Nhị thức Newton và ứng dụng

Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 2 2 NH À A. LÝ THUY 1. CÔNG TH Cho 2 s ,a b và s n thì: 0 1 1 0 0 1 1 0 . 1 . 1 n n k n k n n n n n n n n n k n n k n k n k n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C b a b C a b C a C a b C b 2. Tính Ch a. S à 1n b. T a và b trong m c th n n k n c. S à: 1 k n k k k n T C a b ( 1k trong khai tri n a b ) d. Các h ì b e. 1 0 2 . n n n n n n C C C f. 0 1 0 . 1 n n n n n C C C g. Tam giác Pascal: 0 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n 1 1 1 1 1 m m k k m k n k C C n k C . V 1 1 m m m k k k C C C 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 1 #0 2 3 3 . a b a b a b a b a b a ab b a b a a b ab b www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 3 3 3. M ay s 0 1 0 0 1 0 2 1 1 . 0 1 1 1 . 1 n n n k n n n n n k n n k n k n n n n n k C C C C C C C C 0 1 1 0 0 1 . n n k n k n n n n n n k x C x C C x C x 0 0 1 1 0 1 1 . 1 n n k n k n k n n n n n n k x C x C x C x C x 0 1 1 0 0 1 1 . 1 n n k n k n k n n n n n n k x C x C C x C x 4. D 1. Khi c à có 1 n i n i C v i là các s nhiên liên ti 2. Trong bi 1 1 n i n i i i C thì ta dùng àm i Trong bi 1 n i n i i k C thì ta nhân hai v k x , r àm. Trong bi 1 n k i n i a C thì ta ch x a thích h Trong bi 1 1 1 n i n i C i thì ta l ên ;a b thích h N bài toán cho khai tri 1 1 n n n n i i a n i ib a b i a b i n n i i x x C x x C x thì h m x là i n C ình .a n i bi m có nghi i i n C MAX khi 1 2 n k hay 1 2 n k v n l 2 n k v n ch Vi ày s ên – B. CÁC BÀI TOÁN V 1. Bài toán tìm h www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 4 4 Ví d 1.1: (D(H Th Khai tri à rút g 9 10 14 1 1 . 1Q x x x x a th 14 0 1 14 .Q x a a x a x 9 a . Gi H 9 x 9 10 14 1 1 . 1x x x l à: 9 5 9 9 10 14 , , .,C C C 9 9 9 9 9 10 14 .a C C C 1 1 1 1 1 10 10.11 10.11.12 .10.11.12.13 10.11.12.13.14 2 6 24 20 11 55 220 715 2002 3003 Ví d - 2000) Gi ình: 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x Gi x là s 3x Ta có: b ình 2 1 2 6 2 1 1 10 2 3! 2 2 1 1 2 1 10 3 12 4 x x x x x x x x x x x x x x x Vì x 3x nên 3.4x Ví d 1.3: Tìm h 16 x trong khai tri 10 2 2x x Gi Ta có: 10 10 10 0 10 2 2 22 k k k k x x xC x 10 10 20 2 20 10 10 0 0 2 2 k k k k k k k k k C x x C x Ta ch 20 16 4k k H 16 x trong khai tri à: 4 10 3360C Ví d 1.4: Tìm h 1008 x trong khai tri 2009 2 3 1 x x Gi S 1k trong khai tri 2009 2 4018 5 1 2009 2009 3 1 k k k k k k T C x C x x www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 5 5 Ta ch 4018 5 1008 602k k H 1008 x trong khai tri là 602 2009 C Ví d 1.5 Tìm h c 8 x trong khai tri 8 2 1 1x x Gi Cách 1: Ta có 8 8 2 2 8 8 0 0 0 1 1 k k i k k k i i k k k i f x C x x C x C x . V 8 x là 8 1 i k i k C C th 0 0 8 4 2 8 2 , 3 i i k k k i i i k N k H 8 x là: 2 4 0 3 2 4 3 0 8 8 231 81C C C C Cách 2: Ta có: 3 4 8 3 2 4 2 80 8 8 8 8 2 . 1 .1 1f x C C x x C x x C x x Nh 8 x ch các s : S h : 2 8 3 3 1C x x S 2 8 4 4 1C x x V 3 2 4 0 8 8 3 8 4 238A C C C C Ví d 3 x trong khai tri àm s 10 2 1 2 3P x x x theo l x Gi Ta có: 10 10 2 1 2 3 1 2 3P x x x x x 2 3 10 0 1 2 2 3 3 10 10 10 10 10 10 10 2 3 2 3 2 3 . 2 3C C x x C x x C x x C x x Nh 3 x ch 2 2 10 10 10 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 10 4 4 122 3 2 3 9 2 3x x xC x xx C xC x x C H 3 x trong khai tri P x là: 2 3 10 10 12 .8 540 960 1500C C Ví d 1.7: Tìm h 16 x trong khai tri 16 2 2 1 1f x x x Gi www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 6 6 Xét khai tri 16 2 2 2 16 1 0 1 n k k i i k f x C C x x 16 16 2 2 2 16 16 0 0 0 0 1 1 1 k k k i i k i k k i i k i k k k i k i C x C x C C x V 16 x là 1 16 1 k k i k C C th 0 8 0 16 1 7 8 2 6 , 3 5 4 4 i k i k i k k i i k i k N i k i k Vì v 16 x à: 8 0 7 1 6 2 5 3 4 4 16 8 16 7 16 8 16 8 16 8 258570C C C C C C C C C C Ví d Tìm h c     trong khai tri     Gi Ta có: 200 200 200 200 200 0 2 3 2 3 2 3 k k k k x y x y C x y 200 200 200 200 0 1 .2 .3 . . k k k k k k k C x y Ta chon: 200 101 99 99 k k k V ìm là: 99 99 99 99 99 99 99 200 200 1 .2 .3 .2 .3C C Ví d a) Tìm h 8 x trong khai tri 12 1 x x b) Cho bi t 2 1 n x b 1024. Hãy tìm h a * a N c 12 ax trong khai tri ) ) Gi a) S 1k trong khai tri à: 12 12 2 12 12 0 12 1 k k k k k k a C x C x x k Ta ch 12 2 8 2k k V 8 x và có h à: 2 12 66C b) Ta có: 2 2 22 1 12 0 .1 n k k k k n n n k n n n C x C C xCx x V 1x thì: 0 1 2 . 1024 n n n n n C C C www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 7 7 10 102 2 n n a (c 12 x ) là: 6 10 210C c) Ví d A- 2006) Tìm h 26 x trong khai tri th 7 4 1 n x x bi 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C ( n nguyên k n C là t k c n ph Gi T : 0 1 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C M : 2 1 2 1 2 1 , , 0 2 1 k n k n n C C k k n , nên: 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 . . 2 2 n n n n n n n n C C C C C C T nh c 2 1 1 1 : n suy ra 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . 1 1 2 3 n n n n n n C C C 1 , 2 2 20 3 2 2 10 n n Ta có s 10 10 7 4 7 11 40 10 10 4 0 0 1 n n k k k k k k k x C x x C x x H 26 x là 10 k C v k th ãn 11 40 26 6k k V h 26 x là 6 10 210C Ví d 1. - 1998) Tìm h 5 x trong khai tri 4 5 6 7 2 1 2 1 2 1 2 1f x x x x x Gi Ta xét các khai tri u: 4 5 4 4 5 5 4 5 0 0 6 7 6 6 7 7 6 7 0 0 2 1 2 ; 2 1 2 2 1 2 ; 2 1 2 k k k k k k k k k k k k x C x x C x x C x x C x Nh : S 5 x c 4 2 1 là 0x S 5 x c 5 5 0 5 2 1 là 2x C x S 5 x c 6 5 1 6 2 1 là 2x C x S 5 x c 7 5 2 5 2 1 là 2x C x V c ìm là: 5 5 5 0 1 2 5 6 7 0 2 2 2 896C x C x C x www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 8 8 Ví d - 2003) V n là s 3 3n a là h 3 3n x trong khai tri 2 1 2 n n x x . Tìm n 3 3 26 n a n Gi Cách 1: Ta có 2 2 1 2 2 2 2 4 1 1 2 2 2 0 0 1 . 2 2 2 . 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x C x C x C x C D 1, 2n n không th ãn ài toán. V 3n thì 3 3 2 3 2 2 1n n n n n x x x x x Vì v 3 3n x trong khai tri 2 1 2 n n x x là: 2 3 3 5 2 2 3 4 26 26 7 3 ( ) 2 n n n n n n n n L a oai V 5n là giá tr ìm th ãn ài toán ( n . Cách 2: Xét khai tri 2 3 3 2 2 0 2 0 3 0 0 1 1 2 1 2 2 1 2 1 k i n n n n n n n n k i n n k i n n k k k i i n n k n i C Cx C x C x x x x x x x x x Trong khai tri x là 0 3 3 3 2 3 1 1 i k n i k i k Nên c h 3 3n x là: 2 3 3 5 2 2 3 4 26 26 7 3 ( ) 2 n n n n n n n n L a oai V 5n là giá tr ìm th ãn ài toán ( n Ví d - 2002)Cho khai tri 1 1 1 1 1 1 0 1 1 3 3 3 32 2 2 2 2 . 2 . . 2 2 n n n n n x x x x x x x x n n n n n n x C x C x C x C ( n là s 3 1 5 n n C C và s b 20n . Tính n và x . www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 9 9 Gi n N và 3n Ta có: 3 1 ! ! 5 3! 5 3 ! 1 ! n n n n n C C n 2 1 2 5 3 28 0 6 n n n n n n 7n (Nh 4n (lo V 7n ta có: 7 7 7 1 1 7 3 32 2 7 0 2 2 k x x x x k k x C x V ên là: 3 4 1 3 2 2 32 7 2 35.2 .2 x x x x C x K 2 2 2 35.2 .2 140 2 4 4 x x x x Ví d 1.14: Tìm x bi 1 2 2 2 n x x có t 2 s h 3 và th 5 b 135 , còn t 3 h c 3 s 22 Gi T 2 1 2 2 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 9 2 .2 2 135 1 1 22 22 2 x x n n x x x n n n n n n n n C C n n n C C C 2 2 2 2 1 4 1 2 2 1 1 4 2 9 2 2 0 2 2 2 2 42 0 6 7 ( ) x x t x t x t t t t x t n n n n Loai V 1 1, 2 x là giá tr ìm. Ví d 1.15: Tìm h tri 17 1 1 5 x Gi Xét khai tri 17 17 17 0 1 1 1 5 5 k k k k x C x 1 0,1,2, .,17 5 k k k a x k Ta có k a 1 1 17 17 1 1 17 17 1 1 1 1 5 5 max 1 1 5 5 k k k k k k k k k k k k a a C C a C a C www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 10 10 17! 17! 5 ! 17 ! 1 ! 16 ! 5 5 17 2 3 17! 17! 18 5 5 ! 17 ! 1 ! 18 ! k k k k k k k k k k k k k V i 2k thì h à: 2 2 17 1 5.44 5 C V k thì h à: 3 3 17 1 5.44 5 C V à: 3 3 17 1 5.44 5 C T bài toán t Ví d 5.2 Tìm h n a bx Xét khai tri n a bx có s k n k k k n C a b x , 0 k n k k k n u k nC a b ãy s k u . Vi òn l ìm s nh ãy ta làm nh Gi ình 1 1 k k u u tìm 0 0 0 1 . k k n k u u u Gi ình 1 1 k k u u tìm 1 1 0 1 0 . k k k u u u T ãy là 0 1 max , k k u u Gi ình 1 0 1 k k k k u u k u u Suy ra h à 0 0 0 k n k k n C a b Ví d 1.16: (HVKTQS, 2000) Khai tri 1 0 1 2 1 12 2 .1 2 a a x aP x x x Tìm 0 1 2 12 max , , .,a a a a Gi Cách 1: Xét khai tri 12 12 12 12 0 21 2 1 k k k k C xx 12 2 0,1,2, .,12 1 k k k a C k Xét b 1k k a a www.vietmaths.com www.vietmaths.com Nh à Thân T – ê H – 2009) Nguy - Lê Hoàng Nam 11 11 1 1 1 12 12 12!2 12!2 2 2 ! 12 ! 1 ! 11 ! k k k k k k C C k k k k 1 2 23 2 3 23 7 0 7 12 1 3 3 k k k k Z k k Áp d 1 cho 0,1,2, .,12k 0 1 7 8 9 12 . .a a a a a a 8 18 0 1 2 12 8 12 max , , ., .2 126720a a a a a C Cách 2: G k a là h n suy ra: 1k k a a T ình: 1 1 12 12 1 1 12 12 2 1 2 2 23 25 12 1 8 1 2 3 3 2 2 12 1 k k k k k k k k C C k k k k C C k k 8 18 0 1 2 12 8 12 max , , ., .2 126720a a a a a C Ví d 1.17: Tìm h 4 x trong khai tri à rút g 4 5 15 1 1 . 1f x x x x Gi Vì t f x có 12 s ên ta có: 12 16 4 4 1 1 1 1 1 1 1 x x x f x x x x H 4 x là h 5 x trong 16 1 x V ìm là: 5 16 4368C Bài toán tìm h k x trong t n s ên c T n s ên c 1q là: 2 1 2 1 1 . 1.9 1 n n q S u u u u q Xét t 1 2 1 1 . 1 m m m n S x bx bx bx n s tiên c nhân v 1 1 1 m u bx và công b 1q bx Áp d 1.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n m n m m bx bx bx S x bx bx bx Suy ra h k x trong S x là tích gi 1 b và h 1k x trong khai tri 1 1 1 1 . m n m bx bx www.vietmaths.com www.vietmaths.com . k n n n n n n k x C x C C x C x 4. D 1. Khi c à có 1 n i n i C v i là các s nhi n liên ti 2. Trong bi 1 1 n i n i i i C thì ta dùng àm i Trong bi 1 n i. k r N q S ìm là: 0 0 0 k n k k n C a b Ví d Trong khai tri 10 4 3 5 có bao nhi u s Gi S g t 124 124 1 1 1 1 124 124 10 62 4 2 4 2 4 2 4 124 124 0 0 3 5