Đang tải... (xem toàn văn)
hình học phẳng hình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳnghình học phẳng
Đường tròn phụ số toán đường tròn tiếp xúc Nguyễn Đức Bảo THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An Nguyễn Tiến Long THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ Mở đầu Trong kì thi Toán học Olympic toán đường tròn tiếp xúc toán hình học hay có nhiều lời giải tuyệt đẹp Bài viết khai thác toán đường tròn tiếp xúc cách nhìn thông qua đường tròn phụ Ta mở đầu với toán quen thuộc sau, Bài toán Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Chứng minh đường tròn (IEF ) tiếp xúc đường tròn (BIC) Chứng minh Gọi D, E, F hình chiếu I lên BC, CA, AB Dễ thấy tứ giác DIF B, DIEC, AF IE tứ giác nội tiếp Do ∠BIF = ∠BDF = 90◦ − 12 ∠ABC = 21 ∠BAC + 12 ∠ACB = ∠IAF + ∠ICD = ∠IEF + ∠ICB Suy đường tròn (BIC) tiếp xúc đường tròn (IEF ) Nhận xét Để ý ta thay I điểm P ta thu toán tổng quát Điểm đặc biệt toán giữ nguyên cấu hình nhiều đường tròn Bài toán phát biểu sau, Bài toán Cho tam giác ABC.P điểm tam giác.D hình chiếu P lên BC Giả sử đường tròn (P, P D) cắt CA, AB E, F Đường tròn (F DB) cắt đường tròn (EDC) điểm thứ hai I Chứng minh đường tròn (BIC) tiếp xúc đường tròn (AEF ) Ta chứng minh cho trường hợp đường tròn (BIC) tiếp xúc đường tròn (AEF ), trường hợp lại phép chứng minh tương tự Chứng minh Theo tính chất tứ giác nội tiếp dễ thấy ∠BIF = ∠BDF = ∠DEF = ∠IEF + ∠IED = ∠IEF + ∠ICB suy đường tròn (BIC) tiếp xúc đường tròn (IEF ) Mặt khác ∠EIF = 360◦ − ∠DIF − ∠DIE = ∠F BD + ∠ECD = 180◦ − ∠BAC nên A, F, I, E thuộc đường tròn đường tròn (BIC) tiếp xúc đường tròn (AEF ) Nhận xét Lời giải cho toán chưa phải lời giải tốt nhiên lại có giá trị phát triển cao, để ý hai toán đường tròn phụ đóng vai trò quan trọng việc đến lời giải Chúng ta sâu vào phương pháp qua toán cụ thể Một số toán ứng dụng Ta mở đầu toán biến thể từ toán dấu tiếp xúc hai đường tròn.Bài toán tham khảo [1] tác giả Trần Quang Hùng Bài toán 3.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với S trung điểm cung BC chứa A.P AS.Q hình chiếu P lên BC Đường tròn (P, P Q) cắt đoạn CA, AB E, F Chứng minh đường tròn (AEF ) tiếp xúc đường tròn (S, SB) Chứng minh Gọi T giao điểm khác Q đường tròn (F QB) đường tròn (EQC) Do ∠F T E = ∠F T Q + ∠ET Q = ∠F BQ + ∠ECQ = 180◦ − ∠BAC nên A, F, T, E thuộc đường tròn Mặt khác P E = P F AP phân giác ∠EAF nên A, P, E, F thuộc đường tròn suy ∠EQF = ∠180◦ − 21 ∠EP F = 180◦ − 12 ∠EAF , ta có biến đổi góc ∠BT C = ∠ET F + ∠F T B + ∠ET C = 180◦ − ∠EAF + ∠F QB + ∠EQC = 180◦ − ∠EAF + 180◦ − ∠EQF = 180◦ − ∠EAF + 21 ∠EAF = 180◦ − 21 ∠EAF suy T thuộc đường tròn (S, SB) Tiếp tuyến T L T đường tròn (S, SB).Do ∠LT E = ∠LT C + ∠ET C = ∠T BC + ∠EQC = ∠T F Q + ∠EF Q = ∠EF T nên T L tiếp tuyến T đường tròn (AEF ) suy đường tròn (AEF ) tiếp xúc đường tròn (S, SB) Nhận xét Lời giải xuất phát từ ý tưởng bạn Huỳnh Bách Khoa [1] Mấu chốt toán nhận điểm tiếp xúc đặc biệt, từ chuyển đổi mô hình toán với lời giải tương tự Để ý rằng, P vị trí đặc biệt ta thu toán thú vị Bạn đọc thử sức với toán sau tác giả đưa lên [1][2] Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).M trung điểm BC.I điểm cung BC chứa A Đường tròn(I, IM ) cắt AC, AB E, F Phân giác ∠BAC cắt (AEF ) D Chứng minh đường tròn (BDC) tiếp xúc đường tròn (AEF ) Bài tập Cho tam giác ABC Phân giác AD (D thuộc BC) Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt đường thẳng qua A vuông góc với AD I Đường tròn (I, ID) cắt CA, AB E, F Lấy X thuộc đường tròn (AEF ) choAX đối trung tam giác AEF Chứng minh đường tròn (BXC) tiếp xúc đường tròn (AEF ) Bài toán tác giả đưa lên [10] Bài toán Cho tam giác ABC, trực tâm H Giả sử tồn E, F HB, HC cho EF BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF thuộc BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC HEF tiếp xúc Chứng minh Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.S giao đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K CEK Ta có ∠ESF = ∠ESK + ∠F SK = ∠F BK + ∠ECK = 180◦ − ∠EHF nên E, H, F, S thuộc đường tròn Mặt khác ∠BSC = ∠BSK + ∠CSK = ∠HF K + ∠HEK = 360◦ − ∠BHC − ∠EKF = 360◦ − 180◦ + ∠BAC − 2∠BAC = 180◦ − ∠BAC nên A, B, S, C thuộc đường tròn Tiếp tuyến SL S đường tròn (ABC).Do ∠F SL = ∠BSL + ∠F SB = ∠BCS + ∠F KB = ∠SEK + ∠KF E = ∠KEF + ∠SEK = ∠SEF nên SL tiếp tuyến S đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF suy đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF ABC tiếp xúc Nhận xét Ta hoàn toàn thay điểm H điểm P cho ∠BP C = 180◦ − ∠BAC lời giải xây dựng hoàn toàn tương tự Đặc biệt hơn, toán tác giả biến thể từ toán sau tác giả Trần Quang Hùng Bài toán tham khảo [11] Bài toán 4*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H.HB, HC cắt đường thẳng qua O song song với BC M, N Giả sử tồn hai điểm E, F thuộc đoạn HB, HC cho EH CH BH FH = = = EC CN BM FB Chứng minh đường tròn (HEF ) tiếp xúc đường tròn (O) Bài toán có mở rộng hoàn toàn tương tự Lời giải xin phép dành cho bạn đọc Bài toán tham khảo [18] Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tâm nội tiếp I, trung trực AI cắt AC, AB E, F Chứng minh đường tròn tiếp xúc với AC, AB E, F tiếp xúc (BOC) Chứng minh Gọi T giao điểm khác I đường tròn (F IB) (EIC) Do ET IB ET IC tứ giác nội tiếp nên dễ thấy ∠ET F = 360◦ − ∠ET I − ∠F T I = ∠ABI + ∠ACI = 90◦ − ∠IAB = ∠AEF suy AB tiếp xúc đường tròn (T EF ) Tương tự AC tiếp xúc đường tròn (T EF ) kéo theo T thuộc đường tròn qua E, F tiếp xúc với CA, AB Mặt khác ∠BT C = ∠BT I + ∠CT I = ∠BF I + ∠CEI = 2∠BAC = ∠BOC nên T thuộc đường tròn (BOC) Ta có biến đổi góc ∠BT F = ∠BIF = 180◦ − ∠IBF − ∠IF B = 2∠IF E − ∠IBF = ∠AEF + ∠IEF − ∠IBF = ∠AEF + ∠T EF + ∠IET − ∠IBF = ∠AEF + ∠T EF + ∠ICT − ∠IBF = ∠AEF + ∠T EF + ∠T CB − ∠ICB − ∠IBF = ∠T EF + ∠T CB + (∠AEF − ∠ICB − ∠IBF ) = ∠T EF + ∠T CB suy đường tròn (T EF ) tiếp xúc đường tròn (BOC) Nhận xét Bài toán chứng minh cách sử dụng bổ đề Sayawama dạng đảo nhiên tiếp cận phương pháp cho ta nhìn hơn, đơn giản tự nhiên Phép chứng minh sử dụng bổ đề Sayawama tham khảo [18] tác giả Luis Gonzáles Bài toán toán tham khảo [4] toán đẹp kinh điển Bài toán (Serbia National Olympiad 2016) Cho tam giác ABC có O tâm ngoại tiếp Một đường tiếp tuyến với (BOC) cắt AB D CA E Gọi A điểm đối xứng điểm A qua DE Chứng minh (A DE) tiếp xúc với (ABC) Chứng minh Giả sử X tiếp điểm đường tiếp tuyến với đường tròn (BOC) Gọi S giao điểm khác X đường tròn ngoại tiếp tam giác DXB EXC.Ta có ∠BSC = ∠BSX + ∠CSX = ∠ADX + ∠AEX = 180◦ − ∠DAE nên A, B, S, C thuộc đường tròn suy S thuộc đường tròn (O) Mặt khác ∠DSE = ∠DSX + ∠ESX = ∠DBX + ∠ECX = ∠ABC − ∠XBC + ∠ACB − ∠XCB = 180◦ − ∠BAC − (180◦ − ∠BXC) = ∠BXC − ∠BAC = ∠BOC − ∠BAC = 2∠BAC − ∠BAC = ∠BAC = ∠BA C (do A đối xứng với A qua DE) suy D, S, A , E thuộc đường tròn Tiếp tuyến SY S đường tròn (O) Ta có ∠DSY = ∠BSY + ∠DBS = ∠BCS + ∠BXD = ∠BCS + ∠XCB = ∠XCS = ∠DES nên SY tiếp tuyến S đường tròn ngoại tiếp tam giác DSE suy đường tròn (DSE) tiếp xúc với đường tròn (O) Nhận xét Bài toán xuất phát từ bổ đề quen thuộc đường tròn tiếp xúc vốn phát biểu sau, Bổ đề Cho tam giác ABC, D, E điểm AB, AC.X thuộc DE.S giao điểm khác X đường tròn (DBX) đường tròn (CEX) đường tròn (SDE) tiếp xúc đường tròn (ABC) Bổ đề xem tổng quát cho toán, đặc biệt hóa X thuộc đường tròn (BOC) DE tiếp tuyến X đường tròn (BOC) ta thu toán Ngoài toán tác giả Trần Quang Hùng mở rộng [6] sau, Bài toán (mở rộng).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).P điểm nằm tam giác Tiếp tuyến P đường tròn (P BC) cắt CA, AB E, F.Q điểm (P BC) Đường tròn (QBF ) (QCE) cắt R khác Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác REF tiếp xúc (O) Chứng minh Gọi S giao điểm khác P đường tròn (EP B) đường tròn (F P C).Ta có ∠ERF = ∠QRF + ∠QRE = 180◦ − ∠ACQ + 180◦ − ∠ABQ = 360◦ − (∠ACQ + ∠ABQ) = ∠BAC +∠BQC = ∠BAC +180◦ −∠BP C = ∠BAC +∠P BC +∠P CB = 180◦ −(∠P BA+∠P CA) = 180◦ − (∠P SE + ∠P SE) = 180◦ − ∠ESF suy E, S, F, R thuộc đường tròn Mặt khác ∠BSC = ∠BSP + ∠CSP = ∠AEF + ∠AF E = 180◦ − ∠BAC nên A, B, S, C thuộc đường tròn Tiếp tuyến SL S đường tròn (O) Ta có ∠ESL = ∠BSL + ∠ESB = ∠BCS + ∠EP B = ∠BCS + ∠P CB = ∠P CS = ∠P ES nên SL tiếp tuyến S đường tròn (ESF ) kéo theo đường tròn (ESF ) tiếp xúc đường tròn (O) hay đường tròn ngoại tiếp tam giác REF tiếp xúc đường tròn (O) Nhận xét Khi P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC ta thu toán gốc Bài toán có nhiều ứng dụng ý nghĩa, bạn làm tập sau tác giả Trần Quang Hùng để thấy rõ Bài tập Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O).HB, HC cắt tiếp tuyến thay đổi (O) E, F.K đối xứng với H qua EF Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF tiếp xúc đường tròn cố định tiếp tuyến thay đổi Bài tập Cho tam giác ABC có đường cao AH tâm nội tiếp I IB, IC cắt AH M, N K, L tâm ngoại tiếp tam giác M AB, N AC R, Q trung điểm IB, IC Lấy P cho P R ⊥ N L, P Q ⊥ M K Một tiếp tuyến thay đổi đường tròn Euler tam giác IBC cắt P Q, P R S, T X đối xứng P qua S, T Chứng minh đường tròn (XST ) tiếp xúc đường tròn cố định tiếp tuyến thay đổi Bài tập 7.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) trực tâm H P điểm nằm (O) Trung trực HP cắt OP Q K, L hình chiếu Q lên HB, HC G trung điểm HQ Chứng minh đường tròn (GKL) tiếp xúc đường thẳng cố định P thay đổi Bài tập 8.Cho tam giác ABC có đường cao AH tâm nội tiếp I IB, IC cắt AH M, N K, L tâm ngoại tiếp tam giác M AB, N AC R, Q trung điểm IB, IC Lấy P cho P R ⊥ N L, P Q ⊥ M K Một tiếp tuyến thay đổi đường tròn Euler tam giác IBC cắt P Q, P R S, T X đối xứng P qua S, T Chứng minh đường tròn (XST ) tiếp xúc đường tròn cố định tiếp tuyến thay đổi Bài toán tác giả ứng dụng mạnh bổ đề Bài toán tác giả đưa lên [11] Bài toán (Mở rộng đường tròn Mixilinear) Cho tam giác ABC.P, Q hai điểm liên hợp đẳng giác Tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác BP C cắt CA, AB E, F , tiếp tuyến Q đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC cắt CA, AB G, H Chứng minh đường tròn (EF GH) tiếp xúc đường tròn (ABC) Lời giải sau tác giả đưa lên [11] Chứng minh Dễ thấy E, F, G, H thuộc đường tròn.P , Q giao điểm BP với CQ, BQ với CP Do ∠BP C = 180◦ − ∠P CB − ∠P BC = 180◦ − ∠P CE − ∠EP C = ∠P EC nên P, P , E, C thuộc đường tròn suy ∠EP C = ∠EP C = ∠P BC, P E tiếp tuyến P đường tròn (P BC) Tương tự H, Q, P B thuộc đường tròn nên P H tiếp tuyến P đường tròn (BP C), từ E, P , H thẳng hàng Tương tự ta có F, Q , G thẳng hàng M giao điểm khác Q đường tròn (Q F B) đường tròn (Q GC).Do F, Q , G thẳng hàng nên M thuộc (ABC).Vì F, Q , P, B G, Q, Q C thuộc đường tròn nên M thuộc đường tròn (QGC) đường tròn (P F B) Mặt khác M thuộc đường tròn (ABC) nên M giao điểm khác P đường tròn (P F B) (P EC), giao điểm khác Q đường tròn (QHB) (QGC) Theo bổ đề đường tròn (M HG), (M EF ) tiếp xúc đường tròn (O) Từ ∠EM F = ∠EM P + ∠F M P = ∠BP H + ∠BP H = 180◦ − ∠EM F nên F, H, E, M thuộc đường tròn đường tròn (HGEF ) tiếp xúc đường tròn (O) Nhận xét Bài toán mở nhiều hướng khai thác, đặc biệt mở rộng đường tròn M ixilinear nên có nhiều tính chất đặc biệt khác Trong [11] có đề xuất số tính chất thú vị khuôn khổ báo có hạn nên xin dừng lại Bài toán sau tác giả Lê Viết Ân đưa lên diễn đàn toán học AoPS [13] Bài toán 8.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H.M, N hình chiếu B, C lên CA, AB Giả sử tiếp tuyến B, C (O) cắt T.T đối xứng T qua BC.M N cắt T B, T C theo thứ tự F, E Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC T EF tiếp xúc Lời giải sau tác giả đưa lên [13] 10 Do N BJ ∼ T CJ suy J thuộc đường tròn (N F T ) L giao điểm khác J F J với đường tròn (AJE) A, L, K thẳng hàng LN cắt KF H, F C cắt AH I Theo bổ đề hình thang I, N, K thẳng hàng V giao điểm khác N KI với đường tròn (N JT ) Ta có AJ ⊥ F K suy KA2 = KJ.KF = KV.KN ∠KV A = 90◦ nên V thuộc đường tròn (AJK) suy IV ⊥ AT kéo theo ∠N JF = ∠N T F = ∠GAF = ∠GJF từ G, N, F thẳng hàng Mặt khác LJ = LA2 = LQ.LN nên LJ tiếp xúc đường tròn (N QJ) Dễ thấy ∠N QJ = 180◦ −∠N JL = 180◦ −∠GF J = 180◦ −∠N RJ nên đường tròn (AF ) tiếp xúc đường tròn (N RQ) Nhận xét Bài toán hay tư tưởng có nhiều hướng để tiếp cận Trong [12], tác giả Lê Viết Ân đưa lời giải khác, lời giải tác giả viết Để sử dụng hiệu phương pháp cần phải kết hợp nhiều phương pháp khác toán ví dụ điển hình Bài toán sau tham khảo [15] Bài toán 12.Cho đường tròn (I) tiếp xúc đường tròn (O) T.K thuộc I Tia OK cắt đường tròn (O) P Đoạn thẳng IK cắt đường tròn (K, KP ) Q Đoạn thẳng P Q cắt đường tròn (I) E Trên T Q lấy L cho OL IQ Chứng minh tam giác tạo tiếp tuyến P (O), tiếp tuyến E đường tròn (I) đường thẳng qua L vuông góc với IK tiếp xúc đường tròn (I) Lời giải sau tác giả viết, [15] Telv Cohl có đề xuất lời giải khác gọn Chứng minh Ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề A, B giao điểm đường tròn (K) đường tròn (I), G giao điểm P Q với AB Khi K, G, T thẳng hàng 14 Chứng minh Theo định lí tâm đẳng phương tiếp tuyến P (K), tiếp tuyến T (I), AB đồng quy H Do ∠HP G = ∠P BQ = ∠HGP nên HP = HG = HT Lấy S đối xứng với G qua H ∠SP G = ∠ST G = 90◦ mà ∠AP G = ∠BP G nên (SG, AB) = −1 suy ∠AT G = ∠BT G = 21 ∠AT B = ∠AT K từ K, G, T thẳng hàng Bổ đề L thuộc trục đẳng phương đường tròn (K) đường tròn (I) Chứng minh Kẻ OL ⊥ AB, V giao điểm khác P P Q với (O), U giao điểm khác T T G với (O) Xét phép vị tự tâm P : (K) → (O), Q → V, KQ ⊥ AB → OV ⊥ AB Tương tự OV ⊥ AB suy U, O, V thẳng hàng ∠GLV = ∠GT V = 90◦ kéo theo G, T, V, L thuộc đường tròn suy ∠T L V = ∠T GV = ∠T QI Từ dễ suy T, Q, L thẳng hàng hay L thuộc AB suy L ≡ L Giải toán Giả sử X giao tiếp tuyến P đường tròn (O) với tiếp tuyến E đường tròn (I), Y 15 giao tiếp tuyến P đường tròn (O) với đường thẳng qua L vuông góc với IK, Z giao điểm tiếp tuyến E đường tròn (I) với đường thẳng qua L vuông góc với IK N giao điểm khác E đường tròn (P EX) với đường tròn (I), M giao điểm khác N Y N với đường tròn (I) Ta có Y P = Y N.Y M nên ∠Y M P = ∠Y P N = ∠ZEN = ∠Y M G suy P, G, M thẳng hàng Mặt khác Y G2 = Y P = Y N.Y M nên∠Y GN = ∠Y M P = ∠Y P N = ∠ZEN suy N giao điểm khác G đường tròn (Y P G) (ZEG) từ ∠XY N = ∠P GN = ∠XZN nên N thuộc (XY Z) Tiếp tuyến N F N đường tròn (I) Ta có ∠ZN F = 180◦ − ∠Y N Z − ∠F N M = ∠N EM − ∠Y XZ = ∠ZXN suy N F tiếp tuyến N đường tròn (XY Z) suy đường tròn (XY Z) tiếp xúc đường tròn (I) 16 Các toán liên quan đến khái niệm điểm M iquel tứ giác toán phần vốn phát biểu dựa định lí M iquel Định lí Miquel Cho tứ giác toàn phần ABCDEF Khi đường tròn (ABC)(DF B)(AF E)(DEC) đồng quy M gọi điểm M iquel tứ giác toàn phần ABCDEF Chứng minh Giả sử M giao điểm khác E đường tròn (AF E) (DCE) Ta có ∠AM C = ∠EM C + ∠EM A = ∠EDC + ∠DF B = 180◦ − ∠ABC nên A, B, C, M thuộc đường tròn hay M thuộc đường tròn (ABC) Tương tự M thuộc đường tròn (DF B) suy đường tròn (ABC)(DF B)(AF E)(DEC) đồng quy M Bài toán sau tham khảo [6] tác giả Huỳnh Bách Khoa, Bài toán 13.Cho tam giác ABC với điểm E, F thuộc CA, AB cho B, C, E, F thuộc đường tròn Gọi M, N trung điểm BE, CF M N cắt CA, AB K, L.BE giao CF H Chứng minh đường tròn (HM N ) tiếp xúc đường tròn (AKL) Chứng minh Giả sử G điểm Miquel tứ giác toàn phần AEHF BC Ta có ∠GEB = ∠GAB = ∠GCF , ∠GBE = ∠GAC = ∠GF C suy GEB ∼ GCF đó, GC GE = GF GB Mặt khác ∠BGE = ∠CGF nên ∠F GB = ∠EGC kéo theo F GB ∼ EGC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BHF với cát tuyến L, M, N ta suy LB M H N F =1 LF M B N H Tương tự ta có KE N C M H =1 KC N H M E Mặt khác N F = N C, M B = M E nên LB KE = LF KC 17 Từ F GL ∼ CGK suy A, L, G, K thuộc đường tròn Hoàn toàn tương tự ta suy H, M, G, N thuộc đường tròn Do GKL ∼ GEB nên M, G, K, E thuộc đường tròn Tương tự F, N, G, L thuộc đường tròn suy ∠KGM = ∠LGN kéo theo ∠KN G = ∠LGM Tiếp tuyến GT G đường tròn (AKL) Ta có ∠M GT = ∠M GL+∠LGT = ∠N GK+∠N KG = ∠GN M nên GT tiếp tuyến G đường tròn (HM N ) đường tròn (HM N ) tiếp xúc đường tròn (AKL) Nhận xét Bài toán mở rộng cách thay tỉ số k lời giải hoàn toàn tương tự ME MB = NF NC = số Để ý ta chuyển M, N thành trung điểm BF, CE ta thu toán thú vị sau Bài toán 14.Cho tứ giác ABCD nội tiếp Giả sử E ≡ AD ∩ BC, F ≡ AB ∩ CD.M, N trung điểm AD, BC.M N cắt CD, AB G, H Chứng minh đường tròn (F GH) tiếp xúc đường tròn (EM N ) 18 Chứng minh Gọi I điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCDEF Do tứ giác ABCD nội tiếp nên I thuộc EF OI ⊥ EF Do M, N trung điểm AD, BC nên ∠OIE = ∠ON E = ∠OM E = 90◦ suy E, M, O, N, I thuộc đường tròn.Mặt khác I điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCDEF nên I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EDC suy I điểm Miquel tứ giác toàn phần F GN CHB tức I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác F GH Do I điểm Miquel tứ giác toàn phần F GN CHB nên ∠GIN = ∠GBN = ∠GF I + ∠N EI suy đường tròn (IGF ) tiếp xúc đường tròn (IN E) hay (F GH) tiếp xúc (EM N ) Nhận xét Hoàn toàn tương tự toán ta thu toán mở rộng việc thay tỉ số thành số k Bài toán sau tham khảo [7] tác giả Trần Quang Hùng Bài toán 15.Cho tam giác ABC đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F khác C, B BE cắt CF H Một đường thẳng qua H cắt CA, AB M, N Trên BC lấy P, Q cho M P BE N Q CF M P cắt N Q R Chứng minh (P QR) tiếp xúc (ABC) 19 Chứng minh (Dựa theo Ngô Quang Dương) M P , N Q cắt AB, AC S, T Lấy K điểm Miquel tứ giác toàn phần tạo đường thẳng (AB, BC, CA, M P ) PT /(ABC) TA · TC TC = = PT /(ASM ) TA · TM TM PN/(ABC) NA · NB NB = = PN/(ASM ) NA · NS NS Theo định lý Thales TC NB NH = = TM NS NM Do mà (ABC), (ASM ), (AN T ) đồng trục, kéo theo (AN T ) qua K, theo định lý Miquel, (CQT ), (BN Q) qua K Do ∠QKP = ∠CKB − ∠BKP − ∠QKC = 180◦ − ∠BAC − ∠BSP − ∠QT C = 180◦ − ∠BAC − ∠ABE − ∠F CA = 180◦ − ∠BHC = 180◦ − ∠P RQ nên K, R, P , Q đồng viên Kẻ tiếp tuyến KL K (ABC), ta có biến đổi góc: ∠LKP = ∠LKB + ∠BKP = ∠BCK + ∠ASM = ∠BCK − ∠BQK + ∠BQK + ∠ASM = ∠BQK + ∠ABE − ∠ACF = ∠BQK suy KL tiếp xúc (KP Q) (RP Q) tiếp xúc (ABC) Nhận xét Bài toán ứng dụng tuyệt đẹp định lí M iquel.Đặc biệt hóa H trực tâm ta thu toán sau tác giả Đào Thanh Oai 20 Bài toán 15* Cho tam giác ABC Một đường thẳng l qua H cắt CA, AB Q, P Đường thẳng qua Q vuông góc với AC, đường thẳng qua P vuông góc với AB, đường thẳng BC cắt tạo thành tam giác KM N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KM N tiếp xúc (O) điểm Colling P Q hay điểm Anti − steiner tam giác ABC Bài toán toán tiếng chuẩn acj phương pháp Bài toán 16 (IMO 2011 Problem 6) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).Gọi l tiếp tuyến (O) la , lb , lc đường thẳng đối xứng l qua BC, CA, AB Chứng minh đường tròn tiếp tam giác tạo la , lb , lc tiếp xúc (O) Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp (O).M điểm (O).D, E, F đối xứng M qua BC, CA, AB Khi (DBF )(DCE)(ABC) đồng quy Chứng minh Theo định lí đường thẳng Steiner D, E, F thẳng hàng N giao điểm khác B đường tròn (DBF ) (ABC) Ta có ∠N DE = 180◦ − ∠N DF = 180◦ − ∠N BF = 180◦ −∠N BA−∠ABF = 180◦ −∠N CA−∠ABM = ∠ACM −∠ACN = ∠ACE −∠ACN = ∠N CE suy N, D, C, E thuộc đường tròn hay đường tròn (DBF )(DCE)(ABC) đồng quy điểm Giải toán Chứng minh Giả sử l tiếp xúc đường tròn (O) M.D, E, F đối xứng M qua BC, CA, AB.XY Z tam giác tạo la , lb , lc Do la , lb , lc đối xứng với l qua BC, CA, AB nên D, E, F thuộc la , lb , lc Gọi K điểm M iquel tứ giác toàn phần F DXY ZE Do K giao điểm khác D đường tròn (DCF ) (DXE) nên theo bổ đề ta suy K thuộc đường tròn (O) 21 Tiếp tuyến KL K (O) Ta có ∠ZKL = ∠BKL − ∠BKZ = ∠KCB − ∠BDZ = ∠KCB − ∠BCM = ∠KCB − ∠BCD = ∠KCD = ∠KXD = ∠KY Z suy KL tiếp tuyến K đường tròn (XY Z) đó(XY Z) tiếp xúc (O) hay đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo la , lb , lc tiếp xúc (O) Nhận xét Bài toán tác giả Trần Quang Hùng mở rộng [3] sau Bài toán 16 mở rộng Cho tam giác ABC điểm P Đường thẳng qua P cắt đường tròn (P BC)(P CA), (P AB) theo thứ tự Y, Z, X.la , lb , lc tiếp tuyến đường tròn (P BC), (P CA), (P AB) Y, Z, X Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo la , lb , lc tiếp xúc đường tròn (ABC) 22 Chứng minh Giả sử M N Q tam giác tạo la , lb , lc Ta có ∠CY Q = ∠CP Y = ∠CP Z = ∠CZQ suy C thuộc đường tròn (Y ZQ) Tương tự B thuộc đường tròn (M XY ) A thuộc đường tròn (N XZ) J giao điểm khác C đường tròn (Y ZC) (ABC) Do ∠XBJ = ∠XBA + ∠ABJ = ∠XP A + ∠ACJ = ∠XP A + ∠ACZ − ∠ZCJ = ∠XP A + ∠AP Z − ∠ZY J = ∠XY J nên J thuộc đường tròn (XBY ) suy J thuộc đường tròn (M XY ) J điểm M iquel tứ giác toàn phần M N QXY Z Tiếp tuyến JK J đường tròn (ABC) Do ∠QJK = ∠CJK − ∠CY Q = ∠CAZ + ∠ZAJ − ∠CY Q = ∠CP Y + ∠ZN J − ∠CY Q = ∠CY Q + ∠QM J − ∠CY Q = ∠QM J nên JK tiếp tuyến J đường tròn (M N Q) đường tròn (ABC) tiếp xúc đường tròn (M N Q) Ngoài tác giả Nguyễn Văn Linh đưa mở rộng khác [3] Bài toán 16’.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).P mặt phẳng Đường thẳng qua P cắt (BP C)(AP C)(BP A) A1 , B1 , C1 la tiếp tuyến A1 (BP C).la đối xứng với la qua BC Tương tự ta xác định lb , lc Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác la , lb , lc tiếp xúc (O) Lời giải toán xây dựng hoàn toàn tương tự toán mở rộng, việc chứng minh xin dành cho bạn đọc Ta đến với toán có cấu hình tương tự toán 23 Bài toán sau tham khảo [9] tác giả Lê Viết Ân Bài toán 17.Cho tam giác ABC với ∠BAC = 90◦ nội tiếp đường tròn (O).D BC (D khác B, C) Trung trực AD cắt OA T.T D cắt OB, OC E, F Kí hiệu ω đường tròn qua A, D tiếp xúc với T A, T D Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF tiếp xúc ω Chứng minh Gọi M điểm Miquel tứ giác toàn phần DF OCEB.OM cắt BC X Ta có ∠BM O = ∠BM F + ∠OM F = ∠F DC + ∠OEF = 180◦ − ∠OCB = 180◦ − ∠OBC = ∠OBX suy OBX ∼ OM D OB = OM OX tương đương OC = OM OX suy OCM ∼ OXC OXC = OCM = EDM nên ED tiếp xúc đường tròn (M XD) Tương tự ta thu T A tiếp xúc đường tròn (AM X) Mặt khác T A = T D nên A, M, D, X thuộc đường tròn suy (AM D) ≡ ω Do ∠F AM = ∠F BD = ∠DXM + ∠BOM = ∠DAM + ∠F EM nên đường tròn (OEF ) tiếp xúc đường tròn (AM D) đường tròn (OEF ) tiếp xúc ω Bài toán sau tác giả Lê Viết Ân đưa lên diến đàn toán học AoP S Bài toán 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).AO cắt BC D Trên CA, AB lấy E, F cho D trực tâm tam giác AEF.XY Z tam giác tạo đường thẳng BC, tiếp tuyến A đường tròn (O) đường thẳng đối xứng với BC qua EF Chứng minh đường tròn (XY Z) tiếp xúc đường tròn (O) Chứng minh Gọi T giao điểm AD XY Do XT đối xứng với XD qua EF nên T thuộc 24 đường tròn (AEF ).M điểm Miquel tứ giác toàn phần ADXY ZT Gọi P điểm Miquel tứ giác toàn phần EF BCXA Ta có ∠DY P = ∠CEP = ∠DXP nên D, T, X, P thuộc đường tròn Mặt khác BCEF tứ giác nội tiếp nên A, P, X thẳng hàng suy ∠AM P = ∠AM D + ∠P M D = ∠AZD + ∠AXD = 180◦ − ∠P AZ = ∠ABP A, B, M, P thuộc đường tròn hay M thuộc đường tròn (O) A giao điểm khác M M D với đường tròn (O) Do Z, A, D, M thuộc đường tròn nên ∠BDM = ∠M AZ = ∠M P A suy AB=A C Do ∠BDM = ∠ABC, ∠CDM = ∠ACB Mặt khác ∠DM X = ∠DT X = ∠T DX = ∠ADB = 90◦ − ∠ABC + ∠ACB = ∠DM Z − ∠DM B + ∠DCM suy ∠CM X = ∠BM Z Tiếp tuyến M N M đường tròn (O) Do ∠ZM N = ∠BM N − ∠BM Z = ∠BCM − ∠CM X = ∠BXM nên M N tiếp tuyến M đường tròn (XY Z) hay đường tròn (XY Z) tiếp xúc đường tròn (O) Bài toán sau tham khảo [8] tác giả Lê Viết Ân Bài toán 19.Cho hai đường tròn (O), (O ) có tâm vị tự V.l đường thẳng qua V vuông góc với OO Hai điểm P, Q (O), (O ) cho V, P, Q thẳng hàng Tiếp tuyến P (O) cắt tiếp tuyến Q (O ) X.XP, XQ cắt l theo thứ tự Y, Z Chứng minh P, Q thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z tiếp xúc với đường tròn cố định Chứng minh (Dựa theo Telv Cohl ) Gọi M điểm Miquel tứ giác toàn phần Y V QXP Z Do V tâm vị tự (O)(O ) nên X thuộc trục đẳng phương (O)(O ) suy XP = 25 XQ Mặt khác M thuộc đường tròn (P XQ) nên M X phân giác ∠P M Q Do M XP, M Y V ∼ M XQ nên ∠V M Y = ∠V M Z M ZC ∼ S giao điểm P V với XM Do M QS ∼ M XP ∼ M ZV nên ∠SM Q = ∠V M Z suy ∠SM V = ∠SM Q + ∠QM V = ∠V M Z + ∠QM V = ∠SV Y đường tròn (SM V ) tiếp xúc Y Z Tiếp tuyến M N M đường tròn (XY Z) Ta có ∠V M N = ∠V M Z + ∠ZM N = ∠V QZ + ∠ZXM = ∠V SM nên M N tiếp tuyến M đường tròn (V M S) suy đường tròn (XY Z) tiếp xúc đường tròn (V SM ) Dễ thấy P, O, V, Y Q, O , Z, V thuộc đường tròn nên (V QO )(V ST )(V P O) đồng trục suy OT PS = OT QS T giao điểm khác V OO với đường tròn (V M S) Do đường tròn (SM V ) tiếp xúc l nên V T đường kính đường tròn (V SM ) Mặt khác M P Q ∼ M Y Z nên M P Y ∼ M QZ suy M P Y ∼ M QZ OT PM PO = = OT QM QO nên T cố định hay đường tròn đường kính V T cố định suy đường tròn (XY Z) tiếp xúc đường tròn cố định P, Q thay đổi Nhận xét Bài toán ứng dụng tuyệt đẹp định lí M iquel đồng thời khai thác cách nhuần nhuyễn nhiều tính chất thú vị, đặc biệt khái niệm tâm insimilicenter hai đường 26 tròn (O), (O ) 27 Tài liệu tham khảo Các trang web hình học [1] Chứng minh (AEF ) tiếp xúc (BXC) http://diendantoanhoc.net/topic/158268 [2] Chứng minh (BDC) tiếp xúc (AEF ) http://diendantoanhoc.net/topic/158023 [3] IMO 2011 Problem http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h418983p2365045 [4] Geometry, SMO 2016, not easy http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1220645p6102014 [5] Tangent http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1136963p5315484 [6] Mỗi tuần toán tuần tháng https://www.dropbox.com/s/y1abt22djvuyzko/derakynay1306.pdf?dl=0 [7] Mỗi tuần toán tuần tháng http://diendantoanhoc.net/topic/158213 [8] (XYZ) is tangent to a fixed circle http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1108467p5035848 [9]Circumcircle OEF is tangent Omega http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1093939p4886789 [10] VMF’s Marathon Hình học Olympic http://diendantoanhoc.net/topic/159439 [11] Mỗi tuần toán tuần tháng http://diendantoanhoc.net/topic/160176 [12] Tangents circles http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1192101p5818974 [13](TQR) is tangent to (O) http://artofproblemsolving.com/community/c6h1251551 [14] Tangents circles http://artofproblemsolving.com/community/q1h1231948p6235762 [15]Circle is tangent to circle http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1087539p4816614 [16]IMO ShortList 2002, geometry problem http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h17323p118682 [17] Tạp chí Toán học Tuổi trẻ tháng năm 2015 [18] middle http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h517026p2914609 [19] Tangent circle http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h1250698p6440249 [20]Tangents Circle http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h1233661p6252244 28