SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI các bài TOÁN về sự TIẾP xúc GIỮA các ĐƯỜNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC GIỮA CÁC ĐƯỜNG Người thực hiện: VŨ THỊ HẰNG Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2021 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Một số phương pháp giải toán tiếp xúc đường ………………………………… 2.3.1 Phương pháp Sử dụng mệnh đề …… 2.3.2.Phương pháp nội suy (tách phận kép) … 2.3.3 Phương pháp đạo hàm theo tham số m ………… 2.3.4 Phương pháp biên ……… 16 2.3.5 Phương pháp điều kiện cần đủ …… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn bậc THPT học sinh gặp nhiều toán liên quan đến tiếp xúc đường cong.Đặc biệt kì thi Đại học,Cao đẳng ,kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn toán thường gây cho học sinh khó khăn định.Chính mà dạng tốn tiếp xúc có sức hấp dẫn,có ’’vẻ đẹp’’ riêng kích thích tìm tịi,khám phá lời giải đẹp,lời giải đọng,súc tích dễ hiểu Việc giúp học sinh tìm tịi nhiều cách giải cho tốn việc mà thầy giáo tâm huyết cần phải làm Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn với thời gian 12 năm trường THPT Đông Sơn 2,tôi không ngừng tìm tịi ,nghiên cứu để tìm phương pháp giảng dạy hiệu nhất,những phương pháp giải phù hợp với nhiều đối tượng học sinh đơn vị công tác Dưới xin trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “ Phương pháp giải toán tiếp xúc đường’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp em học sinh Trung học phổ thơng có kiến thức phương pháp vững để giải toán tiếp xúc đường đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh, Đồng thời rèn luyện cho em kỹ giải trình bày tốn Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành đề tài nói tơi nghiên cứu dựa phương pháp giải toán tiếp xúc đường chương trình Đại số Giải tích thuộc mơn Tốn Trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài thực phương pháp nghiên cứu như: - Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu tiếp xúc đường chương trình Tốn Trung học phổ thông - Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh giải toán có tiếp xúc đường - Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm -Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt môn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán liên quan đến tiếp xúc đường Để giúp cho hoc sinh phân tích tốn tìm phương pháp giải, hướng dẫn học sinh tiến hành theo bước sau đây: + Bước1:Dự đoán đường cong ( đường thẳng) + Bước 2:Chứng minh tiếp xúc Để giải toán tiếp xúc đường ta cần nắm vững số kiến thức sau: *) Một số định nghĩa Định nghĩa Hai đường cong (C) (G) gọi tiếp xúc với nhau,nếu chúng tồn tiếp tiếp tuyến chung điểm Định nghĩa Cho họ đường cong (Cm): y =f(m,x); (Gm): y = g(m,x) phụ thuộc tham số m Hai họ (Cm) (Gm) gọi tiếp xúc với ứng với m,ta có cặp (Cm) (Gm) chúng cặp tiếp xúc Định nghĩa (Cm) gọi họ tiếp xúc đường cong họ tiếp xúc với đường thẳng điểm *) Điều kiện tiếp xúc Mệnh đề Các đường cong y = f ( x) (C) y = g ( x) (G) tiếp xúc hệ sau có nghiệm:  f ( x) = g ( x)   f '( x) = g '( x) Mệnh đề Các đường cong (Cm) (Gm) tiếp xúc hệ sau có nghiệm với m:  f ( x) = g ( x)   f '( x) = g '( x) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Trong sách giáo khoa Toán bậc trung học phổ thông tập tiếp xúc đường có tham số có số lượng hạn chế Hầu hết học sinh gặp khó khăn giải tốn dạng - “ Phương pháp giải toán tiếp xúc đường’’ tập hợp phương pháp cho ta cách giải toán tiếp xúc đường có chứa tham số phức tạp cách đơn giản dễ hiểu đối tượng học sinh học lực trung bình trở lên - “ Phương pháp giải toán tiếp xúc đường’’cho ta cách nhìn đa chiều tốn,kích thích sáng tạo tính ham học hỏi,ham khám phá học sinh - “ Phương pháp giải toán tiếp xúc đường’’ giúp học sinh phát huy tối đa tự học,tự bồi dưỡng tri thức – đường tiết kiệm , kinh tế để học tập tốt 2.3 Một số phương pháp giải toán tiếp xúc đường -Nhằm giúp cho học sinh có kĩ giải toán tiếp xúc đường , giúp cho em có kiến thức vững vàng có kết cao kì thi tuyển sinh - Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp cho học sinh từ năm lớp 11, 12 Giáo viên phải dựa vào trình độ khối lớp để đưa dạng tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho em quen dần với phương pháp theo hướng sau nội dung đề tài 2.3.1 Phương pháp Sử dụng mệnh đề Các đường cong y = f ( x) (C) y = g ( x) (G) tiếp xúc hệ sau có nghiệm:  f ( x) = g ( x)   f '( x) = g '( x) Bài tốn Tìm hai họ (Cm) (Gm) cho trước cặp đường cong (Cm), (Gm) tiếp xúc với Phương pháp giải: Sử dụng mệnh đề Ví dụ 1.Tìm m để parabol ( Pm ) : y = x + 5mx − tiếp xúc với đường thẳng (dm): y = mx + 4m – 12 Giải: (Pm) (dm) tiếp xúc với hệ sau có nghiệm:  x + 5mx − = mx + 4m − 12  x + 4mx − 4m + = ⇔  ( x + mx − 9) ' = ( mx + m − 12) ' x + 5m = m    x + 4mx − 4m + =  x − x − =   ⇔ ⇔ x x m=−   m=−     x = −1    x = −1  m =     x=3 ⇔  ⇔ x    x = m = −    m = −  +Với m = ta có pa bol (P): y = x + x − tiếp xúc với đường thẳng 2 (d) : y = x − 10 15 ta có pa bol (P): y = x − x − tiếp xúc với đường 2 thẳng (d): y = − x − 18 +Với m = − Bình luận: Ở ví dụ ta giải phương pháp:’’Điều kiện nghiệm kép’’ 2.3.2.Phương pháp nội suy (tách phận kép) Bài toán Cho họ đường cong (Cm): y = f(m,x) phụ thuộc tham số m Tìm đường cong (G) tiếp xúc với họ (Cm) Cách giải Bước 1: Đoán đường cong (G) Bước 2: Chứng minh (G) (Cm) tiếp xúc với Các phương pháp dự đoán đường cong (G) 1.Phương pháp nội suy(tách phận kép) Nếu f(m,x)=h(m,x)+g(x) h(m,x) có nghiệm kép,g(x) độc lập với m (d) có phương trình y= g(x) 2.Phương pháp biên Xem y = f(m,x) (1) phương trình m Nếu y=g(x) điều kiện giới hạn có nghiệm vơ nghiệm phương trình (1) ẩn m,thì y = g(x) phương trình (G) 3.Phương pháp đạo hàm theo tham số Viết lại phương trình y = f(x) thành F(x,y,m) =  F ( x , y , m) =  Từ hệ phương trình  dF ( x, y, m) khử m, ta có y = g(x) Đó phương =0  dm trình (G) Nhận xét: Nếu (G) biết hình dạng (là đường thẳng, parabol, hypebol, đường trịn,…) ta cịn có thêm phương pháp 4: hệ số bất định Đặc biệt (G) đường thẳng, toán cịn có thêm cách giải phương pháp điều kiện cần đủ (hay đạo hàm theo đối số) trình bày thành tốn riêng (bài tốn 3) sau Ví dụ Chứng minh m thay đổi,họ đồ thị (Cm) tiếp xúc với đồ thị cố định m2 (Cm ) : f ( x) = x + 4mx + mx + (1) Giải : Cách 1(Phương pháp nội suy) Bước 1: Dự đoán đường cong (G) Ta có: ( m + 2mx + x ) + x + x 2 f ( x ) = ( x + m) + x + x 2 (1) ⇔ f ( x) = Bước Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : g ( x ) = x + x Thật xét hệ 7 1 3  f ( x ) = g ( x)  ( x + m) + x + x = x + x ⇔ 2 2  2  f ( x ) ' = g ( x) '  x + x + m = 3x + x  x+m =0  ⇔ x = −m  2 3x + x + m = 3x + x =>Với ∀m ∈ R ,hệ ln có nghiệm x = -m => hai họ (Cm) (G) tiếp xúc với =>đpcm 2.3.3 Phương pháp đạo hàm theo tham số m Tiếp tục với VD2 phương pháp khác Ví dụ Chứng minh m thay đổi,họ đồ thị (Cm) tiếp xúc với đồ thị cố định m2 (Cm ) : f ( x) = x + 4mx + mx + (1) Cách ( Phương pháp đạo hàm theo tham số m) Bước : Dự đoán đường cong (G) Ta có df (m, x) df (m, x ) = x + m, = ⇔ m = − x dm dm (ở ký hiệu df (m, x ) đạo hàm theo biến số m hàm số f(m,x) ) dm Thế m= -x vào (1) ta có g ( x) = x + x Bước Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : g ( x ) =x + x ( chứng minh tương tự cách 1) 2.3.4 Phương pháp biên Cách (Phương pháp biên) Bước 1: Dự đốn đường cong (G) Ta có: m2 (1) ⇔ + mx + x + x − y = (2) Xem (2) phương trình với ẩn m; ∆ m = x − 2( x + x − y ) = −2( x + x − y) Phương trình (2) vơ nghiệm m ∆ m < ⇔ x3 + 7 x − y > ⇔ y < x3 + x2 2 Bước Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : g ( x ) = x + x ( chứng minh tương tự cách 1) (*) Một số ví dụ toán tiếp xúc sử dụng phương pháp Bài toán tổng quát Cho họ đường cong (Cm): y = f(m,x) phụ thuộc tham số m Tìm đường cong (G) tiếp xúc với họ (Cm) Cách giải Bước 1: Đoán đường cong (G) Bước 2: Chứng minh (G) (Cm) tiếp xúc với Các phương pháp dự đoán đường cong (G) Cách 1.Phương pháp nội suy(tách phận kép) Nếu f(m,x)=h(m,x)+g(x) h(m,x) có nghiệm kép,g(x) độc lập với m (d) có phương trình y= g(x) Cách Phương pháp biên Xem y = f(m,x) (1) phương trình m Nếu y=g(x) điều kiện giới hạn có nghiệm vơ nghiệm phương trình (1) ẩn m,thì y = g(x) phương trình (G) Cách 3.Phương pháp đạo hàm theo tham số Viết lại phương trình y = f(x) thành F(x,y,m) =  F ( x, y , m ) =  Từ hệ phương trình  dF ( x, y, m) khử m, ta có y = g(x) Đó phương =0  dm trình (G) Nhận xét: Ví dụ Tìm đường cố định tiếp xúc với họ hypebol (Hm): x + (1 − m) x + + m y = f ( x) = m−x (1) Giải Cách1 Bước 1: Dự đoán đường cong (G) Ta có: (1) => y(m-x) = 2x2 + (1-m)x + + m m(y + x – 1) = 2x2 +x + + xy (2) 10 y + x −1 =  2 x + x +1 + xy ≠ Phương trình (2) vô nghiệm  Bước Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = – x Thật : Xét hệ  f ( x) = g ( x)   f '( x ) = g '( x) (3)  x + (1 − m) x + + m  x2 + 2x + = = 1− x   x = −1 m−x   ⇔ ⇔ ⇔   ( m + 1)  −2 x + 4mx − m + 2m + = −1  − (m + 1) = −1 m ≠ −1   (m − x) ⇔ x + x + = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 Vậy với m≠-1 ,hệ (3) ln có nghiệm x = -1 ⇔ ( H m ) đường thẳng d tiếp xúc với => đpcm Nhận xét : • (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 1- x tiếp điểm cố định có hồnh độ x= -1  Họ hypecbol (Hm) ln tiếp xúc với • Khi m = -1 họ (Hm) suy biến thành đường thẳng y = - x – 2,khơng có tiếp xúc Cách 2.(Đạo hàm theo m) Bước 1: Dự đoán đường cong (G) Ta có (1) = > y(m – x) = 2x2 + (1 - m)x + 1+ m m( y+ x – 1) – (2x2 + x + +xy) = Gọi F(m) = m( y+ x – 1) – (2x2 + x + +xy) => [F(m)]’m= y +x - = > [F(m)]’m =0 < = > y + x - =0 < = > y = - x + Bước Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = – x ( chứng minh tương tự cách 1) Đối với dạng toán chứng minh họ (Hm) tiếp xúc với hai đường thẳng cố định 11 làm tương tự , ta xet ví dụ sau : Ví dụ Chứng minh họ hypebol (Hm) : y = f ( x) = (m − 2) x − (m − 2m − 4) x−m (1) tiếp xúc với đường thẳng cố định Giải Từ (1) suy : m2 – m(x + y +2) + 2x + xy + = (2) Cách (Phương pháp biên) Bước 1: Dự đoán đường thẳng Ta xem (2) phương trình với ẩn m ; ∆ m = ( x + y + 2) − 4(2 x + xy + 4) = ( y − x) + 4( y − x) − 12 (2) vô nghiệm ẩn m ∆ m < < = > -6 < y – x< x–6 (H m) đường thẳng (d2) tiếp xúc với  Đpcm Cách ( Đạo hàm theo m) Bước 1: Dự đoán đường thẳng Gọi F(m) = m2 – m(x + y +2) + 2x + xy + (3) Đạo hàm F(m) theo m ta có [F(m)]’m=2m - (x + y +2) [F(m)]’m = m = ( x + y + 2) vào (3) ta có 1 ( x + y + 2) − ( x + y + 2) + x + xy + =  x− y =6 y = x−6 ⇔ ( x − y ) − 4( x − y ) − 12 = ⇔  ⇔  x − y = −2 y = x+ Bước Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d1 ) :g1(x) = x – (d2 ) :g2(x) = x + ( làm tương tự cách 1) Cách 3.(Phương pháp hệ số bất định) Gọi (d) đường thẳng có phương trình : y = ax + b • (Hm) tiếp xúc với (d) hệ sau có nghiệm với m : ( m −2) x −( m −2m +4) = ax +b(2)   f ( x ) = ax +b  x −m ⇔   f '( x ) = a  = a (3)  ( x − m )  Phương trình (3) ln có nghiệm với m ⇔ a > (4) Từ (2) => ax2 + [b + 1- m(a + 1)]x +m2 – m(b+2) + = (5) Với a > , phương trình (5) có: 13 ∆x = [b + 1- m(a + 1)]2 -4a[m2 – m(b+2) + 4] = (a - 1)2m2 + 2( a – 1)(b + )m + (b + )2 – 16 a Gọi h(x) = (a - 1)2m2 + 2( a – 1)(b + )m + (b + )2 – 16 a Phương trình (5) có nghiệm với m hai trường hợp sau đây: Trường hợp 1: a −1 =  a =1     (a − 1)(b + 2) = ⇔  b = −6 (b + 2) − 16a =  b =   (6) 0 < a ≠  < a ≠ ⇔ (vô nghiệm) (7) ∆ ' ≤ 16a(a − 1) ≤  m Trường hợp 2: h( x) ≥ 0∀m ∈ ¡ ⇔  Từ (6) (7) suy có hai đường thẳng tiếp xúc với họ hypebol (Hm) là: (d1): g1(x) = x – ; (d1): g2(x) = x + Ví dụ Chứng minh m thay đổi,họ parabol (Pm): y = f(x) = 2x2 + 2(m – 1)x + m2 + 4m tiếp xúc với đồ thị cố định Giải Cách 1(Phương pháp nội suy): Bước 1: Dự đốn đường cong Ta có: f(x) = 2x2 + 2(m – 1)x + m2 + 4m < = > f(x) = m2 + 2(x + )m + 2x2 - 2x < = > f(x) = (m + x + 2)2 + x2 – 6x – Bước :Ta chứng minh (Pm) tiếp xúc với (P): g(x) = x2 – 6x – (m + x + 2) + x − x − = x − x −  f ( x) = g ( x) ⇔ Thật vậy: Xét hệ  x + 2(m − 1) = x −  f '( x) = g '( x )  x= - m – Suy với m, hệ có nghiệm x = - m – suy (Pm) (P) tiếp 14 xúc với => Đpcm Cách 2( phương pháp biên) Bước 1: Dự đoán đường cong Ta có: y = 2x2 + 2(m – 1)x + m2 + 4m  m2+ 2(x + 2)m + 2x2 – 2x – y = (1) Xem (1) phương trình ẩn m ; ∆ 'm = ( x + 2) − x + x + y = − x + x + + y Phương trình (2) vô nghiệm m ⇔ ∆ 'm < ⇔ − x + x + + y < ⇔ y < x2 − 6x − = > Dự đoán đường cong (P) : g ( x) = x − x − Bước :Ta chứng minh (Pm) tiếp xúc với (P): g(x) = x2 – 6x – ( chứng minh tương tự cách 1) Cách 3.(Phương pháp đạo hàm theo tham số) Bước 1: Dự đoán đường cong Gọi F(m) = m2+ 2(x + 2)m + 2x2 – 2x – y (2) [F(m)]’m = 2m + 2(x + 2) [F(m)]’m = m = - x - vào phương trình F(m) = ta có: (x+2)2 – 2(x+2)2 + 2x2 – 2x – y =0 < = > x2 – 6x – – y = < = > y = x2 – 6x – = > Dự đoán đường cong (P) : g ( x ) = x − x − Bước :Ta chứng minh (Pm) tiếp xúc với (P): g(x) = x2 – 6x – ( chứng minh tương tự cách 1) Ví dụ Chứng minh α thay đổi,họ đường thẳng : 15 (dα) :xcosα + ysinα – 6cosα + = (1) tiếp xúc với đường cong cố định Giải Cách 1( phương pháp biên) Bước 1: Dự đoán đường cong ( 1)  (x - 6)cosx + ysinx = - (2) Phương trình (2) vô nghiệm α  ( x- 6)2 + y2 < 64 Bước : Ta chứng minh (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64 Thật : Đường tròn (C) có tâm I(6 ; 0) bán kính R = Khoảng cách từ tâm I(6 ; 0) (C ) đến đường thẳng (dα) : d ( I ;(dα )) = cos α + 0.sin α − cos α + cos 2α + sin α =8= R  (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) Cách 2.(Phương pháp đạo hàm theo tham số) Bước 1: Dự đoán đường cong Đặt F(α) = xcosα + ysinα – 6cosα + Lấy đạo hàm theo α ta có : F’(α)α= - xsinα + ycosα + 6sinα = = > ycosα +(-x+6) sinα = kết hợp với (1) ta có hệ : 8( x − 6)  cosα =  −( x − 6) − y  (x-6)cosα + ysinα = -8   ⇔   8y  ycosα + ( − x + ) sinα =  sin α  −( x − 6) − y 2  8( x − 6)    8y ⇒ + = ⇔ ( x − 6) + y = 64 2 2  −( x − 6) − y   −( x − 6) − y   Dự đoán đường cố định đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64 Bước : Ta chứng minh (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64 16 ( chứng minh tương tự cách 1) 2.3.5 Phương pháp điều kiện cần đủ Chú ý :Khi chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường trịn,các đường cơnic ta sử dụng đẳng thức điều kiện tiếp xúc Bài tốn Tìm tiếp tuyến cố định họ đồ thị (Cm) : y = f(x) Cách giải Điều kiện cần Bước 1: Tìm đồ thị (Cm) điểm x0 thỏa mãn y’(x0) = c (const) (1) (Để có (1) nhiều phải đặt tham số phụ) Viết phương trình tiếp tuyến điểm x0 theo công thức :y = f’(x0)(x - x0) + y0 Nếu tiếp tuyến x0 cố định lời giải tốn Nếu tiếp tuyến x0 chưa cố định tiếp tục bước Bước 2:Tìm điều kiện tham số phụ để tiếp tuyến x0 cố định Điều kiện đủ Thay giá trị tham số phụ tìm bước vào (2), ta có tiếp tuyến phải tìm Ví dụ Chứng tỏ tồn tiếp tuyến cố định chung cho đồ thị họ (Cm ) : y = (m + 1) x − (2m + 1) x + (m − 1) x + Giải Điều kiện cần Ta có y’ = m(3x2 – 4x + 1) + 3x2- 2x – Nếu có tiếp tuyến cố định chung cho đồ thị họ (Cm) hiển nhiên hệ số góc tiếp tuyến khơng đổi Theo ý nghĩa hình học đạo hàm tồn điểm x cho y’ có giá trị khơng phụ thuộc vào m Điều xảy 3x2- 4x +1= < => x =1 x = (*) Điều kiện đủ + Tại x = ta có y’(1) = ; y(1) =0 , phương trình tiếp tuyến (Cm) x = y = Đó tiếp tuyến cố định họ đồ thị cho + Tại x = 1 4m + 16 ta có y’( ) = - ; y( ) = Phương trình tiếp tuyến (Cm) 3 3 27 17 x = 4m + 16 4m + 28 : y = - (x - ) + < = > y =- x+ 3 27 27 Đó tiếp tuyến thay đổi theo m Kết luận : m thay đổi, họ đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = Ví dụ Chứng tỏ có tiếp tuyến cố định tiếp xúc với họ đồ thị : (C m ) : y = x − mx + 2m + , m ≠ −1 x−m Giải Tập xá định D = ¡ \ { m } Điều kiện cần : Ta có y ' = x − 4mx + m − 2m − ( x − m) Nếu có tiếp tuyến chung đồ thị họ (Cm) hiển nhiên hệ số góc tiếp tuyến khơng đổi Theo ý nghĩa hình học đạo hàm tồn m ≠ −1 nên có điều m≠x điểm x cho y’ có giá trị khơng phụ thuộc vào m.Do  xảy phải xảy x = -1 Điều kiện đủ Tại x = -1 ta có y’(-1) = ,y(-1) = Phương trình tiếp tuyến x = -1 y = x – Đó tiếp tuyến cố định họ đồ thị (Cm) x + (m − 2) x + m Ví dụ Tìm tiếp tuyến cố định họ đồ thị (Cm) : y = x2 − 2x + m Giải Viết lại y = + mx x − 2x + m 2 Tập xác định J = { x ∈ ¡ / x − x + m ≠ } (1) Điều kiện cần Trước hết để (Cm) có tiếp tuyến m ≠ Ta có y’ = (2) − mx + m2 ( x − x + m) Nếu có tiếp tuyến cố định chung cho đồ thị họ (Cm) hiển nhiên 18 hệ số góc tiếp tuyến khơng đổi Theo ý nghĩa hình học đạo hàm tồn điểm x cho y’ có giá trị khơng phụ thuộc vào m m≠0  m≠0 ⇔ nên có điều xảy phải xảy x − 2x + m ≠ 2 x − x ≠ m  Do  x =0 x = Điều kiện đủ Tại x =0 ta có y’(0) = 1, y(0) = phương trình tiếp tuyến x = y = x +1 Tại x = ta có y’(2) = 1- Rõ ràng y’(2) thay đổi theo m nên giá trị x = m khơng thích hợp Vậy y = x – tiếp tuyến cố định họ đồ thị (Cm) cho Bài toán Chứng minh (Cm) : y = f(x) họ tiếp xúc Cách giải: Bước 1: Tìm điểm cố định (Cm) Bước 2: Tìm đạo hàm f’(x) hoành độ điểm cố định.Chứng tỏ điểm cố định ấy,tồn điểm mà f’(x) số Ngồi ,bài tốn cịn có cách giải tốn Ví dụ 10 Cho họ hypecbol (Hm) : y = x + (m − 2) x + m (1) x2 − x + m Chứng tỏ với m ≠ 0, (Hm) tiếp xúc với Giải Từ (1) suy y(x2 - 2x + m) = x2 + (m-2)x + m < = > m(y – x -1) + x(y – 1)(x – 2) =0 Tọa độ điểm cố định nghiệm hệ :  x( y − 1)( x − 2) =  x = 0, y = ⇔  => với m≠0 ,họ (Hm) qua điểm cố  y − x −1 =  x = 2, y = định I( ;1) J(2 ;3) y'= m − mx ( x − x + m) y’(0) = , với m ≠ suy điểm cố định J , (Hm) có hệ số góc tiếp 19 tuyến khơng đổi Điều chứng tỏ m thay đổi ( m ≠0),họ hypecbol (Hm) ln tiếp xúc với Bình luận : Trong ví dụ (Hm) có hai điểm cố định • Để chứng minh tốn,chỉ cần tồn điểm có đạo hàm số đủ • Để kết luận (Hm) khơng phải họ tiếp xúc, phải chứng tỏ điểm cố định nó,đạo hàm khơng phải số Ví dụ 11 Cho họ đường cong (Cm): f(x) = mx3 + 2(3m+1)x2+(12m-1)x+8m+5 (1) Chứng tỏ m thay đổi, họ đường cong (Cm) tiếp xúc với Giải Ta có (1) < = > f(x) = (x3 + 6x2 + 12x + 8)m + 2x2 -x +5 < = > y = m(x+2)3 + 2x2-x+5 Tọa độ điểm cố định họ (Cm) nghiệm hệ :  x+2=0  x = −2 ⇔   y = 15  y = 2x − x + +Khi m thay đổi , họ (Cm) qua điểm cố định I(-2 ; 15) + y’ = 3m(x+2)2 +4x -1 ; y’(-2) = -9 không đổi = > Tại điểm cố định I , (Cm) có hệ số góc tiếp tuyến khơng đổi Điều chứng tỏ m thay đổi , họ (Cm) tiếp xúc với = > điều phải chứng minh Bài tập : CMR : (Cm) : y = x3 + 3mx2 +3(m2-1)x + m3 – 3m tiếp xúc với đường thẳng cố định 2.CMR họ đường thẳng : d( α ) :xcos α +ysin α +2cos α +1 = tiếp xúc với đường cong cố định 3.CMR tiện cận xiên họ (Cm) : y = parbol cố định (m + 1) x − m (m ≠ 0) tiếp xúc với x−m 20 4.Tìm tiếp tuyến cố định họ đồ thị (Cm ) : y = x + (m − 1) x − m x2 − m 5.Tìm m để (Cm) : y = f(x)=2x3-3(m+3)x2+18mx – tiếp xúc với trục Ox 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Một số phương pháp giải toán tiếp xúc đường’’ thân đồng nghiệp đơn vị thí điểm em có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi vừa qua Tuy nhiên với đề tài người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln khơng ngừng tìm tịi, tham khảo tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại cho học sinh tập định hướng để em học tập, tìm hiểu Đối tượng học sinh học sinh giỏi, ln tin tưởng thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu Kết luận kiến nghị 3.1 kết luận: Để có tiết học đạt hiệu cao niềm trăn trở, suy nghĩ mục đích hướng tới người giáo viên có lương tâm trách nhiệm nghề nghiệp, điều đạt dễ dàng Người giáo viên phải nhận thức rõ vai trò người “thắp sáng lửa” chủ động lĩnh hội tri thức học sinh Qua nghiên cứu áp dụng “Phương pháp giải toán tiếp xúc đường’’ cho học sinh Trường THPT Đông Sơn thu hiệu định, để học tập mơn tốn em có kết cao kiến thức vững 3.2 Kiến nghị “Phương pháp giải toán tiếp xúc đường” phù hợp với học sinh có lực – giỏi nên xem tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh ơn thi học sinh giỏi Ơn thi Trung học phổ thông Quốc gia Không nên giảng dạy đại trà cho tất đối tượng học sinh Nếu đề tài đánh giá tốt, mong phổ biến rộng rãi học sinh tài liệu tham khảo bổ ích ơn thi học sinh giỏi; ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Mặc dù cố gắng sưu tầm, nghiên cứu tìm tịi cịn nhiều vấn đề khác mà đề tài chưa nghiên cứu Tôi hy vọng đồng nghiệp nghiên cứu tiếp Tơi kính mong đồng nghiệp hội đồng khoa học trường THPT Đông sơn hội đồng khoa học Sở Giáo Dục Đào Tạo Tỉnh Thanh 21 Hóa góp ý kiến thêm để đề tài tơi hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh Trong chờ xem xét, nghiên cứu đánh giá Hội đồng khoa học cấp xin chân thành cảm ơn nhiều Chúc hội đồng khoa học cấp sức khỏe, hạnh phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-NXB Giáo dục Việt Nam Đề thi Đại học , Cao Đẳng năm 3.Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương,NXB Hà Nội 2006 4.Các toán hàm số,Phan Huy Khải- NXB Hà Nội 1997 5.Đề luyện thi tuyển sinh môn toán,NXB Giáo dục Việt Nam 2006 Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trường trường 7.Tạp chí tốn học tuổi trẻ( năm 2000-2013) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác VŨ THỊ HẰNG 22 ... tập tiếp xúc đường có tham số có số lượng hạn chế Hầu hết học sinh gặp khó khăn giải tốn dạng - “ Phương pháp giải toán tiếp xúc đường? ??’ tập hợp phương pháp cho ta cách giải toán tiếp xúc đường. .. - “ Phương pháp giải toán tiếp xúc đường? ??’ giúp học sinh phát huy tối đa tự học,tự bồi dưỡng tri thức – đường tiết kiệm , kinh tế để học tập tốt 2.3 Một số phương pháp giải toán tiếp xúc đường. .. dụng ? ?Phương pháp giải toán tiếp xúc đường? ??’ cho học sinh Trường THPT Đông Sơn thu hiệu định, để học tập mơn tốn em có kết cao kiến thức vững 3.2 Kiến nghị ? ?Phương pháp giải toán tiếp xúc đường? ??