∆ ⇒ C ;− ÷ 5  Do AO = AC nên A thuộc trung trực đoạn OC: 2x – y – = - Vì A = AB ∩ ∆’ nên toạ độ A nghiệm hệ phương trình : 4 x + y − 12 =  x = ⇔ ⇔ A ( 3;0 )  2 x − y − = y = - Kẻ AH ⊥ OK gọi A’ giao điểm AH OB Suy H trung điểm AA’ Ta có OK có phương trình x – y = nên AH: x + y – = Khi H nghiệm hệ phương trình:  x=  x − y =  ⇒ H  ;  ⇒ A ' 0;3 ⇔ ( )   ÷ x + y − = 2    y =  - Đường thẳng OB qua O(0; 0) A’(0; 3) nên có phương trình x = x = x = ⇔ ⇒ B ( 0;4 ) Vậy toạ độ B nghiệm hệ  4 x + y − 12 =  y = 2.3.2 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 2: Trong hệ toạ độ Oxy tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ thoả mãn tính chất: a) MI = R (Với I biết toạ độ, R cho trước) b) M liên hệ với điểm A, B tạo thành tam giác đặc biệt (cân, vuông, đều…) Phương pháp: a) Tham số hoá toạ độ điểm M (giả sử theo tham số t), dựa vào MI = R suy t Từ suy toạ độ điểm M Hoặc giải toán sau: Khi MI = R suy M nằm đường tròn (C) tâm I, bán kính R Giải hệ gồm phương trình ∆ (C) suy toạ độ điểm M b) Tham số hoá toạ độ điểm M (giả sử theo tham số t) Từ giả thiết tam giác MAB đặc biệt ta thiết lập phương trình liên quan đến t Tìm t sau tìm M Ví dụ (Đề thi Đại học khối A-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆: x + y + = đường tròn (C): x + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm đường tròn, M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Giải: Phân tích: Dựa vào diện tích tứ giác MAIB tính MI = quy toán (tính chất a) + Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = + S MAIB = S MBI = IM MB = 5.MB = 10 ⇒ MB = ⇒ MI = MB + IB = + Gọi tọa độ M(t; - t – 2) ∈∆ t = 2 ⇒ MI = 25 ⇔ ( t − ) + ( −t − 3) = 25 ⇔ t + t − = ⇔   t = −3 Suy ra: M(2; - 4) , M( - 3; 1) Ví dụ (Đề thi Đại học khối B-2002): Trong mặt phẳng Oxy cho hình 1  chữ nhật ABCD có tâm I  ;0 ÷, AB có phương trình x – 2y + = AB = 2  2AD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết A có hoàng độ âm Giải: Phân tích: - Tính d ( I , AB ) = 5 ⇒ AD ⇒ IB = IA = 2 - Sử dụng tính chất b toán tổng quát +) Gọi H hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng AB Khi IH = d ( I , AB ) = ⇒ AD = IH = = AH = HB ⇒ IB = IA = IH + AH = Từ suy A, B giao điểm đường thẳng AB đường tròn tâm I, bán kính IA (hoặc IB) Vậy tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình:   x = −2 x − y + =     y = ⇒ A ( −2;0 ) , B ( 2;2 ) (vì x < 0) ⇔  A 1 25  x =  x − ÷ + y =      y = Do I trung điểm AC BD nên: C(3; 0), D(-1; -2) Ví dụ (Đề thi THPT Quốc gia năm 2015): Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vuông A lên BC, D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vuông góc C đường thẳng AD Giả sử H(-5; - 5), K(9; -3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = Tìm tọa độ điểm A 10 Giải: Phân tích: - Gọi I trung điểm AC, ta có IH = IK = AC/2 Tham số hóa tọa độ điểm I theo phương trình AC ⇒ tọa độ điểm I - Chứng minh tam giác AHK cân H ⇒ HI trung trực AK ⇒ phương trình AK - Tham số hóa A theo phương trình đường thẳng AK IA = IK để tìm tọa độ điểm A Gọi I(t; t + 10) ∈ AC Ta có : IH = IK ⇔ ( t + ) + ( t + 15 ) = ( t − ) + ( t + 13) ⇔ t = ⇒ I (0;10) 2 2 ·ACH = HKA · · (cùng chắn cung AH), ·ACH = BAH (cùng phụ góc ABC) · · Do AH vừa đường cao, đường trung tuyến nên BAH = HAD · · ⇒ HAK ⇒ tam giác HKA cân H ⇒ HA = HK, mà IA = IK nên = HKA HI trung trực AK uur Ta có HI = (5;15) ⇒ phương trình AK: x + 3y = Gọi A(-3a; a) ∈ AK a =  A( −15;5) ⇒ Ta có AI = AK ⇔ a − 2a − 15 = ⇔   a = −3  A(9; −3) ≡ K Vậy A(-15; 5) 2.3.3 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 3: Tìm điểm thông qua hệ thức vectơ Phương pháp chung: +) Gọi tọa độ M(x; y) Dựa vào đề thiết lập phương trình liên quan đến x, y 11 +) Tọa độ hóa điểm M, N thuộc đường (đường thẳng, đường elip…), sau tìm mối liên hệ với điểm khác qua hệ thức vectơ Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD với đáy AB, CD CD = 2AB H chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC, M trung điểm HC Biết B(5; 6), phương trình đường thẳng DH: 2x – y = 0, phương trình đường thẳng DM: x – 3y + = Tìm tọa độ đỉnh lại hình thang Giải: +) Ta có D = DH ∩ DM Tọa độ D thỏa mãn hệ 2 x − y = x = ⇔ ⇒ D(1;2)   x − 3y + =  y = +) Gọi I = AC ∩ BD Do AB // CD nên uur uur DI CD = = ⇒ DI = IB IB AB  x − = 2(5 − xI )  11 14  ⇔ I ⇔ I ; ÷ 3 3  yI − = 2(6 − yI ) +) AC qua điểm I vuông góc với DH nên có phương trình: x + 2y – 13 =  x + y − 13 =  13 26  ⇒H ; ÷ Tọa độ H nghiệm hệ  5  2 x − y =  x + y − 13 =  29 18  ⇒M ; ÷ Tọa độ M nghiệm hệ   5 x − 3y + = M trung điểm HC nên C(9; 2) uuur uuu r 1 − = ( x A − ) CD = BA ⇔ ⇒ A(1;6) +) Ta có  − = y − ( A )  12 Vậy: A(1; 6), C(9; 2), D(1; 2) Ví dụ (Đề thi Đại học khối B – 2014): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3; 0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0; -1) 4  hình chiếu vuông góc B lên AD điểm G  ;3 ÷ trọng tâm tam giác 3  BCD Tìm tọa độ điểm B D Giải: +) Gọi P, Q giao điểm HM, HG với BC Do HA // BC nên theo định lý Talet ta có: HM AM = = ⇒ HM = MP hay M trung điểm HP Vậy P(-6; 1) MP MB 4 4  uuur uuur HG AG  =  xQ − ÷  xQ =   = = ⇒ HG = GQ ⇔ ⇔ ⇒ Q ( 2;5 ) +)   y = GQ GC 3 − (−1) = ( y − 3)  Q Q  +) Đường thẳng BC qua P, Q nên có phương trình: x – 2y + = +) Đường thẳng BH qua điểm H(0; -1) vuông góc với BC nên có phương trình: 2x + y + = x − y + = ⇒ B ( −2;3) Suy ra: B nghiệm hệ phương trình  2 x + y + = +) Do M trung điểm AB suy A(-4 ; -3) 13 uuur uuur  xC = ⇒ C ( 4;6 ) +) Ta có : AG = 2GC ⇔  y =  C  −2 + + xD =  x = 3 ⇔ D ⇒ D ( 2;0 ) +) G trọng tâm tam giác BCD nên  + + y y = D  D  =3  Vậy: B(-2; 3), D(2; 0) 2.3.4 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 4: Tìm tọa độ điểm M không thuộc toán tổng quát 1, 2, Hướng giải chung toán sau: Hướng 1: M ∈ ∆ thỏa mãn điều kiện K - Tham số hóa M theo phương trình ∆ - Dựa vào điều kiện K thiết lập phương trình liên quan đến tham số Hướng 2: Không thể thiết lập phương trình đường thẳng qua M M thỏa mãn tính chất K - Gọi tọa độ M(a; b) - Dựa vào tính chất K lập phương trình liên quan đến a, b từ tìm a, b Ví dụ (Đề thi Đại học khối A-2006): Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0; d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm d3 cho khoảng cách từ M đến d1 lần khoảng cách từ M đến d2 Giải: Ta gọi M(2t; t) ∈ d3 Theo ta có d(M, d1) = 2d(M, d2) ⇔ Ví dụ 10 2t + t + =2 2t − t − t = −11  M (−22; −11) ⇔ ⇒ t =   M (2;1) (Đề thi Đại học y khối B-2012): Trong mặt phẳng tọa B độ Oxy cho hình thoi ABCD có AC = H 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + A C O x D 14 y2 = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh hình thoi Biết A thuộc trục Ox Giải: +) Gọi phương trình (E): x2 y + = ( a > b > 0) a b2 +) Giả sử A(a; 0), B(0; b) Hình thoi ABCD có AC = 2BD nên 2OA = 4OB ⇔ a = 2b +) Gọi H hình chiếu vuông góc O lên AB ⇒ OH = R = (đường tròn tiếp xúc với hình thoi) +) Tam giác OAB có 1 1 1 = + ⇔ = + ⇔ b = ⇒ a = 4b = 20 2 2 OH OA OB 4b b x2 y + =1 Vậy elip có phương trình: 20 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sáng kiến thân áp dụng trình giảng dạy phần phương pháp tọa độ mặt phẳng cho lớp mũi nhọn, ôn thi Đại học, Cao đẳng thu hiệu tích cực Để đánh giá hiệu đề tài tiến hành dạy thực nghiệm lớp 12A1 năm học 2015 – 2016 Trước tác động: Sau ôn tập kiến thức chuyên đề “phương pháp tọa độ mặt phẳng” (Hình học 10), học sinh kiểm tra với kết khảo sát sau: Điểm Số (36) Số lượng Tỉ lệ 0-2 13.8 19.4 11 30.5 22.2 10 Điểm trung bình 5.1 8.33 5.56 15 Sau tác động: Học sinh cung cấp phương pháp chung (qua toán tổng quát từ sáng kiến), ví dụ minh họa Kết thu qua khảo sát sau: Điểm Số (36) 0-2 Số lượng Tỉ lệ Điểm 10 trung bình 2.7 8.3 13.8 12 33.3 13.8 16.6 2 6.5 5.56 5.56 Từ bảng số liệu cho thấy sau sáng kiến áp dụng chất lượng học sinh lớp 12A1 có chuyển biến rõ rệt Sau tiếp thu nội dung từ sáng kiến đa số học sinh biết cách định hướng cho dạng toán Tuy nhiên dạng toán khó đa số học sinh, số học sinh trung bình trung bình khả vận dụng vào giải toán lúng túng, toán cần phải tạo hình vẽ phụ, yếu tố phụ Vì dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt sáng tạo vận dụng quy trình 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Bài toán tìm tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy dạng toán khó nhiều học sinh Từ việc phân dạng gắn với phương pháp giải thấy học sinh biết cách định hướng, tìm lời giải cho toán Kinh nghiệm trình bày ứng dụng nhỏ giúp học sinh rèn luyện kỹ giải toán hình học tọa độ phẳng Qua trình nêu hình thành cho học sinh phương pháp luận, rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận vận dụng lý thuyết vào giải toán, tạo cho học sinh hứng thú tìm tòi, hứng thú học tập môn toán Trên kinh nghiệm rút từ trình giảng dạy thân, mong đồng nghiệp bổ sung, góp ý để áp dụng rộng rãi hiệu dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Đăng Bản 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học lớp 10, 12 Đề thi Đại học, THPT Quốc gia năm học Tạp chí dạy học ngày 18 ... THPT Quốc gia Đây toán khó dùng để phân loại học sinh Vì để giúp học sinh giải tốt toán tìm tọa độ điểm hệ tọa độ Oxy lựa chọn đề tài "Giải tìm tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy" làm đề tài nghiên... giải toán tìm tọa độ điểm hệ tọa độ Oxy, từ nâng cao kết học sinh giải tập tọa độ mặt phẳng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Điểm, đường thẳng, đường tròn, khoảng cách, góc… hệ tọa độ Oxy, mối quan hệ. .. dạng toán tìm điểm từ mức độ dễ đến khó qua toán tổng quát (bài toán gốc) - Hướng dẫn học sinh nhận dạng, định hướng cách giải toán 2.3.1 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1: Trong hệ toạ độ Oxy tìm toạ độ điểm