SKKN Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC GIỮA CÁC ĐƯỜNG Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA, NĂM 2014 1 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 2 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 I.CƠ SỞ LÝ LUẬN 2 II.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 3 III. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4 IV. BỐN BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC 4 BÀI TOÁN 1 4 BÀI TOÁN 2 6 BÀI TOÁN 3 15 BÀI TOÁN 4 17 V.HIỆU QUẢ ÁP DỤNG 19 PHẦN III:KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 20 PHẦN I :ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán ở bậc THPT học sinh gặp nhiều bài toán liên quan đến sự tiếp xúc của các đường cong.Đặc biệt trong các kì thi Đại học,Cao 2 đẳng ,kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán các bài này thường gây cho học sinh sự khó khăn nhất định.Chính vì thế mà các dạng bài toán về sự tiếp xúc có sức hấp dẫn,có ’’vẻ đẹp’’ riêng kích thích sự tìm tòi,khám phá những lời giải đẹp,lời giải cô đọng,súc tích và dễ hiểu. Việc giúp học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán là một việc mà các thầy cô giáo tâm huyết cần phải làm. Là một giáo viên được trực tiếp giảng dạy môn toán với thời gian hơn 12 năm ở trường THPT Tĩnh Gia 3,tôi luôn không ngừng tìm tòi ,nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất,những phương pháp giải phù hợp với nhiều đối tượng học sinh ở đơn vị công tác. Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài:’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ PHẦN II :GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.CƠ SỞ LÝ LUẬN -Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. - Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán liên quan đến sự tiếp xúc giữa các đường. Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi hướng dẫn học sinh tiến hành theo các bước sau đây: + Bước1:Dự đoán đường cong ( đường thẳng). + Bước 2:Chứng minh tiếp xúc. Để giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường ta cần nắm vững một số kiến thức sau: 1.Một số định nghĩa Định nghĩa 1 3 Hai đường cong (C) và (G) được gọi là tiếp xúc với nhau,nếu giữa chúng tồn tại một tiếp tiếp tuyến chung tại cùng một điểm. Định nghĩa 2. Cho các họ đường cong (C m ): y =f(m,x); (G m ): y = g(m,x) phụ thuộc tham số m. Hai họ (C m ) và (G m ) được gọi là tiếp xúc với nhau nếu ứng với mỗi m,ta có cặp (C m ) và (G m ) của chúng là cặp tiếp xúc . Định nghĩa 3. (C m ) được gọi là họ tiếp xúc nếu mọi đường cong của họ cùng tiếp xúc với một đường thẳng tại một điểm. 2.Điều kiện tiếp xúc. Mệnh đề 1 Các đường cong (C) và (G) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  Mệnh đề 2 Các đường cong (C m ) và (G m ) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm với mọi m: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  II .THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI - Trong sách giáo khoa Toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay các bài tập về sự tiếp xúc giữa các đường có tham số có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này. - ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ là tập hợp các phương pháp cho ta cách giải các bài toán tiếp xúc giữa các đường có chứa tham số phức tạp một cách đơn giản và dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh học lực trung bình trở lên. 4 - ’’Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’cho ta cách nhìn đa chiều về một bài toán,kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham khám phá của học sinh. - ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt. III. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ -Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường , giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh. - Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu các phương pháp này cho học sinh từ năm lớp 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với các phương pháp này. - Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt. IV.BỐN BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC. Ví dụ 1.Tìm m để parabol 2 ( ) : 5 9 m P y x mx= + − tiếp xúc với đường thẳng (d m ): y = mx + 4m – 12. Giải: (P m ) và (d m ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 5 Bài toán 1 Tìm trong hai họ (C m ) và (G m ) cho trước các cặp đường cong (C m ), (G m ) tiếp xúc với nhau. Phương pháp giải: Sử dụng mệnh đề 1. 2 2 2 2 2 5 9 4 12 4 4 3 0 ( 5 9)' ( 4 12)' 2 5 4 4 3 0 2 3 0 2 2 1 1 1 2 3 3 3 2 2 x mx mx m x mx m x mx mx m x m m x mx m x x x x m m x x m x x x m m   + − = + − + − + = ⇔   + − = + − + =     + − + = − − =   ⇔ ⇔   = − = −      = −     = −    =       =  ⇔ ⇔   =     = −     = −     +Với 1 2 m = ta có pa ra bol (P): 2 5 9 2 y x x = + − tiếp xúc với đường thẳng (d) : 1 10 2 y x= − . +Với 3 2 m = − ta có pa ra bol (P): 2 15 9 2 y x x = − − tiếp xúc với đường thẳng (d): 3 18 2 y x= − − Bình luận: Ở ví dụ này ta có thể giải bằng phương pháp:’’Điều kiện nghiệm kép’’ . 6 Bài toán 2 Cho họ đường cong (C m ): y = f(m,x) phụ thuộc tham số m. Tìm đường cong (G) tiếp xúc với cả họ (C m ). Cách giải Bước 1: Đoán đường cong (G). Bước 2: Chứng minh (G) và (C m ) tiếp xúc với nhau. Các phương pháp dự đoán đường cong (G) 1.Phương pháp nội suy(tách bộ phận kép) Nếu f(m,x)=h(m,x)+g(x) trong đó h(m,x) có nghiệm kép,g(x) độc lập với m thì (d) có phương trình y= g(x). 2.Phương pháp biên Xem y = f(m,x) (1) là phương trình đối với m. Nếu y=g(x) là điều kiện giới hạn giữa sự có nghiệm và vô nghiệm của phương trình (1) đối với ẩn m,thì y = g(x) là phương trình của (G). 3.Phương pháp đạo hàm theo tham số. Viết lại phương trình y = f(x) thành F(x,y,m) = 0 . Từ hệ phương trình ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y m dF x y m dm =    =   khử m, ta có y = g(x). Đó chính là phương trình của (G). Nhận xét: Nếu (G) đã biết hình dạng(là đường thẳng,parabol,hypebol,đường tròn,…) ta còn có thêm phương pháp 4: hệ số bất định. Đặc biệt khi (G) là đường thẳng, bài toán còn có thêm cách giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ (hay là đạo hàm theo đối số) và được trình bày thành một bài toán riêng (bài toán 3) ở sau. Ví dụ 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi,họ đồ thị (C m ) luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định. 7 2 3 2 ( ) : ( ) 4 2 m m C f x x mx mx= + + + (1) Giải : Cách 1(Phương pháp nội suy) Bước 1: Dự đoán đường cong (G) Ta có: 2 2 3 2 2 3 2 1 7 (1) ( ) ( 2 ) 2 2 1 7 ( ) ( ) . 2 2 f x m mx x x x f x x m x x ⇔ = + + + + = + + + Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : 3 2 7 ( ) 2 g x x x = + Thật vậy xét hệ 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 7 7 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( )' ( )' 3 8 3 7 0 3 8 3 7 f x g x x m x x x x f x g x x x m x x x m x m x x m x x  = + + + = +   ⇔   =   + + = +  + =  ⇔ = −  + + = +  =>Với ∀m � ,hệ trên luôn có nghiệm x = -m => hai họ (C∈ m ) và (G) luôn tiếp xúc với nhau =>đpcm. Cách 2( Phương pháp đạo hàm theo tham số m) Bước 1 : Dự đoán đường cong (G) Ta có ( , ) ( , ) , 0 . df m x df m x x m m x dm dm = + = ⇔ = − (ở đây ký hiệu ( , )df m x dm là đạo hàm theo biến số m của hàm số f(m,x) ) Thế m= -x vào (1) ta có 8 3 2 7 ( ) 2 g x x x = + Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : 3 2 7 ( ) 2 g x x x = + ( chứng minh tương tự cách 1) Cách 3(Phương pháp biên). Bước 1: Dự đoán đường cong (G). Ta có: 2 3 2 (1) 4 0 2 m mx x x y ⇔ + + + − = (2) Xem (2) là phương trình với ẩn m; 2 3 2 3 2 7 2( 4 ) 2( ) 2 m x x x y x x y ∆ = − + − = − + − Phương trình (2) vô nghiệm đối với m khi và chỉ khi 3 2 3 2 7 7 0 0 2 2 m x x y y x x ∆ < ⇔ + − > ⇔ < + Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : 3 2 7 ( ) 2 g x x x = + ( chứng minh tương tự cách 1) Ví dụ 3. Tìm đường cố định tiếp xúc với họ hypebol (H m ): 2 2 (1 ) 1 ( ) x m x m y f x m x + − + + = = − (1) Giải Cách1. Bước 1: Dự đoán đường cong (G). 9 Ta có: (1) => y(m-x) = 2x 2 + (1-m)x + 1 + m <=>m(y + x – 1) = 2x 2 +x + 1 + xy. (2) Phương trình (2) vô nghiệm khi và chỉ khi 2 1 0 2 1 0 y x x x xy + − =   + + + ≠  Bước 2. Ta chứng minh (H m ) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = 1 – x Thật vậy : Xét hệ ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  (3) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 (1 ) 1 2 1 0 1 1 ( 1) 1 2 4 2 1 1 1 ( 1) ( ) 2 1 0 ( 1) 0 1 x m x m x x x x m x m m x mx m m m m x x x x x  + − + +  + + = = −  = −  −   ⇔ ⇔ ⇔    + ≠ − − + − + + − = −    = − +   −  ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − Vậy với mọi m≠-1 ,hệ (3) luôn có nghiệm x = -1 ( ) m H⇔ và đường thẳng d luôn tiếp xúc với nhau => đpcm. Nhận xét : • (H m ) tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 1- x tại tiếp điểm cố định có hoành độ x= -1  Họ hypecbol (H m ) luôn tiếp xúc với nhau. • Khi m = -1 họ (H m ) suy biến thành đường thẳng y = - x – 2,không có sự tiếp xúc. Cách 2.(Đạo hàm theo m) Bước 1: Dự đoán đường cong (G). Ta có (1) = > y(m – x) = 2x 2 + (1 - m)x + 1+ m <=> m( y+ x – 1) – (2x 2 + x + 1 +xy) = 0. Gọi F(m) = m( y+ x – 1) – (2x 2 + x + 1 +xy) => [F(m)]’ m = y +x - 1 = > [F(m)]’ m =0 < = > y + x - 1 =0 < = > y = - x + 1 Bước 2. Ta chứng minh (H m ) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = 1 – x 10 [...]... x2 − m 5.Tìm m để (Cm) : y = f(x)=2x3-3(m+3)x2+18mx – 8 tiếp xúc với trục Ox V HIỆU QUẢ ÁP DỤNG ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường ’ đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú Một số em đã đạt được những thành tích tốt qua những đợt thi học... 6) − y   Dự đoán đường cố định là đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64 Bước 2 : Ta sẽ chứng minh (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64 ( chứng minh tương tự như ở cách 1) Chú ý :Khi chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ,các đường cônic ta sử dụng các đẳng thức về điều kiện tiếp xúc của nó Bài toán 3 Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) : y = f(x) Cách giải Điều kiện cần... không thích hợp duy Vậy y = x – 2 là tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) đã cho Bài toán 4 Chứng minh (Cm) : y = f(x) là họ tiếp xúc Cách giải: Bước 1: Tìm các điểm cố định của (Cm) Bước 2: Tìm đạo hàm f’(x) tại hoành độ các điểm cố định.Chứng tỏ trong các điểm cố định ấy,tồn tại một điểm mà tại đó f’(x) là một hằng số Ngoài ra ,bài toán còn có 4 cách giải như bài toán 2 Ví dụ 10 Cho họ hypecbol (Hm)... thức rõ vai trò là người “thắp sáng ngọn lửa” chủ động lĩnh hội tri thức trong từng học sinh Qua nghiên cứu và áp dụng ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường ’ cho học sinh Trường THPT Tĩnh Gia 3 tôi thu được hiệu quả nhất định, để học tập môn toán của các em có kết quả cao hơn và kiến thức vững hơn Tôi kính mong đồng nghiệp và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh Gia... thay đổi , họ (Cm) luôn tiếp xúc với nhau = > điều phải chứng minh 19 Bài tập : 1 CMR : (Cm) : y = x3 + 3mx2 +3(m2-1)x + m3 – 3m luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định 2.CMR họ đường thẳng : d( α ) :xcos α +ysin α +2cos α +1 = 0 luôn tiếp xúc với một đường cong cố định (m + 1) x 2 − m 2 (m ≠ 0) luôn tiếp xúc với một 3.CMR tiện cận xiên của họ (Cm) : y = x−m parbol cố định 4.Tìm tiếp tuyến cố định của... tự cách 1) Đối với dạng toán chứng minh họ (H m) tiếp xúc với hai đường thẳng cố định chúng ta cũng làm tương tự , ta xet ví dụ sau : Ví dụ 4 Chứng minh rằng họ hypebol (Hm) : (m − 2) x − (m 2 − 2m − 4) y = f ( x) = x−m (1) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định Giải Từ (1) suy ra : m2 – m(x + y +2) + 2x + xy + 4 = 0 (2) Cách 1 (Phương pháp biên) Bước 1: Dự đoán đường thẳng Ta có thể xem (2) là phương. .. 2 Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với 2 đường thẳng (d1 ) :g1(x) = x – 6 (d2 ) :g2(x) = x + 2 ( làm tương tự cách 1) Cách 3. (Phương pháp hệ số bất định) Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = ax + b • (Hm) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm với mọi m : ( m −2) x −( m 2 −2m + 4) = ax +b(2)   f ( x ) = ax +b  x −m ⇔  4 f '( x ) = a   = a (3)  ( x −m ) 2  Phương trình (3) luôn... thị (Cm) các điểm x0 thỏa mãn y’(x0) = c (const) (1) (Để có (1) nhiều khi phải đặt tham số phụ) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 theo công thức :y = f’(x0)(x - x0) + y0 Nếu tiếp tuyến tại x0 cố định thì đó chính là lời giải bài toán Nếu tiếp tuyến tại x0 chưa cố định thì tiếp tục bước 2 Bước 2:Tìm điều kiện của tham số phụ để tiếp tuyến tại x0 cố định Điều kiện đủ Thay giá trị của tham số phụ... học sinh 20 Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp tôi xin chân thành cảm ơn nhiều Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe, hạnh phúc, thành đạt TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-NXB Giáo dục Việt Nam 2013 2 Đề thi Đại học , Cao Đẳng các năm 3 .Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương, NXB Hà Nội 2006 4 .Các bài toán về hàm số, Phan Huy Khải- NXB Hà... tiếp xúc với một đường cong cố định Giải Cách 1( phương pháp biên) Bước 1: Dự đoán đường cong ( 1)  (x - 6)cosx + ysinx = - 8 (2) Phương trình (2) vô nghiệm đối với α  ( x- 6)2 + y2 < 64 Bước 2 : Ta sẽ chứng minh (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64 Thật vậy : Đường tròn (C) có tâm I(6 ; 0) bán kính R = 8 Khoảng cách từ tâm I(6 ; 0) của (C ) đến đường thẳng (dα) là : d ( I ;(dα )) . nay các bài tập về sự tiếp xúc giữa các đường có tham số có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này. - ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về. ’’Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường ’cho ta cách nhìn đa chiều về một bài toán, kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham khám phá của học sinh. - ’’ Một số phương. toán về sự tiếp xúc giữa các đường ’ là tập hợp các phương pháp cho ta cách giải các bài toán tiếp xúc giữa các đường có chứa tham số phức tạp một cách đơn giản và dễ hiểu hơn đối với các đối