Một số giải pháp giải bài toán tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm đến đường tròn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG NỐI HAI TIẾP ĐIỂM CỦA CÁC TIẾP TUYẾN KẺ TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG TRỊN Người thực hiện: Nguyễn Cơng Hiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HÓA NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: .1 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: .8 3.1 Kết luận 12 3.2 Kiến nghị 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 CÁC TỪ VIẾT TẮT HD - Hướng dẫn KL - Kết luận PT - Phương trình TH - Trường hợp THCS - Trung học sở THPT - Trung học phổ thông VTPT - Véc tơ pháp tuyến VTCP - Véc tơ phương MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Sự phát triển xã hội đổi đất nước đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo Nền kinh tế nước ta chuyển từ chế kế hoạch hoá tập trung sang chế thị trường có quản lí nhà nước Công đổi đề những yêu cầu hệ thống giáo dục, yêu cầu phản ánh Nghị Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo thời kỳ công nghiệp hoá, đại hoá nhiệm vụ đến năm 2000 sau: Nhiệm vụ mục tiêu giáo dục nhằm xây dựng người hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc chủ nghĩa xã hội, có đạo đức sáng, có ý chí kiên cường xây dựng bảo vệ tổ quốc; cơng nghiệp hố, đại hố đất nước; giữ gìn phát huy giá trị vǎn hố dân tộc, có nǎng lực tiếp thu tinh hoa vǎn hoá nhân loại; phát huy tiềm nǎng dân tộc người Việt Nam, có ý thức cộng đồng phát huy tính tích cực cá nhân, làm chủ tri thức khoa học cơng nghệ đại, có tư sáng tạo, có kỹ nǎng thực hành giỏi, có tác phong cơng nghiệp, có tính tổ chức kỷ luật; có sức khoẻ, người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa "hồng" vừa "chuyên" lời dặn Bác Hồ [1] Trong nhà trường, với vị trí đặc biệt mơn Tốn, nhiệm vụ giáo viên dạy mơn tốn là: + Truyền thụ tri thức, kĩ tốn học cho học sinh + Phát triển trí tuệ chung cho học sinh + Giáo dục tư tưởng trị, phẩm chất đạo đức thẩm mĩ cho học sinh, bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời trọng phát triển bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, đường thẳng đường trịn chiếm vị trí quan trọng; kiến thức đường thẳng đường trịn xun suốt chương trình từ THCS đến THPT Bài tốn “Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm cho trước nằm ngồi đường trịn đến đường trịn” thường gặp đề thi học sinh giỏi đề thi tốt nghiệp THPT (các năm trước gọi kỳ thi THPT Quốc gia) mức độ vận dụng vận dụng cao Rất nhiều học sinh bỏ tốn lựa chọn phương pháp giải khơng phù hợp dẫn đến thời gian không đến kết Với lí kinh nghiệm học hỏi từ đồng nghiệp với điều kiện chủ quan thân giúp chọn đề tài: “Một số giải pháp giải toán tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm cho trước đến đường trịn” 1.2 Mục đích nghiên cứu: + Nêu phương pháp giải toán cách nhanh, xác + Hỗ trợ giáo viên công tác bồi dưỡng học sinh giỏi + Định hướng giải tốn mở rộng khơng gian hỗ trợ giáo viên học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải tốn tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ điểm cho trước đến đường tròn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Phương pháp lý thuyết: nghiên cứu tài liệu có liên quan xây dựng sở lý thuyết + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Rút từ trình giảng dạy ba năm học 2017-2018; 2018-2019, 2019-2020 + Phương pháp so sánh 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: + Ứng dụng việc giải tốn "Viết phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm cố định (nằm ngồi đường trịn) đến đường trịn" + Ứng dụng việc giải tốn "Viết phương trình mặt phẳng chứa tiếp điểm tiếp diện qua điểm cố định (nằm mặt cầu) với mặt cầu" + Ứng dụng việc giải toán "Viết phương trình mặt phẳng chứa tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm cố định (nằm mặt cầu) đến mặt cầu" 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: - Các hệ thức lượng tam giác vuông 1 a  b  c ; b  a.b ' ; c  a.c ' ; h  b '.c ' ; a.h  b.c ;   ; h b c b c b c sin B  cos C  ;sin C  cos B  ; tan B  cot C  ; tan C  cot B  [2] a a c b - Phương trình tổng quát đường thẳng  qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTPT r n  ( A; B ) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  [2] 2 - Phương trình đường trịn dạng: x  y  2ax  2by  c  (với điều kiện a  b  c  ) có tâm I (a; b) bán kính R  a  b  c [2] 2 - Phương trình đường trịn tâm I (a; b) , bán kính R : ( x  a)  ( y  b)  R [2] - Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (C ) tâm I (a; b) , bán kính R � d ( I ; )  R [3] - Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (C ) tâm I (a; b) , bán kính R điểm T IT   IT  R [3] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: * Bài tốn tổng qt: Cho đường trịn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R điểm M ( x0 ; y0 ) nằm phía ngồi đường trịn (C ) Từ điểm M ( x0 ; y0 ) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 Khi gặp toán này, hầu hết học sinh nghĩ đến việc tìm tọa độ tiếp điểm T1 ; T2 sau suy tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 Để tìm tọa độ tiếp điểm T1 ; T2 học sinh phải xác định phương trình tiếp tuyến phải viết phương trình đường trịn (C ') tâm M có bán kính R '  MI  R sau giải hệ phương trình có tọa độ T1 ; T2 Kết khảo sát thực trạng tư nhóm học sinh gặp tốn cụ thể sau: Bài toán cụ thể: “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) 2 có phương trình x  y  x  y   Từ điểm M (3;5) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 ” Tư giải toán Năm học Tổng số HS tham gia khảo sát 2017-2018 Tìm tiếp điểm T1 ; T2 Hướng giải khác (Viết PT đường thẳng T1T2 ) 32 HS 31 HS 01 HS 2018-2019 28 HS 28 HS HS 2019-2020 36 HS 32 HS 04 HS Với cách giải thời gian dễ nhầm lẫn q trình giải Trong thời gian làm thi có hạn nên học sinh gặp bế tắc gặp phải số “khơng đẹp” thường bỏ qua toán 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề: * Bài toán tổng qt: Cho đường trịn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R điểm M ( x0 ; y0 ) nằm phía ngồi đường trịn (C ) Từ điểm M ( x0 ; y0 ) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 Trước hết, tốn u cầu tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 ; không yêu cầu tìm tọa độ tiếp điểm T1 ; T2 Vì vận dụng tính chất véc tơ để tìm tọa độ điểm H sau: - Dễ nhận thấy H giao điểm T1T2 với IM T1T2  IM H - Xét IMT1 vng T1 có H hình chiếu vng góc T1 cạnh uuu r uuur uur IM � IH IM  IT1  R (1) - Do H thuộc đường thẳng IM (2) - Từ (1) (2) ta có hệ phương trình; giải hệ ta tọa độ điểm H * Bài toán cụ thể: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trịn (C ) có 2 phương trình x  y  x  y   Từ điểm M (3;5) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 Lời giải: 2 2 - Đường trịn (C ) có phương trình x  y  x  y   � ( x  1)  ( y  1)  � (C ) có tâm I (1;1) bán kính R  uuur r - Ta có: IM  (2; 4) � đường thẳng IM có VTPT n  (2; 1) � phương trình là: ( IM ) : 2( x  1)  1( y  1)  � x  y   (1) uuu r uuur uur - Do IH IM  IT1  R  nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình: 2( x  1)  4( y  1)  � x  2y   �2 x  y   �x  y   - Từ (1) (2) ta có hệ phương trình � (2) �7 � � H � ; � �5 � � � Kết luận: H � ; � �5 � * Ứng dụng việc giải toán "Viết phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm cố định (nằm đường trịn) đến đường trịn" Bài tốn: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) có 2 phương trình x  y  x  y   Từ điểm M (3;5) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Viết phương trình đường thẳng T1T2 - Phân tích: u cầu tốn tìm phương trình đường thẳng T1T2 , khơng u cầu tìm tọa độ tiếp điểm T1 ; T2 Để ý đường thẳng T1T2 qua điểm H vng góc với MI , từ việc uuu r tìm tọa độ điểm H tọa độ véc tơ MI ta có phương trình đường thẳng T1T2 - Cách giải cụ thể: � � Bước 1: Xác định tọa độ điểm H �5 ; � � � Bước 2: Viết phương trình đường thẳng T1T2 uuur r Do IM  (2; 4) � VTPT đường thẳng T1T2 n1  (1; 2) nên ta có phương trình đường thẳng T1T2 là: � 7� � 9� (T1T2 ) : �x  � �y  � � x  y   � 5� � 5� * Một số tập áp dụng: 2 Bài 1: Cho đường trịn (C ) có phương trình x  y  x  y   Từ điểm M (4;3) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 2 Bài 2: Cho đường trịn (C ) có phương trình x  y  x  y   Từ điểm M (8;3) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 2 Bài 3: Cho đường trịn (C ) có phương trình x  y  x  y   Từ điểm M (3; 2) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Viết phương trình đường thẳng T1T2 Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  C  : x  y  x  y   Gọi M ; N thứ tự tiếp điểm đường tròn (C ) với cạnh AB AC Tìm tọa 2 � � độ đỉnh A biết trung điểm MN H � ; � �5 � Hướng dẫn: �I (1;1) �R  2 Từ  C  : x  y  x  y   � � � �7 � �I (1;1); H � ; � �5 �� A Từ � �R  � �  600 Đường tròn (C ) nội tiếp tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC có tâm I (1;1) tiếp xúc với cạnh AB; AC thứ tự M ; N Tìm tọa độ đỉnh A biết đường thẳng MN có phương trình x  y   Hướng dẫn: �I (1;1) � PT �PT (MN ) Từ � �PT �PT Từ � (AI ) (AI ) �H (MN ) � �IH �R �BAC  60 Từ �� �I ; H �A �R Từ � 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: + Với phương pháp trên, toán trở nên đơn giản “nhẹ nhàng” nhiều + Bản thân đồng nghiệp khơng cịn “ngại” gặp toán tương tự + Đối với việc bồi dưỡng, ôn luyện học sinh giỏi, học sinh khơng cịn tâm lý “sợ” gặp dạng toán tương tự, tư tự tin giải toán tốt Sau áp dụng phương pháp nêu trên, khảo sát lại nhóm học sinh nội dung này, tơi có bảng so sánh kết sau: Tư giải toán chưa áp dụng đề tài Năm học Tổng số HS tham gia khảo sát 2017-2018 Kết sau áp dụng đề tài Tìm tiếp điểm T1 ; T2 Hướng giải khác (Viết PT đường thẳng T1T2 ) Phương pháp tìm H thơng qua biểu thức uuu r uuur uur IH IM  IT1  R Tỷ lệ giải tốn thành cơng 32 HS 31 HS 01 HS 30/32 HS 93.75% 2018-2019 28 HS 28 HS HS 25/28 HS 96.43% 2019-2020 36 HS 32 HS 04 HS 36/36 HS 100% + Việc mở rộng tốn khơng gian, có phương pháp giải tương tự, hỗ trợ tốt cho đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT Bài toán cụ thể: * Bài toán 1: (Câu 50 - Đề - Phần hai: Một số đề tự luyện - Tài liệu: Hướng dẫn ôn tập Kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2019-2020 mơn Tốn - trang 211) [4], [5] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  ( y  1)  ( z  1)  đường thẳng d : x   y   z Hai mặt phẳng ( P ), ( P ') chứa d , tiếp xúc với ( S ) T T ' Tọa độ trung điểm H TT ' là: 2 �1 5 � A H  � ; ;  � �2 � B H  � ; ;  � �1 5 � C H  � ;  ; � �1 7 � D H  � ;  ;  � �3 �3 6� �3 6 6� �3 6� 6� Phương pháp giải: �IT  ( P ) � IT  d � d  ( ) M �IT '  ( P ') � IT '  d - Gọi ( ) mặt phẳng ( ITT ') ; � Vậy M hình chiếu vng góc I d � tọa độ M �H �IM � tọa độ H �IH IM  R - Do �uuur uuur �1 5 � - Đáp án: A H  � ; ;  � �3 6� * Bài toán 2: (Câu 47 - Chương III - Phần hai: Hình học - Tài liệu: Trắc nghiệm TOÁN 12 - trang 131) [6] Cho mặt cầu ( S ) tâm O(0;0;0) , bán kính R  Mặt phẳng qua điểm P (1; 2; 2) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm M  ( x; y; z ) điểm M thuộc mặt phẳng ( ) có phương trình là: A x  y  z   B x  y  z  C x  y  z  D x  y  z  Hướng dẫn: - OMP vuông M ; OM  R  - Gọi H hình chiếu vng góc M OP uuur uuu r � H thuộc đoạn OP OH OP  OH OP  OM  � H điểm cố định Từ phương pháp giải trình bày tốn �4 8 � �H �; ; � �9 9 � -uur Vậy mặt phẳng ( ) qua H , có VTPT uuu r n  OP  (1; 2; 2) có phương trình: ( ) : x  y  z   Đáp án A * Một số tập áp dụng (Cho dạng mở rộng không gian): Bài 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)2  ( y  1)  ( z  1)  x2 y 2 z 3   Hai mặt phẳng ( P), ( P ') chứa d , tiếp xúc với 1 ( S ) T T ' Tìm tọa độ trung điểm H TT ' đường thẳng d : Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : x  y  z   (Q) : x  y  z   Mặt cầu ( S ) tâm I , tiếp xúc với ( P ) (Q) thứ tự T T ' Tìm tọa độ tâm I mặt cầu ( S ) biết tọa độ trung điểm TT ' H (2; 2;0) Hướng dẫn: PT ( P) � � PT d  ( P) �(Q) PT (Q) � Từ � �H (2; 2;0) �M �PT d Từ � Để ý ( P)  (Q) � MT  MT ' với tọa độ H ; M � I 10 Bài 3: Trong khơng gian cho mặt cầu ( S ) có phương trình x  y  z  điểm A(1; 2; 2) Đường thẳng d thay đổi qua điểm A tiếp xúc với mặt cầu ( S ) M Điểm M thuộc mặt phẳng ( ) có phương trình là: A x  y  z   B x  y  z  C x  y  z  D x  y  z  Hướng dẫn: Từ kết toán suy PTMT ( ) : x  y  z   , đáp án A 11 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Mặc dù toán liên quan đến tiếp tuyến đường trịn phương pháp giải khơng sâu vào khai thác tiếp tuyến mà chủ yếu dựa vào tính chất hình học, tọa độ véc tơ để giải Nên tìm phương pháp giải tốn đơn giản, dễ hiểu, dễ thực cách sử dụng kiến thức liên quan Việc mở rộng toán khơng gian phải áp dụng để có phương pháp giải tối ưu, nhanh đáp ứng ôn tập dành cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT 3.2 Kiến nghị Đối với giáo viên, không nên cho tốn khó bỏ qua; dạy học sinh dạng toán nên tạo tư tưởng thoải mái cho học sinh cố gắng trình bày toán cho đơn giản, nhẹ nhàng Nên sử dụng hình ảnh trực quan để học sinh học sinh dễ hiểu Đối với học sinh, không nên bỏ qua toán này; gặp toán dạng bình tĩnh để tìm phương pháp giải phù hợp Do thời gian nghiên cứu có hạn, q trình thực nghiệm áp dụng chưa rộng rãi với đối tượng học sinh Vì vậy, tơi mong nhận góp ý bạn bè đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2020 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT SKKN (Đã ký) (Đã ký) Nguyễn Đình Bảy Nguyễn Cơng Hiến 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trích Nghị Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo thời kỳ cơng nghiệp hố, đại hố nhiệm vụ đến năm 2020 Hình Học 10, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Bộ Giáo dục Đào tạo, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2016 Phân dạng Phương pháp giải tốn Hình Học 10, Trần Thị Vân Anh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016 Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019, Đồn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Dỗn Minh Cường, Phạm Đức Tài, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2019 Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2019-2020, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức Tài, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2020 Trắc nghiệm TỐN 12, Đồn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2020 13 ... (C ) Từ điểm M ( x0 ; y0 ) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 Trước hết, toán yêu cầu tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 ;...  Từ điểm M (3;5) kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 tiếp điểm Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng T1T2 ” Tư giải toán Năm học Tổng số HS tham gia khảo sát 2 017 -2 018 Tìm tiếp điểm. .. thơng, đường thẳng đường trịn chiếm vị trí quan trọng; kiến thức đường thẳng đường tròn xuyên suốt chương trình từ THCS đến THPT Bài tốn “Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tiếp tuyến