Giải bài toán tìm tọa độ điểm trong hệ tọa độ oxy

Với sự ra đời của phương pháp tọa độ, tức là dùng công cụ véctơ kết hợp với tính chất hình học để giải bài toán hình học phẳng đã làm nhẹ được phần nào độ phức tạp của bài toán.. Bài toá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM TRONG MẶT

PHẲNG TỌA ĐỘ OXY

Người thực hiện: Lê Đăng Bản

Chức vụ: P Tổ trưởng CM SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

Trang

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 14

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng là một phân môn của Toán học có tác dụng rất tốt trong việc phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh bởi sự đa dạng và phong phú của nó

Với sự ra đời của phương pháp tọa độ, tức là dùng công cụ véctơ kết hợp với tính chất hình học để giải bài toán hình học phẳng đã làm nhẹ được phần nào

độ phức tạp của bài toán Tuy nhiên phương pháp này cũng đòi hỏi học sinh phải có những kỹ năng phân tích thích hợp mới có thể giải quyết tốt được vấn đề

Bài toán tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một tính chất hình học nào đó trong hệ tọa độ Oxy thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia Đây là một trong những bài toán khó dùng để phân loại học sinh

Vì vậy để giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán tìm tọa độ của điểm

trong hệ tọa độ Oxy tôi lựa chọn đề tài "Giải bài tìm tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy" làm đề tài nghiên cứu của mình.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp những thiến thức, kỹ thuật cơ bản để học sinh có thể phân tích, phát hiện và giải quyết được bài toán tìm tọa độ điểm trong hệ tọa độ Oxy, từ đó nâng cao kết quả của học sinh trong khi giải bài tập tọa độ trong mặt phẳng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Điểm, đường thẳng, đường tròn, khoảng cách, góc… trong hệ tọa độ Oxy, mối quan hệ giữa các đối tượng để từ đó phân dạng và đưa ra các phương pháp giải bài toán về tìm điểm trong mặt phẳng tọa độ

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, các thông tin trên mạng internet có liên quan đến đề tài

- Phương pháp phân tích, tổng hợp từ lý thuyết rút ra phương pháp giải

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Kiến thức cơ bản học ở chương trình lớp 10.

2.1.1 Tọa độ của điểm

- Véc tơ

- Toạ độ trung điểm I của AB là

- Độ dài vectơ là

- Nếu A, B, C là 3 đỉnh 1 tam giác, gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:

2.1.2 Phương trình đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng : ( là tham số)

- Phương trình chính tắc của đường thẳng : ( )

- Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng: (với A, B không đồng thời bằng 0)

- Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

1: A1x + B1y + C1 = 0 (1)

2: A2x + B2y + C2 = 0 (2) Toạ độ giao điểm của 1 và 2, nếu có là nghiệm của hệ 2 phương trình (1) và (2)

- Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau

1: A1x + B1y + C1 = 0

2: A2x + B2y + C2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi 1 và 2 là:

2.1.3 Khoảng cách:

Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng : Ax + By + C = 0 được cho bởi: d(M0; ) =

2.2 Thực trạng vấn đề

Bài toán tìm tọa độ của điểm trong hệ tọa độ Oxy là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng trước đây và là bài toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia từ năm 2015

Qua thực tiễn giảng dạy, tôi nhận thấy khi giải các bài toán thuộc dạng này học sinh thường thường lúng túng về định hướng cách giải Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng học sinh bắt đầu được làm quen ở chương trình THCS, đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về dạng này, nhưng học sinh thường không nhận diện được dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống các phương pháp để giải quyết vấn đề

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

- Cung cấp một số kiến thức cơ bản về tọa độ phẳng đã học ở lớp 10

- Phân dạng bài toán tìm điểm từ mức độ dễ đến khó qua các bài toán tổng quát (bài toán gốc)

- Hướng dẫn học sinh nhận dạng, định hướng cách giải bài toán

2.3.1 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1: Trong hệ toạ độ Oxy tìm toạ độ điểm M

thuộc đường thẳng ∆ thoả mãn các tính chất:

a) M  ∆’ (Với ∆ ≠ ∆’)

b) (Khi biết h)

(Khi đã biết phương trình của ∆, ∆’)

Bài toán trên có thể giải đơn giản như sau:

a) Nhận thấy do đó toạ độ điểm M là nghiệm hệ phương trình gồm phương trình của ∆, ∆’

b) Do M  ∆ nên ta tham số toạ độ của M theo phương trình tham số của

∆ (giả sử theo tham số t).

Dựa vào giả thiết , suy ra tham số t Từ đó tìm được toạ độ

của điểm M

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Trong hệ toạ độ Oxy cho các đường thẳng có phương trình

∆: 2x – y + 7 = 0 và ∆’: 4x + 3y – 1 = 0

Tìm toạ độ điểm M biết

a) M thuộc ∆ và ∆’

b)

Giải:

a) Toạ độ M là nghiệm hệ phương trình Giải hệ tìm được M(-2 ; 3)

b) Tham số hoá toạ độ điểm M : M(t ; 2t + 7)  ∆

Vậy: M(-1; 5), M(-3; 1)

Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2013): Trong hệ toạ độ Oxy

cho đường thẳng ∆: x – y = 0 Đường tròn (C) bán kính cắt ∆ tại 2 điểm A, B sao cho Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình

đường tròn (C)

Giải:

Định hướng: Để viết được phương

trình đường tròn (C) ta cần xác định toạ

độ tâm của đường tròn

+ Gọi I là tâm đường tròn, M là giao điểm

của tiếp tuyến tại A, B với (C)

+ M(0; a)  Oy với a ≥ 0 Gọi H là trung điểm AB  AH = AB/2 =

H M

I B

A

+ Tam giác IAM vuông nên

+ Ta có MH = d(M, ∆) nên : Do a ≥ 0 nên a = 8

 M(0; 8)

+ Do IM đi qua M và vuông góc với ∆ nên IM: x + y – 8 = 0

 I (t; 8 – t)  IM

+ Tam giác vuông IHA có:

+ Kiểm tra điều kiện : Điểm I(5; 3) thoả mãn

Vậy (C) có phương trình:

Ví dụ 3 (Đề minh họa THPT Quốc Gia năm 2015: Trong hệ toạ độ

Oxy, tam giác OAB có các đỉnh A, B thuộc đường thẳng ∆: 4x + 3y – 12 = 0 và điểm K(6; 6) làm tâm

đường tròn bàng tiếp góc

O Gọi C là điểm nằm trên

∆ sao cho AC = AO và các

điểm C, B nằm khác phía

so với điểm A Biết C có

hoành độ , tìm toạ độ

các đỉnh A, B

Giải:

Định hướng cách giải:

- Từ giả thiết ta suy ra ngay toạ độ của điểm C.

- Do AO = AC nên điểm A nằm trên trung trực OC (gọi là ∆’).

 A = AB  ∆’.

K(6; 6)

H

A'

A I

O

C

B

- Kẻ AH  OK và gọi A’ là giao điểm của AH và OB Suy ra được H là

trung điểm AA’.

- Lập được phương trình OK  phương trình AH  toạ độ điểm H  toạ

độ điểm A’  phương trình OA’.

- Khi đó B là giao điểm của 2 đường thẳng: OA’ và AB.

Lời giải chi tiết:

Do AO = AC nên A thuộc trung trực của đoạn OC: 2x – y – 6 = 0

- Vì A = AB  ∆’ nên toạ độ A là nghiệm hệ phương trình :

- Kẻ AH  OK và gọi A’ là giao điểm của AH và OB Suy ra được H là

trung điểm AA’.

Ta có OK có phương trình x – y = 0 nên AH: x + y – 3 = 0

Khi đó H là nghiệm của hệ phương trình:

- Đường thẳng OB đi qua O(0; 0) và A’(0; 3) nên có phương trình x = 0

2.3.2 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 2: Trong hệ toạ độ Oxy tìm toạ độ điểm M

thuộc đường thẳng ∆ thoả mãn các tính chất:

a) MI = R (Với I đã biết toạ độ, R cho trước).

b) M liên hệ với 2 điểm A, B tạo thành các tam giác đặc biệt (cân, vuông,

đều…)

Phương pháp:

a) Tham số hoá toạ độ điểm M (giả sử theo tham số t), dựa vào MI = R

suy ra t Từ đó suy ra toạ độ điểm M

Hoặc có thể giải quyết bài toán như sau: Khi MI = R suy ra M nằm trên

đường tròn (C) tâm I, bán kính R

Giải hệ gồm phương trình ∆ và (C) suy ra được toạ độ điểm M.

b) Tham số hoá toạ độ điểm M (giả sử theo tham số t) Từ giả thiết tam giác MAB đặc biệt ta thiết lập các phương trình liên quan đến t Tìm t sau đó tìm

M

Ví dụ 4 (Đề thi Đại học khối A-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0 Gọi I là tâm của đường tròn, M là điểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Giải:

Phân tích: Dựa vào diện tích

tứ giác MAIB tính được MI =

5 quy về bài toán 2 (tính chất

a).

+ Đường tròn (C) có tâm I(2;

1), bán kính

+

+ Gọi tọa độ M(t; - t – 2) ∆

Suy ra: M(2; - 4) , M( - 3; 1)

x + y + 2 = 0

M

I(2; 1) B

A

Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối B-2002): Trong mặt phẳng Oxy cho hình

chữ nhật ABCD có tâm , AB có phương trình x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết A có hoàng độ âm

Giải:

- Sử dụng tính chất b của bài toán

tổng quát 2.

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc

của I lên đường thẳng AB

Khi đó IH =

Từ đó suy ra A, B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm I, bán kính IA (hoặc IB)

Vậy tọa độ của A, B là nghiệm hệ phương trình:

Do I là trung điểm AC và BD nên: C(3; 0), D(-1; -2)

Ví dụ 6 (Đề thi THPT Quốc gia năm 2015): Trong hệ tọa độ Oxy, cho

tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông của A lên BC, D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử H(-5; - 5), K(9; -3) và trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10

= 0 Tìm tọa độ điểm A

j

I

H A

B

Giải:

Phân tích:

- Gọi I là trung điểm AC, ta có

IH = IK = AC/2 Tham số hóa

tọa độ điểm I theo phương trình

AC  tọa độ điểm I.

- Chứng minh được tam giác

AHK cân tại H  HI là trung

trực của AK  phương trình AK.

- Tham số hóa A theo phương

trình đường thẳng AK và IA = IK để tìm tọa độ điểm A.

Gọi I(t; t + 10)  AC Ta có :

(cùng chắn cung AH), (cùng phụ góc ABC)

Do AH vừa là đường cao, đường trung tuyến nên

  tam giác HKA cân tại H  HA = HK, mà IA = IK nên

HI là trung trực của AK

Ta có  phương trình AK: x + 3y = 0

Gọi A(-3a; a)  AK

Ta có AI = AK

Vậy A(-15; 5)

2.3.3 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 3: Tìm điểm thông qua các hệ thức vectơ.

Phương pháp chung:

+) Gọi tọa độ M(x; y) Dựa vào đề bài thiết lập các phương trình liên quan đến x, y

I

K(9; -3) H(-5;-5)

B

D

x-3y+5=0 M

H

B(5;6)

C D

A

+) Tọa độ hóa điểm M, N thuộc các đường nào đó (đường thẳng, đường

elip…), sau đó tìm mối liên hệ với các điểm khác qua một hệ thức vectơ

Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD với 2 đáy AB,

CD và CD = 2AB H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC, M là trung

điểm của HC Biết B(5; 6), phương trình đường thẳng DH: 2x – y = 0, phương

trình đường thẳng DM: x – 3y + 5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình

thang

Giải:

Tọa độ D thỏa mãn hệ

+) AC đi qua điểm I và vuông góc với DH nên có phương trình: x + 2y – 13 = 0

Tọa độ H là nghiệm hệ

Tọa độ M là nghiệm của hệ

M là trung điểm HC nên C(9; 2)

+) Ta có

Vậy: A(1; 6), C(9; 2), D(1; 2).

Ví dụ 8 (Đề thi Đại học khối B – 2014): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình

bình hành ABCD Điểm M(-3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; -1) là hình chiếu vuông góc của B lên AD và điểm là trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B và D

Giải:

G P

H M

C

D A

+) Gọi P, Q là giao điểm của HM, HG với BC Do HA // BC nên theo định lý Talet ta có: hay M là trung điểm HP Vậy P(-6; 1)

+)

+) Đường thẳng BC đi qua P, Q nên có phương trình: x – 2y + 8 = 0

+) Đường thẳng BH đi qua điểm H(0; -1) và vuông góc với BC nên có phương trình: 2x + y + 1 = 0

Suy ra: B là nghiệm hệ phương trình

+) Do M là trung điểm AB suy ra A(-4 ; -3)

+) G là trọng tâm tam giác BCD nên

Vậy: B(-2; 3), D(2; 0)

2.3.4 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 4: Tìm tọa độ của điểm M không thuộc bài

toán tổng quát 1, 2, 3

Hướng giải chung bài toán này như sau:

Hướng 1: M  ∆ và thỏa mãn điều kiện K nào đó.

- Tham số hóa M theo phương trình ∆

- Dựa vào điều kiện K thiết lập phương trình liên quan đến tham số

Hướng 2: Không thể thiết lập được một phương trình đường thẳng đi qua M và

M thỏa mãn tính chất K nào đó

- Gọi tọa độ M(a; b)

- Dựa vào tính chất K lập 2 phương trình liên quan đến a, b từ đó tìm a, b

Ví dụ 9 (Đề thi Đại học khối A-2006): Trong hệ tọa độ Oxy cho các

đường thẳng d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0; d3: x – 2y = 0 Tìm tọa độ điểm

M nằm trên d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M

đến d2

Giải:

Ta gọi M(2t; t)  d3 Theo bài ra ta có d(M, d1) = 2d(M, d2)

Ví dụ 10 (Đề thi Đại học khối B-2012): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

cho hình thoi ABCD có AC = 2BD

và đường tròn tiếp xúc với các cạnh

hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4

Viết phương trình chính tắc của elip

(E) đi qua 4 đỉnh của hình thoi Biết

A thuộc trục Ox

A

B

C

y

H

+) Gọi phương trình (E):

+) Giả sử A(a; 0), B(0; b)

Hình thoi ABCD có AC = 2BD nên 2OA = 4OB  a = 2b

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên AB  OH = R = 2 (đường tròn tiếp xúc với hình thoi)

+) Tam giác OAB có

Vậy elip có phương trình:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Sáng kiến trên được bản thân áp dụng trong quá trình giảng dạy phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho các lớp mũi nhọn, ôn thi Đại học, Cao đẳng thu được hiệu quả tích cực

Để đánh giá hiệu quả của đề tài tôi tiến hành dạy thực nghiệm đối với lớp 12A1 năm học 2015 – 2016

Trước khi tác động: Sau khi được ôn tập các kiến thức cơ bản về chuyên

đề “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” (Hình học 10), học sinh được kiểm tra với kết quả khảo sát như sau:

Số bài

(36)

trung bình

5.1

Tỉ lệ 13.89 19.44 30.56 22.22 8.33 5.56

Sau khi tác động: Học sinh được cung cấp phương pháp chung (qua các bài toán tổng quát từ sáng kiến), các ví dụ minh họa Kết quả thu được qua bài khảo sát như sau:

(36) trung

bình

6.5

Tỉ lệ 2.78 8.33 13.89 33.33 13.89 16.67 5.56 5.56

Từ các bảng số liệu cho thấy sau khi sáng kiến được áp dụng chất lượng học sinh lớp 12A1 có chuyển biến rõ rệt

Sau khi được tiếp thu các nội dung từ sáng kiến đa số học sinh đã biết cách định hướng cho dạng bài toán này Tuy nhiên đây là một dạng toán khó đối với đa số học sinh, do đó đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả năng vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần phải tạo ra các hình vẽ phụ, yếu tố phụ Vì vậy khi dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo ra cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo trong khi vận dụng quy trình

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Bài toán tìm tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một dạng toán khó đối với nhiều học sinh Từ việc phân dạng và gắn với phương pháp giải tôi thấy học sinh đã biết cách định hướng, tìm lời giải cho các bài toán

Kinh nghiệm trình bày ở trên của tôi chỉ là một ứng dụng nhỏ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hình học trong tọa độ phẳng Qua quá trình nêu trên cũng đã hình thành cho học sinh phương pháp luận, rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận và vận dụng lý thuyết vào giải toán, tạo cho học sinh hứng thú tìm tòi, hứng thú học tập môn toán

Trên đây chỉ là những kinh nghiệm được rút ra từ quá trình giảng dạy của bản thân, tôi rất mong được đồng nghiệp bổ sung, góp ý để có thể áp dụng rộng rãi và hiệu quả hơn trong dạy học

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng 4 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác

Lê Đăng Bản

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Hình học lớp 10, 12

2 Đề thi Đại học, THPT Quốc gia các năm học

3 Tạp chí dạy và học ngày nay