hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình có hiệu quả

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trongnhững nội dung quan trọng trong chương trình đại số của trường THCS.. Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình là một ứng dụng c

Hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương

trình có hiệu quả

PHẦN I MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc

sống xã hội loài người nói chung, con người nói riêng Nó có lí luận thực tiễnlớn lao và quan trọng, như đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “ Toán học là mônthể thao của trí tuệ, nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”

Đại số là một môn đặc biệt của toán học Nếu đi sâu vào nghiên cứu vềmôn đại số chúng ta sẽ thấy được cái không gian ba chiều lí thú của nó màkhông bao giờ vơi cạn Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trongnhững nội dung quan trọng trong chương trình đại số của trường THCS

Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình là một ứng dụng củaphương trình nó có ý rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liênquan của các đại lượng trong thực tiễn Trong phân môn đại số- chương trìnhtoán lớp 8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán bằng cách lập phương trình đãchiếm một vị trí quan trọng

Về cả phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu bàinày Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết Lâu nay chúng ta đang tìm kiếmmột phương pháp dạy học sinh giải các bài toán bằng cách lập phương trình làmsao cho đạt hiệu quả Các tài liệu, các sách tham khảo, sách giáo viên cũng chưa

có sách nào đề cập đến phương pháp dạy loại toán này Có chăng chỉ là gợi ýchung và sơ lược Đặc biệt trong các hội thi giáo viên dạy giỏi các cấp hầu nhưcác tiết thi giảng giải bài toán bằng cách lập phương trình không mấy đạt kếtquả cao

Trước tình hình trên, bản thân tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đãtừng trăn trở nhiều về vấn đề trên.Và với bài viết này tôi không có tham vọnglớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông Tôi chỉ xin đề

xuất một vấn đề về phương pháp dạy loại toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” đối với học sinh lớp 8, 9 mà tôi đã từng áp dụng thành công.

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN

2 Về phía phụ huynh và học sinh

Đa số các bËc phụ huynh đã nhận thức được cần phải quan tâm đầu tư choviệc học tập của con em song bên cạnh đó việc quan tâm học hành của một sốphụ huynh chưa thật sự đầy đủ, chủ yếu là phó mặc cho nhà trường do đó ảnhhưởng lớn đến kết quả học tập của học sinh nhà trường

3.Về phía giáo viên.

Nhìn chung đội ngũ giáo viên nhà trường có nhiều thầy cô giáo đã côngtác lâu năm trong trường nên giàu hiệt huyết và kinh nghiệm dạy học song cũng

có một bộ phân thầy cô giáo còn non trẻ, nên chưa có nhiều kinh nghiệm dạyhọc

Qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá

sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh tôi nhận thấy các kiến thứctrong phần giải bài toán bằng cách lập phương trình còn nhiều hạn chế và thiếusót Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học đÓ lậpphương trình của bài toán Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinhlớp 8,9 bởi lẽ từ trước tới nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tìm xhoặc giải những phương trình có sẵn Mặt khác, loại toán “ Giải bài toán bằngcách lập phương trình” là loại toán bằng ngôn ngữ, nội dung của nó hầu hết gắnliền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội đòi hỏi họcsinh phải quan tâm đến ý nghĩa của nó, phải có hiểu biết về nhiều lĩnh vực

Khó khăn của học sinh khi giải loại toán này là khả năng tư duy còn hạnchế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệgiữa các đại lượng, yếu tố trong bài toán nên không lập được phương trình Có

những học sinh nắm được lí thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng vẫn lúngtúng Hơn thế nữa loại toán này còn đòi hỏi kĩ năng trình bày lời giải phải chặtchẽ nên nhiều em học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì:

+ Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác

+ Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng đÓ thiết lập phương trình.+ Lời giải thiếu lí luận, đơn vị

+ Quên đối chiếu điều kiện

Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên là phải rèn cho học sinh kĩ năng giảicác loại bài toán này sao cho khi gặp nó các em không cảm thấy lo sợ và lúngtúng Do đó bằng những kinh nghiệm rút ra sau các năm giảng dạy tôi mạnh dạnviết đề tài “Một số phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệphương trình”

PHẦN II NỘI DUNG

A Các quy tắc chung :

1 Cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về các lĩnh vực toán, lí,hóa

2 Yêu cầu về giải một bài toán

3 Các bước giải một bài toán

4 Phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng

B Nội dung:

1) Các kiến thức cơ bản cần chuẩn bị

Trước khi dạy loại toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cầncho học sinh tự ôn trước ở nhà những kiến thức cơ bản liên quan cụ thể các kiếnthức như:

1.1 Viết công thức thể hiện mối quan hệ giữa số bị chia a, số chia b,thương q và số dư r:

a = q.b + r1.2 Số a gấp m lần số b: a = mb

Vận tốc dòng nước là Vd

Vận tốc xuôi dòng là Vx

Vận tốc ngược dòng là Vn

Hãy lập công thức thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng trên;

Vx = Vc + Vd

Vn = Vc - Vd

Vx - Vd = Vn + Vd

1.9 Công thức tính khối lượng riêng của một chất: D  m v

1.10 Có m (gam) chất trong n (gam) dung dịch Tính nồng độ N% của

2) Yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

*Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.

Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho họcsinh hiểu đề bài toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức,phương pháp suy luận, kĩ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn, phải rèn chohọc sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điềukiện của ẩn xem nó có hợp lý không

*Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác.

Đó là trong quá trình thực hiện từng bước có logic chặt chẽ với nhau, có

cơ sở lí luận chặt chẽ Đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu tronggiả thiết xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làmnổi bật được ý phải tìm Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toánthiết lập được phương trình từ đó tìm được giá trị của ẩn Muốn vậy giáo viêncần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện? Có

thể thỏa mãn được điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định được ẩnkhông? Từ đó mà xác định được hướng đi, xây dựng được cách giải.

*Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.

Giáo viên hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào,không được thừa cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lời giảixem đã đầy đủ chưa, kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu thayđổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả luôn luôn đúng

*Yêu cầu 4: Lời giải phải đơn giản.

Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mangtính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của đa số học sinh

*Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học

Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải logic,chặt chẽ với nhau Các bước sau được suy ra từ các bước trước, nó đã được kiểmnghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều kiện đã biết trước

*Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ.

Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,phủ định lẫn nhau Kết quả phải chính xác, phù hợp Muốn vậy cần rèn cho họcsinh thói quen thử lại kết quả sau khi giải và tìm hết các nghiệm của bài toán,tránh bỏ sót

nghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai

3) Quy trình giải một bài toán

Giai đoạn 1: Phân tích đề

Trước hết cần đọc kĩ đề bài, hình dung ra vấn đề thực tế nêu ra trong đềbài sau đó ghi tóm tắt các số liệu liên quan đến các đối tượng, các quá trình, cácđại lượng dưới dạng kí hiệu hoặc vẽ hình, vẽ sơ đồ minh họa Xác định chođược bài toán thuộc dạng nào? Các đối tượng, quá trình, đại lượng có trong bàiliên hệ với nhau theo công thức nào đã biết? Viết các công thức dẫn xuất từ mộtcông thức cơ bản, thống nhất đơn vị đo, sau đó tiến hành ghi các số liệu đã biếtcủa các đại lượng vào bảng số liệu gồm các dòng và cột

Giai đoạn 2: Các bước giải

Bước 1: Lập phương trình (đây là bước quan trọng, quyết định cho việc

giải bài toán):

a Chọn Èn và đặt điều kiện thích hợp cho Èn

a.1 Sau khi đã phân tích hiểu rõ vấn đề nêu ra trong bài ta bắt đầu đi chọnÈn

Việc chọn ẩn rất quan trọng, nó quyết định đến việc lập phương trình vàphương trình lập ra đơn giản hay phức tạp Chọn ẩn là chọn một trong những đạilượng chưa biết làm ẩn và kí hiệu nó bằng một chữ cái Thông thường ta chọnchính đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm làm ẩn( còn gọi là chọn trực tiếp) Tuynhiên trong một số trường hợp việc chọn ẩn lại dẫn đến phương trình rất phứctạp vì vậy ta có thể chọn một đại lượng trung gian làm ẩn (còn gọi là chọn ẩngián tiếp) sẽ giúp cho việc lập phương trình dễ hơn và đôi khi sẽ có được nhữngphương trình gọn hơn, dễ giải hơn

Ví dụ: Xét bài toán:

Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m Tính chu vi củakhu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m2

Nếu gọi trực tiếp chu vi khu đất hình chữ nhật là x thì bài toán sẽ đi vào

bế tắc Vì vậy, giáo viên cần định hướng cho các em tư duy rộng hơn Muốn tínhchu vi hình chữ nhật cần biết những yếu tố nào? Từ đó học sinh phát hiện ra gọi

ẩn là một cạnh của hình chữ nhật thì mới giải quyết được bài toán

a.2 Sau khi chọn ẩn công việc tiếp theo cũng rất cần thiết đó là tìm điềukiện cho ẩn Đây là phần học sinh rất hay quên và lúng túng khi làm bài vì vậygiáo viên cần nêu cho học sinh những điều kiện chung nhất Ví dụ như:

+ Ẩn số biểu thị 1 chữ số thì điều kiện là nguyên và lớn hơn hoặc bằng 0,nhỏ hơn 10 Nếu là chữ số đứng đầu thì lớn hơn 0

+ Ẩn biểu thị cho số tuổi, số con, số người, số sản phẩm thì điều kiện lànguyên dương

+ Ẩn biểu thị cho vận tốc, quãng đường, thời gian, khối lượng công việc,năng suất, thì điều kiện là số dương

Ngoài ra trong một bài toán cụ thể ẩn có thể ràng buộc bởi điều kiện hẹphơn.

b Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Trước hết, cần xác định mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài (thường

là 3 đại lượng khác nhau liên hệ với nhau bởi một công thức toán học, vật lí, hóahọc ) hay mối quan hệ của cùng một đại lượng cho các đối tượng khác nhau(thường là bằng nhau, lớn hơn bao nhiêu, lớn hơn gấp mấy lần, tỉ số là baonhiêu, bằng mấy phần trăm Từ đó ta đi viết các đại lượng chưa biết dưới dạng 1bài toán đại số

c Lập phương trình

Trong một bài toán bao giờ giả thiết cũng cho ta nhiều mối liên hệ giữa cácđại lượng Ta sẽ chọn ra một mối liên hệ để lập phương trình còn những mốiliên hệ khác là dùng làm cho mục b Vì vậy khi chọn đại lượng để biểu diễn qua

ẩn và những đại lượng đã biết ta phải chú ý đến mối quan hệ giữa các đại lượng

mà ta chọn để lập phương trình

Chú ý đơn vị của cùng một đại lượng phải thống nhất

Bước 2: Giải phương trình

Để giải phương trình đã lập ở bước 1 ta cần chú ý quan sát phương trình ởdạng nào ta đã học để tìm hướng giải phù hợp

Bước 3: Kết luận

Cần đối chiếu kết quả tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điềukiện của ẩn đã đặt ra ở bước 1 Chọn giá trị phù hợp cần thử lại bằng cách thaycác giá trị bằng số của ẩn vào đề toán xem có hợp lí không Sau đó mới trả lờichung yêu cầu đặt ở đề của bài toán

Giai đoạn 3: Phân tích biện luận cách giải

Phần này thường để mở rộng cho học sinh khá giỏi Khi đã giải xong cóthể gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức đã cho thành bài toán khác bằng cách:

+ Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác trong bài

+ Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác

+ Thay kết luận thành giả thiết và lấy một đại lượng khác trong bài làm ẩn

+ Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạngtoán tương tự và cách giải tương tự đến khi gặp học sinh sẽ nhanh chóng tìm racách giải

Ví dụ minh họa: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương Phương tính

rằng 13 năm sau nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi Hỏi nămnay Phương bao nhiêu tuổi (Bài 40/31- Toán 8 tập 2)

Giai đoạn 1: Phân tích đề

Học sinh đọc đề hiểu được vấn đề thực tế ở đây là nói về mối tương quan

số tuổi của mẹ và con

* Tóm tắt:

Cho biết:

+ Năm nay: Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương

+ 13 năm sau: Tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương

Hỏi: Phương bao nhiêu tuổi

* Tiếp theo học sinh phải trả lời các câu hỏi:

+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia?

Trả lời: Hai đối tượng là mẹ và con

+ Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng đó?

Trả lời: Đại lượng tuổi

+ Các đại lượng của 2 đối tượng có mấy mối quan hệ và quan hệ với nhaunhư thế nào?

Trả lời: Có 2 mối quan hệ là năm nay và 13 năm sau

Năm nay: Tuổi mẹ = 3 tuổi Phương

13 năm sau: Tuổi mẹ = 2 tuổi Phương+ Những số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết

Giáo viên chú ý cho học sinh công thức:

Tuổi 13 năm sau = tuổi năm nay + 13

Giai đoạn 2: Các bước giải

Bước 1: Lập phương trình

a Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

a.1 Ở bài này có đại lượng chưa biết Ta gọi ẩn trực tiếp đó là tuổi củaPhương năm nay là x (tuổi)

a.2 Điều kiện của ẩn: x > 0; x nguyên

b Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết

Cần định hướng được ta sẽ sử dụng mối quan hệ : 13 năm sau tuổi mẹ = 2lần tuổi Phương để lập phương trình Vậy cần viết biểu thức biểu diễn tuổi mẹ

và tuổi phương 13 năm sau

+ Tuổi Phương 13 năm sau là: x + 13 (tuổi)

Để biểu diễn được tuổi mẹ 13 năm sau cần phải biết tuổi mẹ năm nay Ta

sử dụng mối quan hệ thứ nhất

+ Tuổi mẹ năm nay là : 3x (tuổi)

+ Tuổi mẹ 13 năm sau là : 3x + 13 (tuổi)

c Lập phương trình

Vì 13 năm sau tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình:

3x+13 = 2(x+13)Bước 2: Giải phương trình

Học sinh nhận xét đây là dạng phương trình bậc nhất một ẩn có thể đưa vềdạng ax + b = 0 Dạng này đã được học từ các bài trước

Giải phương trình được kết quả x = 13

Bước 3: x = 13 thỏa mãn điều kiện x nguyên, x >0

Học sinh tự thử lại ra nháp với tuổi Phương năm nay là 13 có phù hợp với

đề bài toán không sau đó trả lời:

Vậy năm nay Phương 13 tuổi

Giai đoạn 3:

+ Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ còn cách giải nào khácnữa không?

Cách khác: Chọn tuổi của mẹ năm nay là x (tuổi), x nguyên dương.

Bằng cách lập luận tương tự như trên ta có phương trình:

Việc giải phương trình này phức tạp hơn nên ta chọn cách 1.

+ Ngoài ra học sinh có thể tự thay đổi con số để tìm ra một đề bài mớitương tự

4 Phân dạng loại toán giải toán bằng cách lập phương trình

4.1 Các dạng thường gặp

+ Dạng toán chuyển động

+ Dạng toán liên quan đến số học

+ Dạng toán về năng suất lao động

+ Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

+ Dạng toán về tỉ lệ chia phần

+ Dạng toán có liên quan đến hình học

+ Dạng toán có liên quan đến vật lí, hóa học

4.2 Hướng dẫn giải các dạng toán

+ Nếu chuyển động trên sông thì cần chú ý đến mối quan hệ của các loạivận tốc

Ví dụ: Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ

A đến B Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 12 km/h nên đến trước ô tôthứ hai 42 phút Tính vận tốc mỗi xe

* Hướng dẫn phân tích đề

- Học sinh cần xác định được vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian

đi hết quãng đường cuả mỗi xe

- Căn cứ vào mối quan hệ vận tốc của mỗi xe để biểu diễn các đại lượng

- Căn cứ vào mối quan hệ thời gian của mỗi xe để lập phương trình

* Lời giải:

Đổi : 42 phút = 107 giờ

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h) - điều kiện: x>12

vận tốc của xe thứ hai là x-12 (km/h)

Thời giang đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là 270x (h)

Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ hai là 27012

0 32400 84

7

) 12 ( 7 ) 12 ( 2700 2700

x x x

x

x1 =74,3 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)

x2 = -62,3 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 74,3 km/h

vận tốc của xe thứ hai là 74,3 -12 = 62,3 km/h

b Dạng toán liên quan đến số học

- Với dạng toán này cần lưu ý cho học sinh cách chọn ẩn Có bài gọi trựctiếp nhưng có bài phải gọi gián tiếp

+ Nếu bài liên quan đến chữ số trong các số thì cần cho học sinh hiểu đượcmối quan hệ giữa các số hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị