Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải một số bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV HS HH SGK, SBT THPT VD VDC : Giáo viên : Học sinh : Hình học : Sách giáo khoa,sách tập : Trung học phổ thông : Vận dụng : Vận dụng cao MỤC LỤC Trang 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài … 1.2 Nhiệm vụ đề tài …………………………………… …………… … 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… …… … 1.4 Phạm vi nghiên cứu 2.Nội dung …… 2.1 Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học………………………………………… .4 2.2 Áp dụng thực tế dạy học……………………………… ………… ….5 2.3 Hiệu đề tài………………………………………………………… 18 3.Kêt luận 19 3.1.Kết luận 19 3.2.Kiến nghị .19 Tài liệu tham khảo 21 Danh mục SKKN 22 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Góc khái niệm khơng chương trình Tốn phổ thơng, từ lớp HS làm quen với khái niệm góc (trong mặt phẳng) Khơng cịn bó hẹp mặt phẳng, đến lớp 11, loại góc khơng gian bao gồm góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng nghiên cứu đầy đủ Song nội dung khơng dễ để HS chiếm lĩnh vận dụng, phần lực tư HS, phần thiết kế chương trình cách dạy học chưa gây hứng thú cho HS Bên cạnh thiếu tự tin hình học khơng gian làm ảnh hưởng lớn đến kết học tập em Chính điều khiến việc học HS ngày khó khăn, dẫn đến kết học tập không cao, ứng dụng giải vấn đề thực tiễn không tốt Tại trường THPT Đào Duy Từ, việc hiểu vận dụng nội dụng góc đường thẳng mặt phẳng cịn hạn chế Với tiết dạy theo phương pháp truyền thông, em tiếp cận kiến thức thụ động, kiến thức tiếp nhận riêng lẻ, rời rạc, việc vận dụng vào thực tế điều xa lạ Từ lý trên, lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tập góc đường thẳng mặt phẳng ” 1.2 Nhiệm vụ đề tài Trong trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu tơi thấy dạng tốn khơng chỉ khó mà cịn hay, lơi em học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt khéo léo kiến thức hình học túy, véctơ, phương pháp tọa độ, … đưa toán toán quen thuộc Với đề tài này, cố gắng xây dựng sở kiến thức vững chắc, hệ thống tập ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề cách thuận lợi nhất, quy lạ quen để tốn xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng khơng cịn tốn khó giải 1.3 Đối tượng nghiên cứu Từ kiến thức ví dụ dễ hiểu, sau phát triển dần thành toán phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu đề tài tập trung vào số tốn góc đường thẳng mặt phẳng cụ thể chương trình hình học lớp 11 1.4 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài hình học chương trình SGK nâng cao hình học lớp 11 lưu hành Tập trung chủ yếu vào toán đề thi TN THPT Quốc Gia Với tinh thần yêu thích mơn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn toán, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn góc đường thẳng mặt phẳng” NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận, sở khoa học 2.1.1 Nhắc lại định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng 2.1.1.1 Định nghĩa: Cho đường thẳng a mặt phẳng ( P ) Nếu đường thẳng a ^ ( P ) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng ( P ) góc a hình chiếu a�của ( P ) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) Chú ý: Nếu  góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) ta ln có 00 �j �900 2.1.1.2 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng: + Nếu đường thẳng a ( P ) vng góc góc (� a,( P ) ) = 900 + Nếu đường thẳng a ( P ) song song a �( P ) (� a ,( P ) ) = 0 + Nếu đường thẳng a ( P ) không song song; a �( P ) ; a ( P ) khơng vng góc ta xác định góc chúng theo bước sau: + Bước 1: Xác định O = a �( P ) + Bước 2: Trên đường thẳng a ta chọn điểm A (khác O ) cho ta xác định hình chiếu H A ( P ) + Bước 3: Kết luận góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) j = � AOH 2.2 Áp dụng thực tế dạy học: Các dạng tập thường gặp 2.2.1 Các tốn xác định góc cạnh bên mặt đáy 2.2.1.1 Dạng toán 1: Xác định góc cạnh bên SB mặt đáy(P) (minh họa hình vẽ) + Bước 1: Xác định giao B đường mặt + Bước 2: Xác định hình chiếu H đỉnh S ( P ) � (đỉnh + Bước 3: Kết luận góc đường thẳng mặt phẳng ( P ) j = SHB -giao-chân) 2.2.1.1.a Ví dụ 1: (Đề minh họa BGD năm học 2020- 2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A����  2 Góc CA�và mp  ABCD B C D có AB  AD  2; AA� A 450 Giải B 300 C 600 D 900   ABCD nên AC hình chiếu CA� Từ gt � AA� ( ABCD ) Do � CA� ; ABDCD   � CA� ;CA  � A� CA A� CA = Tam giác A� AC vuông A nên tan � A� A =1 � � A� CA = 450 AC 2.2.1.1.b Một số tập Bài tập 1: (Đề minh họa BGD lần năm học 2019- 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với đáy, SA = 2a Tính góc SC ( ABCD ) A 450 B 300 C 600 D 900 Giải: Vì SA ^ ( ABCD ) nên AC hình chiếu SC ( ABCD ) � Do (� SC ,( ABCD ) ) = (� SC , AC ) = SCA � = Tam giác SAC vuông A nên tan SCA SA SA 2a = = AC AB + BC 3a + 3a = � = 300 � SCA Bài tập 2: ( Phát triển đề minh họa BGD 2020- Toán học Bắc Trung Nam) Cho hình chóp S ABCD có SA  SC  a a , SB  a 2, AB  BC  , AC  a 2 Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) A 450 Giải: B 300 C 600 D 900 Gọi H trung điểm AC Do SAC cân S nên SH  AC BAC cân B nên BH  AC � AC   SHB Gọi I hình chiếu S HB � SI   ABC  �  SBH � Do � SB, ABC    SBI SHC vuông H có SH  SC2  HC2  a BHC vng H có BH  BC2  HC2  a �  Khi cosSBH SB2  BH  SH 2 �  450  � SBH 2.SB.BH Bài tập 3: (Đề thi liên trường tỉnh Thanh Hóa 7/2020) Cho hình lập phương C , a góc MN ABCD A���� B C D Gọi M , N trung điểm AC ; B �� B C D ) Tính sin a ( A���� A sin a = B sin a = 5 C sin a = D sin a = Giải: Vì M trung điểm AC nên M tâm hình vng ABCD Gọi P tâm hình vng A���� BCD B C D ) nên PN hình chiếu MN ( A���� BCD) Khi MP ^ ( A���� � � Do ( MN ,( A���� B C D ) ) = (� MN , PN ) = MNP � = MP = a = = sin MNP a 5a Ta có MP = a; NP = � MN = nên MN 5a 2 Bài tập 4: (Đề minh họa BGD năm 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) 2 A B C D 3 Giải: Gọi O giao điểm AC BD; H trung điểm OD Ta có MH // SO mà SO  (ABCD) nên MH  ( ABCD) Do BH hình chiếu BM (ABCD) � �  � (BM,(ABCD))  � BM, BH   MBH a 3a Ta có MH  SO  , BM  4 a MH   Tam giác vng MHB có tan  BM 3a �� Bài tập 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A� BC có đáy ABC tam giác vuông B, B� ) AB= BC= a, BB� B mặt phẳng (BCC�  a Tính góc A�và A 450 Giải: Ta có B 300 C 600 D 900 �� A� B�  BC � B�   BCC� B�  nên BB�là hình chiếu A�trên mặt B �� A� A� B�  BB�� B� ) phẳng (BCC� B� ) góc hai đường thẳng A�và Do đó, góc A�và B mặt phẳng (BCC� B BB� �BB�  góc � Tam giác vng A� BB�có tan A� A� BB� A� B�  BB� 10 Vậy � = 300 A� BB� 2.2.1.2 Dạng tốn 2: Xác định góc cạnh bên SB mặt đứng (P)(mặt đứng hiểu mặt chứa đường cao hình) (minh họa hình vẽ) + Bước 1: Xác định giao S đường mặt + Bước 2: Xác định hình chiếu K đỉnh B ( P ) � (đỉnh + Bước 3: Kết luận góc đường thẳng mặt phẳng ( P ) j = BSK -giao-chân) 2.2.1.2.a Ví dụ : (Đề thi thử Sở GD Thanh Hóa tháng 4/2021) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng với AC  Biết SA vng góc với mặt phẳng  ABCD SA = Góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAB) A 300 B 450 C 600 D 900 Giải 11 �DA ^ AB � DA ^ ( SAB ) nên SA hình chiếu SD ( SAB ) Vì � � � �DA ^ SA � Khi (� SD,( SAB ) ) = (� SD, SA) = DSA ( ) Đặt AB = x AC = DC + AD � = x + x � x = Tam giác vng SAD có SA = AD = � D SAD vuông cân S � = 450 Do DSA 2.2.1.2.b Một số tập Bài tập 1: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = AB = a Tam giác ABC vuông cân A Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) A 300 B 450 C 600 D 900 Giải: 12 CA ^ AB � � CA ^ ( SAB ) nên SA hình chiếu SC ( SAB ) Vì � � � CA ^ SA � � Do (� SC ,( SAB ) ) = (� SC , SA) = CSA � = 450 Ta có CA = SA � D SAC vng cân A � CSA Bài toán bước đệm để em HS xử lí tốt dạng tốn liên quan góc thể tích mà em học lớp 12 sau đây; (BÀI TẬP PHÁT TRIỂN ĐỀ MH BGD NĂM 2021- Strong team tốn) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân đỉnh C , AB  2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt phẳng  SAB  30�(tham khảo hình bên) Thể tích khối chóp S ABC A a3 B 6a C 2a D 6a 13 Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, � ABC  600 ; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Góc SB mặt phẳng ( SAC ) A 300 B 450 C 600 D 900 Giải Gọi O giao điểm AC BD Do ABCD hình thoi nên AC  BO (1) Vì SA ^ ( ABCD ) � SA ^ BO (2) � Từ (1) (2) suy BO ^ ( SAC ) nên (� SB,( SAC ) ) = (� SB, SO ) = BSO a Trong tam giác vng BOA, ta có � ABO = 300 nên suy AO = AB = 2 BO = a a 3a Trong tam giác vng SAO, ta có: SO = SA + AO = 2a + = Vì BO ^ ( SAC ) � BO ^ SO � D SOB vuông O � = tan BSO 2 BO a 3 � = 300 = = � BSO SO 3a Bài tập 3: (Đề thi thử chuyên Quốc học Huế lần 2- năm học 2019- 2020) Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc AB = AC = AD vng góc với đáy, SA = 2a Góc giữaCD ( ABC ) 14 A 450 B 300 C 600 D 900 Giải: �DA ^ AB � DA ^ ( ABC ) nên AC hình chiếu DC ( ABC ) Vì � � � DA ^ AC � Do (� CD,( ABC ) ) = (� CD, CA) = � ACD Ta có CA = CD � D CAD vuông cân A � � ACD = 45 2.2.1.3 Dạng tốn3: Xác định góc cạnh góc vng mặt bên (P)(mặt đứng hiểu mặt chứa đường cao hình) (minh họa hình vẽ) + Bước 1: Xác định giao S đường mặt + Bước 2: Xác định hình chiếu K đỉnh H mặt � + Bước 3: Kết luận góc đường thẳng mặt phẳng j = HSM (đỉnh -giao-chân) 15 2.2.1.3.a Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = AB = a Tam giác ABC vuông cân A Gọi  góc tạo SA mặt phẳng ( SBC ) tan bằng: A tan j = B tan j = C tan j = 2 D tan j = 2 Giải: +) Tam giác SAM vng A có tan j = AM a 2 = = SA a Ta có BC = AB + AC = 2a a Từ A hạ AM ^ BC , (M �BC) � AM = � =j Do (� SA,( SBC ) ) = (� SA, SM ) = ASM Từ kiến thức kết hợp với liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc, HS áp dụng vào giải toán VD, VDC tập sau: 2.2.1.3.b Một số tập Bài tập 1: (Phát triển đề minh họa BGD 2020- toán học Bắc Trung Nam) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, � ABC  600 Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Gọi  góc đường thẳng SB mặt phẳng (SCD), tính sin biết SB = a 16 A sin  B sin  C sin  D sin  Giải: Gọi M trung điểm SD Vì OM // SB nên góc đường thẳng SB mặt phẳng (SCD) góc OM (SCD) � Gọi H hình chiếu O (SCD) � � OM, SCD   � OM, MH   OMH Trong (SBD) kẻ OE // SK, với K hình chiếu S lên mặt đáy, tứ diện OECD tứ diện vng nên 1 1 = + + (*) 2 OH OC OD OE OE OD 3 a a = = � OE = SK mà Ta có OC = , OD = Lại có: SK KD 4 2 � � a 3 a a a 3� � � Do OE = SK = = SK = SB - BK = a - � = � � � � 4 3 � � 2 Thay vào (*) ta OH = Tam giác OHM a vng H, có a a OM = SB = , OH = 2 � = OH = Vậy sin  � sin OHM OM 2 17 Bài tập 2:(Phát triển đề minh họa BGD 2020- toán học Bắc Trung Nam) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA= a Gọi  góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Khẳng định đúng? A tan  B tan  C tan  D tan   Giải Gọi K trung điểm đoạn SB Vì AB = SA = a nên tam giác SAB vuông cân A Suy AK  SB a  2 Mặt khác: AK ^ SB, BC ^ ( SAB ) nên AK ^ ( SBC ) Dựng hình bình hành AKHD hình vẽ, suy HD ^ ( SAC ) � = j góc SD (SBC) Do SH hình chiếu SD (SBC) � DSH Xét tam giác SHD vng H, có HD= AK= a , SD= 2a HD a 7 �  HD  tan  tan DSH  :  2 SH a SD  HD 18 Và nhiều toán tương tự giải cách hiệu 2.3 Hiệu đề tài Những điều thực nêu có số tác dụng học sinh,cụ thể : Các em tỏ say mê, hứng thú với dạng tốn coi thành cơng người giáo viên Kết thúc đề tài khảo sát lại cho em học sinh lớp 11C7 Kết sau: Không nhận biết Số lượng Tỉ lệ ( %) 0.0 Nhận biết, Nhận biết vận dụng, biết vận dụng chưa giải hoàn chỉnh 10 6.3 21.7 Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 33 72 Như em có tiến Nghĩa phương pháp mà nêu đề tài giúp em phân loại tập nắm vững phương pháp làm trình bày bài, giúp em tự tin học tập thi KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Với phát triển xã hội yêu cầu thực tiễn người mới, từ thực tế giảng dạy chuyên đề qua thực nghiệm đề tài nhận thấy, hiệu đề tài tích cực HS chủ động, sáng tạo việc tìm hiểu kiến thức Một kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinhđồng thời rèn luyện cho HS nhiều kỹ cần thiết Kiến thức dạy học đa dạng phân mơn, giúp em 19 biết cách nhìn vấn đề nhiều góc độ, đặt vấn đề sống mối quan hệ qua lại gắn kết chặt chẽ 3.2 Kiến nghị Nội dung đề tài đồng nghiệp thực nghiệm đơn vị hiệu tập thể đánh giá tốt, HS học theo phương pháp có kết học tập tốt hơn, phát triển nhiều kỹ kiến thức Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc khơng dễ Do chỉ chuyên đề nhỏ để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện hơn./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Vũ Thị Hoa 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hình học 11, Bài tập hình học 11 – nhà XBGD năm 2008 [2] Hình học 11 nâng cao, Bài tập hình học 11 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 [3] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ năm 2010 [4] Các dạng Toán phát triển đề thi minh họa 2020- năm 2002 [5] Tuyển tập đề thi thử TN THPT Quốc Gia trường nước năm học 2018-2019; 2019- 2020; 2020- 2021 [6] Tuyển tập sản phẩm nhóm Strong Team Tốn từ 2019 đến 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GD TỈNH THANH HÓA XẾP LOẠI Tên đề tài Sáng kiến “Một số tốn viết phương trình đường thẳng không gian” “Phân loại số phương pháp giải tốn quan hệ vng góc không gian” Số, ngày, tháng, năm Năm cấpXếp loại định công nhận, quan ban hành QĐ 2013 2016 C QĐ số 743/QĐ-SGD&ĐT, ngày 04/11/2013 Giám Đốc Sở GD&ĐT Thanh Hóa C QĐ số 972/QĐ-SGD&ĐT, ngày 24/11/2016 Giám Đốc Sở GD&ĐT Thanh Hóa 22 23 ... 22 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Góc khái niệm khơng chương trình Tốn phổ thơng, từ lớp HS làm quen với khái niệm góc. .. ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn góc đường thẳng mặt phẳng? ?? NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận, sở khoa học 2.1.1 Nhắc lại định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng 2.1.1.1 Định nghĩa: Cho đường thẳng. .. với khái niệm góc (trong mặt phẳng) Khơng cịn bó hẹp mặt phẳng, đến lớp 11, loại góc khơng gian bao gồm góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng nghiên cứu đầy đủ Song