Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhờ kĩ thuật dựng song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận lực người học Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhờ kĩ thuật dựng song song đường thẳng mặt phẳng HỒNG XN BÍNH GV Trường THPT chun Biên Hịa, Hà Nam Trong tốn thuộc chủ đề khoảng cách ta thấy thường xuất tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Do đó, viết chun đề để giúp thầy em học sinh có hướng tiếp cận giải toán I Kiến thức cần nhớ: 1) Định nghĩa: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 2) Nhận xét: a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 3) Định hướng: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta thường sử dụng hai hướng sau: - Hướng 1: Sử dụng định nghĩa - Hướng 2: Sử dụng nhận xét 4) Các kiến thức bổ trợ: Chúng ta cần lưu ý số định lý, tính chất cơng thức sau: - Đường thẳng song song với mp: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng   d song song với đường thẳng d  nằm   d song song với mặt phẳng   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM - Cách dựng mp mặt phẳng chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a ( với a b hai đường thẳng chéo nhau): + Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng + Cách dựng: Lấy điểm M thuộc a Qua M kẻ đường thẳng b  b Gọi   mặt phẳng xác định a b Khi b  b, b    , b     b    - K/c đường thẳng mp song song: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng   khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng   , kí hiệu d  a;    + Nhận xét: AB    d  A;     d  B;    - Công thức tỉ số khoảng cách: Nếu AB     I  d  A;    d  B;      AI BI - Chú ý: Cho tam diện vng đỉnh O có OA, OB, OC đơi vng góc Giả sử: h  d  O;  ABC   OA  a, OB  b, OC  c ta ln có https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 1 1  2 2 2 h a b c NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM (Phần chứng minh công thức này, đề nghị bạn đọc tự tìm hiểu chứng minh lấy) II Nội dung chuyên đề: Để giúp học sinh thầy có cách tiếp cận loại tập này, tơi xin trình bày: Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhờ kĩ thuật dựng song song đường với mặt a) Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo chuyên đề này, sử dụng phương pháp đường song song với mặt Cho a , b hai đường thẳng chéo ta ln có: d  a; b   d  a;  P   với b   P  a   P  b) Các tính chất hình học phẳng thường sử dụng: - Loại 1: Khai thác tính chất hình bình hành ( hình hình thoi, hình chữ nhật, hình vng): hình bình hành hai cặp cạnh đối diện ln song song với - Loại 2: Khai thác tính chất đường trung bình tam giác Chú ý: + Để khai thác tính chất đường trung bình tam giác, ta ý tới yếu tố trung điểm có sẵn đề từ xây dựng thêm trung điểm để thiết lập đường trung bình từ xác định yếu tố song song mà ta chuyển đổi khoảng cách đường với đường đường với mặt + Với tốn có liên quan tới tốn hình hộp lăng trụ tam giác ta ý tính chất quen thuộc lăng trụ là: tâm mặt bên trung điểm hai đường chéo mặt bên III Bài tập minh họa: Trong chun đề này, tơi xin chia tốn áp dụng phương pháp thành dạng: - Dạng Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn hình chóp - Dang 2: Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo toán lăng trụ Để làm rõ việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo kĩ thuật dựng đường song song với mặt , tìm hiểu cụ thể tốn sau 1) Dang 1: Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo toán hình chóp https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu 1: (Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SO vng góc với mặt phẳng  ABCD  SO  a Khoảng cách SC AB a 2a 2a a A B C D 15 5 15 Phân tích: + Trong toán này,ta thấy toán thuộc loại + Theo giả thiết tốn ABCD hình vng nên AB  CD  AB   SCD  d  AB; SC   d  AB;  SCD   Từ ta tính khoảng cách hai đường thẳng AB, SC sau: Lời giải Chọn B Vì ABCD hình vng nên AB  CD  AB   SCD  d  AB; SC   d  AB;  SCD    d  A;  SCD   2d O;  SCD   2h Câu 2: Khi O.SCD tam diện vng đỉnh O nên ta có: 1 1 2     2 2  2 2 h SO OC OD a a a a 2a a Do đó: h   d  AB; SC   5 (SGD&ĐT Thái Nguyên, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD , đường thẳng SA, AC , CD đơi vng góc với biết SA  AC  CD  2a AD  BC Khoảng cách hai đường thẳng SB CD a a a 10 a 10 A B C D 5 Phân tích: - Trong tốn này, ta thấy có kiện: ABCD hình thang mà đáy lớn AD  BC Từ kiện này, giúp ta nảy ý tưởng gọi M trung điểm AD BC  DM , BC  DM BCDM hình bình hành - Khoảng cách cần tính: d  SB; CD   d  CD;  SBM   Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Ta có  SA AC   SACD  SA   ABCD  Gọi M trung điểm AD BC  DM , BC  DM BCDM hình bình hành Suy ra: CD / / BM  CD / /  SBM   d  CD; SB   d  D;  SBM    d  A;  SBM   Do SA  AC  CD  2a nên tam giác ACD vuông cân C suy CM  AD , AD  AC  2a , CM  AM  AD  a ABC  90o , AM  MC  a nên ABCM hình vng Mà BC  AM , BC  AM ,  AB  a Từ ABCM hình vng suy AB  AD Xét A.SBM tam diện vuông đỉnh A nên d  A;  SBM    h Câu 3: 1 1 1  2   2 2  2 2 h SA AM AB 2a a a 2a a 10 a 10 Do h   d  SB; CD   5 (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, năm học 2019 – 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a, AD  3a ( tham khảo hình vẽ) Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, góc mặt phẳng  SCD  mặt đáy 45 Gọi H trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SD CH A 10a 109 B 85a 17 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 11a 11 D 14a NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Phân tích: + Trong tốn để chuyển đổi khoảng cách hai đường thẳng cho khoảng cách đường mặt phẳng song song, ta dựng thêm hình bình hành CDEH + Khi đó: CH  DE  CH   SDE   d  CH ; SD   d  CH ;  SDE   Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành CDEH Khi đó, ta có: DE  CH  CH   SED   d  SD; CH   d  CH ;  SED    d  H ;  SED   Theo giả thiết: tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, H trung điểm cạnh AB  SH   ABCD  Kẻ HM  CD, M  CD Khi đó: CD  SH , CD  HM  CD   SHM   CD  SM   45 Suy góc hai mặt phẳng  SCD  mặt phẳng  ABCD  góc SMH   SH  SH  MH tan 45  3a  tan SMH MH Kẻ HF  ED  F  ED  , HK  SF Ta có SH  ED  ED   SHF   ED  HK  HK   SDE   d  H ;  SDE    HK AE AD a.3a 3a 6a    HF  AI  ED a 10 10 10 6a 3a SH HF 10  3a 14  HK   2 3a 35 SH  HF 3a 14 Vậy d  SD, CH   (SGD&ĐT Hà Nam, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi M , N trung điểm SA CD (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng MN SC bằng: Kẻ AI  ED  I  ED   AI  Câu 4: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM a a 2a a B C D 3 Phân tích: - Trong toán này, từ điều kiện toán cho ta thấy M , N trung điểm SA, CD để tính khoảng cách hai đường thẳng MN SC ta gọi thêm O tâm hình vng ABCD từ ta khai thác tính chất đoạn thẳng OM đường trung bình tam giác SAC Khi đó: OM  SC  SC   MNO  ta chuyển đổi d  SC; MN   d  SC;  MNO   A Lời giải Chọn A Gọi E trung điểm AB ; O tâm hình vng ABCD Ta có: OM đường trung bình tam giác SAC Do đó: OM  SC  SC   MNO  Suy ra: d  SC; MN   d  SC;  MNE    d  C;  MNE    d  A;  MNE   Trong  SAB  : Kẻ AH  EM H Ta có: SA  EN AB  EN nên EN   SAB   EN  AH Do AH   MEN   d  A;  MNE    AH a 1  AH    2 AH AM AE a Vậy d  MN ; SC   AH  Mà https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu 5: (HSG Thái Bình, năm học 2019-2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh BC SD Khoảng cách hai đường thẳng M N SB a a a a B C D Phân tích: - Trong tốn với điều kiện M , N trung điểm hai cạnh BC , SD ta lại thấy có A điều đặc biệt MN   SAB  Thật vậy, ta gọi P trung điểm cạnh SA ta có NP đường trung bình tam giác SAD nên ta suy NP  AD, NP  AD từ ta có NP  BM , NP  BM BMNP hình bình hành  MN  BP  MN   SAB  Lời giải Chọn B Gọi P trung điểm SA Khi NP đường trung bình tam giác SAD  NP  AD, NP  AD 1 Ta lại có MB  BC  AD 2 Do BM NP hình bình hành  MN  BP  MN   SAB  Khi d  MN ; SB  d  MN ; SAB  d  M ;  SAB   d C ;  SAB   d O;  SAB  Từ O kẻ OH  AB  H  AB  OK  SH  K  SH   AB  OH  AB  SOH   AB  OK Ta lại có OK  SH Khi    AB  SO https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM  OK  SAB   d O;  SAB   OK a a Mà SA  a  SO  SA  OA  2 SO.OH a AD a Ta lại có OH    Khi OK  2 SO  OH Có AB  a  OA  Vậy d  MN , SB   OK  Câu 6: a Dang 2: Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo toán lăng trụ (THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai, Sóc Trăng, năm học 2019 – 20202) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, AA  a Khoảng cách hai đường thẳng BD CD a 10 a 10 A B C a D a 10 Phân tích: - Trong tốn hình hộp, ta ý tới điều kiện cạnh đáy tương ứng song song với nhau, đường chéo mặt đối diện song song với - Áp dung toán này, ta thấy CD  AB hai đường chéo tương ứng hai mặt bên đối diện CD   ABD  nên d  CD; BD   d  CD;  ABD   Lời giải Chọn B Ta có: CD   ABD  nên d  BD; CD   d  CD;  ABD    d  C ;  ABD    d  A;  ABD   Gọi O tâm hình vng ABCD AO  BD, AA  BD   AAO    ABD  Mà  AAO    ABD   AO Kẻ AH  AO  AH   ABD   AH  d  A;  ABD    h Ta có AA  a 2; AO  a 2 1 a 10    AH  2 AH AA AO a 10 Vậy d  BD; CD   d  A;  ABD    AH  Xét tam giác vng AAO , ta có https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu 7: (Thi cụm liên trường Thanh Hóa, năm học 2019 – 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a , AA  2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB AC a 2a 2a 21 2a 17 B C D 21 17 Phân tích: - Trong tốn này, để tính khoảng cách hai đường thẳng AB AC ta khai thác tính chất: mặt bên lăng trụ hình bình hành nên tâm mặt bên trung điểm hai đường chéo - Với ý tưởng vậy, ta gọi thêm M , N trung điểm AB BC MN đường AC   ABN  ABC nên MN  AC trung bình tam giác A  d  AC; AB   d  AC;  ABN   Lời giải Chọn D Gọi M tâm mặt bên ABB A N trung điểm BC Ta có: AC  MN  AC   ANB  Khi đó: d  AB; AC   d  AC ;  ANB    d  C ;  ANB    d  B;  ANB    AN  BC Kẻ BH  BN   AN   BCC B   AN  BH  AN  BB Do BH   ANB   d  B;  ANB    BH Xét BNB : Câu 8: 1 2a 17    BH  2 BH BN BB 17 (SGD&ĐT Cao Bằng, năm học 2019-2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB DC  a a a a A B C D 6 Phân tích: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM - Trong tốn tính chất mặt bên lăng trụ hình bình hành nên ta xây dựng thêm trung điểm D cạnh BC Khi ta có tứ giác BDC D hình bình hành nên BD  C D  C D   ABD  Do đó: d  AB; DC    d  DC ;  ABD   Lời giải Chọn C Gọi D trung điểm BC ta có BDC D hình bình hành Do đó: C D  BD  CD   ABD  nên d  AB; DC    d  DC ;  ABD    d  D;  ABD   Vẽ DH  BD  Ta có: AD   BCC B   AD  DH  DH   ABD  d  D;  ABD    DH Ta có DH  Câu 1: DD.DB  a a d  AB; DC    5 DD2  DB IV Bài tập tự luyện: Để làm rõ thêm cách áp dụng phương pháp đưa chuyên đề này, đưa số tập áp dụng sau: (Đề thi thử VTV7, lần 2, năm học 2020 - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a AC  a Biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy; góc đường thẳng SD mặt đáy 60 Khoảng cách hai đường thẳng AD SC Câu 2: a 609 a 609 a 600 a 906 B C D 19 29 29 29 (Quốc học Quy Nhơn, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB  a , AD  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SD Câu 3: a a a C D (THPT Lý Thường Kiệt, Bắc Ninh, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA  ( ABC ) , góc đường thẳng SB 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB A A 2a B A a 15 B a https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C a D 2a NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu 4: (THPT Lê Văn Thịnh, Bắc Ninh, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy SA  a Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SD 2a a a a 21 B C D (THPT Yên Phong 2, Bắc Ninh, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a Hình chiếu vng góc S mặt A Câu 5: phẳng đáy trung điểm H AD , góc SB mặt phẳng đáy  ABCD  45 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD BH theo a 2 a 2a B C D a 3 (Chun KHTN, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc SC mặt đáy 45o Gọi E trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE SC a 10 a 10 2a 19 2a 19 B C D A 19 19 5 (THPT Nguyễn Đức Cảnh, Thái Bình, năm học 2019 – 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng B , AB  BC  a ,  SAB    ABC   SAC    ABC  Gọi M A a Câu 6: Câu 7: trung điểm đoạn AB , mặt phẳng   qua SM   // BC cắt AC N , góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  60 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB SN A Câu 8: 2a 156 13 B a 13 156 C a 156 13 D a 13 13 (SGD&ĐT Lai Châu, năm học 2020 – 2021) Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh AB  a Gọi O tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng AO BC a a 2a a B C D 5 Câu 9: (THPT Chuyên Phú Thọ, năm học 2020 – 2021) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a AA '  2a Gọi M , N trung điểm AB, AC Khoảng cách hai đường thẳng A ' B MN a 57 a a 2a 57 A B C D 19 19 Câu 10: (Chuyên Vĩnh Phúc, năm học 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB  a , AA  2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB AC A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM A a B 17 C a D a a 17 Bảng đáp án tham khảo phần tập tự luyện B B A A A A C B B 10 D V Lời kết: - Đây số tổng kết tơi q trình dạy học sinh, mong góp ý đồng nghiệp em học sinh giúp cho chun đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ... NAM - Cách dựng mp mặt phẳng chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a ( với a b hai đường thẳng chéo nhau) : + Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng. .. có cách tiếp cận loại tập này, tơi xin trình bày: Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhờ kĩ thuật dựng song song đường với mặt a) Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng. .. dụng phương pháp thành dạng: - Dạng Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo toán hình chóp - Dang 2: Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn lăng trụ Để làm rõ việc tính khoảng cách