skkn GIẢI bài TOÁN HÌNH học PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ

Việc đưa kiến thức về phương pháp tọa độ vào chương trình hình học đã giúp học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại, có thêm một phương pháp mới để giải quyết bài toán..

Trang 1

Giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ Nguyễn Thị Hương Thi

1

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình hình học ở trường trung học phổ thông, phương pháp tọa độ được xem là một nội dung trọng tâm Việc cho học sinh tiếp cận ngay từ lớp 10 một phương pháp

tư duy mới , tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu các hình hình học qua phương trình của chúng là một việc cần thiết Việc đưa kiến thức về phương pháp tọa độ vào chương trình hình học đã giúp học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại, có thêm một phương pháp mới để giải quyết bài toán

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận: Nhà toán học Pháp Descartes (1596-1650) là người đầu tiên sáng lập

môn hình học giải tích Công trình toán học chủ yếu của ông là quyển “La geometrie” (hình

học, xuất bản năm 1637) đã đặt nền tảng cho hình học giải tích

Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, cùng với phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ cho phép thiết lập mối liên hệ chặt chẽ giữa đại số với hình học Phương pháp tọa độ đem lại một công cụ có hiệu quả trong nghiên cứu hình học Đặc biệt, với phương pháp tọa độ ta có thể trang bị cho học sinh các cách giải nhiều dạng toán hình học

Trong các sách giáo khoa chỉ trình bày chủ yếu một hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes vuông góc , vì đó là hệ tọa độ thông dụng nhất Các nội dung về phương pháp tọa độ được chia thành hai phần:phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian Hệ thống kiến thức bao gồm :

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

- Hệ tọa độ, tọa độ của điểm, của vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

- Độ dài vectơ, khoảng cách giữa hai điểm

- Phương trình (tổng quát, tham số, chính tắc) của đường thẳng Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau,

vuông góc Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng

- Đường tròn, các đường conic

Trang 2

Các kiến thức về tọa độ của một vectơ, tọa độ của một điểm, các biểu thức tọa độ đối

với các phép toán vectơ, công thức khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai đường

thẳng là những kiến thức quan trọng để có thể sử dụng được phương pháp tọa độ

Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp, chú ý đến chọn vị trí của gốc tọa độ O, chuyển bài

toán đã cho về bài toán hình học giải tích

- Bước 2: Dùng các kiến thức về tọa độ giải bài toán hình học giải tích nói trên

- Bước 3: Chuyển các kết quả của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học

tương ứng

Việc lựa chọn hệ trục hệ tọa độ nhiều khi ảnh hưởng đến mức độ phức tạp của lời giải Cần lựa chọn sao cho có nhiều yếu tố của hình vẽ được đặt ở những vị trí đặc biệt trong

hệ tọa độ

2 Nội dung:

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho: ur  x y;   ur xir y jr , OMuuuurxiry jr M  ( ; )x y

Với ur u u1 ; 2,vr v v1 ; 2 Khi đó:

u v u v u v

  r r  

u v u v u v

  r r  

 1 ; 2,

ku ku ku k

 r   ¡

1 1 2 2

  r r r r   

2 2

1 2

u u u

 r 

 

u v u v u v

r r  r r r r

Cho A x A;y A ,B x B;y B

;

AB x x y y

AB AB x x y y

uuur

 Tọa độ trung điểm I x I;y I của đoạn thẳng AB: 2

2

A B I

x x x

y y y



 



 



Trang 3

3

 Tọa độ trọng tâm G của ABC 3

3

G

x x x x

y y y y

 

 



 



Bài tập áp dụng:

Bài toán 1: Tam giác ABC có ba cạnh là BCa AC, b AB, c AD là đường trung

tuyến Chứng minh rằng

2 2 2 2

b c a

AD   

Vẽ hình

a D

A

Áp dụng định lí côsin vào ADB

tính AD

Áp dụng định lí côsin vào ADB:

AD c    c Bc  ac B

 

 

Từ định lí côsin suy ra cosB Vì

2 2 2

2

a c b B

ac

 

Từ (1), (2) rút ra kết luận

 2 2 2

2 2 2 2

.

b c a

a a c b

AD c ac

ac

 

2 2 2

b c a

Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng cách chọn gốc tọa độ thích hợp

Trang 4

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình

Chọn hệ trục tọa độ Descartes vuông

góc Oxy như sau:

,

OB COx Khi đó:

   0;0 , ;0

2

a

D 

 

y

D B

A

1

C

Giả sử A x y ;  Tính 2 2 2

AB AD AC 2 2 2 2

(1)

AB x y c

(2)

AC  ax y b

(3)

AD  x y   axx y

Từ (1), (2) rút ra kết luận 2 2 2

2

a c  axb hay

2 2 2

(4) 2

a c b

ax  

Từ (1), (3), (4) rút ra kết luận

2 2 2 2

b c a

AD 

Rõ ràng là tính toán sẽ phức tạp hơn nếu hai trong ba đỉnh của tam giác không nằm trên các trục tọa độ

Bài toán 2 : Cho hình vuông ABCD, điểm M bất kì nằm giữa A và B Điểm N

thuộc cạnh BC sao cho AM BN Chứng minh ANDM

Dựng hình

Chọn hệ trục tọa độ Descartes vuông góc

Oxy như sau: DO(0; 0) Khi đó

 0; , ( ;0),  ;    , ; , ; 

A a C a B a a M b a N a a b

x

y A

D

B

C

M

N

O

Trang 5

5

Tìm uuur uuuurAN DM, uuurAN a; b DM,uuuur  b a;

Tính uuur uuuurAN DM. , rút ra kết luận uuur uuuurAN DM   0 AN DM

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC vuông góc tại A, các cạnh góc vuông là b và c M là một

điểm trên cạnh BC sao cho góc BAM  Chứng minh



cos c b

bc AM





Dựng hình

góc Oxy như sau:

      0;0 , ;0 , 0; , ; 

Chứng minh



cos c b

bc AM





AM

x





AM

y





sin

CMuuuur và CB

uuur

cùng phương ?

CMuuuur AM  AM b

CBuuur c b

Ta có: x AM.cos,yAM.sin

 cos ; sin 

MBCCMuuuur và CBuuur cùng phương

Ta có:

 cos sin 





cos c b

bc AM



Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA 2MB Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Trang 6

Dựng hình

góc Oxy như sau:

,

O A BOx Khi đó A   0;0 ,B 1;0

y

M

B A

Tính MA, 2MB

MA x x  y y

2MB2 x Bx M  y By M

MA x y MB x y

Từ giả thiết MA 2MB ta có

2

2 1

4 1

2

x y x x  y

         

Kết luận Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường

tròn tâm 4 ; 0

3

I 

  , bán kính

2 3

R

Xét bài toán sau :

Bài toán 5 : Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BEAC E( AC) Gọi J N lần lượt là trung điểm của cạnh CE và AD Chứng minh BJ NJ

Học sinh lớp 10 có thể giải bài toán trên bằng phương pháp vectơ như sau :

Ta có EB NJuuur uuur EB NAuuur uuur. uuurAJEB NAuuur uuur (1) , uuur uuurEB BJ uuur uuurEB BA. uuurAJuuur uuurEB BA (2)

Từ (1), (2) suy ra: EB NJ BJuuur uuur uuur2 EB NA BAuuur uuur uuur2 uuur uuurNJ BJ NA BAuuur uuur   0 NJ BJ

Trang 7

7

Ở lớp 10, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm vectơ, vì thế khi giải những bài toán bằng phương pháp vectơ dễ phạm sai lầm vì do cách suy luận, và do áp dụng tùy tiện những tính chất của phép toán số lên phép toán vectơ Trong cách giải trên, học sinh đã

sử dụng tính chất kết hợp của phép toán số cho phép toán vectơ

EB NJuuur uuur.  . uuur uuurEB BJ.   EB EBuuur uuur.  . NJ BJuuur uuur.  là sai vì tích vô hướng của hai vectơ không có tính chất kết hợp Nếu giải đúng bằng phương pháp vectơ, ta sẽ giải như sau:

Xét BJ JNuuur uuur.

BJ JN  BEBC JAAN  BE JABE ANBC JABC AN

uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur

2 BE AN BC JA BC AN 2AN BE BC JA 2AN BJ JA AN BA

 uuur uuuruuur uuruuur uuur  uuur uuuruuur uur  uuur uuur uur uuur uuur

uuuruuur

Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tổng hợp như sau:

Gọi K là trung điểm cạnh BE

Xét BEC: KJ/ /BC và 1

2

KJ  BC

(KJlà đường trung bình củaBEC)

Mặt khác: 1

2

AN  AD mà ADBC nên 1

2

AN  BC, lại có AN/ /BC Từ đó suy ra: / /

KJ AN và KJAN Vậy ANJK là hình bình hành

 AN/ /KJmà ANAB nên ABKJ(tại H) (1), mặt khácBEAC (2)

Từ (1), (2) suy ra K là trực tâm ABJ , suy ra AKBJ mà AK//NJ (ANJK là hình bình hành) nên NJBJ

Với cách giải bằng phương pháp vectơ, học sinh cần nắm vững các tính chất của phép toán vectơ, còn với phương pháp tổng hợp học sinh cần có khả năng tư duy và vận dụng các kiến thức của hình học phẳng vào việc giải bài toán

Bài toán trên còn có thể giải bằng phương pháp tọa độ bằng cách chọn hệ trục tọa độ và gốc tọa độ thích hợp

H K

N

J E

C A

B

D

Trang 8

Dựng hình

góc Oxy như sau:

 0;0

BO Giả sử:

  ; 0 , 0;   , ; , ;

2

c

C c A a D c a N a

 

x

y

J

N E A

B

D

1

C

Viết phương trình đường thẳng AC,

BE

Phương trình đường thẳng AC:

x y

ax cy ac

c  a   

Phương trình đường thẳng BE: cxay 0

Tìm tọa độ điểm E Gọi E x y ; thì  x y; là nghiệm của hệ:

2

2 2 2

2 2

0

a c x

y













Tìm tọa độ điểm J

J là trung điểm cạnh EC nên:

2

2 3

2 2

2 2 2

2 2

2

J

a c

c

a c c

x

ac y











Vậy

2 2 2 2

2

;

J

Tìm BJ NJuuur uuur,    

2 2 2 2

2

;

BJ



uuur

2 2 2 2

2

;

NJ



uuur

Tính uuur uuurBJ NJ. , rút ra kết luận BJ NJuuur uuur   0 BJ NJ

Trang 9

9

Bài toán 6 : Cho hình chữ nhật ABCD có ABa AD, a 2 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AD Chứng minh BM AC

Giải bằng phương pháp tổng hợp

Gọi K là giao điểm của BM và AC Ta có:

AKM

 ∽CKB(g.g)

CK CB CK AK CB AM

2

3 2

3

2

a

AK

a

BK  BM  a  Từ đó

AK BK     a AB

      

Vậy ABK vuông tại K hay BM AC

Giải bằng phương pháp tọa độ

Dựng hình

Oxy như sau:

 0;0 , ,

BO BCOx BAOy Khi đó

2

a

x

y

M

C O

B

2

a

Tính BM ACuuuur uuur. , rút ra kết luận BM ACuuuur uuur   0 BM AC

Như vậy qua bài toán trên ta thấy nếu giải bằng phương pháp tổng hợp thì lời giải khá phức tạp, nhưng nếu giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ và với việc chọn gốc tọa

độ thích hợp thì lời giải bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ta xét bài toán 5 sau đây cũng minh họa cho việc giải bài toán bằng phương pháp tọa độ

có ưu thế hơn phương pháp tổng hợp hay phương pháp vectơ

K M

C

A

B

D

Trang 10

Bài toán 7 : Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AH và BH Chứng minh CM AN

Dựng hình

Oxy như sau:

    0;0 , ;0 , ;0

0; , ; 0 , 0;

A a N  M 

   

y

M

O C

A

H

Tọa độ vectơ CM

uuuur

; 2

a

CM c 

  

uuuur

Tọa độ vectơ uuurAN

; 2

b

AN  a

uuur

Tính CM ANuuuur uuur.

2

.

bc a

CM ANuuuur uuur   (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ABC , tìm 2

AH

AH BH CH a bc

Từ (1), (2) rút ra kết luận CM ANuuuur uuur   0 CM AN (đpcm)

Bài toán 8 : Cho hình vuông ABCD, điểm M bất kì trên đường chéo BD Gọi P,Q lần

lượt là hình chiếu của M trên AB, AD Chứng minh rằng CM PQ

Nếu sử dụng phương pháp tổng hợp thì ta phải vận dụng các kiến thức về tam giác, góc

Cụ thể ta sẽ giải bài toán như sau:

Phương pháp tổng hợp:

Trang 11

11

Gọi H là giao điểm của PM và DC

E là giao điểm của CM và QP

E

Q

H

P A

D

B

C M

Xét PMQ và CHM

PMQ CHM

   (c.g.c)

90 (2)

HCMHMC

Và HMC· EMP· (đđ) (3)

Từ (1),(2),(3) rút ra kết luận · · 0

90

QPMEMP CM PQ

Phương pháp vectơ: Để giải bài toán trên bằng phương pháp vectơ yêu cầu cần nắm

vững về kiến thức vectơ: quy tắc ba điểm, tích vô hướng của hai vectơ, Như vậy với yêu cầu bài toán trên ta cần chứng minh CM PQuuuur uuur  0

CM PQuuuur uuur  CHuuuruuuurHM PAuuuruuurAQ CH PA CH AQuuur uuuruuur uuurHM PA HM AQuuuur uuuruuuur uuur

CH PA HM AQ CH HD HM PM CH HD HM PM

uuur uuuruuuur uuur uuur uuuruuuur uuuur  

Ta giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ như sau:

Dựng hình

Oxy như sau:

 0;0 ,

DO ABCD là hình vuông Khi đó:

(0; ), ;0 , ; , ;0 , ;

   ; , 0;

M b b Q b

x

y

Q

A

D

B P

1

M

Trang 12

Tìm tọa độ vectơ CM PQ,

CM  b a b PQ  b b a

Tính CM PQuuuur uuur. , rút ra kết luận CM PQ b b a  b b a 0

uuuur uuur

Như vậy, qua bài toán trên ta thấy không phải bất kì học sinh nào cũng có thể giải tốt bài toán bằng phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ vì nó đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng như chứng minh tam giác bằng nhau, góc phụ nhau và các kiến thức về vectơ cũng cần vận dụng linh hoạt Nhưng nếu giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ thì ta thấy lời giải trở nên hết sức ngắn gọn và đơn giản, học sinh chỉ cần xác định gốc tọa độ thích hợp và xác định đúng tọa độ của các điểm liên quan

Bài tập 9: Từ một điểm P trong một hình tròn ta kẻ hai dây cung APB và CPD vuông

góc với nhau tại P Chứng minh rằng đường chéo PQ của hình chữ nhật APCQ vuông góc với đường thẳng BD

Dựng hình

Oxy như sau:

0;0 , ;0 , ;0 ,

Ta chứng minh: PQ BDuuur uuur  0

x

y

Q

D

C

B

O

Ta có: PAa PB; b

PCc PD; d

Theo hệ thức lượng trong đường tròn ta có: PA PB PC PD a b c d. Tìm tọa độ uuur uuurPQ BD, PQuuur   a c; ,BDuuur    b; d

Tính: PQ BDuuur uuur. PQ BDuuur uuur a b c d   0

Kết luận Vì uuur uuurPQ BD.  0 PQBD (đpcm)

Trang 13

13

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho tam giác cân ABC đỉnh A Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu

của H trên AC, M là trung điểm của cạnh HD Chứng minh AM vuông góc với BD

Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và BKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB

kéo dài Chứng minh rằng trung tuyến BE của tam giác ABK nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của tam giác BNC

Qua khảo sát, với 2 bài tập trên, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và đặc biệt đã bước đầu làm quen với cách giải toán bằng phương pháp tọa

độ Tôi thực hiện khảo sát trên 2 lớp 10A7 và 10A12 Kết quả khảo sát qua 2 bài tập như sau :

Kết quả :

Bài Số HS làm bài Số HS đạt yêu cầu Đạt tỷ lệ %

III KẾT LUẬN:

Trong chương trình hình học ở trường phổ thông trung học, phương pháp tọa độ được xác định là một trọng tâm Thực ra, trong chương trình THCS đã giới thiệu hệ tọa độ Descartes, đồ thị của hàm số bậc nhất , bậc hai

Nhưng những kiến thức này được đưa vào trong phạm vi đại số, với mục đích nghiên cứu một số hàm số đơn giản Như thế, một số yếu tố của hình học giải tích đã được nghiên cứu từ lớp 10, và cùng với phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ cho phép thiết lập mối liên hệ chặt chẽ giữa đại số với hình học Phương pháp tọa độ đem lại một công cụ

có hiệu quả cao trong nghiên cứu hình học

Đối với chủ đề tọa độ, học sinh cần phải:

- Nắm được khái niệm trục tọa độ, hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, của vectơ

- Nắm công thức tọa độ của các phép toán vectơ

- Nắm được và biết viết phương trình đường thẳng, đường tròn

Trang 14

- Biết sử dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học đơn giản, đặc biệt là các bài toán trên những hình quen thuộc như tam giác, hình chữ nhật, hình vuông

Môn toán có một số đặc thù khiến cho nó được mệnh danh là:”Môn thể dục của trí não”

Tư duy toán học cần được hình thành trong quá trình dạy học môn toán Vì thế dạy học môn toán ở trường phổ thông cần có sự phối hợp một cách hợp lí việc dạy học các tri thức toán học với dạy học hoạt động nhận thức lĩnh hội các tri thức đó Nói cách khác, dạy học toán học về thực chất là dạy học các hoạt động nhận thức toán học

Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh, cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, tìm tòi, khám phá, phát hiện và giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao, phát huy tính tự giác, tích cực, tự lực của học sinh Vì vậy, việc nhắc nhở và tạo điều kiện, cơ hội cho học sinh thường xuyên ôn tập, củng cố những kiến thức, kĩ năng đã học là rất cần thiết để dần dần hình thành và phát triển năng lực giải toán cho học sinh, điều đó tác động đến tình cảm, niềm vui, hứng thú

và say mê khi học môn toán của các em

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Hình học 10 (sách giáo khoa)- Nguyễn Mộng Hy (chủ biên)-NXB Giáo dục, 2000

Phương pháp dạy học môn toán-Nguyễn Bá Kim(chủ biên) -NXB Giáo dục, 1994

Phương pháp dạy-học hình học ở trường trung học phổ thông-Lê Thị Hoài Châu

NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Thị Hương Thi

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	607,13 KB