SKKN phương pháp giải hệ phương trình

Phương pháp giải hệ phương trình BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN LỜI GIỚI THIỆU Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hệ phương trình nội dung quan trọng, thường có đề thi THPT QG đề thi học sinh giỏi cấp Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nên gây khó khăn cho học sinh việc giải hệ Chính nội dung đòi hỏi học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt Đã có nhiều sách viết hệ phương trình, nhiên hầu hết không hệ thống phương pháp hay sử dụng biến đổi hệ, giải hệ; có sơ sài, chưa đầy đủ Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” giúp cho học sinh có cách nhìn tổng qt phương pháp biến đổi giải hệ Qua đó, hi vọng giúp em học sinh có thêm kĩ biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào kì thi đạt kết tốt TÊN SÁNG KIẾN “Phương pháp giải hệ phương trình” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ tên: Phạm Văn Minh - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo - Số điện thoại: 0977657260 - E_mail:phamvanminh.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả với hỗ trợ tổ chuyên môn Trường THPT Tam Đảo sở vật chất - kỹ thuật trình viết sáng kiến dạy thực nghiệm sáng kiến LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chun đề mơn Tốn: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ giải dạng toán hệ phương trình q trình ơn thi HSG, THPT QG NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Ngày 01 tháng 10 năm 2019, mơn Tốn lớp 12 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 7.1 Nội dung sáng kiến Phương pháp giải hệ phương trình I CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CẦN NHỚ: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc n, n ≥ ax + by = c   f ( x; y ) = (1) (2) f ( x; y ) đa thức x y Phương pháp giải: Bằng phương pháp thế, từ phương trình (1) rút x theo y rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta phương trình ẩn x − y = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (I)  x − xy + y − y = Lời giải:  x = y + 2 ( y + 1) − ( y + 1) y + y − y = Hệ (I) ⇔  x = y +1 ⇔ 2 y − y − = x = x =  ⇔  −1 y =1  y = Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) (3;1), (0; − ) 2 Hệ phương trình đối xứng 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại  f ( x; y ) = f ( y; x) = Hệ phương trình đối xứng loại có dạng   g ( x; y ) = g ( y; x ) = (I) đa thức f ( x; y), g ( x; y ) đa thức đối xứng x, y (Đa thức đối xứng x, y đa thức thay đổi vai trò x y đa thức khơng đổi) Phương pháp giải: Đối với hệ phương trình dạng này, cách thường làm đặt ẩn phụ S = x + y (*)  P = xy  Khi ta đưa hệ phương trình (I) trở thành hệ phương trình ẩn S, P Giải hệ phương trình ẩn S, P tìm cặp nghiệm (S;P) Thay vào (*), x, y hai nghiệm (nếu có) phương trình bậc hai X − SX + P = Giải phương trình ta có nghiệm (x;y) hệ phương trình Phương pháp giải hệ phương trình Chú ý: Với cách đặt ẩn phụ S, P điều kiện có nghiệm S − 4P ≥ ⇔ S ≥ 4P  x + y + x + y = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  (I)  x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = (Dự bị – Khối A năm 2005) S = x + y (Điều kiện S ≥ P ) P = xy  Lời giải: Đặt   P = −2  S = 0, P = −2  S − P + S = ⇔ ⇔ Thay vào hệ (I) ta   S − P + S =  S = −1, P = −2 S + S =  x = − 2; y = x + y = ⇔  xy = −2  x = 2, y = −  Với ( S ; P) = (0; −2) có   x + y = −1  x = −2, y = ⇔  xy = −2  x = 1, y = −2  Với ( S ; P) = ( −1; 2) có  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (− 2; 2), ( 2; − 2), (−2;1), (1; −2) ( x − y ) ( x − y ) =  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  (I) 2  ( x + y ) ( x + y ) = 15 Lời giải ( x − y ) ( x + y ) =3 Hệ (I) ⇔  2 ( x + y ) ( x + y ) = 15  ( x + y ) − xy  ( x + y ) =3   ⇔  (II) ( x + y ) ( x + y ) − xy  = 15 Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện có nghiệm S ≥ P Hệ phương trình (II) trở thành ( S − P) S =  S − PS = ⇔    S − PS = 15  S ( S − P ) = 15  S = 27 S = ⇔ ⇔ P =  PS = Thay S = 3, P = , giải hệ ta tìm nghiệm ( x; y ) hệ (1; 2), (2;1)  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 =  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  (I)   x y + x(1 + y + y ) + y − 11 = Lời giải 2  xy[x (1 + y ) + xy (2 + y ) + y ]=30 Hệ (I) ⇔  2  x y + xy + xy + x + y = 11 Phương pháp giải hệ phương trình  xy ( x + y ) + xy ( x + y )  = 30  ⇔   xy ( x + y ) + xy + x + y = 11  xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30 ⇔ (II)  xy ( x + y ) + ( xy + x + y ) = 11  SP ( S + P ) = 30 Đặt S = x + y, P = xy Hệ phương trình (II) trở thành   SP + S + P = 11 Điều kiện có nghiệm S ≥ P ab = 30  a = 5, b = ⇔ a + b = 11  a = 6, b = Đặt a = S + P, b = SP ( a ≥ 4b ) Suy   S = 2, P = S + P = ⇔  Với ( a; b) = (5; 6) có   SP =  S = 3, P = Với S = 2, P = ⇒ S < P (loại) Thay S = 3, P = , giải hệ ta tìm nghiệm ( x; y ) hệ (1; 2), (2;1) S + P =  S = 1, P = ⇔  SP =  S = 5, P =  Với ( a; b) = (6;5) có  Với S = 1, P = ⇒ S < P (loại) Thay S = 5, P = giải hệ ta tìm hai nghiệm ( x; y ) hệ ( + 21 − 21 − 21 + 21 ; ), ( ; ) 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 2); (2;1); ( + 21 − 21 − 21 + 21 ; ); ( ; ) 2 2 Chú ý: Trong số tốn, hệ phương trình có dạng đối xứng x (− y ) S = x − y Khi ta giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ:  sau giải tương tự  P = xy  xy + x − y = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  (I)  x y + xy = 10 Lời giải   xy + x − y = ⇔  2  xy ( x + y ) = 10  xy ( x − y ) + xy  = 10   xy + x − y = Hệ (I) ⇔  S + P = Đặt S = x − y, P = xy Hệ phương trình trở thành   P ( S + P ) = 10 Phương pháp giải hệ phương trình P = − S P = − S ⇔ ⇔  2 (3 − S )( S − 2S + 6) = 10  S − 5S + 12 S − = P = − S P = ⇔ ⇔ S = ( S − 1)( S − 4S + 8) =  x = 2, y = x − y = ⇔  xy =  x = −1, y = −2 Với S = 1, P = ta có hệ:  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (2;1), ( −1; −2) 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại  f ( x; y ) =  f ( y; x ) = Hệ phương trình đối xứng loại có dạng:  (I) (trong f ( x; y ) đa thức x y) Phương pháp giải : Biến đổi tương đương, trừ vế hai phương trình ta x − y = f ( x; y ) − f ( y; x) = ⇔ ( x − y ) g ( x; y ) = ⇔   g ( x; y ) =  x − y = ( II )  f ( x ; y ) =  Khi đó, hệ phương trình (I) ⇔   f ( x; y) =  ( III )  g ( x; y ) = Từ giải hệ phương trình (II), (III) thu nghiệm hệ (I) Chú ý: Tập nghiệm hệ (I) hợp tập nghiệm hệ (II) (III)  x3 + = y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  (I)  y + = x Lời giải: Trừ hai vế hai phương trình ta x3 − y = y − x ⇔ ( x − y )( x + xy + y + 2) = 2 ⇔ x − y = (Do x + xy + y + =  x + y ÷ + y + = vô nghiệm) 2  2 x − y = y = x y = x ⇔ ⇔ Khi đó, hệ (I) ⇔  x +1 = y  x − x + = ( x − 1)( x + x − 1) = Phương pháp giải hệ phương trình  x = y = y = x   −1 +  x = ⇔  ⇔  x = y = −1 ±   x =    x = y = −1 −  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1), ( −1 + −1 + −1 − −1 − ; ), ( ; ) 2 2  x2 + x =  y2  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  3 y = y +  x2  (1) (I) (2) (ĐH khối B – 2003) Lời giải: Điều kiện xy ≠ Từ (1) (2) suy x > 0, y > 3 xy = x + HPT ⇔ ( II ) Với điều kiện đó,  2 3 x y = y + Trừ theo vế hai phương trình ta được: x − y = 3xy − 3x y ⇔ ( x − y ) ( xy + x + y ) = ⇔ x = y (Do xy + x + y > 0∀x > 0, y > ) Thay x = y vào phương trình (1) ta phương trình: x3 − x − = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;1) Chú ý: Trong số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại phải cộng trừ theo vế hai phương trình   x = 8x + y Ví dụ: Giải hệ phương trình    y = 3x + y Lời giải: Cộng theo vế hai phương x + y = x + y = 11( x + y ) ⇔  2  x − xy + y = 11 trình ta phương trình: x − y = 3 Trừ vế hai phương trình ta được: x − y = 5( x − y ) ⇔  2  x + xy + y = Từ đó, hệ phương trình cho tương đương với hệ sau: Phương pháp giải hệ phương trình x + y =  x − y = (I )  x − xy + y = 11  x − y = ( III ) x + y =  2  x + xy + y = ( II )  x − xy + y = 11  2  x + xy + y = ( IV )  Giải hệ (I) có ( x; y ) = (0;0)  Giải hệ (II) có ( x; y ) = ( 5; − 5), ( − 5; 5)  Giải hệ (III) có ( x; y ) = ( 11; 11), ( − 11; − 11)  Giải hệ (IV) có nghiệm (x;y) là: − 14 + 14 + 14 − 14 ; ), ( ; ), 2 2 − − 14 − + 14 − + 14 − − 14 ( ; ), ( ; ) 2 2 ( Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) Hệ phương trình đẳng cấp:  f1 ( x; y ) = g1 ( x; y ) (I )  f ( x; y ) = g ( x; y ) Hệ phương trình đẳng cấp có dạng:  Trong f1 ( x; y ), f ( x; y ) hai đa thức đẳng cấp bậc; g1 ( x; y ), g ( x; y ) hai đa thức đẳng cấp bậc Phương pháp giải: • Nếu x = , thay vào hệ suy kết luận nghiệm hệ • Nếu x ≠ : Đặt y = tx Đưa hệ phương trình ẩn x, y hệ phương trình hai ẩn x, t Chia theo vế hai phương trình, ta phương trình ẩn t Giải phương trình tìm t, thay vào tìm x, y 2   x − xy + y = (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (2)   y − 3xy = Lời giải:  y = ⇔ y = ±2 Với x = , hệ có dạng:   y = Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (0; 2), (0; −2) Với x ≠ , đặt y = tx , hệ trở thành  x − x.(tx) + (tx ) =  x (1 − 4t + t ) = (3)   ⇔ 2  ( tx ) − x ( tx ) = (4)     x (t − 3t ) = Từ (3) (4) có Phương pháp giải hệ phương trình − 4t + t =1 t − 3t (Do t = t = không nghiệm (4)) ⇔ t − 4t + = t − 3t ⇔ t = Với t = suy x = y Thay t = vào (3) có: −2t = ⇒ vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) (0; 2), (0; −2) Chú ý: Có thể kiểm tra hệ với y = 0; sau đặt x = ty biến đổi giải tương tự 2   x − 3xy + y = −1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2  3x − xy + y = 13 Lời giải: •  x = −1 ⇒ vơ nghiệm Với y = , hệ có dạng:  3 x = 13 • Với y ≠ , đặt x = ty , hệ phương trình trở thành: 2  y (t − 3t + 1) = −1 (ty ) − 3(ty ) y + y = −1  ⇔ 2  2  3(ty ) − (ty ) y + y = 13  y (3t − t + 3) = 13 (1) (2) Từ (1) (2) ta có: 3t − t + = −13(t − 3t + 1) ⇔ 16t − 40t + 16 = t = ⇔ t =   Với t = ⇒ x = y Thay t = vào (1) có − y = −1 ⇔ y = ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm ( x; y ) = (2;1),( −2; −1)  Với t = 13 1 ⇒ x = y Thay t = vào (2) có y = 13 ⇔ y = ⇔ y = ±2 2 ⇒ hệ có nghiệm ( x; y ) = (1; 2), (−1; −2) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 2), (−1; −2), (2;1), ( −2; −1) Nhận xét: Một số hệ phương trình có dạng  f1 ( x; y ) = g1 ( x; y )   f ( x; y ) = g ( x; y ) deg ( f1 ( x ) ) deg ( g ( x; y ) ) = deg ( f ( x ) ) deg ( g1 ( x; y ) ) giải theo cách giải hệ phương trình đẳng cấp  y − x = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  3  x − y = y − x Lời giải: • Với y = hệ phương trình vơ nghiệm Phương pháp giải hệ phương trình • ( ( )  y2 − t = 2 y − t y =   ⇔ Với y ≠ , đặt x = ty Hệ trở thành:  3 3  2t y − y = y − ty  y 2t − = − t ) 3 Từ hệ phương trình suy 2t − = ( − t ) ( − t ) ⇔ t + 2t + 2t − = ( ) ⇔ ( t − 1) t + 3t + = ⇔ t =  Với t = thay vào hệ ta ( x; y ) = ( 1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ( 1;1) , ( −1; −1)  x − x = y + y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  2  x − = y + ( ( I) ) (Dự bị – Khối A năm 2006) Lời giải:  x − y = x + y (1) Hệ phương trình (I) ⇔  2 (2)  x − y = • Với x = , phương trình (2) vơ nghiệm ⇒ hệ phương trình vơ nghiệm • Với x ≠ , đặt y = tx , hệ phương trình trở thành: ( ( ) ( ( )  x3 − t = x ( + t )  x − t = 2t +   ⇔  2 2  x − 3t =  x − 3t = ) ) Từ hệ phương trình ta suy ra: ( − t ) = ( 2t + ) ( − 3t )  t = ⇔ 24t − 2t − = ⇔  t = −   Với t = , thay vào ta tìm ( x; y ) = ( 3;1) ( x; y ) = ( −3; −1)  Với t=− , thay vào ta tìm  78 78  ;− ÷ 13 ÷  13  ( x; y ) =   78 78  ; ÷ 13 ÷  13  ( x; y ) =  −  78 78   78 78  ;− ; ÷,  − ÷ 13 ÷ 13 ÷  13   13  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 3;1) , ( −3; −1) ,  II PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHUƠNG TRÌNH KHÁC: Các hệ phương trình khơng có dạng đối xứng, khơng hệ đẳng cấp, việc áp dụng phương pháp giải hợp lý giúp ích cho học sinh việc tìm lời giải ngắn gọn, xác Phương pháp thế: Phương pháp giải hệ phương trình Trong hệ có phương trình bậc ẩn x y Khi ta tìm cách rút y qua x (hoặc x qua y)  x ( y + 1)( x + y + 1) = 3x − x + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   xy + x + = x (1) (2) (TH&TT – 2009) Hướng dẫn: Phương trình (2) có dạng bậc y, ta tìm cách rút y qua x Lời giải: • Ta thấy x = khơng thoả mãn phương trình (2) x2 −1 • Với x ≠ , từ (2) có: y = − (*), thay vào (1), ta được: x (1) ⇔ x x2 −1 x2 − ( x + ) = 3x − x + x x ⇒ ( x − 1)(2 x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1) ⇔ ( x − 1)(2 x3 + x − x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1) ⇔ ( x − 1)(2 x + x − x) = x = ⇔ x( x − 1) ( x + 2) = ⇔  x =  x = −2 Có x = khơng thoả mãn Khi đó, thay x vào ta tìm y Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (1;-1), (-2; -5 )   x + xy + 12 y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2  8 y + x = 12 (1) (2) Hướng dẫn: Ta nhận thấy số 12 phương trình (2) vào phương trình (1) ta phương trình đẳng cấp bậc x y, từ rút x qua y Lời giải: Thay 12 phương trình (2) vào phương trình (1) ta phương trình: x3 + xy + (8 y + x ) y = ⇔ x + x y + xy + y = ⇔ ( x + y )( x − xy + y ) = ⇔ x + y = ⇔ x = −2 y ( Do x − xy + y > ∀x, y ∈ ¡ ) Thay x = −2 y vào phương trình (2) ta được: 12 y = 12 ⇔ y = ±1 Hệ phương trình có nghiệm (x;y) (2; −1), ( −2;1)  x + x y + x y = x + Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x + xy = x + (ĐH khối B – 2008) 10 Phương pháp giải hệ phương trình   y ( xy − 2) = x Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  2   y + x y + 2x = (1) (2) Lời giải: • Nếu x = y = , ngược lại, y = ⇒ x = , hệ có nghiệm ( x; y ) = (0;0) • Nếu xy ≠ : Nhân hai vế (2) với x cộng với (1) ta được: ( xy + x3 y + x ) + ( xy − y − x ) =  xy = ⇔ ( xy − 1)(2 y + x ) = ⇔  2 y + x = xy =1  y ( xy −2) =3 x HPT ⇔ 2 y +x =0   y ( xy −2) =3 x  (*) (**) −1  Giải hệ (*) có ( x; y ) = ( ; − 3)  Giải hệ (**) có ( x; y ) = (2; −2) −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (0; 0), (2; −2), ( ; − 3) 3 Phương pháp đặt ẩn phụ Đây phương pháp hay sử dụng Có nhiều hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ đặt theo nhiều cách khác Vì vậy, điều quan trọng phương pháp phát cách đặt ẩn phụ để đưa hệ dạng đơn giản Ẩn phụ xuất từng phương trình phải qua số phép biến đổi hằng đẳng thức phép chia cho giá trị, biểu thức khác  x + + y ( y + x − 5) = (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (I)  y ( x + xy ) + y = x + 15 y + (2) Hướng dẫn: y=0 không thoả mãn (1) Chia vế hai phương trình cho y ≠ , sau đặt ẩn phụ Lời giải: x + +x + y =5   y • Hệ (I) ⇔ ( x + y ) − x + =15  y  (Do y = không thoả mãn hệ) 14 Phương pháp giải hệ phương trình  u = 10  u + v = x +2 v = −5 ⇔ , v = y + x , hệ phương trình trở thành  Đặt u =  u = y v − u = 15   v =  x + = 10 y u = 10, v = − ⇒  Với hệ  (hệ vô nghiệm)  x + y = −5 x2 + = y  x = 1; y = u = 1, v = ⇒ ⇔  Với   x = −2; y = x + y = Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (1;3), ( −2;6)  2 4 xy + 4( x + y ) + ( x + y ) =  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  (I) 2 x + =  x+ y (TH&TT 2009) Hướng dẫn: Phân tích để xuất ẩn phụ: u = x + y + ,v=x−y x+y Lời giải: Điều kiện x + y ≠ Khi ta có:  2 3( x + y ) + ( x + y ) + ( x − y ) =  Hệ (I) ⇔  x + y + + x − y =  x+ y  Đặt u = x + y + , ( u ≥ 2) , v = x − y x+y 3u + v = 13 Hệ phương trình trở thành  u + v = Giải hệ trên, có u=2, v=1 (Do u ≥ )  =2 x + y = x = x + y + x+ y ⇔ ⇔ Từ đó, có  x − y =  y = x − y =  Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; 0)  x + y + x y + xy + xy = −   Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x + y + xy ( + x ) = −   (I) 15 Phương pháp giải hệ phương trình (ĐH khối A – 2008) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u = x + y, v = xy Lời giải:  2  x + y + xy + xy ( x + y ) = − Hệ (I) ⇔  ( x + y ) + xy = −  (II) Đặt u = x + y , v = xy , 5    v = − − u2 u = 0, v = − u + v + uv = −    4 ⇔ ⇔ Hệ (II) trở thành:   u = − , v = − u + v = − u + u + u =    2 •   x2 + y = x =   Với u = 0, v = − ta có hệ  ⇔  xy = −  y = − 25   16 •   x +y=− x =    ⇔ y = − ⇔ 2x Với u = − , v = − ta có hệ   3 2  xy = − 2 x + x − =  y = −    25   3 , 1; − ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  ; − ÷ ÷ 16   2   x + y − x + y = −1 (1)  x + y + x − y = (2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  (I) Lời giải: Đặt a = 3x + y , b = x + y Điều kiện: a ≥ 0, b ≥ Khi đó: x − y = 2b − 5a  a − b = −1 b = a + a = ⇔ ⇔   2 b =  a + 2b − 5a = 3a − 5a − = Hệ phương trình trở thành:  • ( Do a, b ≥ )  x=  3 x + y =  ⇔ Với a = 2, b = ⇒  8 x + y = y =  1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ 2 2  xy + x + = y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  2  x y + xy + = 13 y (I) 16 Phương pháp giải hệ phương trình (ĐH khối B – 2009) Hướng dẫn: Chia phương trình (1) cho y, phương trình (2) chia cho y sau đặt ẩn phụ x u = x + ,v = y y Lời giải: x  x + y + y =  Hệ (I) ⇔  (do y = không thỏa mãn hệ phương trình) x x + + = 13  y y  Đặt u = x + x , v = , điều kiện: u ≥ 4v y y u + v = u = −5, v = 12 ⇔ Hệ phương trình trở thành:  u − v = 13 u = 4, v = • Với u = −5, v = 12 không thỏa mãn   x = 3, y = x + y =  ⇔ • Với u = 4, v = ta có hệ   x x = 1, y =  =3   y  1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ( 3;1) , 1; ÷  3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Sử dụng tính chất, bất đẳng thức bất đẳng thức, dùng bất đẳng thức quen thuộc AM – GM, Bu-nhi-a-côp-xki,… để giải hệ  x + y = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y − y = (1) (2) Hướng dẫn: Từ (2) tìm miền giá trị x y, sau áp dụng tính chất bất đẳng thức vào phương trình (1) Lời giải: Coi (2) phương trình bậc hai ẩn x, tham số y 2 Khi đó: ∆ y = y − 4( y − y ) = y − y Để phương trình có nghiệm ∆ y ≥ ⇔ y − y ≥ ⇔ ≤ y ≤ Tương tự, coi (2) phương trình bậc hai ẩn y, tham số x (2) ⇔ y + ( x − 1) y + x = 17 Phương pháp giải hệ phương trình 2 Để phương trình có nghiệm ∆ x = ( x − 1) − x ≥ ⇔ −3 x − x + ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Từ đó, để hệ có nghiệm −1 ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 49 ⇒ x + y ≤ ( )3 + ( ) = : Từ (1) suy y − < ⇔ y < Từ (2) suy y − > ⇔ y > Suy mâu thuẫn, với x > hệ vô nghiệm Nếu x < : Tương tự ta suy điều mâu thuẫn Với x = 2, thay vào có y = suy ( x; y ) = (2; 2) nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (2; 2)  x − x + + y − y + = (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  (2)  x + y + = Lời giải: Điều kiện x ≥ 0, y ≥ −3 Ta có x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ x2 − 2x + ≥ y − y + = ( y − 1) + ≥ ⇒ y − y + ≥ Từ đó:  x − x + = ⇔ ⇔ x = y =1 x − x + + y − y + ≥ , suy (1)   y − y + = Thay x = y = vào phương trình (2) thoả mãn Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) Phương pháp hàm số Sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm nghiệm, để áp dụng phương pháp học sinh phải trang bị kiến thức đơn điệu hàm số, cách tính đơn điệu hàm số Trong phương pháp qua phép biến đổi thường xuất phương trình có dạng f ( x) = f ( y ) , hàm số f đơn điệu miền xác định 3   x − 5x = y − y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   x + y = (1) (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta có x ≤ 1, y ≤ ⇔ x ≤ 1, y ≤ 19 Phương pháp giải hệ phương trình Xét hàm số f (t ) = t − 5t [-1;1] Có f '(t ) = 3t − < 0, ∀t ∈ [-1;1] ⇒ f (t ) nghịch biến (-1;1) Khi đó, f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Vậy từ (1) suy x = y , thay vào (2) có: x8 + x − = Đặt a = x ≥ , giải phương trình tương ứng có a = −1 + −1 + ⇒ x = y = ±4 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x + − y + = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   y + − x + = (1) (2) Lời giải: Điều kiện x ≥ −1 −1 ;y≥ 2 Trừ hai vế hai phương trình (1) (2) ta được: x + − y + + 2x + − y +1 = ⇔ x + + 2x +1 = y + + 2y +1 (3)  −1  Xét hàm số f (t ) = t + + 2t +  ; +∞ ÷ 2   −1  Hàm số f (t ) hàm đồng biến  ; +∞ ÷ 2  Khi đó, từ (3) có f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Với x= y, thay vào phương trình (1) ta được: x + − 2x + = ⇔ x + = 2x + + ⇔ 2x +1 = − x  −1  −1  ≤ x ≤1  ≤ x ≤1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 5− 4(2 x + 1) = (1 − x)  x − 10 x − =   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (5 − 7;5 − 7)  x − 3x − x + 22 = y + y − y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  2 x + y − x + y =  ( I) (ĐH khối A – 2012) Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (1) ⇔ ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) sau xét 3 hàm số f ( t ) = t − 12t Lời giải: 20 Phương pháp giải hệ phương trình ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1)  Hệ (I) ⇔  2  1  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2  (1) (2)    −1 ≤ x − ≤ − ≤ x ≤ ⇔ Từ (2) có:   −1 ≤ y + ≤ − ≤ y ≤ 2    3  3 Xét hàm số f ( t ) = t − 12t  − ;  , có f ' ( t ) = 3t − 12 < ∀t ∈  − ;  nên f ( t )  2  2  3 nghịch biến  − ;   2 Do phương trình (1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x −  x = Thay y = x − vào phương trình (2) ta được: x − x + = ⇔  x =  1 3 3 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y )  ; − ÷,  ; − ÷ 2 2 2 2 ( )  x + x + ( y − 3) − y = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  2  x + y + − x = (1) (2) (ĐH khối A – 2010) Hướng dẫn: Phương trình (1) viết dạng f ( x ) = f Lời giải: Điều kiện x ≤ , y ≤ ( ) ( ) − y với f ( t ) = t t + 2 Phương trình (1) ⇔ x ( x + 1) = − y ( − y ) + 1 (3) 2 Xét hàm số f ( t ) = t ( t + 1) , có f ' ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ ⇒ f ( t ) đồng biến Khi đó, phương trình (3) ⇔ x = − y (4) Từ (4) suy ≤ x ≤ − 4x2 y = 4 Thay vào (2), ta phương trình: x − x + − x − = (5) Xét hàm g ( x ) = x − x + − x −  3 0;   4  3 1 < ∀x ∈ 0;  g  ÷ = nên x = nghiệm − 4x  4 2 (5) Thay vào (4) ta y = 2 Có g ' ( x ) = x ( x − 3) − 21 Phương pháp giải hệ phương trình 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ 2   x + + x − − y + = y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  2  x + x ( y − 1) + y − y + = ( 1) ( 2) (ĐH khối A – 2013) Hướng dẫn: Đặt u = x − 1, biến đổi phương trình (1) xét hàm số Lời giải: Điều kiện x ≥ Từ (2) ⇒ y = ( x + y − 1) ≥ ⇒ y ≥ Đặt u = x − 1, u ≥ Phương trình (1) có dạng: u + + u = y + + y (3) Xét hàm số f ( t ) = t + + t [ 0; +∞ ) , có f ' ( t ) = hàm đồng biến [ 0; +∞ ) 2t t4 + + > t ≥ suy f ( t ) Khi đó, phương trình (3) ⇔ u = y ⇔ x = y + Thay x = y + vào (2) ta y ( y + y + y − ) = ⇔ y ( y − 1) ( y + y + y + y + y + y + ) = y = ⇔ y =1 (do y ≥ ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 1;0 ) , ( 2;1) III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau:  x x + y y = 35   x y + y x = 30 2( x + y ) = 3( x y + xy )   x + y = 2   x + y + xy = 13  4 2   x + y + x y = 91  x3 + = ( x − x + y )    y + = ( y − y + x )  2x = y +  y   2 y = x +  x   2x + y =  x   x + y = 32 y   2  x + x = y + y  2   x + y = 3( x + y )  y (1 + x ) = x(1 + y )  2  x + y = 22 Phương pháp giải hệ phương trình  x − x = y − y  2 y = x3 +   x + x = y + y 10  2  x + y = x + y +  x + y − x − y = 12 11   xy ( x − 1)( y − 1) = 36 12   2 ( x + y )(1 + x y ) = 49  13  ( x + y )(1 + ) =  xy   x y + = +1  x xy 14  y   x xy + y xy = 78 2  2 y ( x − y ) = x 15  2   x( x + y ) = 10 y 2 ( x − y )( x − y ) = 16  2 ( x + y )( x + y ) = 15  x + y − x + y = 18  2 3x − y − x − y =  x + xy − y =  17  y x −5  x − y = − xy   x(3 x + y )( x + 1) = 12  x + y + 4x − = 2   y + xy = x 19  2  1 + x y = x 1 + x3 y = 19 x  20  2   y + xy = −6 x  x (2 + y ) = 21   x( y − 2) =  x + y + xy = 23   x + y =  x3 y = 25  3 x + y =   x (6 + 21 y) = 22    x( y − 6) = 21   x +1 + x + y = 27    x + y − y + 19 =  x + y + x + x y + xy y = 29   x y = 8 x y + 27 = 18 y 24  2 4 x y + x = y  x + y = 64 − x y 26  2 ( x + 2) = y + 3 x + y + x = 28   x − + x + y = 697  x + y = 81 30   x + y + xy − 3x − y + =   x + y = 31   y + 4(2 x − 3) y − 48 y − 48 x + 155 =  x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 32   x + x + y + − x + y + x + y + − y =  x + x + + x + = y − + y − + y − 33   x + y + x + y = 44  x y − x + y = 34  2 x − x + + y =  x( x + y + 1) − =  35  ( x + y ) − +1=  x2 2 x + y = − x − y 37   x + + − y = 2 x + y = − x − y 36   x + + − y =  x + y − xy = 38  2  x + + y + = 23 Phương pháp giải hệ phương trình  x − x − y − = 39  2  y + x + y x − xy = 4 x + y − xy = 40  2 4 x + y − xy =   x+ + x+ y −3 =3 y 41   2 xy + y − y = −1 2y   x2 + y2 −1 + x =  42  x2 + y2 − 2x =  y  y x − + y − = x − 43  2  xy + y x − + = 13 y  x − 3x − y − y + =  44    x − − y + x = 3   x + y − xy = 46  4  2 x + y − x − y = 2 y + x − x = − x − y 45   y = x − + xy x + )( ( )  x2 + − x y2 +1 − y =  47  4 xy + y + = y y − xy +  xy + x − = 49  2 2 x − x y + x + y − xy − y =  ( − x ) − x − y y − = 48  2   x + 15 − x + + = x + xy 2 x + y − 3xy + 3x − y + = 50  2 4 x − y + x + = x + y + x + y Bài Tập Trắc nghiệm  x + 5x + y = Câu 1: Tập nghiệm hệ phương trình:  x −1 x + y là: 2 = A { ( 1;0 ) , ( log 5; log − log ) } B { ( 1;0 ) , ( log 2; log + log ) } C { ( 2;1) , ( log 5; log − log ) } D 6x − 2.3y = Câu 2: Giải hệ phương trình:  x y ta được: 6 = 12 x = x = A  B  C y =  y = log { ( 1;0 ) , ( log x =   y = log 20 3− x.2 y = 1152 Câu 3: Nghiệm hệ phương trình:  là: log ( x + y ) = x = x =  x = −2 A  B  C  y =  y = −2 y = 5;log − log ) }  x = log D  y = x = D  y =  3x + y = 81  Câu 4: Biết hệ phương trình:  có nghiệm ( x ; y0 ) Tính M = x − y :  log x + log y = A M = B M = C M = D M = −1 2  log x − log y = Câu 5: Biết hệ phương trình:  có nghiệm ( x ; y ) Tính 2  x + = 5y M = x + y0 : A M = B M = C M = D M = −1  2log x − log y = Câu 6: Số nghiệm hệ phương trình:  là: 2  x + = 5y A B C D 24 Phương pháp giải hệ phương trình  3x = − x  Câu 7: Số nghiệm hệ phương trình:  y2 − x + y− là: = e e  A B C D 32x − y = 77  Câu 8: Số nghiệm hệ phương trình:  là: y  3x − = A B C D Vô số nghiệm  3 = 81 Câu 9: Tập nghiệm hệ phương trình:  x + y −2y −5 là: e e = e A ( −2;3) B ( −2;3) & ( 3; −2 ) C ( 3; −2 ) D Kết khác 3x + 3y = Câu 10: Số nghiệm hệ phương trình:  là:  x + y =1 A B C D vô nghiệm x 2y 9 x.3y = 81 Câu 11: Tập nghiệm hệ phương trình:  là: log(x + y) − l ogx = log A { ( 1; ) , ( 16; −28) } B { ( 2;0 ) , ( 16; −28) } C { ( 0; ) , ( 2;0 ) } D { ( −2;8) , ( 1; ) }  x + 2y = 4x − Câu 12: Hệ phương trình:  có nghiệm ( x ; y0 ) Tính tổng  log ( x − 1) − log ( y + 1) = x + y0 : A -4 B C D 18 log x + = + log y Câu 13: Biết hệ phương trình:  có nghiệm ( x ; y ) Tính tổng log y + = + log x x + 2y0 : A B C D 39 y x  3 − = ( y − x)( xy + 8) Câu 14: Giải hệ phương trình  Ta có nghiệm  x + y = A (4; 4), (- 4; - 4) B (2; 2), (- 2; - 2) C (1; 1), (- 1; - 1) 3) 2 x − y = y − x  Câu 15: Giải hệ phương trình  Ta có nghiệm   x + xy + y = A (- 2; - 2) B (3; 3) C (2; 2) 1) D (3; 3), (- 3; - D (1; 1), (- 1; - 2 x.9 y = 36 Câu 16: Giải hệ phương trình  x y Ta có nghiệm ( x ; y ) Tính tổng x + y0 3 = 36 A B C D x  3 + x = y + 11 Câu 17: Giải hệ phương trình  y Ta có nghiệm  3 + y = x + 11 A (1; 1) B (2; 3), (3; 2) C (2; 1), (1; 2) D (2; 2) 25 Phương pháp giải hệ phương trình y x 2 + = 2m Câu 18: Tìm m để hệ phương trình  x có nghiệm y 4 + = 4m + 2m − 24 A m = B m = C m = - v m = D m = - v m = y x  2 + = 2m Câu 19: Tìm m để hệ phương trình  x y có nghiệm  2 = m + A m ≤ - v m ≥ B - ≤ m ≤ C m ≥ D m ≥ x + y = m Câu 20: Tìm m để hệ phương trình  x có nghiệm phân biệt y 2 + = A m ≤ B m ≥ C m < D m > 4x+1 ≤ 86−2x Câu 21: Tập nghiệm hệ phương trình  4x+5 là: 1+ x 3 ≥ 27 A [2; +∞) B [-2; 2] C (-∞; 1] D [2; 5]  log2 ( 2x − 4) ≤ log2 ( x + 1) Câu 22: Tập nghiệm hệ phương trình  là:  log0,5 ( 3x − 2) ≤ log0,5 ( 2x + 2) A [4; 5] B [2; 4] C (4; +∞) D ∅ 7.2 Sản phẩm dạy học Khi tiến hành dạy theo chuyên đề cho lớp 12A2 dạy giáo án bình thường lớp 12A4, tiến hành kiểm tra đánh giá 10 phút thu kết sau (Hình thức trắc nghiệm): Thống kê chung sau: Lớp 12A2 12A4 Số lượng Tỉ lệ (%) Số lượng Tỉ lệ (%) Giỏi 4.8% 0% Khá 30 74.4% 20 52.6% TB 10 20.8% 18 47.4% Yếu 0% 0% Như tỉ lệ học sinh khá, giỏi lớp 12A2 lớp dạy theo chuyên đề 76% cao hẳn lớp 12A4 7.3 Về khả áp dụng sáng kiến - Sáng kiến mảng kiến thức thuộc phần kiến thức ‘Phương trình hệ phương trình’ xuất đề thi Nội dung sáng kiến nêu toán bản, phương pháp giải, thủ thuật bấm máy tính khắc phực lỗi chạy lâu máy tính số tập tự luyện Vì sáng kiến áp dụng rộng dãi cho đối tượng thi THPTQG nước NHỮNG THƠNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT (nếu có) CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 26 Phương pháp giải hệ phương trình - Đối với lãnh đạo cấp sở: Cần quan tâm, sát trước vấn đề đổi ngành giáo dục; trang bị đầy đủ phương tiện, thiết bị, đồ dùng dạy học…để giáo viên tích cực lĩnh hội áp dụng đổi hình thức nội dung dạy học Nhà trường không đặt ưu tiên truyền đạt kiến thức, thơng tin đơn lẻ, mà phải hình thành học sinh lực tìm kiếm, quản lí, tổ chức sử dụng kiến thức để giải vấn đề tình có ý nghĩa - Đối với giáo viên: Trước hết giáo viên cần phải nắm vững nội dung chương trình; đơn vị kiến thức Tốn học bản, nâng cao phần liên hệ thực tế, liên môn Chủ động xây dựng thêm hệ thống tập theo khung chung tập tổng quát để học sinh tự rèn luyện kĩ Khi thực dạy học chuyên đề , giáo viên cần phải xác định rõ mục tiêu học quan trọng, tránh tham lam kiến thức liên môn mà không làm rõ kiến thức trọng tâm mơn học - Đối với học sinh: Trong q trình học tập, học sinh phải tham gia vào hoạt động mà giáo viên tổ chức, đồng thời phải huy động sử dụng kiến thức nhiều môn học để thực nhiệm vụ mà giáo viên đưa thể tính sáng tạo lực tư thân Ngồi học sinh cần có kết hợp nắm vững kiến thức lí thuyết với việc thực hành, liên hệ thực tế để vận dụng kiến thức liên môn vào thực tiễn 10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả - Sau dự án thực hiện, tơi thấy em học sinh hồn tồn có khả độc lập sáng tạo việc vận dụng kiến thức nhiều môn học khác để giải chủ đề Một số em học sinh làm tơi phải ngỡ ngàng trước khả liên kết kiến thức môn cách linh hoạt - Các em có hội để thể hết lực học Chính mà học Toán học trở nên nhẹ nhàng khơng gánh nặng kiến thức trừu tượng trước - Việc thiết lập mối quan hệ theo logic định kiến thức, kĩ khác để thực hoạt động phức hợp, giúp HS lựa chọn thông tin, kiến thức, kĩ cần thiết để thực hoạt động thiết thực tình học tập 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân Việc dạy học xung quanh chủ đề đòi hỏi huy động kiến thức, kỹ năng, phương pháp nhiều môn học Điều tạo thuận lợi cho việc trao đổi làm giao thoa mục tiêu dạy học môn học khác Vì vậy, tích hợp đáp ứng u cầu dạy học để phát triển lực HS Sáng kiến giúp học sinh nhìn Tốn học mắt khơng túy cơng thức tính tốn mà có ứng dụng thực tiễn, đời sống công cụ đắc lực làm giảm đáng kể khó khăn số mơn học khác 11 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU 27 Phương pháp giải hệ phương trình Số Tên tổ chức/cá nhân TT Phạm Văn Minh Lớp 12A2 Lớp 12A4 TÀI LIỆU THAM KHẢO Địa GV THPT Tam Đảo THPT Tam Đảo THPT Tam Đảo Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Môn Tốn học Mơn Tốn học Mơn Tốn học Cacs phương pháp khơng mẫu mực giải phương trình, hệ phương trình – Nguyễn Văn Lộc ( chủ biên)-Nhà xuất Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Môn Toán – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)- Nhà xuất Hà Nội, 2012 Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao – Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 Sách tập Đại số 10 Nâng cao - Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http:// www.facebook.com Kí duyệt BGH Tam Đảo, ngày tháng năm 2020 Tác giả sáng kiến Phạm Văn Minh 28 ... 2 2 Phương pháp đánh giá 18 Phương pháp giải hệ phương trình Phương pháp đánh giá gần giống với phương pháp sử dụng bất đẳng thức Đỗi với phương pháp này, ta thường nhẩm nghiệm hệ phương trình, ... đổi) Phương pháp giải: Đối với hệ phương trình dạng này, cách thường làm đặt ẩn phụ S = x + y (*)  P = xy  Khi ta đưa hệ phương trình (I) trở thành hệ phương trình ẩn S, P Giải hệ phương trình. .. dụ 3: Giải hệ phương trình  3  x − y = y − x Lời giải: • Với y = hệ phương trình vơ nghiệm Phương pháp giải hệ phương trình • ( ( )  y2 − t = 2 y − t y =   ⇔ Với y ≠ , đặt x = ty Hệ trở