Skkn kinh nghiệm sử dụng vectơ tính góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chủ đề xác định tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng chương trình THPT chủ đề có từ lâu, để sử dụng vectơ tính góc khơng gian phần mà chương trình sách giáo khoa, tài liệu tham khảo chưa đề cập tới nhiều Vì việc dạy học phần tính góc khơng gian thường có khó khăn định Thực tế cho thấy việc giảng dạy tốn liên quan đến tính góc khơng gian ln dạng tốn khơng dễ Chẳng hạn em thường lúng túng việc cách xác định góc tạo hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Khi dùng phương pháp xác định tính góc thường em khơng xác định góc có xác định lúng túng việc tính tốn yếu tố có liên quan … Là giáo viên Tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết kĩ sử dụng vectơ để tính góc không gian giúp học sinh tránh sai lầm giải toán liên quan Với lý chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Kinh nghiệm sử dụng vectơ tính góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xây dựng hệ thống tập tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Chương III - Hình học lớp 11 nhằm định hướng hình thành phát triển cho học sinh lực, kỹ sau đây: - Năng lực tư duy, lực tính tốn - Kỹ vận dụng kiến thức vectơ Hình học lớp 10 Hình học lớp 11 vào giải tốn góc khơng gian - Phát triển trí tưởng tượng khơng gian, kỹ biểu thị vectơ qua vectơ không đồng phẳng - Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học -1skkn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu đề tài hệ thống tập tính góc khơng gian Chương III – Hình học lớp 11 thiết kế theo định hướng phát triển lực Toán học học sinh, qua khẳng định cần thiết phải xây dựng hệ thống tập giảng dạy phần tính góc khơng gian Hình học lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm: - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học tốn nói chung dạy học phân mơn Hình học khơng gian trường THPT Nơng Cống để từ thấy tầm quan trọng việc xây dựng hệ thống tập góc khơng gian sử dụng phương pháp véc tơ Chương III - Hình học khơng gian lớp 11 việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Trên sở tài liệu phân phối chương trình mơn học, chuẩn kiến thức – kỹ năng, sách giáo khoa Hình học 11 – Nâng cao tài liệu Dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh để xây dựng hệ thống tập theo mục đích đặt 1.5 Điểm đề tài - Điểm đề tài việc tác giã xây dựng ý tưởng sử dụng vectơ để tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng góc hai mặt phẳng NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp sử dụng có hiệu phương pháp vectơ Phương pháp xuyên suốt chương trình THPT, phương pháp đơn giản phù hợp với tư học sinh Trên thực tế đa số học sinh ngại giải tốn có liên quan đến tính góc không gian 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1 Thực trạng chung Xuất phát từ mục tiêu đổi chương trình giáo dục phổ thơng là: Coi trọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung chương trình tinh giảm, -2skkn giảm tính hàn lâm, tập trung vào kiến thức, kĩ thiết thực, tích hợp nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức kĩ tương ứng cần truyền thụ cho học sinh chương trình phổ thơng hồn tồn 2.2.2 Thực trạng giáo viên Đối với đa số giáo viên không quen không hào hứng dạy phần này, để tính góc hai đường thẳng chéo nhau, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thường phải thực theo hai bước: Dựng góc cần tính tính số đo góc vừa dựng Tuy nhiên, có số tốn gặp khó khăn bước dựng dựng tính góc lại phức tạp 2.2.3 Thực trạng học sinh Hình học khơng gian đặc biệt chủ đề Góc khơng gian nội dung kiến thức hay, qua việc giải tập hình thành phát triển người học lực sáng tạo, lực giải vấn đề … Tuy nhiên với nhiều em học sinh lại chủ đề mà em thấy khó khăn, hứng thú học tập, giải vấn đề toán Nhưng sử dụng phương pháp vectơ em có hứng thú gặp dạng toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các kiến thức cần nắm vững Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ: Cho hai vectơ    khác vectơ  Tích vơ hướng của   là số ký hiệu là  , xác định công thức sau: Hai véc tơ vng góc với nhau: Cho vectơ vng góc với Bình phương vơ hướng vectơ: Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Định lý 1: Trong không gian cho hai vectơ Khi ba vectơ khơng phương đồng phẳng có cặp số Ngồi cặp số -3skkn cho Định lý 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng với vectơ ta tìm ba số Ngồi ba số Khi cho 2.3.2 Tính góc hai đường thẳng Bài tốn: Trong khơng gian cho hai đường thẳng Tính góc Gọi góc Hướng dẫn Bước 1: Chọn hệ gồm vectơ khơng đồng phẳng + thoả mãn: tính + tính Bước 2: Gọi vectơ phương đường thẳng + Biểu diễn qua ba vectơ ( giả sử ) + Tính + Xét Khi ta có Ví dụ 1.1 Cho hình chóp tứ giác A có cạnh đáy Tính cơsin góc hai đường thẳng B C Phân tích theo phương pháp vectơ: -4skkn cạnh bên D S B C O A D - Ta nhận thấy vectơ đơi vng góc với độ dài vectơ tính - Biểu diễn vectơ qua vectơ - Tính độ dài vectơ - Tính tích vơ hướng sau sử dụng công thức Phương pháp vectơ Gọi Phương pháp truyền thống S Đặt Ta có , B A C O D Mặt khác Do Ta tính góc Theo Xét tam giác cosin ta có: -5skkn áp dụng định lý Vậy Nhận xét: Khi sử dụng cơng cụ vectơ tính góc hai đường thẳng tơi nhận thấy số hiệu rõ rệt sau: Thứ nhất, tiết dạy HHKG phong phú đa dạng nhiều, học sinh có hứng thú q trình học tập mơn HHKG Thứ hai, học sinh có hội phát triển số lực cần thiết mơn Tốn cấp THPT như: Năng lực tính tốn, Kỹ vận dụng linh hoạt tính chất vectơ khơng gian Thứ ba, học sinh khơng phải tư trừu tượng vẽ hình, cách xác định góc hai đường thẳng, phương pháp vectơ đơn giãn, ngắn gọn Ví dụ 1.2 Cho hình lăng trụ tam giác Góc hai đường thẳng A B có C D Phân tích theo phương pháp vectơ C A B A' C' M B' - Gọi trung điểm - Ta nhận thấy vectơ đôi vng góc với độ dài vectơ tính - Biểu diễn vectơ qua vectơ -6skkn - Tính độ dài vectơ - Tính tích vơ hướng sau Phương pháp vectơ Gọi sử dụng công thức Phương pháp truyền thống trung điểm C A Đặt B O + Ta có: M A' C' B' Gọi + , trung điểm Khi ta có Suy Ta xét tam giác Ta có: Mà giác Một số tập tương tự -7skkn tam Bài 1.1 Cho hình chóp vng , góc có đáy hình vng Tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi trung điểm Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A B C Bài 1.2 Cho hình lăng trụ , D có đáy Hình chiếu vng góc trung điểm tam giác vng lên mặt phẳng Tính cosin góc hai đường thẳng A B C D 2.3.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng ( hình chiếu mặt phẳng lên mặt phẳng góc hai đường thẳng ) Tuy nhiên số tốn gặp khó khăn việc dựng Nếu gặp tình ta sử dụng phương pháp vectơ hồn tồn đơn giản, ta tính với vectơ phương đường thẳng mặt phẳng , có giá vng góc với góc Bài tốn: Trong khơng gian cho đường thẳng Khi góc Tính góc Hướng dẫn Bước 1: Chọn hệ gồm vectơ khơng đồng phẳng + + tính tính -8skkn thoả mãn: Bước 2: Gọi vectơ phương đường thẳng phương vng góc với + Biểu diễn vectơ có qua ba vectơ ( giả sử ) + Tính + Xét Khi ta có Ví dụ 2.1 Cho hình chóp tứ giác cạnh Gọi trung điểm mặt phẳng phẳng A có đáy Tính hình vng tâm Góc đường thẳng góc đường thẳng , và mặt B C D Phân tích phương pháp vectơ: S M A B O N D C - Cần chọn hệ vectơ sở Ta thấy vectơ đôi vng góc với độ dài vectơ đầu cho - Biểu diễn vectơ - Gọi qua vectơ sở vừa chọn, tính độ dài vectơ vec tơ có phương vng góc với mặt phẳng qua vectơ sở, sau sử dụng tích vơ hướng véc tơ -9skkn , giả sử biểu diễn với vectơ biểu diễn qua vectơ sở để chọn véc tơ cụ thể Tính độ dài vectơ - Sử dụng cơng thức - Gọi góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp vectơ Phương pháp truyền thống S Gọi M Giã sử F Chọn hệ vectơ sở A D J I Ta có O E B C N Từ giã thiết ta có Gọi trung điểm đường trung bình hình chiếu phẳng lên mặt hình chiếu lên mặt phẳng Suy Ta có ; Áp dụng định lý cosin Gọi có phương vng góc với mặt phẳng - 10 skkn ta có Đặt Ta có Do vng nên Lại có Chọn Gọi trung điểm đường trung bình hay Hay Suy góc đường thẳng phẳng mặt lên mặt phẳng Gọi là hình chiếu trung điểm đường trung bình hay hay vng góc hình chiếu mặt phẳng Ta có nên bốn điểm đồng phẳng Trong mặt Do ( - 11 skkn phẳng gọi suy ) Ta có , mà giác suy tứ hình bình hành trung điểm Vậy Ví dụ 2.2 Cho hình chóp vng góc với đáy mặt phẳng A có đáy hình vng cạnh Gọi góc đường thẳng Khẳng định sau đúng? B C D Phân tích phương pháp vectơ: S A B - Ta thấy vectơ D C đôi vng góc với độ dài vectơ đầu cho - Biểu diễn vectơ - Gọi qua vectơ sở vừa chọn, tính độ dài vectơ vectơ có phương vng góc với mặt phẳng vectơ đó, sau sử dụng tích vơ hướng vectơ - 12 skkn , biểu diễn qua với vectơ không phương thuộc mặt phẳng Từ đo suy vectơ hai vectơ biểu diễn qua vectơ chọn cụ thể - Sử dụng cơng thức - Gọi góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp vectơ Đặt Phương pháp truyền thống S Ta có D A O H B Gọi vectơ có phương vng góc với mặt phẳng C Ta có: Đặt Ta có Mà Từ ta kẻ thấy Ta nhận nằm tia đối tia Khi Chọn Suy hình chiếu lên mặt phẳng Ta có: góc góc Xét tam giác Do Gọi góc đường thẳng mặt phẳng - 13 skkn Ta có: mặt phẳng góc Áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có: Bài tập tương tự Bài 2.1 Cho hình chóp , có đáy hình thang vng Biết vng góc với đáy trung điểm mặt phẳng A và Gọi Tính cosin góc tạo đường thẳng B C D 2.3.4 Tính góc hai mặt phẳng Để tính góc hai mặt phẳng thông thường ta dựng mặt phẳng thứ ba cắt theo giao tuyến Nếu việc dựng , khó khăn, dùng trực tiếp định nghĩa góc hai mặt phẳng: - Dựng hai đường thẳng và vng góc với hai mặt phẳng - Dùng véc tơ tính góc hai đường thẳng hai mặt phẳng Đó góc Bài tốn: Trong khơng gian cho hai mặt phẳng và Hướng dẫn Bước 1: Chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng - 14 skkn thoả mãn: Tính góc + tính + tính Bước 2: Gọi vectơ có phương vng góc với + Biểu diễn qua ba vectơ ( giả sử ) + Tính + Xét Khi ta có Ví dụ 3.1 Cho hình lăng trụ tam giác Gọi có trung điểm cạnh góc tạo hai mặt phẳng A B C N Tính Phương pháp vectơ A' D Phương pháp truyền thống C' C' Q N M M B' B' A' O C A C P P B B Gọi Chọn hệ véc tơ A trung điểm và Khi - 15 skkn nên Ta có giao tuyến Gọi vectơ có đường thẳng phương vng góc với mặt phẳng với qua song song Tam giác cân nên Tam giác cân Chọn Do góc tạo hai mặt phẳng Ta lại có: , góc Ta có Gọi nên vectơ có Vì phương vng góc với mặt phẳng đồng dạng với nên Chọn - 16 skkn ; Ví dụ 3.2 Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân với Tính góc hai mặt phẳng A B C D Phân tích theo phương pháp vectơ S C A B - Cần chọn hệ vectơ sở Ta thấy vectơ đơi vng góc với độ dài vectơ đầu cho - Gọi có phương vng góc với mặt phẳng , giả sử biểu diễn qua vectơ sở, sau sử dụng tích vô hướng véc tơ với vectơ tương ứng thuộc mặt phẳng diễn qua vectơ sở để chọn vectơ biểu cụ thể Tính độ dài vectơ - Sử dụng công thức Phương pháp vectơ Chọn hệ Phương pháp thông thường vectơ Gọi sở S hai vectơ có phương vng góc với mặt phẳng N C Đặt M A ta có B Gọi trung điểm - 17 skkn Khi ta có: Chọn Mà Khi Ta có: Tương tự Mà Chọn Suy Nhận xét: - Qua thực tế nhiều năm giảng dạy nhận thấy rằng, dừng lại việc giải câu hỏi tập SGK theo phương pháp truyền thông mà không mở rộng thêm tập phương pháp giải câu hỏi tập tiết học tẻ nhạt khơng gây hứng thú học tập cho học sinh, học sinh lớp thuộc Ban KHTN - 18 skkn - Thực tế cho thấy, với việc giải tập tính góc cơng cụ vectơ, tiết học HHKG diễn sôi từ tiết học đầu tiên; học sinh khơng có hội phát triển lực tính tốn thân mà cịn có hội ơn tập lại kiến thức vectơ; học sinh giỏi có hội đề xuất nhiều phương án giải khác cho toán Bài tập tương tự Bài 3.1 Cho hình lăng trụ đứng với có đáy , cạnh bên Gọi Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng A B C tam giác cân, trung điểm D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Việc thiết kế tập giải phương pháp véc tơ trình dạy học tơi thực nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp học theo Chương trình Nâng cao trường THPT Nơng Cống Qua thực tế giảng dạy thấy sử dụng cơng cụ véc tơ vào giải tốn tính Góc khơng gian góp phần nâng cao đáng kể chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Hình học khơng gian thân, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường, đặc biết rèn luyện cho học sinh lớp 11 kỹ sử dụng cơng cụ vectơ vào tính tốn đại lượng hình học, kỹ biểu thị véc qua vectơ khơng đồng phẳng, kỹ biểu diễn hình học không gian từ tiếp cận môn Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, trình bày cách làm cho nội dung tính góc khơng gian Chương III – Hình học lớp 11 Trong thực tế giảng dạy mơn Tốn, tơi cịn thực cách làm nhiều chuyên đề khác mơn Tốn (như dạng Tốn chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, tính khoảng cách, kể Đại số, Giải tích) Với việc thiết kế tập tập trung vào phát triển lực tư tốn học hình thành kỹ giải toán cho học sinh - 19 skkn Để đánh giá tiến chuyên đề mà nghiên cứu học sinh lớp dạy trường THPT Nông Cống 4, xin đưa bảng thống kê dựa tiêu chí kết kiểm tra lớp, kết thi HSG Toán cấp tỉnh thi ĐH mơn Tốn giai đoạn 2012 đến 2022 Lớp Năm học 11B6 2012-2013 Chưa hướng dẫn Đã hướng dẫn 40/45 (80%) 11B1 2015-2016 20/45 (40%) 22/44 (50%) 11B1 2018-2019 19/43 (44%) 40/43 (93%) 11B1 2021-2022 21/43 (49%) 41/43 (95%) 43/44 (98%) KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Dạy học nghệ thuật mà người thầy vừa đóng vai trị đạo diễn, vừa đóng vai trị diễn viên Trong điều kiện nay, giáo dục nước nhà dần chuyển cho thay đổi, cải cách nhằm bắt với giáo dục tiên tiến giới đáp ứng u cầu hội nhập, vai trị người thầy trở nên quan trọng hết Muốn thay đổi giáo dục trước hết phải thay đổi từ tư dạy học người thầy; phải khỏi tính khn mẫu, hình thức tư dạy học vốn cố hữu lâu Phải linh hoạt sáng tạo việc thiết kế giáo án dạy học, phải tìm tịi, nghiên cứu phương án giải toán cho đơn giãn phù hợp yêu cầu thực tế Người thầy phải người tổ chức, điều khiển hoạt động để học sinh phát tri thức nắm bắt tri thức sở phát triển lực tư duy, khả phân tích, nhìn nhận vấn đề; kích thích đam mê sáng tạo học tập học sinh Làm hoàn thành nhiệm vụ người thầy hướng đổi phương pháp dạy học giai đoạn 3.2 Kiến nghị đề xuất Trên sáng kiến kinh nghiệm thực với học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống năm học vừa qua Rất mong xem - 20 skkn xét, mở rộng để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp em có thêm nhiều cơng cụ giải vấn đề, qua em tự tin hứng thú học mơn tốn nói chung mơn Hình học khơng gian nói riêng./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 06 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Đình Dũng - 21 skkn ... vng góc trung điểm tam giác vuông lên mặt phẳng Tính cosin góc hai đường thẳng A B C D 2.3.3 Tính góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng ( hình chiếu mặt phẳng lên mặt phẳng góc hai đường. .. nghĩa góc hai mặt phẳng: - Dựng hai đường thẳng và vng góc với hai mặt phẳng - Dùng véc tơ tính góc hai đường thẳng hai mặt phẳng Đó góc Bài tốn: Trong khơng gian cho hai mặt phẳng và Hướng... tưởng sử dụng vectơ để tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng góc hai mặt phẳng NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp sử dụng