Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐỀ TÀI Một số tập điển hình giới hạn tích phân chương trình Tốn trung học phổ thơng LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khóa luận tốt nghiệp em gặp nhiều khó khăn bỡ ngỡ Nhờ vào giúp đỡ động viên nhiều thầy cô giáo bạn bè gia đình giúp em hồn thành khóa luận Lời đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, người dạy cho em kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học, động viên tận tình hướng dẫn suốt thời gian học tập đặc biệt q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại Học Quảng Bình, giảng viên khoa Khoa học tự nhiên tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức suốt trình học tập Với vốn kiến thức tiếp thu q trình học khơng tảng cho q trình nghiên cứu khóa luận mà cịn hành trang quí báu để em bước vào đời cách vững tự tin Xin cảm ơn gia đình người bạn giúp đỡ động viên tinh thần phương tiện vật chất suốt trình làm đề tài tốt nghiệp Trong thời gian có hạn em cố gắng hồn thành khóa luận này, không tránh khỏi khiếm khuyết, thiếu sót kính mong nhận góp ý bảo thầy cô, bạn sinh viên khoa quan tâm đến đề tài Cuối em xin cảm ơn thầy cô chủ tịch hội đồng, phản biện ủy viên hội đồng bỏ thời gian quý báu để đọc, nhận xét tham gia hội đồng chấm khóa luận Đồng Hới, ngày 20 tháng năm 2014 Sinh viên Hoàng Thị Mĩ Lệ MỤC LỤC MỞ ĐẦU PHẦN GIỚI HẠN CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 Các kiến thức dãy số 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Dãy số bị chặn 1.1.3 Dãy số đơn điệu 1.1.4 Dãy 1.1.5 Giới hạn hữu hạn dãy số 1.2 Các định lí 1.3 Các nguyên lí 1.3.1 Nguyên lí Weiestrass 1.3.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass 1.4 Giới hạn số dãy số thường gặp BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 10 CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17 2.1 Các kiến thức hàm số 17 2.1.1 Hàm số 17 2.1.2 Đồ thị hàm số 17 2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 17 2.1.4 Hàm số bị chặn 17 2.1.5 Hàm số đơn điệu 18 2.1.6 Giới hạn hàm số 18 2.1.6.1 Giới hạn hàm số điểm 18 2.1.6.2 Giới hạn hàm số vô cực 18 2.2 Các nguyên lí giới hạn hàm số 19 2.3 Một vài giới hạn đặc biệt hàm số 19 BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20 CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC 24 3.1 Định nghĩa 24 3.1.1 Hàm số liên tục điểm 24 3.1.2 Hàm số liên tục khoảng 24 3.1.3 Hàm số liên tục đoạn 24 3.2 Các phép toán số học với hàm liên tục 25 3.3 Các định lí hàm liên tục 25 BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC 26 PHẦN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 31 Nguyên hàm 31 1.1 Các khái niệm 31 1.2 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 32 1.3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 33 1.3.1 Phương pháp đổi biến số 33 1.3.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần 33 Tích phân 33 2.1 Định nghĩa 33 2.2 Tính chất 33 2.3 Một số phương pháp tính tích phân 34 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 35 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Giải tích tốn học, cịn gọi đơn giản giải tích, ngành tốn học nghiên cứu khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân Nó có vai trò chủ đạo giáo dục đại học Phép tốn giải tích "phép lấy giới hạn" Để nghiên cứu giới hạn dãy số, hàm số, ta phải "đo" "độ xa gần" đối tượng cần xét giới hạn Do vậy, khái niệm mêtric, tơpơ tạo để mơ tả cách xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất "động" tính chất "tĩnh" đại số Giải tích có ứng dụng rộng khoa học kỹ thuật, để giải toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ không hiệu Nó thiết lập dựa ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích cịn gọi "ngành toán nghiên cứu hàm số" toán học cao cấp Giới hạn vấn đề giải tích Có thể nói: Khơng có giới hạn khơng có giải tích, hầu hết khái niệm Giải tích liên quan đến giới hạn Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" sử dụng để giá trị mà hàm số dãy số tiến gần đến biến số tương ứng tiến gần đến giá trị Trong khơng gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định điểm từ dãy Cauchy điểm xác định trước Giới hạn khái niệm quan trọng Giải tích sử dụng để định nghĩa tính liên tục, đạo hàm phép tính tích phân Tích phân khái niệm toán học, với nghịch đảo vi phân đóng vai trị phép tính chủ chốt lĩnh vực giải tích Có thể hiểu đơn giản tích phân diện tích diện tích tổng qt hóa Giả sử cần tính diện tích hình phẳng bao đoạn thẳng, ta việc chia hình thành hình nhỏ đơn giản biết cách tính diện tích hình tam giác, hình vng, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét hình phức tạp mà bao đoạn thẳng lẫn đường cong, ta chia thành hình nhỏ hơn, kết có thêm hình thang cong Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong Chủ đề Giới hạn Nguyên hàm - Tích phân phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng đóng vai trị quan trọng Toán học thực tiễn Giới hạn khâu đầu tiên, tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả vận dụng vững chắc, có hiệu kiến thức Giải tích tốn học phổ thơng Chủ đề Giới hạn có vai trị quan trọng chương trình Tốn phổ thơng cịn có lẽ khái niệm Giới hạn sở, hàm số liên tục vật liệu để xây dựng khái niệm đạo hàm tích phân Tích phân có mặt chương trình phổ thông với tư cách kiến thức thực hành, cơng cụ tính tốn để sử dụng hình học, vật lí kĩ thuật Nội dung ngun hàm, tích phân lớp 12 THPT nội dung học sinh, lại nội dung khó, trừu tượng Với lí tơi chọn đề tài để làm đề tài khóa luận là: “Một số tập điển hình giới hạn tích phân chương trình Tốn trung học phổ thơng” Mục đích đề tài nêu định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp tính giới hạn, ngun hàm tích phân Sau cách nhận diện, phân dạng tập Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài chia thành hai phần lớn phần Giới hạn phần Nguyên hàm - Tích phân Trong phần Giới hạn gồm có ba chương, chương giới thiệu số toán giới hạn dãy số, chương giới thiệu số toán giới hạn hàm số chương giới thiệu tốn tính liên tục hàm số Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu quy tắc, phương pháp tập tính nguyên hàm, tích phân Mặc dù cố gắng, với thời gian, kiến thức kinh nghiệm thân khiêm tốn nên tồn nhiều thiếu sót khóa luận điều khó tránh khỏi Tơi mong nhận thơng cảm, góp ý chân thành thầy giáo, cô giáo bạn để đề tài hồn thiện, có hiệu ứng dụng giảng dạy phổ thông sau PHẦN GIỚI HẠN CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Trong chương giới thiệu giới hạn dãy số nêu số định lí, quy tắc tìm giới hạn sau áp dụng để giải số tập tìm giới hạn dãy số 1.1 Các kiến thức dãy số 1.1.1 Dãy số  Ánh xạ f : n f (n) gọi dãy số Ta thường ghi un  f (n) Kí hiệu un  ( hay u1, u2 , , un , ) 1.1.2 Dãy số bị chặn  Dãy un  gọi bị chặn tồn số M cho: un  M, n   Dãy un  gọi bị chặn tồn số M cho: un  M, n   Dãy un  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số dương k cho: un  k , n  1.1.3 Dãy số đơn điệu  Dãy un  gọi tăng (tăng nghiêm ngặt) nếu: un  un 1, n  ( un  un 1, n  )  Dãy un  gọi giảm (giảm nghiêm ngặt) nếu: un  un 1, n  ( un  un 1, n  ) Các dãy tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu 1.1.4 Dãy nk 1  nk Cho dãy un    k  nk   dãy un  gọi dãy un k Ta dễ dàng kiểm tra rằng:  nk  k , k   Mọi dãy dãy  Mọi dãy dãy bị chặn bị chặn  Mọi dãy dãy đơn điệu dãy đơn điệu 1.1.5 Giới hạn hữu hạn dãy số Dãy un  gọi hội tụ đến a ( hay có giới hạn a ) lim  un  a   Kí hiệu : lim un  a hay un  a n  Dãy số có giới hạn gọi dãy hội tụ dãy giới hạn gọi dãy phân kì 1.2 Các định lí Định lí 1: Giới hạn dãy hội tụ Định lí 2: Mọi dãy hội tụ bị chặn Định lí 3: Dãy un  hội tụ dãy dãy hội tụ có chung giới hạn Định lí 4: Mọi dãy có dãy đơn điệu Định lí ( Định lí kẹp giới hạn dãy số): Cho ba dãy số  un  ,    w n  Nếu un   w n với n lim un = lim w n  L ( L  ) lim  L n  n  n  Chứng minh: Ta có un   w n ta suy   un  w n  un với n Vì lim  w n  un  = lim w n  lim un  L  L  nên lim   un  = n Do n n n lim  lim   un   un   lim   un   lim un   L  L n n n n 1.3 Các nguyên lí 1.3.1 Nguyên lí Weiestrass a Nếu dãy un  tăng bị chặn hội tụ lim un  Supun n  n b Nếu dãy un  giảm bị chặn hội tụ lim un  inf un n  n 1.3.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass Mọi dãy bị chặn có dãy hội tụ Chứng minh:   đơn điệu (theo Định lí 4) Gọi un  dãy bị chặn Hơn nữa, tồn dãy unk   Do theo ngun lí Weiestrass dãy unk hội tụ 1.3.3 Nguyên lí Cauchy Dãy un  gọi dãy Cauchy (hay dãy bản)   0, n  : n  , n  n  un  um   Nguyên lí Cauchy: Dãy un  hội tụ dãy Cauchy a   f ( x)dx  a b a a b b   f ( x)dx   f ( x)dx c b a c   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a b b b   k f ( x)dx  k  f ( x)dx a b b a a a   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx a 2.3 Một số phương pháp tính tích phân  Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số b u (b ) a u (a)  f u  x  u ' x  dx   f  u  du Trong f ( x) hàm số liên tục u( x) có đạo hàm liên tục khoảng K cho hàm hợp f u  x  xác định K; a, b  K Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u hàm x ) Cách Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x hàm số t)  Phương pháp tích phân phần Định lý: Nếu u( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b b hai số thuộc K  u  x  v '  x  dx  u  x  v  x  a b a b  v  x  u ' x  dx a 34 BÀI TẬP NGUN HÀM - TÍCH PHÂN Bài 1: Tính nguyên hàm a I   x  dx x  1   x  x   1 dx     x   x x  dx x 2  x3  x  3 b 1  x   x I  dx   1  x   x 1  x   1  C  x  x2   dx 1  x   dx     x  1  x   x 1 x 1 x 2 dx    arcsin x  x 1  x2 1 x 2 dx  C Bài 2: Tính nguyên hàm a I   1 x dx x 1  xe x  Đặt t   xe x x  t 1 dt  dx  x x e e 1  x  Khi I   dt dt dt   t  t  1 t 1 t  ln t   ln t  C 35 dx xe x  ln xe  ln  xe  C  ln C  xe x x x x2  dx b I   x 1 Đặt x  tan t Khi I    dx   dt dt  4 sin t  cos t  cos4t Đặt u  tan 2t  du  Nên I    dt   tan t dt cos t dt cos2 2t du u  arctan C 2 2u  2t  2x  Vậy I  arctan  tan arctan  C    x2 2    c I   e2 x ex  dx Đặt t  e x   t  e x   4t 3dt  e x dx Nên I    t  1 t t dt    t  1 t 2dt    4t  4t  dt 4  t7  t3  C  d I   x2 a2  x2 44 x e  1   e x  1  C  dx 36   C      Đặt x  asin t  dx  a cos tdt với t    ;   2 a3 sin t.cos t Ta có I  a  dt  a  sin tdt   1  cos2t  dt cos t e I    a3 a3 t  sin 2t  C  a3 x a3  x arcsin  sin  2arcsin   C a a  dx x2 a2  x2 Đặt x  a tan t  dx  Nên I   a dt cos 2t a sin t.a  tan t dt   cos t C  dt   sin t sin t x  sin  arctan  a  Bài 3: Tính nguyên hàm a I   xearctan x 1  x  2 dx   Đặt t  arc tan x  x  tan t  dx   x dt  dt cos2t et sin t.cos3t Nên I   dt    et sin t dt cos t.cos t u  et  du  et dt Đặt  dv  sin tdt  v   cos t Ta có I  et cos t   et cos tdt  et cos t  et sin t   et sin dt 37 C et  sin t  cos t  I  C  b I   earctan x sin  arctan x   cos  arctan x  C arctan e x ex  ex x u  arctan e  du   e2 x dt Đặt  dv  dx  v    ex ex Ta có I  arctan e x dx    e2 x ex arctan e x  e2 x   dx ex  e2 x  arctan e x e2 x     e2 x dx ex e2 x e x d (e x ) Ta có J   dx    e2 x  (e x )2 Đặt t  e x J   td (t ) 1  ln 1  t   C1  ln 1  e2 x   C1 1 t 2 arctan e x Vậy I    x  ln 1  e2 x   C x e c I   sin xdx Đặt x  t x  t  dx  3t 2dt 38 Nên I  3 t sin tdt u  t  du  2tdt Đặt  dv  sin tdt  v   cos t Ta có I  3t cos t  6 t cos tdt  3t cos t  6t sin t  6 sin tdt  3t cos t  6t sin t  6cos t  C  3 x cos x  x sin x  6cos x  C d I   arcsin x 1  x  dx Đặt arcsin x  t x  sin t  dx  cos tdt Vậy I   t cos t t dt   dt cos t cos 2t u  t  du  dt  Đặt  dt dv   v  tan t  cos2t Nên I  t tan t   tan tdt  t tan t   sin t dt cos t  t tan t  ln cos t  C  arcsin x.tan  arcsin x   ln cos  arcsin x   C Bài 4: Tính nguyên hàm a I    x3  28  dx   1    dx x  5x  x 3( x  3) x 2( x  2)    x 28 ln( x  3)  ln x  ln( x  2) 39  x4 dx b I   dx  1  2 1 x  x4 Đặt J  2 dx dx   x4  x2  x  x2  x     2x 2x 1 1  2 dx   2 dx x  2x  x  2x        2 dx  2   x        2 x2  x   ln  arctan x  2x     c I   x  x 1 2 dx    2 x       2 arctan 2x   x2  x  ln  arctan Vậy I   x  x  2x  x2  2 ln x2  x   ln x2  x  4    2x   dx dx  x 3     x2  x    x2  x   4    x 3     x  x   ln x  x   x   C 2 4 d I   x3.arccos x  x2 dx 40  2x   C arctan   2x   C Đặt t  arccos x  dt   dx  x2 Vậy I   t cos3 tdt   t (1  sin t )cos tdt   t cos tdt   t cos t sin tdt  I1  I Tính I1   t cos tdt u  t  du  dt Đặt  dv  cos tdt  v  sin t Nên I1  t sin t   sin tdt  t sin t  cos t  C Tính I   t cos t sin tdt u  t  du  dt  Đặt  dv  sin td  sin t   v  sin t t Nên I  sin t   sin tdt 3 t t 1  sin t   1  cos2t  d (cos t )  sin t  cos t  cos3t 3 3 t 1 Do I  t sin t  cos t  sin t  cos t  cos3t 3   arccos x sin  arccos x   cos  arccos x   1  cos  arccos x   cos3  arccos x  Bài 5: Tính giới hạn 41 arccos x sin  arccos x  n n   n a lim      n n  n  22 n2  n2   n n n    n  n  22 n2  n2 Đặt Sn      1 1     Sn  2 n   2   n  1    1       n n   n      n  n i1 i 1   n dx   arctan x   x Vậy lim Sn   n b lim Sn , với Sn  n Ta có Sn  n n n n 2    n 1 n  n n n n n n 2    n 1 n  n n n   n n n 1 2       n n 1  1  1  2n n   n  n k n n k n n k n n k n 2 nk 1    2    n k 1  n k 1  nk n k 1 n k 1  nk kn 42 2  n n i 1  nk Vậy lim Sn   x dx  lim n k n n k n n   n n n 1 n i 1  nk Ta có  lim k n n 0  n n  nk i 1 Nên lim Vậy lim Sn   x dx  n 2x 1  ln ln 1p  p   n p c lim Sn , với Sn  n n p1 1p  p   n p n  i  x p1 1 p  x dx Ta có Sn        0 n k 1  n  p 1 p 1 n p1 p 1 xn dx  Bài 6: Chứng minh lim  n  x Giải: Đặt t  x   x  t   xn  t  1 dt Nên  dx   1 x t 1 2 Ta có   0 n t  1n dt  t  1n dt t  t 1  t  1n dt  t n 43 xn dx  Vì lim  n  x Bài 7: Chứng minh f , g khả tích bình phương chúng thì: b b  b 2   f ( x).g ( x)dx    f ( x)dx. g ( x)dx a a  a Giải: Ta có  f ( x).t  g ( x)  , với t  Nên f ( x).t  f ( x).g ( x).t  g ( x)  , với t  b b  b  Vì   f ( x)dx  t    f ( x).g ( x)dx  t   g ( x)  a a  a  Xem vế trái tam thức bậc với t  ta có kết Bài 8: Chứng minh 1 1     p , với p  , p p Giải: Xét hàm số y  Ta có S   1, pn  x 1    S tổng diện tích hình chữ nhật có chiều p dài đơn vị , chiều cao 1, 1 1     p p 1  1 1 , , , Cho nên ta p dx 2 x x 44 p 1  p 1  với p   1     p p Bài 9: Tính tích phân  a I   ln 1  tan x  dx Ta có:  tan x  sin x  cos x    2cos  x   cos x 4      Nên ln 1  tan x   ln  ln cos  x         4        Suy I   ln 2dx   ln cos  x   dx   ln 2dx  ln 2.x 04  ln    0  cos3 x dx 3 sin x  c os x b I   Giải:  sin x dx 3 sin x  c os x Ta xét J   Đặt t    x  dt  dx    x   t  Đổi cận  x    t   45    sin   x  cos3 x   dx dx   Khi J      sin x  c os x     3 0 sin   x   cos   x  2      Nên I  J  Mặt khác I  J   dx  x Vậy I      46 KẾT LUẬN Đề tài đạt kết chủ yếu sau: - Nhắc lại kiến thức dãy số, định lí giới hạn dãy số, nêu giới hạn vài dãy số thường gặp tập tìm giới hạn dãy số - Nhắc lại kiến thức hàm số, nguyên lí giới hạn hàm số, giới hạn hàm số thường gặp tập tìm giới hạn hàm số - Nhắc lại định nghĩa hàm số liên tục, phép toán với hàm số liên tục, tốn chứng minh tính liên tục hàm số ứng dụng tính liên tục hàm số chứng minh số nghiệm phương trình - Đề tài trình bày cách tổng quan Nguyên hàm tích phân khái niệm nguyên hàm, bảng nguyên hàm thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm; định nghĩa tích phân, tính chất, phương pháp tính tích phân số tập tính ngun hàm tích phân Kết có đề tài cố gắng thân, nhiên nhiều hạn chế định Em mong nhận góp ý quý báu thầy cô bạn để đề tài đươc hoàn thiện Cuối cùng, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn TH.S Nguyễn Quốc Tuấn Thầy Cô giáo giảng dạy em suốt trình học tập hồn thành đề tài 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí, Bài tập tốn cao cấp, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Đình Trí, Tốn học cao cấp, Nhà xuất giáo dục [3] Tơ Văn Ban, Giải tích tập nâng cao, Nhà xuất giáo dục [4] Võ Giang Giai – Nguyễn Ngọc Thu, Một số toán dãy số đề thi Olympic 30 – 4, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [6] W.J.Kaczkor (2003), Bài tập giải tích 1, Nhà xuất Đại học sư phạm [7] Y.Y.Liasko (1978), Giải tích tốn học, ví dụ tốn, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp (Tiếng việt) 48 ... giảng dạy phổ thông sau PHẦN GIỚI HẠN CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Trong chương giới thiệu giới hạn dãy số nêu số định lí, quy tắc tìm giới hạn sau áp dụng để giải số tập tìm giới hạn dãy số 1.1... dãy số, định lí giới hạn dãy số, nêu giới hạn vài dãy số thường gặp tập tìm giới hạn dãy số - Nhắc lại kiến thức hàm số, nguyên lí giới hạn hàm số, giới hạn hàm số thường gặp tập tìm giới hạn. .. giới thiệu số toán giới hạn dãy số, chương giới thiệu số toán giới hạn hàm số chương giới thiệu toán tính liên tục hàm số Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu quy tắc, phương pháp tập tính