SKKN NHI THỨC NEWTON và ỨNG DỤNG

Phần I: lý do chọn đề tài 1.Cơ sở lý luận: Nhị thức Niu tơn là một phần kiến thức cơ bản trong chơng trình giải tích lớp 12. Nhị thức Niutơn có nhiều ứng dụng trong các dạng toán để ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi. Và các dạng toán ứng dụng của Nhị thức Niutơn thờng là các dạng toán khó và hay có trong các câu và của đề thi tuyển sinh đại học. Học sinh học các dạng toán này thờng thì không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán. 2.Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có đợc trong quá trình dạy học, dạy học sinh ôn thi tuyển sinh vào đại học, ôn thi học sinh giỏi, tôi tổng kết đợc những dạng toán cơ bản của Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn. 3.Mục đích nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu đề tài Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi. 4.Phơng pháp nghiên cứu đề tài: -Nêu kiến thức cơ bản của nhị thức Niutơn -Phân dung bài tập cơ bản. -Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ. -Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải của từng dạng. -Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hớng dẫn và bài tập tự luyện. 4-Nội dung cơ bản của đề tài: Phần 1: Các kiến thức cơ bản của Nhị thức Niu tơn Phần 2: Các dạng bài tập liên quan (áp dụng) Dạng 1 Viết khai triển nhị thức Niutơn. Sử dụng khai triển đó tính tổng. Dạng 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển. +Phơng pháp chung 1 +Bài tập áp dụng +Bài tập tự giải Dạng 3: Tính tổng có chứa k n C . Chứng minh đẳng thức có chứa k n C . +Nêu ví dụ +Sau ví dụ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải. +Bài tập tự luyện tập. 5-Định hớng nghiên cứu đề tài: Từ các dạng bài toán cơ bản của nhị thức Niutơn và các ứng dụng có thể mở rộng hơn các dạng bài tập áp dụng của nhị thức Niutơn với các dạng bài tập khcs với mức độ khó và sâu hơn nhất là các dạng toán tính tổng, chứng minh đẳng thức k n C sử dụng đạo hàm và tích phân hay giải phơng trình, bất phơng trình 2 Nhị thức newton và ứng dụng I Nhị thức newton 1 Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có: (a + b) n = c o n a n + c 1 n a n 1 b + c 2 n c 1 n 2 b 2 + + c n n-1 ab n 1 + c n n b n (*) kkn n nk k n baC = = 2 Các nhận xét về công thức khai triển: + Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. + Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n. + Các hệ số của khai triển lần lợt là: C 0 n; C 1 n ; C 2 n ; C n-1 n ; C n n ; Với chú ý: C k n = C n n k 0 < k < n. 3 Một số dạng đặc biệt: + Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc (1 + x) n = C 0 n + C 1 n x + C 2 n x 2 + + C n-1 n x n-1 + C n n x n + Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta đợc (2) (1 - x) n = C 0 n - C 2 n x+ C 2 n x 2 + (-1) k C k n x k + + (-1) n C n n x n (3) 4 Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức + Thay x = 1 vào (2) ta đợc C 0 n + C 1 n x + C 2 n + + C n n = 2 n + Thay x = -1 vào (3) ta đợc: C 0 n - C 1 n x + C 2 n - + (-1) n C n n = 0 A - áp dụng I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó: Bài 1: Thực hiện khai triển: (3x 4) 5 3 1 1 + = k n k n C k kn C CT: Ta có (3x 4) 5 kk k k xC )4.()3( 5 5 0 5 = = = 3 5 . C 0 5 . x 5 + 4.3 4 C 1 5 x 4 + + 4 5 C 5 5 Trong khai triển đó + Có 6 số hạng. + Các hệ số có tính đối xứng nhau + Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số C 0 5 = 1 C 1 5 = 5 C 2 5 = 10 Vậy (3x 4) 5 = 243x 5 1620 x 4 + 4320 x 3 5760 x 2 + 3840 x 1024 Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a: S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + + C 6 6 b: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 C 2 5 + +2 5 C 5 5 c: S 3 = 3 17 . C 0 17 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 4 3 .3 14 . C 3 7 + -4 17 .C 17 17 d: S 4 = C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 e: 0 1 2001 2002 2001 20022002 2000 2001 1 2002 2001 2002 0 20024 CCCCCCCCS k k k +++++= Giải:a ta có S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + + C 6 6 = (1 + 1) 6 = 2 6 = 64 b:Ta có (1 + x) 5 k k k xC = = 5 0 5 (1) Thay x = 2 vào (1) ta đợc: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 . C 2 5 + +2 5 C 5 5 = 3 5 = 243 c:Ta có: S 3 = 3 17 . C 0 17 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 4 3 .3 14 . C 3 7 + -4 17 .C 17 17 = C 0 17 .3 17 + C117.3 16 (-4) 1 + C 2 17 3 15 (-4) 2 + C 3 17 3 14 (-4) + + C 17 17 (-14) 17 = (3 4) 17 = (3 4) 17 = -1 d: Ta có (1 + 1) 11 = C 0 11 + C 1 11 + C 2 11 + + C 6 11 + C 2 11 + + C 11 11 Mặt khác C k 11 = C 11 11-k với k (0,1,2, 11) Do vậy: (1 + 1) 11 = 2 (C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 ) = 2S 4 S 4 = 2 10 4 e: Ta có k k k k C kk k k kk CC 2001 2001 20022002 2002 )!2001(! !2002!2002 )!2001( )!2002( . )!2002(! !2002 = = = Từ đó: S 5 = 2002 ( 20012001 2001 1 2001 0 2001 )11(2002) +=+++ CCC Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho: C o n + 2 C 1 n + 4 C 2 n + + 2 n C n n = 243 (1) Giải: Ta có C o n + 2 C 1 n + 2 C 2 n + + 2 n C n n = (1 + 2) n = 3 n Vậy (1) 3 n = 243 = 3 5 n = 5 Bài tập tơng tự Bài 4: Viết khai triển (3x 1) 16 và chứng minh rằng 3 16 . C o 16 3 15 C 1 16 + + C 16 16 = 2 16 . Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau: a: S 1 = 2 n C 0 n + 2 n-2 C 2 n + 2 n-4 C 4 n + + C n n b: S 2 = 2 n-1 C 1 n + 2 n-3 C 3 n + 2 n-5 C 5 n + +C n n c: S 3 = C 6 10 C 7 10 + C 8 10 + C 9 10 + C 10 10 Bài 6: Tính tổng S = 2000 2000 2 2000 1 2000 0 2000 2001 3. CCCC ++++ II. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần l- u ý: 1 Ta có: (a + b) n = Do đó hệ số của số hạng thứ i là C i n , và số hạng thứ i: C i n a n-i b i 2 Ta có Do đó: Hệ số x k trong khai triển trên là C i n với i là nghiệm của phơng trình ( n i) + i = k Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x. Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức. Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là: 5 iin n n i baC = 1 0 = + = ==+ n i ini n i in n i i n n xCxxCbx 0 )( 0 )()()( ( ) = =+= + n i ni n n xxCxx x x xx 0 3/212/53/22/52 )()( Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết. C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 Giải: + Xét PT: C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 (1) Ta có PT (1) (do n N) Khi đó: Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển. T/m Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C 5 12 Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho. Giải: Ta có: Ta có ba hàng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là: c 0 n ; c 1 n 2 -1 ; c 2 n 2 -2 ; Ba hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng C 0 n + C 2 n 2 -2 = 2C 1 n 2 -1 a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ b) n = 8 ta đợc: 6 9 072 72)1(36 )2(!2 ! 36 2 2 = = == = n nn nn n n C n 2/763/232/56 9 84)()( xxxC = ( ) n xxx 15/283 + 12 015679 2 )1( 1 2 = =+= ++ n nn nn n = =+ 12 0 5/28123/41215/28 3 )()() k kkk n xxCxxx 15 28 3 )12(4 12 0 12 kk C k k = = 50 15 28 3 )12(4 == k kk n x x ) 2 1 ( 4 + nknk n n k nn xxCxx x x )2()()2() 2 1 ( 4/112/1 0 4/112/1 4 = =+=+ 4 32 0 2 kn k n k x = = = 089 8 )1( 1 2 =+= + nnn nn = = 8 1 n n 4 316 8 8 0 8 4 2 1 k kk k xcc x x = = + + 4 2 1 x x Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8 Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C o 8 2 0 x 4 = x 4 k = 4 hạng tử hữu tỷ: C 4 8 2 -4 Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x) n CT: Ta có (1 + x) n = - Các hệ số trong khai triển là: C o n ; C 1 n ; C n n. Ta có n, k nguyên, không âm và k < n ta có: & Ta có: Tức là: C k n tăng khi k tăng và C k n giảm khi k giảm và Vậy n lẻ thì C k n đạt giá trị lớn nhất tại Với n lẻ thì C k n đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2 Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b) n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096 CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b) n bằng: C o n + C 1 n + C 2 n + + C n n = 2 n = 4096 n = 12 Ta đi tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: C o 12 ; C 1 12 ; , C 12 12 Thực hiện so sánh C k 12 và C 12 k-1 bằng cách xét; (1) 7 16 3k = 4i; i N 0 < k < 8 = = 4 0 k k xx 8 35 = kk n n k xC =0 )!(! ! knk n C k n = 1)1()!1( ! 1 + = knk n C k n 2 1 11 1 1 1 1 + <> = >< n k k n C C CC k n k n k n k n 2 1 11 1 1 1 1 + >< = <> n k k n C C CC k n k n k n k n 2 1+ < n k 2 1+ > n k 2 1+ = n k 1 1313 )!13()!1( !12 )!12(! !12 1 12 12 = = = kk k kk kk C C k k Từ (1) suy ra Vậy C k 12 đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C 6 n = 924 Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển. Giải: Ta có gọi t k là số hạng thứ k + 1 trong khai triển. Ta có = = 8 0K Xét (1) Từ (1) suy ra: t k 1 < t k t k 1 > t k Tức là: Khi k chạy từ 0 dến 8 thì: t k tăng khi k tăng và k < 6 t k giảm khi k tăng và k > 6 Vậy t k đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng Ví dụ 7: Khai triển đa thức . P x = ( 1 + 2x) 12 Thành dạng P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 20 x 10 Max (a 1 a 2 a 12 ) Giải: Ta có (1 + 2x) 12 = Suy ra : a k = C k 12 2 k với k = 1,12 8 2 13 1 1 12 12 12 1 12 <>< k C C CC k k kk 2 13 11 2 13 1 1 12 12 12 1 12 ><<<> kk C C CC k k kk 8 3 2 3 1 + 8 3 2 3 1 + k k C C t t kk k kk k k k )9(2 3 2 3 1 3 2 3 1 19 1 8 8 8 1 = = 61 )9(2 1 1 <> > k k k t t k k 61 )9(2 1 1 << < k k k t t k k 2187 1792 3 2 3 1 62 6 8 = C kkk k kk k xCxC 2)2( 12 12 0 12 12 0 == = hk k C 3 2 3 1 8 8 Xét (1) Từ (1), suy ra: a k + 1 < a k a k + 1 > a k Vậy a k đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C 8 12 . 8 8 = 126720 VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất Giải: Ta có Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào (x+2) n . Xét khai triển (x+2) n = Hạng tử thứ 9 có h.s là C 8 n 2 8 lớn nhất trong các hệ số VD9: Cho khai triển 1 Biết tổng hai hệ số đầu và hai lần hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển nhị thức trên. 2 Biết hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất. Tìm n. Giải: Ta có Theo gt (thoả mãn) hoặc n = -26,75 (l) 9 )12(2 1 )!11(!)1( !122 )!12(! !12 2 2 11 12 1 k k kk kk C C a a kk n kk k k + = + == ++ + 3 23 1 )12(2 1 1 1 >> + > + k k k a a k k 3 23 1 )12(2 1 1 1 << + < + k k k a a k k nn x n x )2( 5 1 ) 5 2 5 ( +=+ n5 1 knkk n n k xC = 2 0 12 2 25 11 2 1 2 2 1 2 22 22 78 98 7 8 9 8 7788 9988 = > > > > > > nn CC CC C C C C CC CC nn nn n n n n nn nn n x) 3 2 2 1 ( + n 2 1285 27 0115564161285 9 )1(16 3 4 1 2 1285 9 4 2 1 2 3 2 2 1 2 1 ) 3 9 ( 9 4 2 1 3 2 2 1 2 1 ) 3 2 2 1 ( 2 2 2 1 10 2 2 2 1 10 = === ++ =+++ +++++=+ n nn nn CCC xCxCxCCx nn n n n n n nnn n n n n n n n n kkkk k xCx ) 3 2 () 2 1 () 3 2 2 1 ( 27 27 27 0 27 = =+ n x ) 5 2 5 ( + Vậy n = 7 ta có khai triển : HST9: Lập tỉ số: Do đó (a k ) tăng khi 0 < k < 15 => (a k ) max = a 15 Do đó (a k ) giảm khi 16 < k < 27 => (a k ) max = a 16 Mà Nên (a k ) max = a 15 = C 27 2 3 . 3 -15 . 2) Kết quả: n {17, 18, 19 }làm tơng tự VD8 VD10: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khi khai triển. Giải: ta có Để hạng tử là số nguyên thì Vậy các hạng tử là số nguyên là C 3 19 3 8 2; C 9 19 3 5 2 3 ; C 15 19 3 2 2 5 VD11: Biết rằng trong khai triển (x - ) n = C 0 n x 4 C 1 n x n-1 + C 2 n x n-2 Hệ số của hạng tử thứ ba - (1) n C n n ( ) n Trong KT trên là : C 2 n = 5 n 2 n 90 = 0 n = 10 hoặc n = -9 (loại) Khi n = 10 thì khai triển (x - ) 10 sẽ có 11 số hạng. Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 đó là: III Tính các tổng C k n và cmđt chứa C k n 10 )270(32) 3 2 () 2 1 ( 272 27 27 27 == kCCa kkkkkk k 1501 1 27 5 4 32 3.2 . 272 27 )1(27)1(2 1 27 1 + == ++ + k k k C C a a kkk kk k k k 1516 15 16 1 16 1517 4 3 aa a a ==>= = n x ) 5 2 5 ( + 3 2 19 19 19 0 3 19 19 19 0 19 3 23)2()3()23( kk k k kkk k CC = = ==+ == == == = 155 95 31 2 319 60 1930 2 319 190 , 2 19 3 190 , 3 2 19 190 km km km Nk N m m m N k k Nkm N k mk k Nkm N k N k k Nk 3 1 3 1 9 1 3 1 9 1 90)1(45 )!2(!2 ! == nn n n 3 1 5355 10 27 28 ) 3 1 ( xxC = [...]... 1 x (1 x 2 ) n dx = = 1 0 So sánh (1) và (2) => điều phải chứng minh Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng: 0 1 4 2n 1 3 5 C 2 n + C 2 n + C 2 n + + C 2 n = C 2 n + C 2 n + C 2 n + + C 22nn1 Bài 2: Chứng minh rằng: 0 1 n n (C n ) 2 + (C 2 n ) 2 + + (Cn ) 2 = C2 n Bài 3: Chứng minh: 0 1 2 1 (C n ) 2 + (C2 n ) 2 + (C2 n ) 2 + (C22nn ) 2 = (1) n C 2 n Bài 4: Chứng minh rằng: (-1)n C0n + (-1)n-1 2C1n +... Bài 5: Chứng minh rằng: C02n + C12n + C42n + + (C22nn ) 2 = 22n-1 Bài 6: chứng minh rằng: 1 0 1 1 (1) n n 1 Cn Cn + + Cn = 2 4 2n + 2 2(n + 1) Bài 7: Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 n+1 1 C n C n + + C nn = 3 6 3n + 3 3(n + 1) Bài 8: Chứng minh rằng với các số k, nN và 5 < k < n ta có 1 k k k C n + 5 = C 50 C n + C C nk 1 + + C 55 C n 1 5 20 Bài 9: Tính tích phân 1 I = x(1 x 2 ) n dx 0 Chứng minh... = 2 vào (2) ta đợc; 3n = Con C1n 2 + 22 C2n + + 2n Cnn (**) Từ (*) và (**) đpcm (2) với mọi x và n là số nguyên dơng ta có: (1 + x)n = Con + C1nx + C2n x2+ + Cnn-1 xn-1 + Cnn xn (1) Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo biến x ta đợc: n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2n x + + (n-1) Cnn-1 xn-2 + n Cnn xn-1 (2) Thay x = 2 vào (2) ta đợc n 3n-1 = C1n + 4 C2n + + ( n- 1) Cnn-1 xn-2 + n Cnn xn-1 (3) Với mọi x và n... hãy chứng minh 14 (1) 4n Con 4n-1 C1n + 4 n-2 C2n + + (-1)n Cnn = Con + 2 C1n + + n 2n-1 Cnn + + 2n Cnn (2) C1n + 4 C2n + + n.2n-1 Cnn = n 4n-1 Con (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 C2n + + (-1)n-1 Cnn-1 Giải (1) với mọi x và n là số nguyên dơng ta có (4 x)n = Con + 4n C1n 4n-1 x + 4n-2 C2n x2 + + (-1)n Cnn xn (1) Thay x = 1 và (1) 3n = Con 4n- C1n 4n-1 + C2n 4n-2 + + (-1)n Cnn (*) Với mọi x và n... (x 1)n-1 = n Con xn-1 - (n-1)C0n xn-2 + + (-1)n-1 Cnn-1 (5) Thay x = 4 vào (5) ta đợc n 3n-1 = n 4n-1 Con (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 (C2n + + (-1)n-1 Cnn-1 (6) Từ (3) và (6) => điều phải chứng minh 15 Chú ý; Nh vậy để tính tổng có dạng = n kC k = 0 k n hoặc = n k (k 1)C k = 0 k n Ta lấy đạo hàm một hoặc hai lần của nhị thức Niu tơn Bài tập luyện tập: Tính các tổng sau: 2005 1) S1 = 2006 32005... x và n là số nguyên dơng ta có: n k (1 + ) n = x Cn xk (1) k= 0 Lấy tích phân theo x hai vế của (1) Ta đợc 1 0 1 (1 + ) n dx = x 0 1 (1 + ) n + x n+ 1 1 n C k= 0 n C 0 k= 0 k n xk 1 xk + k + 10 1 k n n+ 1 1 k n (1 + ) x 1 t k +Cn = k + n+ 1 1 k= 0 (2) + Thay t = 1 và (2) ta đợc 1 k n 2n+ 1 Cn = + 1+ n 1 k= k 0 2 3 1 3n + 1 n Cn = n+ 1 n+ 1 0 1 2 Hay 2C n +2 C n +2 C n + +2 2 Thay t = -1 vào... k n 0 1 1 1 2 (1) n +1 n 0 = 2C n 2 2 C n + 2 3 C n + + 2 Cn 2 3 n +1 k (3) Từ (2) và (3) ta có đẳng thức: [ 1 1 (1) k n+1 n 1 3 1 2 = 2C 2 C n + 2 C n + + 2 Cn = 1 + (1) n 2 3 n +1 n +1 0 n 2 ] Chú ý: Để tính tổng dạng = n k = 0 k Cn k +1 n hoặc k = 0 k Cn ( k + 1)(k + 2) Ta lấy tích phân 1 hoặc 2 lần của nhị thức Niu tơn Ví dụ 7: CM 0 Cn 1 C n C n2 (1) n C nn 2.4 2n + + = 3 5 2n + 1 3.5 (2n... + C nn x n+1 + + C n +1 n n 1 0 xn 1 0 Vậy Từ (1) và (2) => điều phải chứng minh 1 I = x(1 x 2 ) n dx 0 19 VD 10: 1 - Tính tích phân n 2 CM1 C 0 1 C 1 + 1 C 2 + + (1) C n = n n n n 1 21 4 6 2(n + 1) 1 1 2n + 2 2 n 2 n 2 1- Ta có: I = 0 x(1 x ) dx = 0 (1 x ) d (1 x ) 2 1 (1 2 2 ) n +1 1 1 = 0 = 2(n + 1) (1) 2 n +1 2 Theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có 0 1 2 2 n (1 + x) n = C n + C n x... nk nk x k 1 + Lấy đ/h 2 vế của (1) theo biến x n Ta đợc n( + x)n-1 = kC nk nk x k 1 (1) k =0 (2) k =0 12 Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả VD3: CMR 2n-1 C1n + 2n-1 C2n + 3.2n-3 C3n + 4 2n-4 C4n + + n Cnn = n 3n-1 (làm tơng tự VD2 với = 1 2 VD4: 1 Chứng minh các hệ thức sau: Con + 2 C1n + 3 C2n + + (n + 1) Cnn = (n + 2) 2n-1 2) Tính tổng : S = 2 1 C1n + 3 2 C2n + + n (n 1) Cnn-1 + (n +... n-1 1 n-1 = n ( ) = n (1 + ) 3 3 1 Thay x = vào (2) ta đợc đpcm 3 n2 + 3n-1 n Cnn k-1 Cách 2: Để ý : n 4n-1 = n (3+ 1)n-1 n Xét khai triển (3 + x) n = C nk 3nk x k (1) k =0 + Lấy đ/h 2 vế của (1) theo biến x ta đuợc n k (3 + x) n1 = kC n 3n k x k 1 k =0 (2) + Thay x = 1 vào (2) ta đợc n(3 + 1)n-1 = C1n 3n-1 + 2 C2n 3n-2 + + n Cnn 3n-1 điều phải chứng minh * Chú ý: Tính tổng có dạng S3 = C1n . đẳng thức k n C sử dụng đạo hàm và tích phân hay giải phơng trình, bất phơng trình 2 Nhị thức newton và ứng dụng I Nhị thức newton 1 Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, -b và mọi. của nhị thức Niutơn và các ứng dụng có thể mở rộng hơn các dạng bài tập áp dụng của nhị thức Niutơn với các dạng bài tập khcs với mức độ khó và sâu hơn nhất là các dạng toán tính tổng, chứng minh. dụng của Nhị thức Niutơn. 3.Mục đích nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu đề tài Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế