skkn GIẢI bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN TRONG một số đề THI CAO ĐẲNG và đại học BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ

Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta "GII BI TON HèNH HC KHễNG GIAN TRONG MT S THI CAO NG - I HC BNG PHNG PHP TA " Phn 1: M U I Lý chn ti Trong Chng trỡnh giỏo dc THPT hin nay, Hỡnh hc l phn khú ca chng trỡnh toỏn nht l hỡnh hc khụng gi an, thng cỏc em u s hc phn ny Mun hc sinh hc tt c phn hỡnh hc ny thỡ mi ngi Giỏo viờn khụng phi ch truyn t, ging gii theo cỏc ti liu ó cú sn Sỏch giỏo khoa, cỏc sỏch hng dn v thit k bi ging mt cỏch gp khuụn, mỏy múc, lm cho hc sinh hc mt cỏch th ng Nu ch dy hc nh vy thỡ vic hc ca hc sinh s din tht n iu, t nht v kt qu hc s khụng cao Nú l mt nhng nguyờn nhõn gõy cn tr vic o to cỏc em t hnh nhng ngi nng ng, t tin, sỏng to sn sng thớch ng vi nhng i mi din hng ngy Yờu cu ca giỏo dc hin ũi hi phi i mi phng phỏp dy hc theo hng phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng sỏng to ca hc sinh Vỡ vy n gi giỏo viờn phi gõy c hng thỳ hc cho cỏc em bng cỏch tinh gin kin thc, thit k b i ging li khoa hc, hp lý, phi gn lin vi ng dng, liờn h thc t Cỏc kin thc khụng c mang nng tớnh hn lõm, v phi phự hp vi vic nhn th c ca cỏc em Thụng qua kin thc m ngi giỏo viờn ó tinh lc, qua ng dng, thc hnh cỏc em s lnh hi nhng tri thc toỏn hc mt cỏch d dng, cng c, khc sõu kin thc mt cỏch vng chc, to cho cỏc em nim say mờ, hng thỳ hc tp, vic lm Khi chỳng ta ó tinh lc kin thc mt cỏch gn gng, ng dng thc t mt cỏch thng xuyờn, khoa hc thỡ chc chn cht lng dy hc núi chung v mụn toỏn s ngy mt nõng cao Trờn c s phõn tớch k ni dung chng trỡnh ca B giỏo dc v o to nht l th i cao ng, i hc cỏc nm v cỏc ti liu thỡ t rong kỡ thi tuyn sinh vo i hc cao ng, bi toỏn hỡnh hc khụng gian: tớnh th tớch a din, khong cỏch t mt im n ng thng, khong cỏch t mt im n mt phng, khong cỏch hai ng thng chộo khụng c ỏnh giỏ l bi khú ca nhng nú li luụn gõy khụng ớt khú khn cho hc sinh t hỡnh v, c bit l k ng ph Thc t cho thy cú mt s em khụng gii c bi toỏn ny nhng li gii rt tt bi hỡnh hc ta khụng gian Vỡ lớ ú s au mt thi gian nghiờn cu tụi ó chn ti sỏng kin kinh nghim Gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian mt s thi Cao ng - i Hc bng phng phỏp ta II Thc trng trc thc hin cỏc gii phỏp ca ti 1) Thun li: - c s quan tõm h tr ca ngnh giỏo dc, giỏo viờn thng xuyờn c tham d cỏc lp bi dng kin thc, phng phỏp, ng dng mi cho cụng tỏc dy v hc - Cú s quan tõm, ng h ca Ban giỏm hiu nh trng v s h tr tớch cc ca t b mụn - Cú nhiu nm dy lp 12 nờn tớch ly c mt s kinh nghim - Do trng t chc hc hai bui sỏng chiu nờn cú thờm tit luyn 2) Khú khn: - Thiu cỏc cụng c h tr quỏ trỡnh ging dy - S tit luyn ớt nờn rốn luyn k nng nõng cao l khụng thc hin c - S lng bi tham kho khụng y v ng b THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta - L mt trng nỳi, hc sinh u vo tuyn sinh li ca cỏc trng thi tuyn a s l hc sinh trung bỡnh khỏ nờn mt bng kin thc cha ng u gia cỏc hc sinh vi Vic hng dn cỏc em nm bt c kin thc l ht sc khú khn 3) Phm vi, i tng, thi gian thc hin: - i tng nghiờn cu: i tng ca ti l hc sinh lp 12 ang chun b cho cỏc kỡ thi t nghip, cao ng, i hc v trung cp chuyờn nghip - Phm vi nghiờn cu: Mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi th, thi i hc cỏc nm - Thc hin ti cỏc gi luyn tit tng ca lp 12 vo cỏc bui chiu 4) Phng phỏp nghiờn cu: thc hin ti ny, tụi ó s dng cỏc phng phỏp sau : a) Nghiờn cu ti liu : - c cỏc ti liu sỏch, bỏo, giỏo dc cú liờn quan n ni dung ti - c SGK Hỡnh hc 12, sỏch giỏo viờn, cỏc loi sỏch tham kho b) Nghiờn cu thc t : - Trao i ý kin vi ng nghip v ni dung Gii cỏc bi hỡnh hc khụng gian v bi hỡnh hc khụng gian ta - Tng kt rỳt kinh nghim quỏ trỡnh dy hc - T chc v tin hnh th c nghim s phm (Son giỏo ỏn ó thụng qua cỏc tit dy) kim tra tớnh kh thi ca ti Phn 2: NI DUNG I C s lý lun 1) V trớ ca mụn Toỏn nh trng: Mụn toỏn cng nh nhng mụn hc khỏc cung cp nhng tri thc khoa hc, nhng nhn thc v th gii xung quanh nhm phỏt trin nng lc nhn thc, hot ng t v bi dng tỡnh cm o c tt p ca ngi Mụn toỏn trng THPT l mt mụn c lp, chim phn ln thi gian chng trỡnh hc ca hc sinh Mụn toỏn cú tm quan trng to ln Nú l b mụn khoa hc nghiờn cu cú h thng, phự hp vi hot ng nhn thc t nhiờn ca ngi Mụn toỏn cú kh nng giỏo dc rt ln vic rốn luyn phng phỏp suy ngh, phng phỏp suy lun lụgớc, thao tỏc t cn thit ngi phỏt trin ton din, hỡnh thnh nhõn cỏch tt p cho ngi lao ng thi i mi 2) c im tõm sinh lý ca hc sinh THPT: - la tui THPT c th ca cỏc em ang thi k phỏt trin hay núi c th l cỏc h c quan gn nh hon thin, vỡ th sc dai ca c th rt cao nờn cỏc em rt hiu ng, thớch hot ng chng t mỡnh - Hc sinh THPT nghe ging rt d hiu nhng cng s quờn chỳng khụng trung cao Vỡ vy ngi giỏo viờn phi to hng thỳ t rong hc v phi thng xuyờn c luyn - Hc sinh THPT rt d xỳc ng v thớch tip xỳc vi mt s vt, hin tng xung quanh nht l nhng vic m cỏc em cú th trc tip thc hin - Hiu ng, ham hiu bit cỏi mi, thớch t mỡnh tỡm tũi, s ỏng to nờn dy hc giỏo viờn phi chc lc tng n v kin thc cng c khc sõu cho hc sinh 3) Nhu cu v i mi phng phỏp dy hc: THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Hc sinh THPT cú trớ thụng minh khỏ nhy bộn sc so, cú úc tng tng phong phỳ ú l tin tt cho vic phỏt trin t toỏn hc nhng rt d b phõn tỏn, ri trớ nu b ỏp t, cng thng, quỏ ti Chớnh vỡ th ni dung chng trỡnh, phng phỏp ging dy, hỡnh thc chuyn ti, ngh thut truyn t ca ngi giỏo viờn phi phự hp vi tõm sinh lý la tui l iu khụng th xem nh c bit i vi hc sinh lp 12, lp m cỏc em va mi vt qua nhng mi m ban u tr thnh ngi ln, chuyn t hot ng vui chi l ch o sang hot ng hc l ch o Lờn n lp 10, 11 thỡ yờu cu ú t l thng xuyờn i vi cỏc em tt c cỏc mụn hc Nh vy núi v cỏch hc, v yờu cu hc thỡ hc sinh THPT gp phi mt s thay i t ngt m n cui nm lp 10 v sang lp 11, 12 cỏc em mi quen dn vi cỏch hc ú Do vy gi hc s tr nờn nn g n, khụng trỡ c kh nng chỳ ý ca cỏc em nu ngi giỏo viờn ch cho cỏc em nghe v lm theo nhng gỡ ó cú sỏch giỏo khoa Mun gi hc cú hiu qu thỡ ũi hi ngi giỏo viờn phi i mi phng phỏp dy hc tc l kiu dy hc Ly hc sinh lm trung tõm hng trung vo hc sinh, trờn c s hot ng ca cỏc em Kiu dy ny ngi giỏo viờn phi tht s l mt ngi o din y ngh thut, ú l ngi nh hng, t chc nhng tỡnh hc nú kớch thớch úc tũ mũ v t c lp, phi bit thit k bi ging cho hp lý, gn nh Mun cỏc em hc c thỡ trc ht giỏo viờn phi nm chc ni dung ca mi bi v la chn, dng cỏc phng phỏp cho phự hp Hin nhiờn, mt ngi giỏo viờn mun dy gii phi tró i qua quỏ trỡnh t rốn luyn, phn u khụng ngng mi cú c Tuy nhiờn, vic ỳc kt kinh nghim ca bn thõn mi ngi qua tng tit dy, nhng ngy thỏng mit mi cng khụng kộm quan trng, nú va giỳp cho mỡnh cng cú kinh nghim vng vng hn, va giỳp cho nhng th h giỏo viờn sau ny cú c s hc tp, hc nõng cao tay ngh, gúp phn vo s nghip giỏo dc ca nc nh II C s thc tin Bờn cnh nhng hc sinh hiu ng, ham hiu bit cỏi mi, thớch t mỡnh tỡm tũi, khỏm phỏ, sỏng to t hỡ li cú mt b phn khụng nh hc sinh li hc yu, li suy ngh nờn ũi hi ngi giỏo viờn phi tõm huyt, cú nng lc tht s, a dng phng phỏp, bit t chc, thit k v trõn trng qua tng tit dy Theo chỳng tụi, dy i tng hc s inh i tr nh hin nay, ngi giỏo viờn phi tht cụ ng lý thuyt, sp xp li b cc bi dy, nh hng phng phỏp, tng cng cỏc vớ d v bi t n gin n nõng cao the o dng chuyờn v phự hp vi tng i tng hc sinh III Ni dung bin phỏp thc hin cỏc gii phỏp ca ti A Kin thc cn nh 1) Cỏc h thc c bn v cụng thc din tớch hỡnh hc phng 1.1) H thc lng tam giỏc vuụng : Cho tam giỏc ABC vuụng ti A v AH l ng cao ta cú: BC AB AC AB BC.BH AC BC.HC AB AC AH BC AH BH HC 1 2 AH AB AC c.é c.H c.K * cos c.H c.é * tan c.K c.K * cot c.é * sin * AB BC sin C BC cos B AC tan C * AC BC sin B BC cos C AB tan B THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta 1.2) Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc (h, cao tng ng, p na chu vi, r bỏn k ng trũn ni tip) * S * S * S * S * S 1 a.ha b.hb c.hc 2 1 bc sin A ac sin B ab sin C 2 abc 4R pr p ( p a )( p b)( p c ) * dien tich hinh tron S = r * dien tich hinh quat S = r 2 * dien tich da giac deu n canh a S = na cot 1.3) Cụng thc tớnh din tớch t giỏc h vuụng S = a2 h.ch nht S = a.b h bỡnh hnh S = a.h h thang S= h thoi ( a b) h S= a.b 2) Hỡnh hc khụng gian 2.1) Gúc gia hai ng thng * N: Gúc gia hai ng thng a v b khụng gian l gúc gia hai ng thng a v b cựng i qua mt im v ln lt song song vi a v b a' a O b' (a, b) (a', b') b 2.2) Gúc gia ng thng v mt phng * N: Gúc gia ng thng a khụng vuụng gúc vi mp(P) khụng gian l gúc gia a v hỡnh chiu a ca nú lờn mp(P) (a,(P)) (a, a') *Chỳ ý: + tớnh gúc gia ng thng v mt phng ta thng a v gúc mt tam giỏc vuụng, sau ú s dng t s tan , cos , sin a a' O = 900 + Nu a (P) thỡ a,(P) 2.3) Gúc gia mp ( ) v mp () ct a) N: l gúc gia hai ng thng cựng vuụng gúc vi hai mt phng ú THPT nh Quỏn P Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta b) Cỏch xỏc nh: Xỏc nh ( ) () Trờn tỡm im O , t O dng tia Ox (Ox ) v Oy (Oy ) ú: (( ),()) = (Ox,Oy) o y Chỳ ý: x 90 + (( nu 0 xOy ),()) = xOy 90 nu xOy + (( ),()) =1800 - xOy 2.4) ng thng song song mt phng a) nh ngha: a / /(P) a (P) d ( ) b) nh lớ 1: d / /d ' d / /() d ' ( ) a / /( ) c) nh lớ 2: () a b / /a () ( ) b ( ) () ( ) / /d d) nh lớ 3: d '/ /d () / /d ( ) () d ' 2.5) Mt phng song song vi mt phng a) nh lớ 1: d d' a,b (P) (P) / /(Q) a b I a / /(Q),b / /(Q) a P b Q a b) nh lớ 2: (P) / /(Q) a / /(Q) a (P) P Q 3) H trc ta khụng gian 3.1) Phng trỡnh mt phng: a) Phng trỡnh mp() qua M(xo ; yo ; zo) cú vtpt n = (A;B;C) A(x x ) B(y y ) C(z z0 ) THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta b) Phng trỡnh mt phng theo on chn qua A(a ; 0; 0), B(0; b; 0);C(0; 0; c) vi a,b,c 0: x y z a b c 3.2) Phng trỡnh tham s ca ng thng: Phng trỡnh tham s ca ng thng (d) qua M(xo ;yo ;zo) cú vtcp a = (a1; a2; a3) x xo a1t (d) : y yo a2 t (t ) z z o a t 3.3) Khong cỏch: a) Khong cỏch t mt im n mt phng + Khong cỏch t im M0(x0; y0; z0) n mt phng (): Ax + By + Cz + D = dM0 ,( ) M Ax By Cz0 D 2 d(M,()) = MH A B C H () Chỳ ý: Khong cỏch gia hai mt phng song song bng khong cỏch M' t mt im bt kỡ trờn mt phng ny n mt phng b) Khong cỏch gia hai ng thng chộo Cho hai ng thng chộo d v d2 d1 i qua im M v cú VTCP u1 , d2 i qua im u ,u M M M2 v cú VTCP u2 : d(d1,d2 ) u ,u M2 M1 d1 u1 Gúc gia d1, d2 bng hoc bự vi gúc gia u1,u2 : u1,u2 cos u1,u2 u1 u2 d2 u1 AB,CD BC Chỳ ý: Khong cỏch g ia AB v CD l d(AB,CD) AB,CD 3.4) Gúc a) Gúc gia hai ng thng Cho hai ng thng d 1, d2 ln lt cú cỏc VTCP u1,u2 u2 d1 u2 d2 AB.CD Chỳ ý: Gúc gia AB v CD l cos AB,CD cos AB,CD AB CD b) Gúc gia ng thng v mt phng Cho ng thng d cú VTCP a (a1;a2 ;a3 ) v mt phng () cú VTPT n (A;B;C) Gúc gia ng thng d v mt phng () bng gúc gia ng thng d vi hỡnh chiu d ca nú trờn () THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta n n ad Aa1 Ba2 Ca3 u sin d,( ) 2 2 2 d n ad A B C a1 a2 a3 () c) Gúc gia hai mt phng Cho hai mt phng (), () cú phng trỡnh: (): A1x B1y C1z D1 (): A2 x B2 y C2 z D2 Gúc gia ( ), () bng hoc bự vi gúc gia hai VTPT n1,n2 n1.n2 cos ( ),() n1 n2 Chỳ ý: ( ),( ) 900 00 A1A B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A 22 B22 C22 n1 n2 () () ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 B Phng phỏp gii Phng phỏp: Bc 1: Chn h trc ta Oxyz thớch hp (Chỳ ý n v trớ im O ) Bc 2: Xỏc nh ta cỏc im cú liờn quan (cú th xỏc nh to tt c cỏc im hoc mt z s im cn thit) Khi xỏc nh ta cỏc im ta cú th da vo : C(0;0;z) í ngha hỡnh hc ca ta im (khi cỏc im nm trờn cỏc trc ta , mt phng ta ) Da vo cỏc quan h hỡnh hc nh bng nhau, M(x;y ;z) vuụng gúc, song song ,cựng phng, thng hng, im chia an thng tỡm ta y Xem im cn tỡm l giao im ca ng thng, B(0;y ;0) mt phng D vo cỏc quan h v gúc ca ng thng, A (x;0;0) H(x;y;0) mt phng x x = OA , y = OB , z = OC Bc : S dng cỏc kin thc v ta gii quyt bi toỏn Cỏc dng toỏn thng gp: nh tớnh: Chng minh cỏc quan h vuụng gúc, song song, nh lng: di on thng, gúc, khong cỏch, tớnh din tớch, th tớch, din tớch thit din, Bi toỏn cc tr, qu tớch. 1) Hỡnh chúp a) Hỡnh chúp tam giỏc cú dng tam din vuụng hoc hỡnh chúp t giỏc cú cnh bờn vuụng gúc vi mt ỏy (ỏy l hỡnh vuụng, hỡnh ch nht, hỡnh thang vuụng ) Dng 1: Tam din vuụng Cỏch t : Chn h trc Oxyz cho gc ta trựng nh tam din vuụng, cỏc nh cũn li nm trờn cỏc trc Ox, Oy, Oz(phn dng ca trc) THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Vớ d 1: T din ABCD cú AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau, AB = 3a, AC = AD = 4a Tớnh khong cỏch t A ti mt phng (BCD) D z Gii: Chn h trc ta O xyz cho A O(0; 0; 0) B Ox; C Oy v D Oz Ta cú: A(0;0;0); B(3a;0;0); C(0;4a;0); D(0;0;4a) Phng trỡnh mt phng ( BCD) l: x y z x y x 12a 3a 4a 4a 6a 34 Suy d(A,(BCD)) = 17 y A C B x Nhn xột: + õy l mt bi toỏn c bn vic s dng phng phỏp t h trc vỡ nú giỳp hc sinh thy mi liờn h gia h trc ta v cỏch t h trc + Khi gii quyt bi toỏn ny i vi cỏc em khỏ, gii thỡ khụng gỡ nhng i vi cỏc em hc sinh tm trung bỡnh v trung bỡnh khỏ ln u tip cn phng phỏp thỡ cỏc em t rt ngc nhiờn v thớch thỳ vỡ bi toỏn gii quyt khỏ d dng Vớ d 2: Cho t din OABC cú ỏy OBC l tam giỏc vuụng ti O, OB=a, OC= a , (a>0) v ng cao OA= a Gi M l trung im ca cnh BC Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB v OM Gii: Chn h trc ta Oxyz vi gc ta ụ O, B thuc tia Ox, C thuc tia Oy, A thuc tia Oz Khi a a ú: (0;0;0), A(0; 0;a ); B(a; 0; 0), C( 0;a 3; 0), M ; ; , 2 z A a a N l trung im ca AC N0; ; 2 N a a a a OM ; ; 0, ON 0; ; 2 2 3a2 a2 a2 a2 [OM,ON] ; ; 4 3.a 11 C 3; 1; a M B Phng trỡnh mt phng (OMN) qua O vi vect phỏp tuyn n ( 3; 1; 1) l : 3x y z Ta cú: d(B; (OMN)) y O a x a 15 Cỏch 1: MN l ng trung bỡnh ca tam giỏc ABC AB // MN AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) Vy, d(AB; OM) a 15 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta AB,OM OA a 15 Cỏch 2: d(AB; OM) AB,OM Vớ d 3: (D b i hc D 2003) Cho t din ABCD cú AD vuụng gúc vi mt phng (ABC) v tam giỏc ABC vuụng ti A, AD = a, AC = b, AB = c Tớnh din tớch S ca tam giỏc BCD theo a, b, c v chng minh rng : 2S abc a b c (*) Gii : Chn h trc ta Oxyz vi A O(0;0;0), B thuc tia Ox, C thuc tia Oy, D thuc tia Oz Ta cú ta cỏc im l :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) BC c;b; 0,BD c; 0;a, BC,BD ab;ac;bc 2 SBCD BC,BD a b a2c b2c 2 D z (*) a2b2 a2c2 b2c2 abc(a b c) a2b2 a2c2 b2c2 abc(a b c) y Theo BT Cauchy ta c: a2b2 b2c2 2ab2c 2 2 b c c a 2bc a c2a2 a2b2 2ca2b A C B x Coọng veỏ : a2b2 a2c2 b2c2 abc(a b c) (pcm) Dng 2: Hỡnh chúp t giỏc cú cnh bờn vuụng gúc ỏy Cỏch t: Hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc vi ỏy v ỏy l hỡnh vuụng (hoc hỡnh ch nht hoc hỡnh thang vuụng ) Ta chn h trc ta nh dng tam din vuụng Gc ta trựng vi nh A, S thuc tia Oz Vớ d 1: ( Trớch d b - 2008 B) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a, SA a 3, SA ABCD Tớnh theo a th tớch t din SACD v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng SB, AC Gii: Ta cú: S ACD AD.DC a2 (vdt) z S a3 VSACD SA.S ACD (vtt) Dng h trc ta Oxyz vi A O(0;0;0), nh hỡnh v Ta cú: D B(a;0;0), C(a;a;0), D(0:a;0), S( 0; 0;a ) Ta cú: SB a; 0;a , AC a;a; B x C THPT nh Quỏn y Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta SB.AC cos SB,AC SB AC a2 a2 a a2 a2 2 BAD 90o , BA = Vớ d 2: (HKD-07) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang, ABC BC = a, AD = 2a Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB Chng minh tam giỏc SCD vuụng v tớnh (theo a) khong cỏch t H n mt phng (SCD) Gii: Dng h trc ta Oxyz vi A O(0;0;0), nh hỡnh v Ta cú: B(a;0;0), C(a;a;0), D(0:2a;0), S( 0; 0;a ) Ta cú: z SC a;a;a , CD a;a; S SC.CD a2 a2 SC CD nờn SC CD Vy tam giỏc SCD vuụng ti C H Ta cú: M SB AB2 SA a 2a Tam giỏc SAB vuụng ti A, AH ng cao: SA 2a SH SB.SH = SA SB y D a xB C a 2 , SC,CD (a 2;a 2; 0) a (1;1; 0) 3 Mt phng(SCD) cha SD v CD nờn nhn n (1;1; 0) lm VTPT Phng trỡnh mt phng 2a Khi ú: SH SB H ; 0; (SCD) l: x y 2a 2a 2a a vy d(H,(SCD)) b) Hỡnh chúp t giỏc c ú hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ỏy vi ỏy l hỡnh vuụng hoc hỡnh thoi Cỏch t: Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng (hoc hỡnh thoi) tõm O ng cao SO vuụng gúc vi ỏy Ta chn h trc ta tia OA, OB, OS ln lt l O x, Oy, Oz Gi s SO = h, OA = a, OB = b ta cú: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(a; 0; 0), D(0;b; 0), S(0; 0; h) Nhn mnh: Trong mt s bi toỏn vic xỏc nh ta cỏc im liờn quan ụi Da vo cỏc quan h hỡnh hc nh bng nhau, vuụng gúc, song song ,cựng p hng, thng hng, im chia an thng tỡm ta 10 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta ABC vuụng ti S: AB SA SB2 2a Gi H l chõn ng cao ca tam SAB h t S, Suy SH AB nờn SH SA.SB a AB z S Tam giỏc SAH vuụng ti H: a 3a HB 2 SBMDN S ABCD SMAD SNCD AH SA SH2 C N B 4a2 a2 a2 2a2 M 1a a VS.MDNB SH.SMDNB 2a2 (vtt) 3 A y H T D x T H dng tia Hy vuụng gúc AB Chn h trc ta Oxyz cho H O(0;0;0), A thuc tia Ox, S thuc tia Oz Ta cú: a 3a 3a a a ),A ; 0; 0,B ; 0; 0,C ; 2a; D ; 2a; , M , N l trung im ca AB v a 3a BC cú ta : M ; 0; 0,N ;a; a a ;DN 2a;a; Khi ú: SM ; 0; 2 a2 SM.DN cos SM,DN SM DN a a (2a)2 (a)2 S(0; 0; e) Dng khỏc Tựy theo tng trng hp gi thit ca bi m dng h trc ta Oxyz cho phự hp Vớ d 1: T din S.ABC cú cnh SA vuụng gúc vi ỏy v ABC vuụng ti C di ca cỏc cnh l SA =4, AC = 3, BC = Gi M l trung im ca cnh AB, H l im i xng ca C qua M Tớnh cosin gúc hp bi hai mt phng (SHB) v (SBC) z Gii Dng h trc ta Oxyz vi A O(0;0;0), C thuc tia Oy, S S thuc tia Oz, ta cú: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H i xng C qua M nờn cú ta H(1;0;0) Ta cú : SH 1; 0; SB 1;3; SH,SB (12;4; 3) Suy vtpt ca (SHB) l n1 = (12;4; 3) SC,SB (12;4;3) SC 0;3; Suy vtpt ca (SHB) l n2 = (12;4;3) I K y A C M H B x 16 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta n1.n2 151 Khi ú ta cú : cos((SBH),(SBC)) 169 n n Nhn xột : Bi toỏn dng ny cng hay xut hin cỏc thi cao ng v i hc Ngoi cỏch dng trờn ta cú th t C dng tia Cy vuụng gúc vi (ABC) v chn gc ta ti C Vớ d 2: (KA2011) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = 2a; hai mt phng ( SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng ( ABC) Gi M l trung im ca AB; mt phng qua SM v song song vi BC, ct AC ti N Bit gúc gia hai mt phng o (SBC) v (ABC) bng 60 Tớnh th tớch chúp S.BCNM v khong cỏch gia hai ng S: VS.BCNM a3 v d(AB,SN) thng AB v SN theo a 2a 39 13 Gii: Ta cú : SA (SAB) (SAC) SA (ABC) Ta cú SA v AB vuụng gúc vi BC nờn (SAB) (ABC) (SAC) (ABC) 600 Gúc gia hai mt (SBC) v (ABC) l gúc SBA SA=AB.tan600 = 2a , MN = BC = a MN //BC nờn MN l ng trung bỡnh tam giỏc ABC suy N l trung im ca AC VS.BCNM= 1 MB SA.SBCNM SA (MN BC) a3 (vdt) 3 S z Cỏch : Dng BZ vuụng gúc vi (ABC) Chn h trc ta Oxyz cho B O(0; 0; 0) , A thuc tia Ox, B thuc tia Oy Ta cú : K A(2a; 0; 0),C( 0; 2a; 0),S(2a; 0; 2a ) x ờn cú ta A ca AC n N trung im N(a;a; 0) SN (a;a;2a ),AB (2a; 0; 0),SA ( 0; 0; 2a ) SN,AB 0;2a2 3;a2 M B N C Ta cú : SN,AB SA 2a3 2a 39 d(SN,AB) SN,AB 13 12a4 a4 y z S K B Cỏch : K MK //SA ; MK = SA, ú SAMK l hỡnh ch nht Chn h trc ta Oxyz vi M O(0; 0; 0), N thuc tia Ox, B thuc tia Oy, K thuc tia Oz 17 A M x N C THPT nh Quỏn y Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Ta cú: N(a; 0; 0), B(0; a ; 0), S(0; -a; 2a ), A(0; -a; 0) Ta cú: AB a(0; 2; 0) , SN a(1;1;2 ) [AB,SN] -2a2 (2 3; 0;1) Mt phng(P) qua AB song song vi SN nhn n (2 3; 0;1) lm VTPT cú pt : 3x z 2a T ú d(AB,SN) d(N,(P)) (2 )2 2a 39 13 Vớ d 3: (HKAA1 2012) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a Hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn mt phng (ABC) l im H thuc cnh AB cho HA = 2HB Gúc gia ng thng SC v mt phng (ABC) bng 600 Tớnh th tớch ca chúp S.ABC v tớnh khong cỏch gia hai ng thng SA v BC theo a Gii: a Gi M l trung im ca AB, ta cú CM K HT // CM cho HT = CM, HM = MB a HB = Chn h trc ta Oxyz vi H O(0 ;0 ;0), z T thuc tia Ox, A thuc tia Oy, S thuc tia Oz 2a a a Khi ú A 0; ; , C ; ; , a B 0; ;0 S a a a HC , a 21 a 21 SH = HC.tan600 = , S 0; 0; 3 A H B M a3 (vtt) 12 21 SA a 0; ; , BC a ; ; 3 2 21 Do ú SA,BC a2 ; ; T ú VS.ABC SH.AB.CM T x C 21 ; ; lm VTPT cú pt : Mp(P) i qua BC v song song vi SA nhn n 21x y 3z a T ú d(SA,BC) d(A,(P)) 2a a 21 2 a 42 2) Hỡnh lng tr Tựy theo hỡnh dng ca ỏy ta chn h trc nh cỏc dng trờn 18 THPT nh Quỏn y Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta a) Hỡnh lp phng - Hỡnh hp ch nht Vớ d 1: Cho hỡnh lp phng ABCD A'B'C'D' cnh a Chng minh rng AC' vuụng gúc vi mt phng (A'BD) Gii: Chn h trc ta Oxyz cho O A; B Ox; D Oy v A' Oz Ta cú: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) Phng trỡnh on chn ca mt phng (A'BD): D' x + y + z = a hay x + y + z a = Phỏp tuyn c a mt phng (A'BC): n A 'BC 1;1;1 v AC' 1;1;1 Vy AC' vuụng gúc vi (A'BC) D z B' A' C' y A B x C Vớ d 2: cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú cỏc cnh AA= a, AB =AD = 2a Gi M, N, K ln lt l trung im cỏc cnh AB, AD, AA a) Tớnh theo a khong cỏch t C n mt phng (MNK) b) Tớnh theo a th tớch ca t din CMNK z B' Gii: A' Chn h trc ta Oxyz cho O A; D Ox; B Oy v A Oz ta cú: A(0;0;0), B(0;2a;0), K D(0;2a;0), A'(0;0;a), C'(2a;2a;a) ta ca M(0;a;0), D' a C' N(a;0;0), K 0; 0; Phng trỡnh theo on chn ca (MNK) l: y A M B N x y 2z x y 2z a a a a 2a 2a 2a a 5a Khi ú: d(C,(MNK))= 6 D x C Ta cú: C'M 2a;a;a;C'N a 2a;a; a C'K 2a;2a; + VC'MNK C'M,C'N a2 ;a2 ;3a2 C'M,C'N C'K 5a C'M.C'N C'K 5a (vtt) 12 Vớ d 3: (HKD2012) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng, tam giỏc AAC vuụng cõn, AC = a Tớnh th tớch ca t din ABBC v khong cỏch t im A n mt phng(BCD) theo a Gii: Ta cú: A ' AC vuụng cõn v AC = a nờn AA=AC= ADC vuụng cõn ti D nờn AD = DC = a 2 a 19 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta z BC (BBA) nờn BC l ng cao hỡnh chúp C.ABB D' 1 a a a2 S ABB' AB.BB' (vdt) 2 16 1 a a2 a3 VC' ABB' C'B'.S ABB' (vtt) 3 16 96 A' a B' C' y A D Dng h trc ta Oxyz vi A O(0;0;0), D thuc tia Oy, B thuc tia Ox, A thuc tia Oz Ta cú: B C x a a a a a a a a a ,C ; ; BD' ; ; B ; 0; 0,D' 0; ; 2 ;BC 0; ; 2 2 2 BD',BC a ; 0; a a 4 2; 0;1 Vỡ mt phng (BCD) cha BD v BC nờn nhn n ( 2; 0;1) lm VTPT Phng trỡnh mt phng (BCD) l: a 2 Khi ú: d(A,(BCD')) 2 2x z a 2 a 6 b) Hỡnh lng tr ng Vớ d 1: (KD2009) Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti B , AB =a , AA = 2a, AC = 3a Gi M l trung im ca on thng AC , I l giao im ca AM v AC Tớnh theo a th tớch t din IABC v khong cỏch t im A n mt phng (IBC) Gii: z Ta cú: AC A 'C2 A A '2 a ; M A' C' BC AC AB 2a ; SABC = a2 (vdt) K AK song song v bng BC, ú AK AB; AK = 2a Chn h trc ta Oxyz, vi A O(0;0;0), B thuc tia Ox, K thuc tia Oy, A thuc tia Oz a I Ta cú: B(a;0;0), C(a;2a;0), A(0;0;2a), M( ;a;2a) Li A ng thng AM cú Khi ú [A 'C,A 'B] 2a (2; 0;1) x t B phng trỡnh: y t (t R) Mt phng(ABC) i z 2t qua B, nhn n (2; 0;1) lm VTPT, cú phng trỡnh: x z 2a B' y K cú AM a( ;1; 2) , A 'C a(1; 2;2) , AB a(1; 0;2) 20 C x THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Mt phng (ABC) trựng vi mp(Oxyz) cú phng trỡnh z = Gia o im I ca AM v AC chớnh l giao im ca AM v mp(ABC) nờn a 2a 4a I ; ; 3 4a3 VIABC d(I,(ABC)).S ABC (vdt) 2a 2a T ú d(A,(IBC)) d(A,(A 'BC)) 22 Ta cú: d(I,(ABC)) 4a Vớ d 2: Cho lng tr ABC.A'B'C' cỏc cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng cnh a Gi D, F ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, C'B' Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'B v B'C' Gii Vỡ cỏc cỏc mt bờn ca lng tr u l hỡnh vuụng nờn z C' A' AB BC CA A 'B ' B 'C' C' A ' a cỏc tam giỏc ABC, ABC l cỏc tam giỏc u Cỏch 1: D' Gi D v D ln lc l trung im ca AB v AB ABC u cnh a nờn CD B' a Chn h trc ta Oxyz cho D O(0; 0; 0) , C thuc tia Oy, B thuc tia Ox v D thuc tia O z Ta cú: y a a a a B ; 0; 0,A ' ; 0;a,B' ; 0;a,C'( 0; ;a) A a a A 'B (a; 0;a),B'C' ; ; 0,A 'B' a; 0; 2 C D B Ta cú: x 2 A 'B,B'C' a ; a ; a Khi ú : 2 A 'B,B'C' ,A 'B' d(A 'B,B'C') A 'B,B'C' a3 3a4 a4 3a4 4 a 21 Cỏch 2: Gi D l trung im BC, Dng tia Ax vuụng gúc vi AD Chn h trc Oxyz, vi O A(0;0;0), D thuc tia Oy, A thuc Oz ABC u cnh a nờn AD a Ta cú: a a a a , A '( 0; 0; a), B' a ; a ; a, B ; ; 0, C ; ; 2 2 2 21 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta a a C' ; ; a Ta cú: B 'C' //BC, B 'C' // (A 'BC) dB'C'; A 'B d B'C'; A 'BC d B'; A 'BC a a a a A' A 'B ; ; a, A 'C ; ; a 2 2 A 'B,A 'C 0; a2; a a2 0; 1; a2.n , vi n 0; 1; Phng trỡnh mt phng ( ABC) qua A vi vect phỏp tuyn n : a 0(x 0) 1(y 0) (z a) a y z 2 A a 3 a a a 2 a 21 dB' A 'BC 7 x a 21 Vy, d A 'B;B'C' z C' B' C y D B Vớ d 3: Cho hỡnh lng tr ABC A1B1C1 cú ỏy l tam giỏc u cnh a AA1 = 2a v vuụng gúc vi mt phng (ABC) Gi D l trung im ca BB 1; M di ng trờn cnh AA Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc MC 1D Gii Chn h trc ta Oxyz cho AO(0;0;0); BOy; A1Oz Khi ú: A(0;0;0), B(0;a;0); a a A1 (0;0;2a), C1 ; ; 2a v D(0;a;a) Do M di ng trờn AA1, ta M(0;0;t) vi t [0;2a] 2 DC1,DM z A1 a a DC1 ; ;a a (t 3a; (t a);a 3) 2 DC1,DM DM 0;a;t a a DC1,DM (t 3a)2 3(t a)2 3a2 Ta cú : SDC1M B1 C1 D M a t2 12at 15a2 Khi ú: B a A SDC M 4t2 12at 15a2 2 Giỏ tr ln nht ca SDC M tựy thuc vo giỏ tr ca tham s t * Xột f(t) = 4t2 12at + 15a2 f(t) = 4t2 12at + 15a2 f '(t) = 8t 12a x C (t [0;2a]) 22 THPT nh Quỏn y Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta 3a f '(t) t Lp bng bin thiờn ta c giỏ tr ln nht ca SDC1M a2 15 t =0 hay M A c) Lng tr xiờn cú hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ỏy hoc cnh bờn Vớ d 1: ( Trớch thi H 2008 A) Cho lng tr ABC.A'B'C' cú di cnh bờn bng 2a, ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB = a, AC = a v hỡnh chiu vuụng gúc ca nh A' trờn mt phng (ABC) l trung im ca cnh BC Tớnh theo a th tớch chúp A'.ABC v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng AA', B'C' S: Gii: z Gi M l trung im ca BC suy AM BC Ta cú : BC AC2 AB2 a A' C' a2 2a Tam giỏc ABC vuụng ti A, AM l ng 2a trung tuyn nờn AM BC a A 'M A A '2 AM2 a3 ;cos B' 2a a2 a y E a2 S ABC AB.AC (vdt) 2 1 a2 a3 VA '.ABC A 'M.S ABC a 3 t h trc Oxyz cho A O(0;0;0), B thuc a C F M B x tia Ox, C thuc tia Oy Ta cú: A(0;0;0;), B(a;0;0), C(0; a ;0) Gi E, F l hỡnh chiu ca M lờn AC v AB 300 ;BAM 600 Tam giỏc ABC cú gúc C = 300, gúc B = 600 suy CAM a AM = a Tam giỏc FMA vuụng ti F: FM = sin BAM a a a a Khi ú ta A '( ; ;a ) Ta cú: AA ' ( ; ;a ),BC (a;a 3; 0) Vỡ BC//BC nờn 2 2 AM = Tam giỏc EMA vuụng ti E: EM = sin CAM a2 3a2 AA '.BC 2 cos(AA,BC) = cos(AA,BC) = AA ' BC 2 a a a (a) a 23 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Vớ d 2: (KB2011) Cho lng tr ABCD.A 'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht AB = a, AD = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A ' trờn mt phng (ABCD) trựng vi giao im AC v BD Gúc gia hai mt phng (ADD 'A') v (ABCD) bng 60 Tớnh th tớch lng tr ó cho v khong c ỏch t im B ' n mt phng (A 'BD) theo a S: V 3a2 a & d(B',A 'BD) 2 Gii: K BK //OA, BK = OA = b(b>0) Chn h trc ta Oxyz, vi B(0;0;0), A thuc tia Ox, C thuc tia Oy, K thuc tia Oz Ta cú: a a A(a;0;0), C(0;a ;0), D(a; a ;0), A ' ; ;b AD a(0; 3; 0) , 2 a a AA ' ; ;b , BD a(1; 3; 0) , 2 AD,AA ' a (b; 0; a ) B' z C' K A' D' B C y O A x D a Mt phng (ADDA) cha AD v AA nờn nhn n (b; 0; ) lm mt VTPT Mt phng (ABCD) trựng vi mp(Oxy) nhn k(0; 0;1) lm mt VTPT Vỡ gúc gia hai mt phng (ADDA) n.k v (ABCD) bng 60 0, nờn cos 600 n.k T ú: VABCD.A 'B'C'D' A 'O.AB.BC a b2 a2 b a a suy A 'O 2 3a2 (vtt) Mt phng(ABD) qua B nhn BD,k a( 3;1; 0) lm VTPT cú phng trỡnh Ta cú: BC//(ABD) nờn d(B',(A 'BD)) d(C,(A 'BD)) 24 3x y a THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta C Bi 1) Chúp tam giỏc Bi 1: (DB2 - 2008D) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti nh B, AB = a, SA = 2a v SA vuụng gúc vi mt phng ỏy Mt phng qua A vuụng gúc vi SC ct 8a3 S: V= 45 SB, SC ln lt ti H, K Tớnh theo a th tớch t din SAHK Bi 2: (HKB2012) Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC vi SA = a , AB = a Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cnh SC Chng minh SC vuụng gúc vi mt phng (ABH) Tớnh th tớch ca chúp S.ABH theo a Bi 3: (KD2011) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, BA = 3a, BC = = 300 Tớnh 4a; mt phng (SBC) vuụng gúc vi mt phng (ABC) Bit SB = 2a v SBC th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t im B n mt ph ng (SAC) theo a S: V(SABC) = 2a3 & d(B,(SAC)) = VSABC 6a = SSAC 2) Chúp t giỏc Bi 4: (H/Si gũn 07) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a Gi G l trng tõm ca tam giỏc SAC v khong cỏch t G n mt bờn SCD bng a Tớnh khong cỏch t tõm O ca ỏy n mt bờn SCD v th tớch chúp S.ABCD Bi 5: ( C 2009) Cho hỡnh chúp t g iỏc u S.ABCD cú AB = a, SA = a Gi M, N v P ln lt l trung im ca cỏc cnh SA, SB v CD Chng minh rng ng thng MN vuụng gúc vi ng thng SP Tớnh theo a th tớch ca t din AMNP S: V= a3 48 Bi 6: (KA2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM Bit SH vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SH = a Tớnh th tớch chúp S.CDNM v tớnh khong cỏch gia hai ng thng DM v SC theo a Bi 7: (KD2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn SA = a , hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S trờn mt phng (ABCD) l im H thuc on AC, AH = AC/4 Gi CM l ng cao ca tam giỏc SAC Chng minh M l trung im ca SA v tớnh th tớch t din SMBC theo a 3) Hỡnh lng tr Bi 8: ( Trớch d b - 2006 A) Cho hỡnh hp ng ABCD ABCD cú cỏc cnh AB = AD = a, AA ' a 60o Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AD v AB v BAD Chng minh AC' BDMN Tớnh th tớch chúp A.BDMN 25 S:V= THPT nh Quỏn 3a3 16 Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Bi 9: (DB1-2007A ) Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 2a v 120o Gi M l trung im cnh CC Chng minh MB MA v tớnh d A,A BM BAC 1 Bi 10: ( DB1-2007D) Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = AC = a, AA1 a Gi M, N ln lt l trung im ca AA1,BC1 Chng minh MN l ng vuụng gúc chung ca AA v BC1 Tớnh th tớch chúp MA1BC1 S: V= a3 12 Bi 11: ( DB2-2007D) Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh u bng a M l trung im ca on AA Chng minh BM B1C v tớnh dBM,B1C S: d= a 30 10 Bi 12: (HKD-08) Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = BC = a, cnh bờn AA' = a Gi M l trung im ca cnh BC Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.A'B'C' v khong cỏch gia hai ng th ng AM, B'C Bi 13: (KB2009 ) Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng BB v mt phng (ABC) bng 60 ; tam giỏc ABC vuụng ti C v gúc BAC=600 Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam gi ỏc ABC Tớnh th tớch t din AABC theo a Bi 14: (KB2010) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.A'BC cú AB = a, gúc gia hai mt phng ('ABC) v (ABC) bng 60 Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Tớnh th tớch lng tr ó cho v tớnh bỏn kớnh mt c u ngoi tip t din GABC theo a Bi 15: (HKD2012) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng, tam giỏc AAC vuụng cõn, AC = a Tớnh th tớch ca t din ABBC v khong cỏch t im A n mt phng(BCD) theo a IV Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim 1) Kt qu t thc tin: Ban u hc sinh gp khú khn nht nh vic gii nhng dng hỡnh hc khụng gian nh ó nờu Tuy nhiờn giỏo viờn cn hng dn hc sinh t m phõn tớch gi thit ca bi toỏn t ú la chn cỏch xõy dng h trc gii bi toỏn Sau hng dn hc sinh nh trờn v yờu cu hc sinh gii mt s bi hỡnh hc sỏch giỏo khoa Hỡnh hc 12 cựng mt s bi cỏc thi tuyn sinh vo i hc, cao ng v trung hc chuyờn nghip ca cỏc nm trc thỡ cỏc em ó cm thy d dng hn v thớch thỳ i vi bi toỏn hỡnh hc khụng gian ny hn trc v ó gii c mt lng ln bi 2) Kt qu thc nghim: Sỏng kin c ỏp dng nm hc 20 10-2011 cho n Thi lng khong -10 tit 26 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Kt qu th nghim cui nm hc 2010 - 2011, tụi ó chn 30 hc sinh d thi A ,tụi ó kho sỏt v kt qu c th nh sau: Lp Gii 12A7 12A8 Khỏ 13,3% 6% 30% 26,7% Trung bỡnh Yu 20% 26,7% 11 12 36,4% 40,6% Kt qu th nghim cui nm hc 2011 - 2012, tụi ó chn ngu nhiờn 30 hc sinh d thi A v ó kho sỏt v kt qu c th nh sau : Lp Gii 12A5 12A6 Khỏ % % 12 10 40 % 33,3% Trung bỡnh Yu 20 % 16,6% 20% 23,3% Sau thc hin sỏng kin hc sinh hc rt tớch cc v hng thỳ hn nht l gii bi hỡnh hc khụng gian khụng cũn nh trc, cú nhiu em cú nhiu cỏch t khỏc ú cú nhng cỏch t rt hay, th hin vic phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng, sỏng to ca hc sinh KT LUN Mi phng phỏp iu cú u v nhc im ca nú Vic gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta khụng phi l phng phỏp ti u vỡ nú hn ch k nng chng hn nh: Kh nng tng tng khụng gian, kh ụng phi bi toỏn no cng t c h trc, mt s bi t h trc li rt di v phc hn phng phỏp thụng thng Tuy nhiờn ỏp dng chuyờn ny vo ging dy hc sinh b mụn Toỏn trng THPT, tụi nhn thy rng cỏc em hc sinh khụng cũn tõ m lớ s phn hỡnh hc khụng gian na, nhiu em cm thy bt ng m mt s bi toỏn i vi cỏc em tng chng nh khụng th gii quyt bng phng phỏp thụng thng thỡ qua cỏc h t h trc cỏc em li gii quyt mt cỏch d dng Trong quỏ trỡnh hng gii bi toỏn giỏo viờn linh ng chuyn qua chuyn li cỏc phn bi toỏn bng phng phỏp thụng thng v t h trc, t ú giỳp cỏc em ly li mt s kin thc cn bn m trc õy vỡ tõm lý s m dn dn mt i Vic ỏp dng phng phỏp gii bi toỏn hỡnh hc bng phng phỏp ta ý ngha nht nh quỏ trỡnh dy hc vỡ ỏp dng sỏng kin ny s giỳp hc sinh nhỡn thy c nhng im yu v nhng hiu bit cha tht thu ỏo ca mỡnh v ny t ú phỏt huy hc sinh t c lp, nng lc suy ngh tớch cc ch ng cng c trau ri th ờm kin thc v 27 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian t ú lm ch c kin thc, nõng cao kt qu quỏ trỡnh hc v cỏc k thi tuyn sinh vo cỏc trng i hc, cao ng , THCN nh Quỏn, Ngy thỏng nm 2015 Ngi thc hin Lờ Xuõn Phng 28 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta V Ti liu tham kho [1] Trn Vn Ho(2007) Sỏch Giỏo Khoa Hỡnh hc 12, Nh xut bn Giỏo dc [2] Lờ Quang nh Nguyn Thnh Dng Trn Thỏi Hựng Ti liu luyn thi tuyn sinh i hc [3] Nguyờn Vn Vng (2013) S dng phng phỏp ta tớnh th tớch a din Tp toỏn hc v tui tr thỏng 11-2013 [4] Cỏc din n toỏn hc: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org ; bachkim.net 29 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta MC LC Phn 1: M U I Lý chn ti II Thc trng tr c thc hin cỏc gii phỏp ca ti 1) Thun li: 2) Khú khn: 3) Phm vi, i tng, thi gian thc hin: 4) Phng phỏp nghiờn cu: Phn 2: NI DUNG I C s lý lun II C s thc tin III Ni dung bin phỏp thc hin cỏc gii phỏp ca ti A Kin thc cn nh 1) Cỏc h thc c bn v cụng thc din tớch hỡnh hc phng 2) Hỡnh hc khụng gian 3) H trc ta khụng gian B Phng phỏp gii 1) Hỡnh chúp a) Hỡnh chúp tam giỏc cú dng tam din vuụng hoc hỡnh chúp t giỏc cú cnh bờn vuụng gúc vi mt ỏy (ỏy l hỡnh vuụng, hỡnh ch nht, h ỡnh thang vuụng ) .7 Dng 1: Tam din vuụng .7 Dng 2: Hỡnh chúp t giỏc cú cnh bờn vuụng gúc ỏy b) Hỡnh chúp t giỏc cú hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ỏy vi ỏy l hỡnh vuụng hoc hỡnh thoi 10 c) Chúp tam giỏc u .12 d) Hỡnh chúp cú mt bờn vuụng gúc vi ỏy 14 e) Dng khỏc 16 2) Hỡnh lng tr 18 a) Hỡnh lp phng - Hỡnh hp ch nht 19 b) Hỡnh lng tr ng .20 c) Lng tr xiờn cú hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ỏy hoc cnh bờn 23 C Bi 25 1) Chúp tam giỏc 25 2) Chúp t giỏc 25 3) Hỡnh lng tr 25 IV Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim 26 KT LUN 27 V Ti liu tham kho 29 30 THPT nh Quỏn [...]... một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ hình học không gian từ đó làm chủ được kiến thức, nâng cao kết quả trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng , THCN Định Quán, Ngày 5 tháng 5 năm 2015 Người thực hiện Lê Xuân Phương 28 THPT Định Quán Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ V Tài liệu tham khảo... đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng hình học không gian như đã nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ phân tích giả thi t của bài toán từ đó lựa chọn cách xây dựng hệ trục để giải bài toán Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập hình học trong sách giáo khoa Hình học 12 cùng một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, ... cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã cảm thấy dễ dàng hơn và thích thú đối với bài toán hình học không gian này hơn trước và đã giải được một lượng lớn bài tập 2) Kết quả thực nghiệm: Sáng kiến được áp dụng trong năm học 20 10-2011 cho đến nay Thời lượng khoảng 8 -10 tiết 26 THPT Định Quán Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương. .. kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú hơn nhất là khi giải bài tập hình học không gian không còn như trước, có nhiều em có nhiều cách đặt khác nhau trong đó có những cách đặt rất hay, thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh KẾT LUẬN Mỗi phương pháp điều có ưu và nhược điểm của nó Việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không phải là phương pháp. .. thể giải quyết bằng phương pháp thông thường thì qua các h đặt hệ trục các em lại giải quyết một cách dễ dàng Trong quá trình hướng giải bài toán giáo viên linh động chuyển qua chuyển lại các phần trong bài toán bằng phương pháp thông thường và đặt hệ trục, từ đó giúp các em lấy lại một số kiến thức căn bản mà trước đây vì tâm lý sợ mà dần dần mất đi Việc áp dụng phương pháp giải bài toán hình học bằng. .. BC và song song với SA nhận n   21x  3 7 y  2 3z  a 7  0 Từ đó d(SA,BC)  d(A,(P))  2a 7  a 7  21 2 2 2   3 7   2 3   a 42 8 2) Hình lăng trụ Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên 18 THPT Định Quán y Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ a) Hình lập phương - Hình hộp chữ nhật Ví dụ 1: Cho hình lập phương. .. tượng trong không gian, kh ông phải bài toán nào cũng đặt được hệ trục, một số bài đặt hệ trục lại rất dài và phức tạp hơn phương pháp thông thường Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh không còn tâ m lí sợ phần hình học không gian nữa, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán đối với các em tưởng chừng như không. .. 48 6 13 3   ,  THPT Định Quán Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ    a2 15 5a2 3  1     a2 10   S  AM, AN  Ta được:  AM, AN   ; 0; (đvdt) AMN     24 2  16 24  Nhận xét: Với bài toán hình chóp đều sẽ giúp các em thuận A lợi trong việc xác định tọa độ các điểm đồng thời qua hai cách đặt trên... bằng phương pháp tọa độ ý nghĩa nhất định trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi th êm kiến thức về 27 THPT Định Quán Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ... hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: 12 THPT Định Quán Chuyên đề : Giải bài toán Hình học không gian trong một số đề thi CĐ -ĐH bằng phương pháp tọa độ a 3   a 3  z O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A  ; 0; 0  I ; 0; 0    3  6 S  a 3 a   a 3 a  , B  ; ; 0 , C  ; ; 0 ,  N M 6 2   6 2   M, N là trung điểm của SB và SC nên có tọa độ :  a 3 a h     và N ... bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian t ú lm ch c kin thc, nõng cao kt qu quỏ trỡnh hc v cỏc k thi tuyn sinh vo cỏc trng i hc, cao ng , THCN nh Quỏn,... tng, thi gian thc hin: - i tng nghiờn cu: i tng ca ti l hc sinh lp 12 ang chun b cho cỏc kỡ thi t nghip, cao ng, i hc v trung cp chuyờn nghip - Phm vi nghiờn cu: Mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian. .. 10-2011 cho n Thi lng khong -10 tit 26 THPT nh Quỏn Chuyờn : Gii bi toỏn Hỡnh hc khụng gian mt s thi C -H bng phng phỏp ta Kt qu th nghim cui nm hc 2010 - 2011, tụi ó chn 30 hc sinh d thi A ,tụi