(SKKN 2022) Kinh nghiệm sử dụng vectơ tính góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chủ đề xác định tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng chương trình THPT chủ đề có từ lâu, để sử dụng vectơ tính góc khơng gian phần mà chương trình sách giáo khoa, tài liệu tham khảo chưa đề cập tới nhiều Vì việc dạy học phần tính góc khơng gian thường có khó khăn định Thực tế cho thấy việc giảng dạy tốn liên quan đến tính góc khơng gian ln dạng tốn khơng dễ Chẳng hạn em thường lúng túng việc cách xác định góc tạo hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Khi dùng phương pháp xác định tính góc thường em khơng xác định góc có xác định lúng túng việc tính tốn yếu tố có liên quan … Là giáo viên Tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết kĩ sử dụng vectơ để tính góc không gian giúp học sinh tránh sai lầm giải toán liên quan Với lý chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Kinh nghiệm sử dụng vectơ tính góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xây dựng hệ thống tập tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Chương III - Hình học lớp 11 nhằm định hướng hình thành phát triển cho học sinh lực, kỹ sau đây: - Năng lực tư duy, lực tính tốn - Kỹ vận dụng kiến thức vectơ Hình học lớp 10 Hình học lớp 11 vào giải tốn góc khơng gian - Phát triển trí tưởng tượng khơng gian, kỹ biểu thị vectơ qua vectơ không đồng phẳng - Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học -1- 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu đề tài hệ thống tập tính góc khơng gian Chương III – Hình học lớp 11 thiết kế theo định hướng phát triển lực Toán học học sinh, qua khẳng định cần thiết phải xây dựng hệ thống tập giảng dạy phần tính góc khơng gian Hình học lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm: - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học tốn nói chung dạy học phân mơn Hình học khơng gian trường THPT Nơng Cống để từ thấy tầm quan trọng việc xây dựng hệ thống tập góc khơng gian sử dụng phương pháp véc tơ Chương III - Hình học khơng gian lớp 11 việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Trên sở tài liệu phân phối chương trình mơn học, chuẩn kiến thức – kỹ năng, sách giáo khoa Hình học 11 – Nâng cao tài liệu Dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh để xây dựng hệ thống tập theo mục đích đặt 1.5 Điểm đề tài - Điểm đề tài việc tác giã xây dựng ý tưởng sử dụng vectơ để tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng góc hai mặt phẳng NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp sử dụng có hiệu phương pháp vectơ Phương pháp xuyên suốt chương trình THPT, phương pháp đơn giản phù hợp với tư học sinh Trên thực tế đa số học sinh ngại giải tốn có liên quan đến tính góc không gian 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1 Thực trạng chung Xuất phát từ mục tiêu đổi chương trình giáo dục phổ thơng là: Coi trọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung chương trình tinh giảm, -2- giảm tính hàn lâm, tập trung vào kiến thức, kĩ thiết thực, tích hợp nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức kĩ tương ứng cần truyền thụ cho học sinh chương trình phổ thơng hồn tồn 2.2.2 Thực trạng giáo viên Đối với đa số giáo viên không quen không hào hứng dạy phần này, để tính góc hai đường thẳng chéo nhau, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thường phải thực theo hai bước: Dựng góc cần tính tính số đo góc vừa dựng Tuy nhiên, có số tốn gặp khó khăn bước dựng dựng tính góc lại phức tạp 2.2.3 Thực trạng học sinh Hình học khơng gian đặc biệt chủ đề Góc khơng gian nội dung kiến thức hay, qua việc giải tập hình thành phát triển người học lực sáng tạo, lực giải vấn đề … Tuy nhiên với nhiều em học sinh lại chủ đề mà em thấy khó khăn, hứng thú học tập, giải vấn đề toán Nhưng sử dụng phương pháp vectơ em có hứng thú gặp dạng toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các kiến thức cần nắm vững r r Định nghĩa tích vô hướng hai vectơ: Cho hai vectơ a b khác vectơ r r r rr Tích vơ hướng số ký hiệu a b a.b , xác định rr r r r r công thức sau: a.b = a b cos a, b ( ) r r Hai véc tơ vng góc với nhau: Cho vectơ a b vng góc với rr a.b = r Bình phương vơ hướng vectơ: a ( ) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: r2 =a r r r Định lý 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương c r rr Khi ba vectơ a, b, c đồng phẳng có cặp số m, n cho r r r c = m.a + n.b Ngoài cặp số m, n -3- r rr Định lý 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b, c Khi r r r r r với vectơ u ta tìm ba số x, y, z cho u = xa + yb + zc Ngoài ba số x, y, z 2.3.2 Tính góc hai đường thẳng Bài tốn: Trong khơng gian cho hai đường thẳng ∆ d Gọi α góc ∆ d Tính góc α Hướng dẫn r rr Bước 1: Chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng a, b, c thoả mãn: r r r a + , b , c tính rr rr rr + a.b, b.c, c.a tính r r Bước 2: Gọi u , v vectơ phương đường thẳng ∆ d r r r rr r r r r + Biểu diễn u , v qua ba vectơ a, b, c ( giả sử u = m.a + n.b + p.c r r r r v = x.a + y.b + z.c ) r2 r + Tính u = u r r r = m.a + n.b + p.c ( ) ( ) r r2 r ⇒ u v = v rr r r r r r r u v = m a + n b + p c x a + y b + z c + Xét ( )( r r r = x.a + y.b + z.c ( ) ( ) r ⇒v ) rr u.v r r Khi ta có cos α = cos u, v = r r u.v ( ) Ví dụ 1.1 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a Tính cơsin góc hai đường thẳng AB SC A B C Phân tích theo phương pháp vectơ: -4- D S B C O A D uuu r uuu r uuur - Ta nhận thấy vectơ SO, AB, AD đơi vng góc với độ dài vectơ tính uuu r uur - Biểu diễn vectơ AB, SC qua vectơ uuu r uur - Tính độ dài vectơ AB, SC uuu r uur - Tính tích vơ hướng AB.SC sau sử dụng cơng thức uuu r uur AB.SC uuu r uur cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = uuu r uur AB SC ( ) Phương pháp vectơ Phương pháp truyền thống a uuu r r uuu r u r uuur r Đặt SO = x, AB = y, AD = z S Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO = uur r u r r uur SC = x + y + z , SC = a Ta có 2 B uuu r uur u rr u r r u r a2 ⇒ AB.SC = y  x + y + z ÷ = y = 2  2  uuu r uur cos AB , SC = cos AB , SC ( ) Mặt khác ( ) ( ) A C O D Do AB / / CD ⇒ (¼ AB, SC ) = (¼ CD, SC ) uuu r uur a2 AB.SC = uuu r uur = = AB SC a 2.a ¼ Ta tính góc SCD Theo SC = SD = a 2, CD = a Xét tam giác SCD áp dụng định lý cosin ta có: SC + CD − SD a2 ¼ cos SCD = = 2.SC.CD 2a -5- = Vậy cos (¼ AB, SC ) = 4 Nhận xét: Khi sử dụng công cụ vectơ tính góc hai đường thẳng tơi nhận thấy số hiệu rõ rệt sau: Thứ nhất, tiết dạy HHKG phong phú đa dạng nhiều, học sinh có hứng thú trình học tập mơn HHKG Thứ hai, học sinh có hội phát triển số lực cần thiết mơn Tốn cấp THPT như: Năng lực tính tốn, Kỹ vận dụng linh hoạt tính chất vectơ không gian Thứ ba, học sinh khơng phải tư trừu tượng vẽ hình, cách xác định góc hai đường thẳng, phương pháp vectơ đơn giãn, ngắn gọn Ví dụ 1.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B 'C ' có AB = a AA' = 2a Góc hai đường thẳng AB ' BC ' A 600 B 1200 Phân tích theo phương pháp vectơ C 900 D 300 C A B A' C' M B' - Gọi M trung điểm B 'C ' uuur uuuur uuuu r - Ta nhận thấy vectơ AA' , A' M , B 'C ' đơi vng góc với độ dài vectơ tính uuur uuur - Biểu diễn vectơ AB ' , BC ' qua vectơ uuur uuur - Tính độ dài vectơ AB ' , BC ' uuur uuur - Tính tích vơ hướng AB ' BC ' sau -6- sử dụng công thức uuur uuur AB ' BC ' uuur uuur ' ' ' ' cos ( AB , BC ) = cos AB , BC = uuur uuur AB ' BC ' ( ) Phương pháp vectơ Phương pháp truyền thống Gọi M trung điểm B 'C ' r uuur r uuuur r uuuur Đặt a = AA' , b = A' M , c = B 'C ' C A B r r a r ⇒ a = a 2, b = , c =a O + Ta có: uuur uuur uuuur uuuu r r r 1r ' ' ' AB = AA + A M + MB ' = a + b − c M A' C' B' AB ' = a uuur uuur uuuur r r uuur ' ' ' ' BC = BB + B C = a + b ⇒ BC ' = a + Gọi O = AB ' ∩ A' B , M trung điểm uuur uuur  r r r  r r 3a AB ' BC ' =  a + b − c ÷ a + c =   uuur uuur ⇒ cos ( AB ' , BC ' ) = cos AB ' , BC ' · · Suy ( AB ' , BC ' ) = ( AB ' , OM ) ( ' ' AC Khi ta có OM / / BC ' ) ( ) Ta xét tam giác OMB ' 1 BB '2 + B 'C '2 Ta có: OM = BC ' = 2 uuur uuur AB ' BC ' · = uuur uuur = ⇒ ( AB ' , BC ' ) = 600 AB ' BC ' = a = OB ' Mà B ' M = a ⇒ ∆OMB ' tam · · ' giác ⇒ MOB = 60' = ( OM , AB ' ) · ⇒ ( BC ' , AB ' ) = 600 Một số tập tương tự Bài 1.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng Tam giác SAB · vng S , góc SBA = 300 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm AB, BC Tính cosin góc tạo hai đường thẳng SM DN -7- A B C D Bài 1.2 Cho hình lăng trụ ABC A' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng A , AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , A' H = a Tính cosin góc hai đường thẳng A' B B 'C A B C D 2.3.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) góc hai đường thẳng d d ' ( d ' hình chiếu d lên mặt phẳng ( P ) ) Tuy nhiên số tốn gặp khó khăn việc dựng d ' Nếu gặp tình rr u.v ta sử dụng phương pháp vectơ hoàn toàn đơn giản, ta tính cos α = r r u v r r với u vectơ phương d , v có giá vng góc với ( P ) Khi góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) góc β = 900 − α Bài tốn: Trong khơng gian cho đường thẳng ∆ mp ( P ) Tính góc ∆ mp ( P ) Hướng dẫn r rr Bước 1: Chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng a, b, c thoả mãn: r r r + a , b , c tính rr rr rr + a.b, b.c, c.a tính r r Bước 2: Gọi u , v vectơ phương đường thẳng ∆ vectơ có phương vng góc với mp ( P ) r r + Biểu diễn u , v qua ba vectơ r r r r v = x.a + y.b + z.c ) r rr r r r r a, b, c ( giả sử u = m.a + n.b + p.c -8- r2 r + Tính u = u r r r = m.a + n.b + p.c ( ) ( ) r r2 r ⇒ u v = v r r r = x.a + y.b + z.c ( ) ( ) r ⇒v rr r r r r r r u v = m a + n b + p c x a + y b + z c + Xét ( )( ) rr u.v r r ¼ Khi ta có cos α = cos u , v = r r ⇒ ( ∆, ( p ) ) = 90 − α u.v ( ) Ví dụ 2.1 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a Gọi M , N trung điểm SA, BC Góc đường thẳng MN mặt phẳng ( ABCD ) 600 Tính cosin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SBD ) 41 B 16 Phân tích phương pháp vectơ: A C D 41 S M A B O N D C uuu r uuu r uuur - Cần chọn hệ vectơ sở Ta thấy vectơ OS , AB, AD đôi vng góc với độ dài vectơ đầu cho uuur uuur - Biểu diễn vectơ MN qua vectơ sở vừa chọn, tính độ dài vectơ MN r r - Gọi n vec tơ có phương vng góc với mặt phẳng ( SBD) , giả sử n biểu diễn r qua vectơ sở, sau sử dụng tích vơ hướng véc tơ n với vectơ r r biểu diễn qua vectơ sở để chọn véc tơ n cụ thể Tính độ dài vectơ n r uuur n.MN - Sử dụng công thức cos α = r uuur n MN - Gọi β góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SBD) ⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α Phương pháp vectơ Phương pháp truyền thống -9- Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) S Giã sử SO = m M F uuu r r uuu r r uuur r Chọn hệ vectơ sở OS = a, AB = b, AD = c A D J I Ta có uuur uuur uuur uuur MN = MA + AC + CM r uuur uuur uur uuu = SA + AB + AD − AD 2 O E B C N Từ giã thiết ta có SO ⊥ ( ABCD ) Gọi I trung điểm OA MI đường r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu = − OS − AB + AD + AB + AD − AD ⇒ I hình chiếu M lên mặt ( ) ( phẳng r uuu r uuur uuu 1r 3r 1r = − OS + AB + AD = − a + b + c 4 4 ⇔ SO = m = m + a = ( ABCD ) ⇒ IN hình chiếu MN lên mặt phẳng ( ABCD ) Suy uuur 2 MN = m + a + a = m + a 16 16 m bình ⇒ MI / / SO ⇒ MI ⊥ ( ABCD ) ) uuur uuu r MN OS cos ϕ = uuur uuu ⇔ r = MN OS trung ∆SOA r uuur uuu r uuur uuur uuu = SO − AO + AB + AD − AD 2 (·MN , ( ABCD ) ) = (·MN , IN ) · = MNI = 600 Ta có NC = BC = a ; 2 3a IC = AC = 4 a 30 a 10 , MN = 2 Áp dụng định lý cosin ∆INC ta có · r IN = CI + CN − 2CI CN cos NCI Gọi n có phương vng góc với mặt phẳng ( SBD ) ⇒ IN = r r r r Đặt n = xa + yb + zc Do uur r r r uuur r r Ta có SB = − a + b − c, BD = −b + c 2 r uur n.SB = ⇒  r uuu r n.BD = a 10 ∆MIN · cos MNI = ⇒ MN = Lại có - 10 - vng IN MN IN a 10 = cos600 I nên   ⇔   ( ( AC ⊥ BD, AC ⊥ SO ⇒ AC ⊥ ( SBD ) r r r  r r r xa + yb + zc  −a + b − c ÷ = 2   r r r r r xa + yb + zc −b + c = ) )( Gọi E trung điểm OB ⇒ EN ) đường trung bình ∆BOC ⇒ EN / / OC hay EN / / AC r r r x = ⇔ Chọn y = z = ⇒ n = b + c y = z uuur r MN n a2 cos β = uuur r = = MN n a 10 a 2 ⇒ NE ⊥ ( SBD ) Hay E hình chiếu N lên mặt phẳng ( SBD ) Gọi F trung điểm SO ⇒ MF đường trung bình Suy góc đường thẳng MN mặt ∆SAO ⇒ MF / / AO hay MF / / AC ⇒ MF ⊥ ( SBD ) hay F hình chiếu phẳng ( SBD ) γ = 900 − β vng góc M mặt phẳng sin γ = sin ( 90 − β ) = cos β = ( SBD ) ⇒ cos β = − sin β = Ta 5 có MF / / NE nên bốn điểm E , N , F , M đồng phẳng Trong mặt phẳng ( ENFM ) gọi J = MN ∩ EF ⇒ J = MN ∩ ( SBD ) Do EF ⊂ ( SBD ) suy · (·MN , ( SBD ) ) = (·MN , EF ) = MJE · ( EJN < 900 ) 1 a Ta có EN = OC = AC = 4 MF = 1 a AO = AC = 4 ⇒ EN = MF , mà EN / / MF suy tứ giác ENFM hình bình hành ⇒ J trung điểm a 10 MN ⇒ JN = MN = - 11 - · Vậy cos (·MN , ( SBD ) ) = cos EJN JE = = JN JN − EN 2 = JN Ví dụ 2.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với đáy ( ABCD ) Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SBD) Khẳng định sau đúng? 2 A sin α = B sin α = 3 Phân tích phương pháp vectơ: C sin α = D sin α = S A D B C uur uuu r uuur - Ta thấy vectơ SA, AB, AD đôi vng góc với độ dài vectơ đầu cho uur uur - Biểu diễn vectơ SC qua vectơ sở vừa chọn, tính độ dài vectơ SC r r - Gọi n vectơ có phương vng góc với mặt phẳng ( SBD) , biểu diễn n qua r vectơ đó, sau sử dụng tích vơ hướng vectơ n với vectơ không phương thuộc mặt phẳng ( SBD) hai vectơ biểu diễn qua vectơ chọn r Từ đo suy vectơ n cụ thể r uur n.SC - Sử dụng công thức cos α = r uur n SC - Gọi β góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SBD) ⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α Phương pháp vectơ uur r uuu r r uuur r Đặt SA = a, AB = b, AD = c Phương pháp truyền thống - 12 - uur uur uuu r uuur r r r Ta có SC = SA + AB + AD = a + b + c uur uur r r r ⇒ SC = SC = a + b + c = 3a ( ) ( S ) uur ⇔ SC = a r Gọi n vectơ có phương vng góc với r r r r mặt phẳng ( SBD) Đặt n = xa + yb + zc Ta có ( ( r uuu r  n.SB =  ⇔  r uuur n.SD =   r r r xa + yb + zc r r r xa + yb + zc )( )( r r a+b =0 r r a+c =0 ) )  y = −x ⇔ z = −x O H B C Ta có:  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC )   BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ AC Mà ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Từ C ta kẻ CH ⊥ SO H Ta nhận r r r r Chọn x = −1 ⇒ y = z = ⇒ n = − a + b + c r2 r ⇒n = n D A r r r = −a + b + c Khi CH ⊥ ( SBD ) r = 3a ⇔ n = a Suy SH hình chiếu SC lên ( ) ( ) r uur r r r r r r n SC = − a Ta có: ( + b + c) ( a + b + c) = a thấy H nằm tia đối tia OS r uur n.SC a2 = Do cos α = r uur = n SC a 3.a 3 ⇒ góc SC mặt phẳng ( SBD ) · góc SC SO góc CSA Gọi β góc đường thẳng SC mặt Xét tam giác SOC Ta có: SO = SA2 + AO = phẳng ( SBD) ⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α = mặt phẳng ( SBD ) a SC = SA2 + AC = a OC = a Áp dụng định lý cosin cho tam giác SOC ta có: SC + SO − OC 2 · cosCSO = = 2.SC.SO ⇒ sin (¼ SC , ( SBD ) ) · = − cos CSA = - 13 - Bài tập tương tự Bài 2.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A B AB = BC = a , AD = 2a Biết SA vuông góc với đáy ( ABCD ) SA = a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính cosin góc tạo đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) A B 55 10 C 10 D 2.3.4 Tính góc hai mặt phẳng Để tính góc hai mặt phẳng ( P ) (Q) cắt theo giao tuyến ∆ , thông thường ta dựng mặt phẳng thứ ba (R) ⊥ ∆ Nếu việc dựng (R) khó khăn, dùng trực tiếp định nghĩa góc hai mặt phẳng: - Dựng hai đường thẳng a b vng góc với hai mặt phẳng ( P ) (Q) - Dùng véc tơ tính góc hai đường thẳng a b Đó góc hai mặt phẳng ( P ) (Q) Bài tốn: Trong khơng gian cho hai mặt phẳng mp ( P ) mp ( Q ) Tính góc mp ( P ) mp ( Q ) Hướng dẫn r rr Bước 1: Chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng a, b, c thoả mãn: r r r a + , b , c tính rr rr rr + a.b, b.c, c.a tính ur uu r Bước 2: Gọi n1 , n2 vectơ có phương vng góc với mp ( P ) mp ( Q ) ur uu r r rr ur r r r + Biểu diễn n1 , n2 qua ba vectơ a, b, c ( giả sử n1 = m.a + n.b + p.c uu r r r r n2 = x.a + y.b + z.c ) ur ur + Tính n1 = n1 r r r = m.a + n.b + p.c ( ) ( uu r uu r r r r n2 = n2 = x.a + y.b + z.c ( ) ( ) ) ur ⇒ n1 uu r ⇒ n2 - 14 - ur uu r r r r r r r + Xét n1.n2 = m.a + n.b + p.c x.a + y.b + z.c ( )( ) ur uu r n1.n2 ur uu r ¼ r ⇒ ( ( P) ,( Q) ) = α Khi ta có cos α = cos n1 , n2 = ur uu n1 n2 ( ) Ví dụ 3.1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B 'C ' có AB = AA' = ' ' Gọi M , N , P trung điểm cạnh A' B ' , AC BC Tính cosin ' ' góc tạo hai mặt phẳng ( AB C ) ( MNP ) A 13 13 B 65 65 Phương pháp vectơ A' N 17 13 18 13 D 65 65 Phương pháp truyền thống C C' C' Q N M M B' B' A' O C A C P P B B A r uuur u r uuu r r uuur Gọi I , Q trung điểm Chọn hệ véc tơ x = AA' , y = AP, z = BC r u r r MN , B 'C ' O = PI ∩ AQ ⇒ x = 2, y = 3, z = Khi ru r rr u rr x y = x.z = y.z = uuuu r uuur r Ta có MN = BC = z 2 uuur uuuu r uuur' uu'ur r 1u r NP = NC ' + CC + C P = − x + y ur r u r r Gọi n1 = ax + b y + cz vectơ O ∈ ( AB 'C ' ) ∩ ( MNP )  ' '  B C / / MN  ' ' ' '  B C ⊂ ( AB C ) , MN ⊂ ( MNP ) có phương vng góc với mặt phẳng nên ' ' giao tuyến ( AB C ) ( MNP ) đường thẳng d qua O song song với MN , B 'C ' Tam giác - 15 - AB 'C ' cân A nên ur uuuu r n1.MN = c = ⇔ ( MNP ) ⇒  ur uuur − a + b=0 n NP =   ur r u r Chọn a = 9, b = ⇒ n1 = x + y ur ⇒ n1 = 30 uuuur uuur r Ta lại có: B 'C ' = BC = z , uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuu r ' ' ' ' ' AB = AA + A B = AA + AP + PB r u r 1r = x+ y− z uu r r u r r Gọi n2 = mx + n y + pz vectơ có AQ ⊥ B 'C ' ⇒ AQ ⊥ d Tam giác PMN nên PI ⊥ MN ⇒ PI ⊥ d Do góc tạo hai mặt phẳng ( AB C ) ' ' ( MNP ) góc AQ PI Ta có AP = 3, AQ = 13, IP = Vì ∆OAP đồng dạng với ∆OQI AP =2 IQ phương vng góc với mặt phẳng uu r uuuur n B 'C ' = c = ( AB 'C ' ) ⇒ uur2 uuur' ⇔ 4a + 9b =  n2 AB = uu r r u r Chọn a = 9, b = −4 ⇒ n2 = x − y uu r ⇒ n2 = 13 cân P nên AO = 2 13 ; AQ = 3 OP = IP = 3 ( ) · cos ( AB 'C ' ) , ( MNP ) = cos (·AQ, PI ) OA2 + OP − AP 13 · = cos AOP = = 2.OA.OP 65 r · ·ur uu cos ( AB 'C ' ) , ( MNP ) = cos n1 , n2 ( ) r u r r ) u r ( 9x + y ) ( 9x − y ) = 13.30 ( = 13 65 Ví dụ 3.2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Tính góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SAC ) A 450 B 600 Phân tích theo phương pháp vectơ C 300 - 16 - D 900 S C A B uuu r uur uuu r - Cần chọn hệ vectơ sở Ta thấy vectơ AS , BA, BC đơi vng góc với độ dài vectơ đầu cho r ur - Gọi n, m có phương vng góc với mặt phẳng ( SBC ) ( SAC ) , r ur giả sử n, m biểu diễn qua vectơ sở, sau sử dụng tích vô hướng r ur véc tơ n, m với vectơ tương ứng thuộc mặt phẳng ( SBC ) ( SAC ) r ur biểu diễn qua vectơ sở để chọn vectơ n, m cụ thể Tính độ dài vectơ r ur n, m ur r m.n - Sử dụng công thức cos ϕ = ur r m.n Phương pháp vectơ Phương pháp thông thường Chọn hệ vectơ sở uuu r r uur r uuu r r ur r AS = a, BA = b, BC = c Gọi m, n lần S lượt hai vectơ có phương vng góc N với mặt phẳng ( SBC ) ( SAC ) Đặt ur r r r m = xa + yb + zc ta có uur ur  SB.m = Gọi M , N trung điểm ⇔  uuu r ur  BC.m = AC SB r r r r r Khi ta có:  −a − b xa + yb + zc =  ⇔ r r r r  BM ⊥ AC c xa + yb + zc = ⇒ BM ⊥ ( SAC )   BM ⊥ SA C M A B ( ( )( ) )  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB )   BC ⊥ SA − xa − ya =  y = − x ⇔ ⇔ za = z =  - 17 - ur r r Chọn x = ⇒ y = −1 ⇒ m = a − b ⇒ BC ⊥ AN ur ⇒ m Mà AN ⊥ SB ⇒ AN ⊥ ( SBC ) r r = a −b ( ) ( ) Khi (· ( SAC ) , ( SBC ) ) = (·AN , BM ) ur ur ⇔ m = 2a ⇒ m = a r r r r Tương tự n = xa + yb + zc uur r  SA.n = ⇔  uuur r  AC.n = r r r r −a xa + yb + zc =  ⇔ r r r r r  −b + c xa + yb + zc = ( ( )( ) uuur uuu r uuu r Ta có: AN = AS + AB uuuu r uuu r uuur BM = BA + BC r uuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuu AN BM = AS + AB BA + BC 2 r2 uuu a2 = − AB = − 4 ( ( ) ( ) − xa = x = ⇔ ⇔ Chọn  2 − ya + za =  y = z r r r r r r y =1⇒ z =1 ⇒ n = b + c ⇒ n = b + c ( ) ( ) ) ( ) uuur a Mà AN = AN = ) r2 r ⇔ n = 2a ⇒ n = a uuuu r a BM = BM = uuur uuuu r cos ( AN , BM ) = cos AN , BM ( ) uuur uuuu r AN BM = uuur uuuu r = AN BM ur r m.n cos ϕ = ur r = ⇒ ϕ = 600 m.n Suy (· ( SAC ) , ( SBC ) ) = 600 Nhận xét: - Qua thực tế nhiều năm giảng dạy nhận thấy rằng, dừng lại việc giải câu hỏi tập SGK theo phương pháp truyền thông mà không mở rộng thêm tập phương pháp giải câu hỏi tập tiết học tẻ nhạt không gây hứng thú học tập cho học sinh, học sinh lớp thuộc Ban KHTN - Thực tế cho thấy, với việc giải tập tính góc công cụ vectơ, tiết học HHKG diễn sôi từ tiết học đầu tiên; học sinh khơng có hội phát triển lực tính tốn thân mà cịn có hội ôn tập lại kiến thức vectơ; học sinh giỏi có hội đề xuất nhiều phương án giải khác cho toán Bài tập tương tự - 18 - Bài 3.1 Cho hình lăng trụ đứng ABC A' B 'C ' có đáy ABC tam giác cân, ' ' · với AB = AC = a BAC = 1200 , cạnh bên AA = a Gọi I trung điểm CC ' Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB I ) A 11 11 B 33 11 C 10 10 D 30 10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Việc thiết kế tập giải phương pháp véc tơ trình dạy học thực nhiều năm giảng dạy môn Tốn lớp học theo Chương trình Nâng cao trường THPT Nông Cống Qua thực tế giảng dạy thấy sử dụng công cụ véc tơ vào giải tốn tính Góc khơng gian góp phần nâng cao đáng kể chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Hình học khơng gian thân, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường, đặc biết rèn luyện cho học sinh lớp 11 kỹ sử dụng công cụ vectơ vào tính tốn đại lượng hình học, kỹ biểu thị véc qua vectơ không đồng phẳng, kỹ biểu diễn hình học khơng gian từ tiếp cận môn Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, tơi trình bày cách làm cho nội dung tính góc khơng gian Chương III – Hình học lớp 11 Trong thực tế giảng dạy mơn Tốn, tơi cịn thực cách làm nhiều chun đề khác mơn Tốn (như dạng Toán chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, tính khoảng cách, kể Đại số, Giải tích) Với việc thiết kế tập tập trung vào phát triển lực tư tốn học hình thành kỹ giải toán cho học sinh Để đánh giá tiến chuyên đề mà nghiên cứu học sinh lớp dạy trường THPT Nông Cống 4, xin đưa bảng thống kê dựa tiêu chí kết kiểm tra lớp, kết thi HSG Toán cấp tỉnh thi ĐH mơn Tốn giai đoạn 2012 đến 2022 Lớp Năm học 11B6 2012-2013 11B1 2015-2016 Chưa hướng dẫn 20/45 (40%) 22/44 (50%) - 19 - Đã hướng dẫn 40/45 (80%) 43/44 (98%) 11B1 11B1 2018-2019 2021-2022 19/43 (44%) 21/43 (49%) 40/43 (93%) 41/43 (95%) KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Dạy học nghệ thuật mà người thầy vừa đóng vai trị đạo diễn, vừa đóng vai trị diễn viên Trong điều kiện nay, giáo dục nước nhà dần chuyển cho thay đổi, cải cách nhằm bắt với giáo dục tiên tiến giới đáp ứng yêu cầu hội nhập, vai trị người thầy trở nên quan trọng hết Muốn thay đổi giáo dục trước hết phải thay đổi từ tư dạy học người thầy; phải khỏi tính khn mẫu, hình thức tư dạy học vốn cố hữu lâu Phải linh hoạt sáng tạo việc thiết kế giáo án dạy học, phải tìm tịi, nghiên cứu phương án giải toán cho đơn giãn phù hợp yêu cầu thực tế Người thầy phải người tổ chức, điều khiển hoạt động để học sinh phát tri thức nắm bắt tri thức sở phát triển lực tư duy, khả phân tích, nhìn nhận vấn đề; kích thích đam mê sáng tạo học tập học sinh Làm hoàn thành nhiệm vụ người thầy hướng đổi phương pháp dạy học giai đoạn 3.2 Kiến nghị đề xuất Trên sáng kiến kinh nghiệm thực với học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống năm học vừa qua Rất mong xem xét, mở rộng để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp em có thêm nhiều cơng cụ giải vấn đề, qua em tự tin hứng thú học mơn tốn nói chung mơn Hình học khơng gian nói riêng./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 06 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác - 20 - Nguyễn Đình Dũng - 21 - ... tưởng sử dụng vectơ để tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng góc hai mặt phẳng NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp sử dụng. .. góc A' lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , A' H = a Tính cosin góc hai đường thẳng A' B B 'C A B C D 2.3.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) góc hai đường. .. hào hứng dạy phần này, để tính góc hai đường thẳng chéo nhau, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thường phải thực theo hai bước: Dựng góc cần tính tính số đo góc vừa dựng Tuy nhiên, có