aTìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt bTìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.. a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.. bTrong trờng
Trang 1CHUYấN ĐỀ GIẢI, BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI
A.Lý thuyết
1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) trong đó a, b, c là các
hệ số đẵ biết, x là ẩn
= b2 – 4ac
< 0 phơng trình vô nghiệm
= 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = -
a
b
> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
a
b
2
; x2
a
b
2
’ = b’2 – ac ( b b 2)
’ < 0 phơng trình vô nghiệm
’ = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = -
a b'
’ > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x1 ; x2
a
b' '
3 Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì
a c x
x
a b x
x
2 1
2 1
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 =
a c
- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x1 = - 1; x2 =
a
c
+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 – 4P 0 thì hai số đó
là hai nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0
1) Phơng trình có nghiệm: ,0; 2) Phơng trình có nghiệm: ,0;
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
0
0 2 1
a
c x
x
,
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:
0
0 2 1
a
c x
x
,
;
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng
0 0 0
2 1
2 1
a
c x x
a
b x
x
.
,
; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm
0 0 0
2 1
2 1
a
c x x P
a
b x
x S
.
,
;
5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S x x
x x
x
2 1
2 1
2
1
1
1
2)x x x 2 x x x 2 x x x x 2 x x S2 2 P
2 1
2 2 1 2 1
2 2 2 1
2 1
2
2
2
2 2 2 1
2 2
2 1 2
2
2
1
2 1
1
P
P S x
x
x x x
x
)
4)x x x x x x x x x x x 2 x x x 3 x x S S2 3 P S3 3 PS
2 1
2 2 2 1
2 1 2 1 2
2 2 2 1
2 1 2 1
3
2
3
Trang 2B.Bµi tËp ¸p dông.
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau:
1 x2 - 11x + 30 = 0 5; 6 41 x2 - 16x + 84 = 0
2 x2 - 10x + 21 = 0 3; 7 42 x2 + 2x - 8 = 0
3 x2 - 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x2 + 8x + 4 = 0
4 5x2 - 17x + 12 = 0 12/5;1 44 x2 – 2( 3 2 )x + 4 6 =
0
5 3x2 - 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x2 + 13x - 24 = 0
6 x2 - (1+ 2)x + 2 = 0 2;1 46 x2 - 11x + 30 = 0
8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0
10 x2 - 3x - 2 - 6 = 0 50 3x2 + 5x - 1 = 0
14 x2 - 5x + 6 = 0 54 x2 - 2 3 1x - 2 3 = 0
18 3x2 - 2 3x - 2 = 0 58 2x2 - 3x - 5 = 0
Trang 319 -x - 7x - 13 = 0 59 x - 4x + 4 = 0
20 2x2 – 2( 3 1 )x -3 2 =
0
60 x2 - 7x + 10 = 0
32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + 4 = 0
36 x2 + 2x - 8 = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0
37 5x2 + 8x + 4 = 0 77 9x4 + 6x2 + 1 = 0
38 x2 – 2( 3 2 )x + 4 6 = 0 78 2x4 + 5x2 + 2 = 0
39 x2 - 6x + 8 = 0 79 2x4 - 7x2 - 4 = 0
40 3x2 - 4x + 2 = 0 80 x4 - 5x2 + 4 = 0
Bµi tËp 2 T×m x, y trong c¸c trêng hîp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40
c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12
Bµi tËp 3.Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh,h·y tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau
a) x2 + 6x + 8 = 0 e) x2 + 13x + 42 = 0
b) 11x2 + 13x - 24 = 0 f) 11x2 - 13x - 24 = 0
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x1 + x22 .
Bµi tËp 4.a)T×m mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ:
6
2
3 vµ
6
2
3 .
b)Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y t×m tæng lËp ph¬ng c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau: 3x2 - 5x - 2 = 0 Bµi tËp 5.Víi gi¸ trÞ nµo cña b th× ph¬ng tr×nh:
a) 2x2 + bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5
b) bx2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7
c) ( b - 1 )x2 - ( b + 1 )x - 72 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3, t×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi tËp 6.Chøng minh r»ng víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña k ph¬ng tr×nh:
a) 7x2 + kx - 23 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
b) 12x2 + 70x + k2 + 1 = 0 kh«ng thÓ cã hai nghiÖm d¬ng
c) x2 - ( k + 1 )x + k = 0 cã mét nghiÖm b»ng 1
Bµi tËp 7.Chøng tá r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m:
Trang 4a) x - 4x – m = 0 d) x + ( m + 3 )x + m + 1 = 0
b) 2x2 - 3x + m - 1 = 0 e) x2 - ( 1 + 2m )x + m = 0
c) x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0 f) ( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + 2 )x + 1 = 0
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm
a) x2 + x - m = 0 d) x2 - ( m - 1 )x + 1 = 0
b) 2x2 - 3x + m - 1 = 0 e) x2 + 2x + m2 = 0
c) x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0 f) ( m2 +1 )x2 - 2( m + 3 )x + 1 = 0
Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép
a) 3x2 - 2x + m = 0 c) 4x2 + mx + m2 = 0
b) 5x2 + 18x + m = 0 d) 4x2 + mx - 5 = 0
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x2 - 2( a - 1 )x + a - 15 = 0
a)Giải phơng trình khi a = 13
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + 1 )x + m = 0
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm
b)Tính y = x1 + x2 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x1, x2 là nghiệm của phơng trình đẵ cho
Bài tập 12.Cho phơng trình: x2 - 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m
b)Tìm m sao cho 10 x1 x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 = 0
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại
Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức 1 1 3 2
2 1 2 1
x x x
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x2 - 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P
Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + 3 )x + m - 3 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau
Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - 1 )x + m - 1 = 0
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau
Bài tập 18.Cho phơng trình: x2 + 3x - 5 = 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2 Không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau;
a)
2 1
1 1
x
x
2
2
2 2
2 1
1 1
x
2
3
x
Bài tập 19.Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1 )x + m - 4 = 0
a)Giải phơng trình khi m = 1
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Trang 5c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức Ax1(1 x2)x2(1 x1)không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - 1 = 0
a)Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A =x 12 x22
Bài tập 21.Cho phơng trình: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?
Bài tập 22 Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
Bài tập 23 Cho phơng trình: x2 – 2(m-1)x +2m – 3 = 0
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm còn lại
Bài tập 24 Cho phơng trình : x2 – 2(m+1)x +m2 + 2 =0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b)Tìm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4
Bài tập 25 Cho phơng trình : x2 -4x +m =0 (1)
a)Tính hoặc ’ của phơng trình (1) theo m
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn 2 12
2
2
1 x
x
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 , hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 26 Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2
Bài tập 27 Cho phơng trình : x2 – 2(a-1)x + 2a – 5 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < 1 < x2
Bài tập 28 Cho phơng trình : x2 + mx + m-2 =0
a)Giải phơng trình (1) với m=3
b)Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1) thoả mãn x1 + x2 = 4
Bài tập 29 Cho phơng trình: x2+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)
Trang 6a Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x2 + 4 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất Bài tập 30 Cho phơng trình x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)
a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 2 +x2 - x1x2 = 15
Bài tập 31 Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham số k)
a Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k ?
b Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x2 +2005 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?
Bài tập 32 Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x2 + 4x – 2m = 0 (1)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b)Giải phơng trình với m = 6
Bài tập 33 Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài tập 34 Cho phơng trình: x2 + 2(m+1)x + m2 + 4 m + 3 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
b)Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x1+2x2- x1x2+7 = 0
Bài tập 35 Cho phơng trình : 2 2( 1) 2 5 0
x
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
Bài tập 36 Cho phơng trình: 2 8 0
x m x
a) Giải phơng trình (1) khi m = 12
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 2