Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
767,06 KB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Muốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta dựng mặt phẳng (α ) chứa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a tính khoảng cách từ M đến (α ) d ( a , b ) = d ( M , (α ) ) Để dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b ta sử dụng cách sau: Cách 1: (Sử dụng trường hợp a ⊥ b ) • Dựng mặt phẳng (α ) chứa b vng góc với a A • Dựng AB ⊥ b b AB đoạn vng góc chung a b Cách 2: • Dựng mặt phẳng (α ) chứa b song song với a • Chọn điểm M thích hợp a , dựng MH ⊥ (α ) H • Qua H , dựng đường thẳng a′//a , cắt b B • Từ B dựng đường thẳng song song MH , cắt a A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com AB đoạn vng góc chung a b Cách 3: • Dựng mặt phẳng (α ) vng góc với a M • Dựng hình chiếu b′ b lên (α ) • Dựng hình chiếu vng góc H khác M lên b′ • Từ H , dựng đường thẳng song song với a , cắt b B • Qua B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt a A AB đoạn vng góc chung a b BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , AB = 2a , AC = 4a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a (minh họa hình vẽ bên) Gọi M trung điểm AB S A B M C Khoảng cách hai đường thẳng SM BC A 2a B a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C a D a Trang Website: tailieumontoan.com Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tứ diện vuông: Tứ diện SABC gọi tứ diện vng tứ diện có SA, SB, SC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu S ( ABC ) Khi đó: + H trực tâm tam giác ABC + 1 1 = 2+ 2+ SH SA SB SC Đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng a ⊄ ( P ) Nếu a //b ⊂ ( P ) ⇒ a // ( P ) HƯỚNG GIẢI: B1: Gọi N trung điểm AC Chứng minh BC // ( SMN ) Suy = d ( BC ; SM ) d= ( BC; ( SMN ) ) d ( B; ( SMN ) ) B2: Nhận xét d= ( B; ( SMN ) ) d= ( A; ( SMN ) ) h độ dài đường cao tứ diện A.SMN xuất phát từ đỉnh A B3: Sử dụng tính chất tứ diện vng để tính h Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A S A M B N C = Gọi N trung điểm AC Khi đó: AN AC AB = 2a ; AM = = a 2 Ta có: MN // BC ⇒ BC // ( SMN ) Suy ra: = d ( BC ; SM ) d (= BC ; ( SMN ) ) d= ( B; ( SMN ) ) d ( A; ( SMN ) ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com (Do đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( SMN ) điểm M trung điểm AB ) Tứ diện A.SMN vuông A có h = d ( A; ( SMN ) ) suy ra: 1 1 = + + 2= 2 h AN AM SA ( 2a ) + 2a 1 hay h = + 2= 2 a a 4a Vậy d ( BC ; SM )= d ( A; ( SMN ) )= h= 2a Lưu ý: Ta tính d ( A; ( SMN ) ) sau: S H M A B I N C Gọi I , H hình chiếu điểm A MN , SI MN ⊥ AI ⇒ MN ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ AH MN ⊥ SA AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( AH ; ( SMN ) ) = AH AH ⊥ MN ∆AMN vuông A ⇒ ∆SAI vuông A ⇒ 1 1 = 2+ =2 + = 2 2 AI AM AN a ( 2a ) 4a 1 1 2a = + = + = ⇒ AH = AH SA AI a 4a 4a = = Vậy d ( BC ; SM ) d ( A; ( SMN= ) ) AH 2a Cách khác : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O ≡ A , cho a = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Ta có tọa độ điểm A ( 0;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 4; 0; ) , S ( 0;0;1) , M ( 0;1;0 ) = d ( SM , BC ) SM , BC SB 2 = Vậy d ( SM , BC ) = a 3 SM , BC II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cho điểm M đường thẳng ∆ Trong mặt phẳng ( M , ∆ ) gọi H hình chiếu vng góc M ∆ Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến ∆ Ký hiệu: d ( M , ∆ ) =MH HƯỚNG GIẢI: Qua M kẻ MH ⊥ ∆ Khoảng cách từ M đến ∆ MH Công thức sử dụng: Cho ∆MAB vuông M , đường cao MH 1 = + 2 MH MA MB 2 S ∆MAB MA.MB MH = = MH AB AB BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S ABC với SA vng góc với ( ABC ) SA = a Diện tích S ∆ABC = a , BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? A a B a C a D 2a Lời giải Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com S C A H B Trong mp ( SBC ) kẻ SH ⊥ BC Theo đầu ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC Suy BC ⊥ ( SAH ) ⇒ AH ⊥ BC Ta lại có S ∆= ABC 2.S ∆ABC 2.a AH BC ⇒ = AH = = BC 2a 2.a = = a Ta có SH = SA2 + AH = a + 2a = a Vậy d ( S , BC ) SH DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng (α ) : d (O;(α )) = OH H hình chiếu O (α ) Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α ) M ; N ∈ ∆ d ( M ;(α )) = d (N;(α )) Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α ) điểm I M ; N ∈ ∆ ( M ; N không trùng với I ) d ( M ;(α )) MI = d (N;(α )) NI Đặc biệt: Nếu M trung điểm NI thì: d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) Nếu I trung điểm MN thì: d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) HƯỚNG GIẢI: Xác định hình chiếu H O (α ) tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vuông góc với (α ) - Tìm giao tuyến (α ) (P) (α ) - Kẻ OH ⊥ ∆( H ∈ ∆) Khi d (O;(α )) = OH Lưu ý Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Tính chất tứ diện vuông Giả sử OABC tứ diện vuông O (OA ⊥ OB; OB ⊥ OC ; OC ⊥ OA) H hình chiếu O mặt 1 1 = + + phẳng ( ABC ) Ta có 2 OH OA OB OC BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với BC= a 2, ABC= 60° Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAB ) bằng: A a B a C a D 2a Lời giải Chọn A Dựng SH ⊥ AB , ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Dựng CK ⊥ AB , có CK ⊥ SH ⇒ CK ⊥ ( SAB ) a Do CD / / AB ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) )= BC= sin 60° a= = CK 2 DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 2.1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Cho đường thẳng ∆ song song mặt phẳng (α ) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) khoảng cách từ điểm M đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com = d ( ∆, (α ) ) d ( M , (α ) ) , ∀M ∈ ∆ 2.2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Cho hai mặt phẳng song song (α ) ( β ) Khoảng cách hai mặt phẳng (α ) ( β ) khoảng cách từ điểm M mặt phẳng (α ) đến mặt phẳng ( β ) d ( (α= ) , ( β ) ) d ( M , ( β ) ) , ∀M ∈ (α ) HƯỚNG GIẢI: Đưa dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S ABC có đường cao SH = 2a Gọi M N trung điểm SA SB Khoảng cách đường thẳng MN mặt phẳng ( ABC ) bằng: A a B a C a D a Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Vì M N trung điểm SA SB nên MN AB suy MN ( ABC ) Ta có: d ( MN ; ( ABC ) ) = d ( M ; ( ABC ) ) Lại có: M trung điểm SA nên d ( M ; ( ABC = )) Vậy d ( MN ; ( ABC ) ) = 1 a d ( S ; ( ABC = SH )) = 2 a Bài tập tương tự phát triển: Mức độ + Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 45° Biết thể tích khối chóp S ABCD A a3 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC a B a C a 10 D a 10 10 Lời giải Chọn C S H K A B I D C Đặt cạnh hình vng ABCD x , x > Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên suy góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) góc SCA = 45° Do tam giác SAC vuông cân A Suy = SA AC = x Vậy SCA 1 x3 Ta có VABCD = SA.S ABCD = x 2.x = 3 Theo VABCD = a3 Vậy x = a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com a a a I ( 0; 0; ) , D ;0;0 , C ; a 2;0 ; a 2;0 , S ( 0;0; 2a ) ; B − a a ;0; −2a = SC ; a 2; −2= a , SD 2 −a ⋅ u với u = 2;0;1 SC , SD =−2a 2;0; −a = Phương trình mặt phẳng ( SCD ) qua S ( 0;0; 2a ) nhận véc-tơ u làm véc-tơ pháp tuyến ) ( ) ( 2 ( x − ) + ( y − ) + 1( z − 2a ) =0 ⇔ 2 x + z − 2a =0 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) là: a 2 2 ⋅ − + − 2a 4a = 2 +1 = d ( B, ( SCD ) ) Câu ( ) = 120 Các mặt Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm SD, thể tích khối a3 Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) theo a chóp S.ABCD A h = a 228 38 B h = a 228 19 C h = 5a D h = 5a 19 Lời giải Chọn A S S z M K B A H M D C D A B O C y x Cách 1: phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) Ta có DM 1 = ⇒ d ( M , ( SBC ) ) = d ( D, ( SBC ) ) DS 2 AD //BC 1 ⇒ AD // ( SBC ) ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Vậy d ( M , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) 2 Gọi H trung điểm BC, tam giác ABC nên AH ⊥ BC , lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAH ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAH ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 14 Website: tailieumontoan.com Dựng AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AK Diện tích hình thoi ABCD : S ABCD AB BC.sin 600 = = Từ suy= SA a2 3VS ABCD a = 2a Tính AH = S ABCD Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên : 1 19 a 228 = + = 2+ = ⇒ AK = 2 3a 4a 12a 19 AK AH SA Vậy d ( M , ( SBC = )) a 228 = AK 38 Cách 2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có −a −a a ;0 , C ;0;0 O ( 0;0;0 ) , A ;0;0 , B 0; 2 a −a a −a D 0; ;0 ⇒ S ;0; 2a , M ; ; a a −a ; −2a , SC = ⇒ SB = ; 2 d ( M , ( SBC ) ) Vậy = Câu ( a;0; −2a ) , SM = a a ; −a ; 4 SB, SC SM a 228 = 38 SB, SC Cho hình tứ diện EFGH có EF , EG, EH đơi vng góc EF = 6a , EG = 8a , EH = 12a , với a > 0, a ∈ Gọi I , J tương ứng trung điểm hai cạnh FG , FH Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng ( EIJ ) theo a A d = 12 29.a 29 B d = 29.a 29 C d = 24 29.a 29 D d = 29.a 29 Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 15 Website: tailieumontoan.com G z I 8a N x 6a E K 12a F M J y H Cách 1: Vì EF vng góc với EG , EG vng góc với EH nên EG ⊥ ( EFH ) Gọi K trung điểm EF suy IK ⊥ ( EFH ) Gọi M , N hình chiếu K EJ IM ta Ta có: d có d ( K , ( EIJ ) ) = KN = F , ( EIJ ) ) (= 2d ( = K , ( EIJ ) ) KN Trong tam giác EKJ vuông K tam giác IKM vuông K ta có: 1 1 1 1 29 12 29 = + = 2+ + = 2+ + = ⇒ KN = a 2 2 2 KN KM KI KJ KE KI 9a 16a 36a 144a 29 Vậy d = 24 29.a 29 Cách 2: Vì EF vng góc với EG , EG vng góc với EH nên EG ⊥ ( EFH ) Gọi K trung điểm EF suy IK ⊥ ( EFH ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ta có: K ( 0;0;0 ) , I ( 0;0; 4a ) , E ( 3a;0;0 ) , J ( 0;6a;0 ) Phương trình mặt phẳng ( EIJ ) : = d Câu x y z + + =1 ⇔ x + y + z − 12a =0 3a 6a 4a )) ( F , ( EIJ= = 2d ( K , ( EIJ )) 12a 24a 24 29a = = 29 + + 16 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 45° , gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo OG AD A h = a B h = a C h = a D h = a Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 16 Website: tailieumontoan.com S z S K G A D N M O B x C y M O B D G A C Cách : phương pháp dựng hình Gọi M, N trung điểm CD, AB AD //MN ⇒ AD // ( SMN ) ⇒ d ( AD, MN= ) d ( AD, ( SMN )=) d ( A, ( SMN ) ) MN ⊥ AB, MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAB ) Dựng AK ⊥ SN ⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = AK Lại có SA ⊥ ( ABCD ) nên AC hình chiếu SC lên mặt phẳng ( ABCD ) Từ suy ( SC , ( ABCD = SC , AC = = 450 ) ) ( ) SCA Vậy giác SAC vuông cân, suy = SA AC = a Tam giác SAN vuông A, đường cao AK suy : 1 1 a = + = + = ⇒ AK = 2 2 2a 2a AK SA AN a Cách : phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ hình vẽ, theo cách ta tính SA = a ( Khi A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S 0;0; a a a Suy= O ; ;0 , G 2 AD = Câu a 2a a ; ; = , OG 3 ) −a a a ; ; 6 a a = d ( AD, OG ) 0; a;0 ) , AO ; ;0 Vậy (= 2 AD, OG AO a = AD, OG Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vng A B Biết AD = 2a , AB = BC = SA = a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) A h = a B h = a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C h = a D h = a Trang 17 Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn A S A H M B D C C1: phương pháp dựng hình Tứ giác ABCM hình vng nên CM= a= AD Suy tam giác ACD vuông C Ta có CD ⊥ AC , CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAC ) Kẻ AH ⊥ SC H CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SCD ) d ( M , ( SCD ) ) Vậy = 1 = d ( A, ( SCD ) ) AH 2 Tam giác SAC vuông A, đường cao AH nên 1 1 = 2+ =2+ = 2 AH SA AC a 2a 2a a a Suy AH = ⇒ d ( M , ( SCD ) ) = C2: Phương pháp tọa độ z S M A B x D y C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có : A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S ( 0;0; a ) Từ suy M ( 0; a;0 ) , C ( a; a;0 ) ⇒ SM = ( 0; a; −a ) SC =( a; a; −a ) , SD =( 0; 2a; −a ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 18 Website: tailieumontoan.com SC , SD = a ; a ; 2a ) , SC , SD (= 2 6a Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) d ( M , ( SCD = )) SC , SD SM a3 a = = a SC , SD Câu 10 Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O,= OB a= , OC a Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a , gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB OM A h = a B h = a C h = a 15 D h = a 15 Lời giải Chọn C Cách : phương pháp dựng hình A H N K C O M B Gọi N điểm đối xứng C qua O Khi OM //BN ( tính chất đường trung bình ) OM // ( ABN ) Suy = d ( OM , AB ) d= ( OM , ( ABN ) ) d ( O, ( ABN ) ) Dựng OK ⊥ BN , OA ⊥ ( OBC ) ⇒ BN ⊥ OA ⇒ BN ⊥ AK Dựng OH ⊥ AK OH ⊥ ( ABN ) Từ d ( OM , AB ) = OH Tam giác ONB vuông O, đường cao OK nên 1 1 = + = + = 2 2 OK ON OB 3a a 3a Tam giác AOK vuông O, đường cao OH nên a 15 1 = + = + = ⇒ OH = 2 OH OK OA 3a 3a 3a Vậy d ( OM , AB ) = a 15 Cách : Phương pháp tọa độ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 19 Website: tailieumontoan.com z A O C y M B x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ a a Khi O ( 0;0;0 ) , A 0;0; a , B ( a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , M ; 2 ;0 ( ( ) ) a a Suy OM ; ;0 , AB = a ;0; − a , OB = ( a;0;0 ) 2 ( AB, OM ) 3a −a a a 15 ; ; = , AB, OM 2 AB, OM OB a 15 = AB, OM = d ( AB, OM ) Vậy Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD = 120° Các mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD 3a Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a A h = 5a B h = a C h = a D h = a Lời giải Chọn B z S S K d D A D A H O B C x B O C y Cách : phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 20 Website: tailieumontoan.com Dựng đường thẳng d qua B song song với AC Dựng AH ⊥ d , AK ⊥ SH Ta chứng minh AK ⊥ ( SBH ) AC //HB ⇒ AC // ( SBH ) ⇒ d ( AC , SB= ) d ( AC , ( SBH = ) ) AK BO ⊥ AC , AH ⊥ HB ⇒ AH ⊥ AC suy AH //BO Vậy tứ giác AHBO hình chữ nhật nên AH = BO = a Diện tích hình thoi ABCD S ABCD AB = = BC.sin 600 3a Suy= AH 3VS ABCD = a S ABCD Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên 1 1 a a Vậy d ( AC , SB ) = = + = + = ⇒ AK = 2 2 AK AH SA 3a a 3a 2 Cách : phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có ( ) O ( 0;0;0 ) , A ( −a;0;0 ) , B 0; 3a;0 , C ( a;0;0 ) , S ( −a;0; a ) Suy SB = ( a; a 3; −a , OB = ) ( 0; a 3;0 , OC = ) ( a;0;0 ) OC , SB OB a = OC , SB = d ( AC , SB ) Vậy Câu 12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA bằng: A a B a C a 10 D a Lời giải Chọn A z S S K K y H x H A C G M C A G N B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B Trang 21 Website: tailieumontoan.com Gọi M, N trung điểm hai cạnh AB BC Gọi H hình chiếu G lên đường thẳng qua A song song với CG GK đường cao tam giác GHS = d (GC , SA) d= (GC , ( SAH )) GK Ta có: AG = Khi đó, = 60 , ( ABC ) ) = SAG ( SA a , suy = AM = ⇒ SG = AG.tan 600 = a, GH GS GH d (GC , SA = ) GK = a ; = GS + GH 2 a Câu 13 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân B, BA = BC = a , góc mp ( SBC ) với mp ( ABC ) 600 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC A a B a C a D a Lời giải Chọn B S S I I J H D E B A O C A B B Cách 1: Vì tam giác SAC vng A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC trung 60 điểm I SC Ta góc mp(SBC) với mp(ABC) góc SBA, theo góc SBA a Suy SA AB.tan SBA Kẻ AD // BC, D đỉnh thứ tư hình bình bình hành ABCD Kẻ OE AD E OH IE H Khi đó: d ( AI , BC ) d ( BC ,( IAD )) 2d (O ,( IAD )) 2.OH Ta có OH OE OI OE OI a a , suy d ( AI , BC ) 2d (O ,( IAD )) 2.OH Cách 2: Kẻ IJ //BC , J thuộc cạnh SB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 22 Website: tailieumontoan.com Suy d ( AI , BC ) d ( BC ,( AIJ )) d (S ,( AIJ )) = SB a ; AJ Ta có: Tam giác AIJ vng J = = IJ a a VS AIJ 1 a3 = BC suy S ∆AIJ = =⇒ VS AIJ =VS ABC = 2 VS ABC 4 24 3VS AIJ a = S ∆AIJ Suy d ( AI= AIJ )) , BC ) d ( S , (= = AD = Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đơi vng góc với nhau, AB = , AC Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( BCD ) A 34 17 B 17 C 34 17 D 34 17 Lời giải Chọn C z D H A C B y I x Chọn hệ trục toạ độ cho: A ( 0;0;0 ) ; B ( 0;0;3) ; C ( 0; 4;0 ) ; D ( 4;0;0 ) x y z x y z + + =1 ⇔ + + − =0 4 4 Khoảng cách từ điểm A ( 0;0;0 ) đến mặt phẳng ( BCD ) là: Phương trình mặt phẳng ( BCD ) theo đoạn chắn là: = d ( A, ( BCD )) 0 + + −1 4 = 2 1 1 1 + + 3 4 4 = 34 12 12 34 = 17 34 = 60° Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh a B Biết SA = 2a , tính khoảng cách từ A đến SC A 3a B 4a C 2a D 5a Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 23 Website: tailieumontoan.com S H A D B C Kẻ AH ⊥ SC suy d ( A, SC ) = AH = 60° Do ABCD hình thoi nên AB = BC , mặt khác B a Suy ∆ABC tam giác cạnh a ⇒ AC = Ta có ⇒ 1 = + 2 AH SA AC 1 2a = + = ⇒ AH = 2 4a 4a AH a Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA = a , ABCD hình vng cạnh 2a Gọi G trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách từ G đến SD A 4a B a C a D 5a 12 Lời giải Chọn A S H K A D G B O C Gọi O tâm đáy ABCD Do S ABCD hình chóp tứ giác suy SO ⊥ ( ABCD ) Suy SB = BD = 2a = SC = SD = SA = a , AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 24 Website: tailieumontoan.com Ta có SO = AC SA − = SA − OA = 2 3a − 2a = a Kẻ OK vng góc với SD Khi OK = SO.OD a.a a = = SD a Kẻ GH ⊥ SD suy GH OK Ta có OK ( DO + OG ) OK DO 4a 1 = ⇒ GH = ⇒ GH = OK = OG = BO DO = GH DG DO 3 Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến CD′ A a a B a C D a Lời giải Chọn B C B A D H B′ A′ C′ D′ Gọi H trung điểm CD′ Do ABCD A′B′C ′D′ hình lập phương nên ∆ACD′ tam giác cạnh a Khi AH vừa đường trung tuyến vừa đường cao Suy AH = a a Hay khoảng cách từ A đến CD′ 2 Câu 18 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Khi đó, khoảng cách đường thẳng BD mặt phẳng (CB′D′) bằng: A a B 2a C a D a Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 25 Website: tailieumontoan.com Cách 1: Ta có BD B ' D ' nên BD ( CB ' D ') BD; ( CB ' D ') ) d= Do đó: d (= ( O; ( CB ' D ') ) d ( A; ( CB ' D ') ) ' D ') ) Theo kết trình bày ví dụ 2, d ( A; ( CB = Do d ( BD; ( CB ' D ') ) = 2 = AC ' a 3 a Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ cho tọa độ điểm sau: A ( 0;0;0 ) ; B ( a;0;0 ) ; D ( 0; a;0 ) ; A′ ( 0;0; a ) Khi đó, điểm cịn lại có tọa độ C ( a; a;0 ) ; B′ ( a;0; a ) ; D′ ( 0; a; a ) ; C ′ ( a; a; a ) Ta có CB′ = ( −a;0; a ) ( 0; −a; a ) ; CD′ = Từ viết phương trình mặt phẳng ( CB′D′ ) x + y + z − = d (= BD; ( CB′D′ ) ) d= ( B; ( CB′D′) ) a a Vậy d ( BD; ( CB′D′ ) ) = 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân đáy lớn AD Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm cạnh AD Biết SB = a , AD = 2a , AB = BC = CD = a Khoảng cách đường thẳng AD đến ( SBC ) là: A a 11 B a C a D a 21 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 26 Website: tailieumontoan.com Gọi H trung điểm AD , K trung điểm BC Ta có AD BC nên AD ( SBC ) Do đó: d ( AD; ( SBC ) ) = d ( H ; ( SBC ) ) Dựng HF ⊥ SK , F ∈ SK Chứng minh hai mặt phẳng ( SHK ) ( SBC ) vng góc với theo giao tuyến SK nên suy HF ⊥ ( SBC ) Suy ra: d ( H ; ( SBC ) ) = HF = HC = BC = a , suy HK = Tứ giác ABCH BCDH hình thoi cạnh a nên HB Tính SH = SB − HB = a , từ suy HF = a a 21 Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) SA = 2a Gọi M , N trung điểm AB AD Tính khoảng cách từ MN đến ( SBD ) A a B a C a D 2a Lời giải Chọn A Gọi O giao điểm AC BD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 27 Website: tailieumontoan.com MN ; ( SBD ) ) d= Ta có MN BD nên MN ( SBD ) Do đó: d (= ( M ; ( SBD ) ) d ( A; ( SBD ) ) Dựng AE ⊥ SO, E ∈ SO Chứng minh hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với theo giao tuyến SO nên suy AE ⊥ ( SBD) Suy ra: d ( A; ( SBD ) ) = AE Trong tam giác vuông SAO , ta có: Vậy d ( MN , ( SBD)) = 1 1 2a ⇒ AE = = + = + = 2 2 AE AS AO 4a a 4a a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 28 ... 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Muốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta dựng mặt phẳng (α ) chứa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a tính khoảng. .. THỨC CẦN NHỚ: 2.1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Cho đường thẳng ∆ song song mặt phẳng (α ) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) khoảng cách từ điểm M đường thẳng ∆ đến mặt phẳng... 60° a= = CK 2 DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song