hướng dẫn học sinh tiếp cận cách khai thác các ứng dụng từ một bài toán

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN CÁCH KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG TỪ MỘT BÀI TOÁN - 1 - I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Học sinh thường có cách học giải toán chứ không lưu ý đến phương pháp giải do đó chóng quên, thường giải bài nào biết bài đó nên nếu như đề bị biến tấu thì không nhận ra. Do đó đáp ứng đổi mới phương pháp dạy họccũng nên đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi xin mở rộng bài toán cụ thể bài 71 trang 14 (sách bài tập toán 9 tập 1). Tôi thấy bài tập này có nhiều ứng dụng, tôi xin đưa ra một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn , vận dụng tốt hơn vào giải bài toán khác. II. NỘI DUNG : Nội dung gồm 3 phần chính: A.Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán. B.khai thác các ứng dụng bài 71 trong chứng minh bất đẳng thức. C. Khai thác các ứng dưng bài 71 trong giải phương trình. Bài 71 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng nn nn ++ =−+ 1 1 1 với n là số tự nhiên. Chứng minh : ( nnnn ++−+ 1)(1 ) 11 =−+= nn ⇔ nn nn ++ =−+ 1 1 1 Phát biểu cách khác : 1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì ( )1 nn −+ và nn ++1( ) là hai số nghịch đảo. - 2 - 2 . nn nn ++= −+ 1 1 1 (với n là số tự nhiên) A. KHAI THÁC ỨNG DỤNG BÀI 71 TRONG TÍNH TOÁN . Bài 1 : Tính a. 99100 1 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + b. 1 1 34 1 23 1 12 1 −+ ++ + + + + + nn với n ≥ 1 Giải : a. 99100 1 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + = 9110099100 342312 =−=−++−+−+− b. 1 1 34 1 23 1 12 1 −+ ++ + + + + + nn với n ≥ 1 = 11 342312 −=−−++−+−+− nnn Bài 2 : Tính a. A = 200620005 1 43 1 32 1 21 1 − ++ − + − − − b. B = 122 1 43 1 32 1 21 1 +− −+ − + − − − kk Định hướng : 21 1 21 + − =− hay 1 1 1 ++ − =+− nn nn Giải : a. A = 200620005 1 43 1 32 1 21 1 − ++ − + − − − - 3 - = )20062005( )43()32()21( +−++−+++− = 20062005 433221 −−+−−++−− = )20061( +− b. B = 122 1 43 1 32 1 21 1 +− −+ − + − − − kk B = )122( )43()32()21( +++++−+++− kk = 122 433221 ++++−−++−− kk = )112( −+k ở Bài 71, thay 1 = x ∈ N ta có bài toán 3 Bài 3 Chứng minh: Với x>0,n 0≥ Ta có: nxn x nxn ++ =−+ Bài4: Tính a. C = 1316 3 710 3 47 3 14 3 + ++ + + + + + b. D = 1212 1 57 1 45 1 13 1 −++ ++ + + + + + kk Với k là số tự nhiên ≥ 1 Giải a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. ( 4 ) 2 - 2 1 = 3 , ở đây x = 3 Ta có: - 4 - C = + + 14 3 + + 47 3 + + 710 3 … + 1316 3 + = 1316 7104714 −++−+−+− = 314116 =−=− b. áp dụng bài3vào bài bài 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ở đây x = 2 Do đó ta đưa về dạng bài toán 4a như thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế ) 2D = 2 2 2 2 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k + + + + + + + + + − 2D = 1212 573513 −−+++−+−+− kk 2D = ⇒−+ 112k D = 2 112 −+k Bài 5 : Tính a. E = 25242425 1 3223 1 2112 1 + ++ + + + Định hướng : nnnn )1(1 1 +++ = ? nnnn )1(1 1 +++ = 1 1 +nn . 1 1n n+ + = 1. 1 + −+ nn nn = 1 11 + − nn E = 25 1 24 1 3 1 2 1 2 1 1 1 −++−+− = 1- 5 4 5 1 1 25 1 =−= - 5 - 3 3 3 . 5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006 b P = + + + + + + Ta có 3 5 2 2 5+ 3(5 2 2 5) (5 2 2 5)(5 2 2 5) − = + − 3(5 2 2 5) 30 − = = 5 2 2 5 10 − = 5 2 2 5 10 10 − = 1 1 2 5 − 1 1 1 1 1 1 2 5 5 8 2003 2006 1 1 2 2006 P P = − + − + + − = − B. KHAI THÁC PHẠM VI ỨNG DỤNG BÀI TẬP 71 TRONG VIỆC SO SÁNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài 6 : Không dùng máy tính hãy so sánh A = 20062007 − và B = 20052006 − Giải : Áp dụng bài 71 A = 20062007 1 + B = 20052006 1 + ⇒ A < B do 20052007 > ⇒ 2007 2006 2006 2005− < − Bài 7 : Tổng quát từ bài 6 ta có : - 6 - 11 −−<−+ nnnn với n ≥ 1 áp dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh. Bài 8 : Thay 1 = x ở bài 7 ta có : Với n x≥ >1 A = nxn −+ B = xnn −− ta có : A < B từ bài toán 6 ta có bài toán sau: Bài 9 : So sánh C và D C = mpm −+ D = npn −+ Với m > n > 0 ,p > 0 Ta có C = mpm p ++ D = npn p ++ Vì m > n ⇒ C < D *Úng dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức Bài 10 : Chứng minh a. nnn 211 <−++ (Với n ≥ 1) b. nxnxn 2<−++ (với n> x ≥ 0) - 7 - Chứng minh a. nnn 211 <−++ 11 −−<−+⇔ nnnn Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7 b. nxnxn 2<−++ xnnnxn −−<−+⇔ Đã chứng minh ở bài 8 Bài 11 : Chứng minh : 122222 +<++ mmm với m ≥ -1 Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta được : 122222 +<++ mmm Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ 1,099101 >− Giải 99101 2 99101 + =− Vì 0 < 100299101 <+ ( Suy ra từ bài 10a ) ⇔ 1,099100 1002 2 99101 2 >−⇔> + Bài13 : a. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* nn n −+< + 1 12 1 b. Chứng minh: )1(2 1 )1(2 −−<<−+ nn n nn - 8 - Giải a. nn n −+< + 1 12 1 ⇔ nnn ++ < + 1 1 12 1 ( Áp dụng bài 71 trang 14 ) ⇔ 2 1+n > 1+n + n (hiển nhiên đúng ) b. )1(2 1 )1(2 −−<<−+ nn n nn * Chứng minh : 2 ( 1+n - n ) < n 1 ⇔ 0 < nn ++1 1 < n2 1 ⇔ 1+n + n > 2 n ⇔ 1+n > n Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng * Chứng minh n 1 2( 1)n n< − − ⇔ 0 < n2 1 < 1 1 −+ nn ⇔ 2 n > n + 1−n ⇔ n > 1−n Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng - 9 - ⇒ Bất đẳng thức đã cho được chứng minh Bài 14 : Cho S = 1+ +++ 4 1 3 1 2 1 … + 100 1 Chứng minh 18 < S < 19 Chứng minh Áp dụng bài 13b ta có : )1(2 1 )1(2 −−<<−+ nn n nn Thay n = 2,3,4, 100 ta có: 2 ( 23 − ) < 2 1 < 2 ( 12 − ) 2 ( 34 − ) < 3 1 < 2 ( 23 − ) 2 ( 5 4) 2( 4 3)− < − ………………………. 2( 99100(2 100 1 )100101 −<<− ) Cộng vế với vế ta có 1 + 2 ( 100101 3423 −++−+− )< S < 1 + 2( 12 − + 23 − + 34 − + 99100 − ) ⇔ 1+2 ( 100 2− ) < S < 1+2 ( 1100 − ) ⇔ 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1) Vậy ta có : 18 < S < 19 - 10 - [...]... 2006 - 15 - Bài2 :Chứng minh S = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +… + 1 không phải là số tự nhiên 40000 Bài 3:Giải phương trình: 1 1 1 1 − + − = 2 với x ≥ -1 x +1 − x + 3 x+3 − x+5 x+5 − x+7 x+7 − x+9 III KẾT LUẬN : Kinh nghiệm trên tôi đã từng áp dụng trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi và có hiệu quả cao.Qua đây học sinh được rèn luyên khả năng tư,khả năng khái quát hoá, rèn luyện tính sáng tạo trong học toán Đặc biệt... bài này như sau : Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên Cách 2: Tìm phần nguyên của S Bài1 5: So sánh A và B A = 2 ( 2 + 4 + + 2006 ) + 2008 ; B = 2 ( 1 + 3 + + 2007 ) Áp dụng bài 11 2m + 2m + 2 < 2 2m + 1 với m ≥ -1 Cho m = 0 , 1, 2 , …,1003 ta có: 0+ 2 . HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN CÁCH KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG TỪ MỘT BÀI TOÁN - 1 - I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Học sinh thường có cách học giải toán chứ không lưu ý đến phương. chính: A .Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán. B .khai thác các ứng dụng bài 71 trong chứng minh bất đẳng thức. C. Khai thác các ứng dưng bài 71 trong giải phương trình. Bài 71 trang 14 (Sách bài. thể bài 71 trang 14 (sách bài tập toán 9 tập 1). Tôi thấy bài tập này có nhiều ứng dụng, tôi xin đưa ra một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn , vận dụng tốt hơn vào giải bài toán