Chuyên đề khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Muốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta dựng mặt phẳng (α ) chứa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a tính khoảng cách từ M đến (α ) d ( a , b ) = d ( M , (α ) ) Để dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b ta sử dụng cách sau: Cách 1: (Sử dụng trường hợp a ⊥ b ) • Dựng mặt phẳng (α ) chứa b vng góc với a A • Dựng AB ⊥ b b AB đoạn vng góc chung a b Cách 2: • Dựng mặt phẳng (α ) chứa b song song với a • Chọn điểm M thích hợp a , dựng MH ⊥ (α ) H • Qua H , dựng đường thẳng a′//a , cắt b B • Từ B dựng đường thẳng song song MH , cắt a A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com AB đoạn vng góc chung a b Cách 3: • Dựng mặt phẳng (α ) vng góc với a M • Dựng hình chiếu b′ b lên (α ) • Dựng hình chiếu vng góc H khác M lên b′ • Từ H , dựng đường thẳng song song với a , cắt b B • Qua B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt a A AB đoạn vng góc chung a b BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , AB = 2a , AC = 4a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a (minh họa hình vẽ bên) Gọi M trung điểm AB S A B M C Khoảng cách hai đường thẳng SM BC A 2a B a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C a D a Trang Website: tailieumontoan.com Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tứ diện vuông: Tứ diện SABC gọi tứ diện vng tứ diện có SA, SB, SC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu S ( ABC ) Khi đó: + H trực tâm tam giác ABC + 1 1 = 2+ 2+ SH SA SB SC Đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng a ⊄ ( P ) Nếu a //b ⊂ ( P ) ⇒ a // ( P ) HƯỚNG GIẢI: B1: Gọi N trung điểm AC Chứng minh BC // ( SMN ) Suy = d ( BC ; SM ) d= ( BC; ( SMN ) ) d ( B; ( SMN ) ) B2: Nhận xét d= ( B; ( SMN ) ) d= ( A; ( SMN ) ) h độ dài đường cao tứ diện A.SMN xuất phát từ đỉnh A B3: Sử dụng tính chất tứ diện vng để tính h Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A S A M B N C = Gọi N trung điểm AC Khi đó: AN AC AB = 2a ; AM = = a 2 Ta có: MN // BC ⇒ BC // ( SMN ) Suy ra: = d ( BC ; SM ) d (= BC ; ( SMN ) ) d= ( B; ( SMN ) ) d ( A; ( SMN ) ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com (Do đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( SMN ) điểm M trung điểm AB ) Tứ diện A.SMN vuông A có h = d ( A; ( SMN ) ) suy ra: 1 1 = + + 2= 2 h AN AM SA ( 2a ) + 2a 1 hay h = + 2= 2 a a 4a Vậy d ( BC ; SM )= d ( A; ( SMN ) )= h= 2a Lưu ý: Ta tính d ( A; ( SMN ) ) sau: S H M A B I N C Gọi I , H hình chiếu điểm A MN , SI  MN ⊥ AI ⇒ MN ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ AH   MN ⊥ SA  AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( AH ; ( SMN ) ) = AH   AH ⊥ MN ∆AMN vuông A ⇒ ∆SAI vuông A ⇒ 1 1 = 2+ =2 + = 2 2 AI AM AN a ( 2a ) 4a 1 1 2a = + = + = ⇒ AH = AH SA AI a 4a 4a = = Vậy d ( BC ; SM ) d ( A; ( SMN= ) ) AH 2a Cách khác : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O ≡ A , cho a = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Ta có tọa độ điểm A ( 0;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 4; 0; ) , S ( 0;0;1) , M ( 0;1;0 ) = d ( SM , BC )     SM , BC  SB 2   = Vậy d ( SM , BC ) = a   3  SM , BC    II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cho điểm M đường thẳng ∆ Trong mặt phẳng ( M , ∆ ) gọi H hình chiếu vng góc M ∆ Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến ∆ Ký hiệu: d ( M , ∆ ) =MH HƯỚNG GIẢI: Qua M kẻ MH ⊥ ∆ Khoảng cách từ M đến ∆ MH Công thức sử dụng: Cho ∆MAB vuông M , đường cao MH 1 = + 2 MH MA MB 2 S ∆MAB  MA.MB   MH = =  MH  AB AB    BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S ABC với SA vng góc với ( ABC ) SA = a Diện tích S ∆ABC = a , BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? A a B a C a D 2a Lời giải Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com S C A H B Trong mp ( SBC ) kẻ SH ⊥ BC Theo đầu ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC Suy BC ⊥ ( SAH ) ⇒ AH ⊥ BC Ta lại có S ∆= ABC 2.S ∆ABC 2.a AH BC ⇒ = AH = = BC 2a 2.a = = a Ta có SH = SA2 + AH = a + 2a = a Vậy d ( S , BC ) SH DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng (α ) : d (O;(α )) = OH H hình chiếu O (α ) Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α ) M ; N ∈ ∆ d ( M ;(α )) = d (N;(α )) Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α ) điểm I M ; N ∈ ∆ ( M ; N không trùng với I ) d ( M ;(α )) MI = d (N;(α )) NI Đặc biệt: Nếu M trung điểm NI thì: d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) Nếu I trung điểm MN thì: d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) HƯỚNG GIẢI: Xác định hình chiếu H O (α ) tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vuông góc với (α ) - Tìm giao tuyến (α ) (P) (α ) - Kẻ OH ⊥ ∆( H ∈ ∆) Khi d (O;(α )) = OH Lưu ý Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Tính chất tứ diện vuông Giả sử OABC tứ diện vuông O (OA ⊥ OB; OB ⊥ OC ; OC ⊥ OA) H hình chiếu O mặt 1 1 = + + phẳng ( ABC ) Ta có 2 OH OA OB OC BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với BC= a 2, ABC= 60° Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAB ) bằng: A a B a C a D 2a Lời giải Chọn A Dựng SH ⊥ AB , ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Dựng CK ⊥ AB , có CK ⊥ SH ⇒ CK ⊥ ( SAB ) a Do CD / / AB ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) )= BC= sin 60° a= = CK 2 DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 2.1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Cho đường thẳng ∆ song song mặt phẳng (α ) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) khoảng cách từ điểm M đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com = d ( ∆, (α ) ) d ( M , (α ) ) , ∀M ∈ ∆ 2.2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Cho hai mặt phẳng song song (α ) ( β ) Khoảng cách hai mặt phẳng (α ) ( β ) khoảng cách từ điểm M mặt phẳng (α ) đến mặt phẳng ( β ) d ( (α= ) , ( β ) ) d ( M , ( β ) ) , ∀M ∈ (α ) HƯỚNG GIẢI: Đưa dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S ABC có đường cao SH = 2a Gọi M N trung điểm SA  SB Khoảng cách đường thẳng MN mặt phẳng ( ABC ) bằng: A a B a C a D a Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Vì M N trung điểm SA  SB nên MN  AB suy MN  ( ABC ) Ta có: d ( MN ; ( ABC ) ) = d ( M ; ( ABC ) ) Lại có: M trung điểm SA nên d ( M ; ( ABC = )) Vậy d ( MN ; ( ABC ) ) = 1 a d ( S ; ( ABC = SH )) = 2 a Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ + Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 45° Biết thể tích khối chóp S ABCD A a3 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC a B a C a 10 D a 10 10 Lời giải Chọn C S H K A B I D C Đặt cạnh hình vng ABCD x , x > Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên suy góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) góc SCA = 45° Do tam giác SAC vuông cân A Suy = SA AC = x Vậy SCA 1 x3 Ta có VABCD = SA.S ABCD = x 2.x = 3 Theo VABCD = a3 Vậy x = a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com a   a  a  I ( 0; 0; ) , D  ;0;0  , C  ; a 2;0  ; a 2;0  , S ( 0;0; 2a ) ; B  −         a     a ;0; −2a  = SC  ; a 2; −2= a  , SD          2   −a ⋅ u với u = 2;0;1  SC , SD  =−2a 2;0; −a =  Phương trình mặt phẳng ( SCD ) qua S ( 0;0; 2a ) nhận véc-tơ u làm véc-tơ pháp tuyến ) ( ) ( 2 ( x − ) + ( y − ) + 1( z − 2a ) =0 ⇔ 2 x + z − 2a =0 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) là:  a 2 2 ⋅ −  + − 2a  4a  = 2 +1 = d ( B, ( SCD ) ) Câu ( )  = 120 Các mặt Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm SD, thể tích khối a3 Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) theo a chóp S.ABCD A h = a 228 38 B h = a 228 19 C h = 5a D h = 5a 19 Lời giải Chọn A S S z M K B A H M D C D A B O C y x Cách 1: phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) Ta có DM 1 = ⇒ d ( M , ( SBC ) ) = d ( D, ( SBC ) ) DS 2 AD //BC 1 ⇒ AD // ( SBC ) ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Vậy d ( M , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) 2 Gọi H trung điểm BC, tam giác ABC nên AH ⊥ BC , lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAH ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAH ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 14 Website: tailieumontoan.com Dựng AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AK Diện tích hình thoi ABCD : S ABCD AB BC.sin 600 = = Từ suy= SA a2 3VS ABCD a = 2a Tính AH = S ABCD Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên : 1 19 a 228 = + = 2+ = ⇒ AK = 2 3a 4a 12a 19 AK AH SA Vậy d ( M , ( SBC = )) a 228 = AK 38 Cách 2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có  −a   −a   a  ;0  , C  ;0;0  O ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  , B  0;      2  a   −a a   −a  D  0; ;0  ⇒ S  ;0; 2a  , M  ; ; a          a −a   ; −2a  , SC = ⇒ SB =  ; 2  d ( M , ( SBC ) ) Vậy = Câu  ( a;0; −2a ) , SM = a a  ; −a   ; 4      SB, SC  SM a 228   =   38  SB, SC    Cho hình tứ diện EFGH có EF , EG, EH đơi vng góc EF = 6a , EG = 8a , EH = 12a , với a > 0, a ∈  Gọi I , J tương ứng trung điểm hai cạnh FG , FH Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng ( EIJ ) theo a A d = 12 29.a 29 B d = 29.a 29 C d = 24 29.a 29 D d = 29.a 29 Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 15 Website: tailieumontoan.com G z I 8a N x 6a E K 12a F M J y H Cách 1: Vì EF vng góc với EG , EG vng góc với EH nên EG ⊥ ( EFH ) Gọi K trung điểm EF suy IK ⊥ ( EFH ) Gọi M , N hình chiếu K EJ IM ta Ta có: d có d ( K , ( EIJ ) ) = KN = F , ( EIJ ) ) (= 2d ( = K , ( EIJ ) ) KN Trong tam giác EKJ vuông K tam giác IKM vuông K ta có: 1 1 1 1 29 12 29 = + = 2+ + = 2+ + = ⇒ KN = a 2 2 2 KN KM KI KJ KE KI 9a 16a 36a 144a 29 Vậy d = 24 29.a 29 Cách 2: Vì EF vng góc với EG , EG vng góc với EH nên EG ⊥ ( EFH ) Gọi K trung điểm EF suy IK ⊥ ( EFH ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ta có: K ( 0;0;0 ) , I ( 0;0; 4a ) , E ( 3a;0;0 ) , J ( 0;6a;0 ) Phương trình mặt phẳng ( EIJ ) : = d Câu x y z + + =1 ⇔ x + y + z − 12a =0 3a 6a 4a )) ( F , ( EIJ= = 2d ( K , ( EIJ )) 12a 24a 24 29a = = 29 + + 16 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 45° , gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo OG AD A h = a B h = a C h = a D h = a Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 16 Website: tailieumontoan.com S z S K G A D N M O B x C y M O B D G A C Cách : phương pháp dựng hình Gọi M, N trung điểm CD, AB AD //MN ⇒ AD // ( SMN ) ⇒ d ( AD, MN= ) d ( AD, ( SMN )=) d ( A, ( SMN ) ) MN ⊥ AB, MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAB ) Dựng AK ⊥ SN ⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = AK Lại có SA ⊥ ( ABCD ) nên AC hình chiếu SC lên mặt phẳng ( ABCD )  Từ suy ( SC , ( ABCD = SC , AC = = 450 ) ) ( ) SCA Vậy giác SAC vuông cân, suy = SA AC = a Tam giác SAN vuông A, đường cao AK suy : 1 1 a = + = + = ⇒ AK = 2 2 2a 2a AK SA AN a Cách : phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ hình vẽ, theo cách ta tính SA = a ( Khi A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S 0;0; a a a  Suy= O  ; ;0  , G 2   AD = Câu  a 2a a   ; ; =  , OG  3 )  −a a a   ; ;   6    a a  = d ( AD, OG ) 0; a;0 ) , AO  ; ;0  Vậy (= 2      AD, OG  AO a   =    AD, OG    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vng A B Biết AD = 2a , AB = BC = SA = a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) A h = a B h = a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C h = a D h = a Trang 17 Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn A S A H M B D C C1: phương pháp dựng hình Tứ giác ABCM hình vng nên CM= a= AD Suy tam giác ACD vuông C Ta có CD ⊥ AC , CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAC ) Kẻ AH ⊥ SC H CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SCD ) d ( M , ( SCD ) ) Vậy = 1 = d ( A, ( SCD ) ) AH 2 Tam giác SAC vuông A, đường cao AH nên 1 1 = 2+ =2+ = 2 AH SA AC a 2a 2a a a Suy AH = ⇒ d ( M , ( SCD ) ) = C2: Phương pháp tọa độ z S M A B x D y C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có : A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S ( 0;0; a )  Từ suy M ( 0; a;0 ) , C ( a; a;0 ) ⇒ SM = ( 0; a; −a )   SC =( a; a; −a ) , SD =( 0; 2a; −a ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 18 Website: tailieumontoan.com    SC , SD  =     a ; a ; 2a ) ,  SC , SD  (= 2 6a Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) d ( M , ( SCD = ))     SC , SD  SM a3 a   = =   a  SC , SD    Câu 10 Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O,= OB a= , OC a Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a , gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB OM A h = a B h = a C h = a 15 D h = a 15 Lời giải Chọn C Cách : phương pháp dựng hình A H N K C O M B Gọi N điểm đối xứng C qua O Khi OM //BN ( tính chất đường trung bình ) OM // ( ABN ) Suy = d ( OM , AB ) d= ( OM , ( ABN ) ) d ( O, ( ABN ) ) Dựng OK ⊥ BN , OA ⊥ ( OBC ) ⇒ BN ⊥ OA ⇒ BN ⊥ AK Dựng OH ⊥ AK OH ⊥ ( ABN ) Từ d ( OM , AB ) = OH Tam giác ONB vuông O, đường cao OK nên 1 1 = + = + = 2 2 OK ON OB 3a a 3a Tam giác AOK vuông O, đường cao OH nên a 15 1 = + = + = ⇒ OH = 2 OH OK OA 3a 3a 3a Vậy d ( OM , AB ) = a 15 Cách : Phương pháp tọa độ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 19 Website: tailieumontoan.com z A O C y M B x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ a a  Khi O ( 0;0;0 ) , A 0;0; a , B ( a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , M  ;  2 ;0    ( ( ) )   a a    Suy OM  ; ;0 , AB = a ;0; − a , OB = ( a;0;0 )  2    (    AB, OM    )  3a −a a    a 15 ; ; =  ,  AB, OM  2       AB, OM  OB a 15   =    AB, OM    = d ( AB, OM ) Vậy  Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD = 120° Các mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD 3a Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a A h = 5a B h = a C h = a D h = a Lời giải Chọn B z S S K d D A D A H O B C x B O C y Cách : phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 20 Website: tailieumontoan.com Dựng đường thẳng d qua B song song với AC Dựng AH ⊥ d , AK ⊥ SH Ta chứng minh AK ⊥ ( SBH ) AC //HB ⇒ AC // ( SBH ) ⇒ d ( AC , SB= ) d ( AC , ( SBH = ) ) AK BO ⊥ AC , AH ⊥ HB ⇒ AH ⊥ AC suy AH //BO Vậy tứ giác AHBO hình chữ nhật nên AH = BO = a Diện tích hình thoi ABCD S ABCD AB = = BC.sin 600 3a Suy= AH 3VS ABCD = a S ABCD Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên 1 1 a a Vậy d ( AC , SB ) = = + = + = ⇒ AK = 2 2 AK AH SA 3a a 3a 2 Cách : phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có ( ) O ( 0;0;0 ) , A ( −a;0;0 ) , B 0; 3a;0 , C ( a;0;0 ) , S ( −a;0; a )  Suy SB = ( a; a  3; −a , OB = ) ( 0; a  3;0 , OC = ) ( a;0;0 )    OC , SB  OB a   =   OC , SB    = d ( AC , SB ) Vậy Câu 12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA bằng: A a B a C a 10 D a Lời giải Chọn A z S S K K y H x H A C G M C A G N B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B Trang 21 Website: tailieumontoan.com Gọi M, N trung điểm hai cạnh AB BC Gọi H hình chiếu G lên đường thẳng qua A song song với CG GK đường cao tam giác GHS = d (GC , SA) d= (GC , ( SAH )) GK Ta có: AG = Khi đó,   = 60 , ( ABC ) ) = SAG ( SA a , suy = AM = ⇒ SG = AG.tan 600 = a, GH GS GH d (GC , SA = ) GK = a ; = GS + GH 2 a Câu 13 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân B, BA = BC = a , góc mp ( SBC ) với mp ( ABC ) 600 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC A a B a C a D a Lời giải Chọn B S S I I J H D E B A O C A B B Cách 1: Vì tam giác SAC vng A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC trung   60 điểm I SC Ta góc mp(SBC) với mp(ABC) góc SBA, theo góc SBA  a Suy SA  AB.tan SBA Kẻ AD // BC, D đỉnh thứ tư hình bình bình hành ABCD Kẻ OE  AD E OH  IE H Khi đó: d ( AI , BC )  d ( BC ,( IAD ))  2d (O ,( IAD ))  2.OH Ta có OH  OE OI OE  OI  a a , suy d ( AI , BC )  2d (O ,( IAD ))  2.OH  Cách 2: Kẻ IJ //BC , J thuộc cạnh SB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 22 Website: tailieumontoan.com Suy d ( AI , BC )  d ( BC ,( AIJ ))  d (S ,( AIJ )) = SB a ; AJ Ta có: Tam giác AIJ vng J = = IJ a a VS AIJ 1 a3 = BC suy S ∆AIJ = =⇒ VS AIJ =VS ABC = 2 VS ABC 4 24 3VS AIJ a = S ∆AIJ Suy d ( AI= AIJ )) , BC ) d ( S , (= = AD = Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đơi vng góc với nhau, AB = , AC Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( BCD ) A 34 17 B 17 C 34 17 D 34 17 Lời giải Chọn C z D H A C B y I x Chọn hệ trục toạ độ cho: A ( 0;0;0 ) ; B ( 0;0;3) ; C ( 0; 4;0 ) ; D ( 4;0;0 ) x y z x y z + + =1 ⇔ + + − =0 4 4 Khoảng cách từ điểm A ( 0;0;0 ) đến mặt phẳng ( BCD ) là: Phương trình mặt phẳng ( BCD ) theo đoạn chắn là: = d ( A, ( BCD )) 0 + + −1 4 = 2 1 1 1 + +       3  4  4 = 34 12 12 34 = 17 34 = 60° Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh a B Biết SA = 2a , tính khoảng cách từ A đến SC A 3a B 4a C 2a D 5a Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 23 Website: tailieumontoan.com S H A D B C Kẻ AH ⊥ SC suy d ( A, SC ) = AH = 60° Do ABCD hình thoi nên AB = BC , mặt khác B a Suy ∆ABC tam giác cạnh a ⇒ AC = Ta có ⇒ 1 = + 2 AH SA AC 1 2a = + = ⇒ AH = 2 4a 4a AH a Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA = a , ABCD hình vng cạnh 2a Gọi G trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách từ G đến SD A 4a B a C a D 5a 12 Lời giải Chọn A S H K A D G B O C Gọi O tâm đáy ABCD Do S ABCD hình chóp tứ giác suy SO ⊥ ( ABCD ) Suy SB = BD = 2a = SC = SD = SA = a , AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 24 Website: tailieumontoan.com Ta có SO = AC SA − = SA − OA = 2 3a − 2a = a Kẻ OK vng góc với SD Khi OK = SO.OD a.a a = = SD a Kẻ GH ⊥ SD suy GH  OK Ta có OK ( DO + OG ) OK DO 4a  1  = ⇒ GH = ⇒ GH = OK = OG = BO DO  = GH DG DO 3   Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến CD′ A a a B a C D a Lời giải Chọn B C B A D H B′ A′ C′ D′ Gọi H trung điểm CD′ Do ABCD A′B′C ′D′ hình lập phương nên ∆ACD′ tam giác cạnh a Khi AH vừa đường trung tuyến vừa đường cao Suy AH = a a Hay khoảng cách từ A đến CD′ 2 Câu 18 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Khi đó, khoảng cách đường thẳng BD mặt phẳng (CB′D′) bằng: A a B 2a C a D a Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 25 Website: tailieumontoan.com Cách 1: Ta có BD  B ' D ' nên BD  ( CB ' D ') BD; ( CB ' D ') ) d= Do đó: d (= ( O; ( CB ' D ') ) d ( A; ( CB ' D ') ) ' D ') ) Theo kết trình bày ví dụ 2, d ( A; ( CB = Do d ( BD; ( CB ' D ') ) = 2 = AC ' a 3 a Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ cho tọa độ điểm sau: A ( 0;0;0 ) ; B ( a;0;0 ) ; D ( 0; a;0 ) ; A′ ( 0;0; a ) Khi đó, điểm cịn lại có tọa độ C ( a; a;0 ) ; B′ ( a;0; a ) ; D′ ( 0; a; a ) ; C ′ ( a; a; a )   Ta có CB′ = ( −a;0; a ) ( 0; −a; a ) ; CD′ = Từ viết phương trình mặt phẳng ( CB′D′ ) x + y + z − = d (= BD; ( CB′D′ ) ) d= ( B; ( CB′D′) ) a a Vậy d ( BD; ( CB′D′ ) ) = 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân đáy lớn AD Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm cạnh AD Biết SB = a , AD = 2a , AB = BC = CD = a Khoảng cách đường thẳng AD đến ( SBC ) là: A a 11 B a C a D a 21 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 26 Website: tailieumontoan.com Gọi H trung điểm AD , K trung điểm BC Ta có AD  BC nên AD  ( SBC ) Do đó: d ( AD; ( SBC ) ) = d ( H ; ( SBC ) ) Dựng HF ⊥ SK , F ∈ SK Chứng minh hai mặt phẳng ( SHK ) ( SBC ) vng góc với theo giao tuyến SK nên suy HF ⊥ ( SBC ) Suy ra: d ( H ; ( SBC ) ) = HF = HC = BC = a , suy HK = Tứ giác ABCH BCDH hình thoi cạnh a nên HB Tính SH = SB − HB = a , từ suy HF = a a 21 Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) SA = 2a Gọi M , N trung điểm AB AD Tính khoảng cách từ MN đến ( SBD ) A a B a C a D 2a Lời giải Chọn A Gọi O giao điểm AC BD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 27 Website: tailieumontoan.com MN ; ( SBD ) ) d= Ta có MN  BD nên MN  ( SBD ) Do đó: d (= ( M ; ( SBD ) ) d ( A; ( SBD ) ) Dựng AE ⊥ SO, E ∈ SO Chứng minh hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với theo giao tuyến SO nên suy AE ⊥ ( SBD) Suy ra: d ( A; ( SBD ) ) = AE Trong tam giác vuông SAO  , ta có: Vậy d ( MN , ( SBD)) = 1 1 2a ⇒ AE = = + = + = 2 2 AE AS AO 4a a 4a a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 28 ... 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Muốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta dựng mặt phẳng (α ) chứa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a tính khoảng. .. THỨC CẦN NHỚ: 2.1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Cho đường thẳng ∆ song song mặt phẳng (α ) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) khoảng cách từ điểm M đường thẳng ∆ đến mặt phẳng... 60° a= = CK 2 DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song