Giải bài tpán bằng cách lập PT

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý- Tin-KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 49 CHUYÊN ĐỀ 7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH : Bước 1: Gọi ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn. Ở bước này thông thường bài toán hỏi gì thì ta gọi ẩn theo câu hỏi của bài toán. Tuy nhiên một vài trường hợp ta phải gọi ẩn trung gian ( ví dụ bài toán yêu cầu tính chu vi hình chữ nhật thì ta có thể gọi ẩn là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật hoặc tính quãng đường AB thì ta có thể gọi ẩn là vận tốc và thời gian đi từ A đến B ). Đối với điều kiện của ẩn cần lưu ý phải thỏa mãn theo đề bài đã cho và phù hợp với thực tế. Bước 2: Dùng ẩn số và các số đã biết trong đề bài để lập ra các biểu thức nhằm hỗ trợ cho việc lập phương trình hay hệ phương trình. Bước 3: Dựa vào nội dung của đề bài ta xác định được mối liên quan giữa các biểu thức ở bước hai. Từ đó lập được phương trình hay hệ phương trình. Bước 4: Giải phương trình hay hệ phương trình vừa lập được Bước 5: So sánh với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không và trả lời. II. MỘT SỐ CÁCH CHUYỂN ĐỔI TỪ NGÔN NGỮ THÔNG THƯỜNG SANG NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ: 1. Bài toán chuyển động: + Mối quan hệ giữa các đại lượng quãng đường (S), vận tốc (V) và thời gian (T): S = V.T V = S T T = S V + Chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường đến khi gặp nhau thì: (S) ô tô 1 đi = (S) ô tô 2 đi Nếu hai xe cùng xuất phát mà ô tô 1 đến trước ô tô 2 là t giờ thì: (T) ô tô 2 đi - (T) ô tô 1 đi = t + Chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường thì: (S) ô tô 1 đi + (S) ô tô 2 đi = S AB Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB thì: (S) ô tô 1 đi = (S) ô tô 2 đi + Chuyển động trên dòng sông: (V) lúc xuôi dòng = (V) riêng + (V) dòng nước Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý- Tin-KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 50 (V) lúc ngược dòng = (V) riêng - (V) dòng nước + Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát tại một điểm sau t giờ gặp nhau Chuyển động cùng chiều: Độ dài đường tròn (S) = (T) x ( V 1 - V 2 ) ( Gsử V 1 , V 2 là vận tốc của hai vật và V 1 > V 2 ) Chuyển động ngược chiều: Độ dài đường tròn = (T) X ( V 1 + V 2 ) 2. Bài toán về năng suất và một số dạng khác: + Dạng toán làm chung và làm riêng một công việc: - Khi công việc không được tính bằng số lượng cụ thể ( ví dụ như công việc là xây một cái nhà, một con mương, một cái bể, một đoạn thẳng . . . ) thì ta coi công việc đó là 1(đơn vị) - Để tính khối lương công việc làm được ta lấy năng suất làm việc nhân với thời gian làm việc - Đối với dạng toán này ta thường vận dụng công thức tổng quát sau: 1giờ vòi 1 chảy được + 1 giờ vòi 2 chảy được = 1giờ cả hai vòi cùng chảy (hoặc 1h đội 1 làm được + 1h đội 2 làm được = 1h cả hai đội cùng được ) + Dạng toán về năng suất lao động: - Năng suất lao động trội = Mức quy định + tăng năng suất (hay vượt mức) VD: Tháng 1 làm được x sản phẩm và tháng 2 làm vượt mức 10% so với tháng 1 thì tháng 2 làm được x + 10 100 x = x + 0,1x - Tổng số áo may được = số áo may trong một ngày x Số ngày may + Dạng toán liên quan đến số học: - Số có hai chữ số được ký hiệu là ab = 10a + b - Viết chữ số 3 vào bên trái số có hai chữ số được: 3 ab = 300 + 10a + b - Chữ số hàng chục a chia cho chữ số hàng đơn vị b được thương là 7 và dư là 5 thì a = 7b + 5 + Dạng toán liên quan đến nội dung lý hóa và hình học: - Vận dụng các công thức vật lý: D = M V  M = D.V; V = M D Với D: Khối lượng riêng chất lỏng M: Khối lượng chất lỏng V: Thể tích chất lỏng - Khi hòa tan hai chất A và B ta được: Thể tích chất A + Thể tích chất B = Thể tích hỗn hợp Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý- Tin-KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 51 - Trong tam giác vuông ta thường vận dụng các hệ thức trong tam giác vuông để tính độ dài cạnh huyền theo hai cạnh góc vuông (hoặc ngược lại) và dựa vào các hệ thức để lập phương trình. 3. Một số ví dụ: a. Ví dụ 1: Ngôn ngữ thông thường Ngôn ngữ đại số Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 10 m chiều dài tăng thêm 6 Chiều rộng giảm đi 3 thì diện tích mới hơn diện tích cũ là 12 m 2 x y x - y = 10 x + 6 y - 3 (x + 6)(y - 3) xy (x + 6)(y - 3) - xy = 12 b. Ví dụ 2: Ngôn ngữ thông thường Ngôn ngữ đại số Thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất Một giờ vòi thứ nhất chảy được Thời gian chảy đầy bể của vòi thứ hai một giờ vòi thứ hai chảy được Hai vòi cùng chảy vào bể thì sau 12 giờ đầy bể nên mỗi giờ cả hai vòi chảy được ta lập được phương trình x giờ 1 x (bể) y giờ 1 y (bể) 1 12 (bể) 1 x + 1 y = 1 12 c. Ví dụ 3: Ngôn ngữ thông thường Ngôn ngữ đại số đoạn đường AB dài vận tốc xe thứ hai là vận tốc xe thứ nhất lớn vận tốc xe thứ 120 km x Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý- Tin-KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 52 2 là vận tốc xe thứ nhất là Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B hai xe cùng đi từ A đến B và xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ 2 một giờ thì 10 km/h x + 10 120 10 x  120 x 120 x - 120 10 x  = 1 d. Ví dụ 4: Ngôn ngữ thông thường Ngôn ngữ đại số Khối lượng chất lỏng thứ nhất khối lượng chất lỏng thứ 2 khối lượng riêng chất lỏng thứ nhất thể tích chất lỏng thứ nhất khối lượng riêng (M) chất lỏng thứ hai nhỏ hơn M chất lỏng thứ nhất là 100 thể tích chất lỏng thứ hai khối lượng riêng hỗn hợp Thể tích hỗn hợp của hai chất lỏng Phương trình lập được 40g = 0,04kg 30g = 0,03kg x 0,04 x x - 100 0,03 100 x  350 (kg/m 3 ) 0,04 0,03 350  0,04 x + 0,03 100 x  = 0,07 350 III. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Tính các kích thướt của một hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều chiều dài 3m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích không đổi; Nếu giảm chiều dài 3m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích không đổi. 2. Dân số của một thànhphố hiện nay là 408040 người, hàng năm dân số tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số thành phố là bao nhiêu ? Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý- Tin-KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 53 3. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút. Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc. Biết vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau và vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau. 4. Người ta hoà lẫn 4kg chất lỏng I với 3kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m 3 . Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200kg/m 3 . Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. 5. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đỗ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được một nửa thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được 1 3 thể tích của nó. Hãy xác định thể tích mỗi bình. 6. Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng nếu mỗi chữ số giảm đi 1 ta được một số mới cũng là số chính phương. 7. Theo kế hoạch trong quý I phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện do phân xưởng A tăng năng suất 20% còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm. 8. Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,25 kg có thể tích là 3,5 dm 3 . Tính khối lượng riêng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm 3 và của nhôm là 2,6g/cm 3 . 9. Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau 11 2 12 giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong bao lâu ? 10. Hai vật thể I và II chuyển động trên cùng một đường tròn. Nếu cả hai chuyển động cùng chiều thì sau mỗi khoảng thời gian 56 phút chúng lại gặp nhau. Nếu cả hai chuyển động với vận tốc cũ nhưng ngược chiều nhau thì sau mỗi khoảng thời gian 8 phút chúng gặp nhau một lần. Người ta còn thấy rằng khi khoảng cách giữa chúng là 40 m thì sau đó 24 giây chúng chỉ còn cách nhau 26m. Tìm vận tốc của mỗi vật, biết rằng trong khoảng thời gian 24 giây nói trên chúng không gặp nhau. . DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 49 CHUYÊN ĐỀ 7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH : Bước. lưu ý phải thỏa mãn theo đề bài đã cho và phù hợp với thực tế. Bước 2: Dùng ẩn số và các số đã biết trong đề bài để lập ra các biểu thức nhằm hỗ trợ cho việc lập phương trình hay hệ phương. dung của đề bài ta xác định được mối liên quan giữa các biểu thức ở bước hai. Từ đó lập được phương trình hay hệ phương trình. Bước 4: Giải phương trình hay hệ phương trình vừa lập được Bước