Một số phương pháp giải hệ phương trình luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI, NĂM 2013 Mưc lưc L˝IC MÌN L˝I N´I U MáTSăD NGH V PHìèNGPH PCèB N 1.1 MáTSăD NGH CèB N 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 PH×ÌNGPH PCèB N 1.2.1 1.2.2 MáT Să PH×ÌNG PH P GI I H PH×ÌNG TR NH 2.1 PH×ÌNGPH P T NPHƯ 2.2 PH×ÌNGPH PBI N ˚IV PH×ÌNGTRNHTCH 2.3 PH×ÌNGPH PDỊNGH NG NGTHC 2.4 PHìèNGPH PDềNGTNH èN I UCếAH MSă 2.5 PH×ÌNGPH PDỊNGBT NGTHÙC 2.6 PH×ÌNGPH PL×ĐNGGI CHO 2.7 PHìèNGPH PSDệNGSăPHC 3 MáT V I NG DệNG CếA H PHìèNG TR NH 3.1 ÙNG DƯNG TRONG X T T×ÌNG GIAO CÕA HA 3.2 ÙNGDƯNGTRONGGI IPH×ÌNGTRNH 3.3 ÙNGDÖNGTRONGTMGTLN,GTNN 3.4 ÙNGDÖNGTRONGGI IB ITO NKINHT K TLU N T ILI UTHAMKH O LIC MèN Ho n th nh ữổc bÊn lun vôn n y, ngo i sü nØ lüc cıa b£n th¥n, tổi  nhn ữổc sỹ ch bÊo, giúp ù t nhi•u ph‰a cıa c¡c thƒy, cỉ gi¡o, gia …nh v b⁄n b– Líi ƒu ti¶n, tỉi xin b y tä lặng bit ỡn sƠu sc tợi TS Phm Vôn Quc, ngữới thy  tn tnh hữợng dÔn v ch bÊo tỉi suŁt qu¡ tr…nh l m lu“n v«n Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy, cỉ gi¡o khoa ToĂn-Cỡ-Tin hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc tỹ nhiản- i hồc Quc gia H Ni, nhng ngữới  trỹc ti‚p gi£ng d⁄y v gióp ï tỉi qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i tr÷íng cịng to n th” b⁄n b– v ngữới thƠn  õng gõp ỵ kin, giúp ù, ºng vi¶n tỉi qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu v ho n th nh lu“n v«n n y M°c dũ bÊn thƠn  rĐt c gng v nghiảm túc hồc cụng nhữ nghiản cứu khoa hồc thới gian cõ hn, kin thức bÊn thƠn cặn h⁄n ch‚ n¶n qu¡ tr…nh thüc hi»n khỉng tr¡nh khọi sỡ suĐt Knh mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ cıa thƒy cỉ v c¡c b⁄n Tỉi xin tr¥n trång cÊm ỡn! LI M U Chuyản ã hằ phữỡng tr…nh l mºt nºi dung quan trång, cƒn thi‚t, câ th” xem nh÷ mºt nhœng d⁄ng to¡n cì b£n nhĐt ca chữỡng trnh i s bc trung hồc CĂc b i toĂn vã giÊi hằ phữỡng trnh xuĐt hi»n ð hƒu h‚t c¡c k… thi ⁄i håc, Cao flng v cĂc k thi Hồc sinh giọi ứng trữợc mt hằ phữỡng trnh hồc sinh cn phÊi bit phƠn t‰ch, nh“n d⁄ng v chån lüa ph÷ìng ph¡p gi£i th‰ch hỉp MØi b i to¡n •u câ th” câ nhi•u cĂch giÊi Tuy nhiản, viằc hằ thng hoĂ cĂc phữỡng ph¡p gi£i s‡ cho ph†p nh…n nh“n c¡c b i to¡n theo mºt h» thŁng nh§t qu¡n Do â tỉi  lỹa chồn nghiản cứu ã t i Mt s phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trnh BÊn lun vôn ÷ỉc chia l m ch÷ìng: Ch÷ìng Mºt sŁ d⁄ng h» v ph÷ìng ph¡p cì b£n Ch÷ìng n y nh›c l⁄i mºt sŁ d⁄ng h» cì b£n v ph÷ìng phĂp giÊi nhữ: Hằ phữỡng trnh bc nhĐt hai 'n, hằ i xứng, flng cĐp, hoĂn v vặng quanh c¡c ph÷ìng ph¡p cì b£n l cºng v th‚ Ch÷ìng Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr…nh — chữỡng n y, lun vôn nảu mt s phữỡng phĂp giÊi cõ th nghắ tợi gp mt hằ phữỡng trnh m khổng sò dửng ữổc cĂc dng cỡ b£n ð ch÷ìng Ch÷ìng Mºt v i øng dửng ca hằ phữỡng trnh Lun vôn trnh b y øng dưng th÷íng g°p cıa h» ph÷ìng tr…nh l : Ùng dưng vi»c x†t t÷ìng giao giœa hai ç thà; gi£i ph÷ìng tr…nh; t…m GTLN, GTNN v b i to¡n kinh t‚ H nºi, th¡ng 12 n«m 2013 T¡c gi£ lu“n v«n NGUY N THÀ KIM NGC Chữỡng MáT Să D NG H V PHìèNG PH PCèB N 1.1 1.1.1 MáTSăD NGH H CÌB N PH×ÌNG TR NH B C NH T HAI N *) Cỡ s phữỡng phĂp a) nh nghắa: Hằ phữỡng trnh bc nhĐt hai 'n l hằ cõ dng < > a1x + b1y = c1 > a2x + b2y = c2 : b) C¡ch gi£i: Thỉng th÷íng sò dửng mt ba cĂch sau: CĂch 1: Phữỡng ph¡p th‚ C¡ch 2: Ph÷ìng ph¡p cºng C¡ch 3: Ph÷ìng ph¡p dòng ành thøc K‰ hi»u: D= TH1: D = 0, h» câ nghi»m nh§t TH2: D = D x = Dy = 0, h» câ væ sŁ a1 b1 a2 b2 = a1 > > > < > D=0 TH3: > > > Dx 6= , h» væ nghi»m > : Dy 6= *) V‰ dö ¡p döng < > V‰ dư 1.1 Cho h» ph÷ìng tr…nh 8X+Y =17 > 3X+7Y =1 : Sò dửng mt cĂc phữỡng phĂp trản d d ng tm ữổc nghiằm (2;1) Bng cĂch thay X; Y bði c¡c bi”u thøc kh¡c cıa 'n ta s‡ s¡ng t¡c vỉ sŁ h» mỵi V‰ dư: Thay Thay V‰ dư 1.2 Gi£i h» ph÷ìng tr…nh > : Gi£i °t t = y h» trð th nh D = x + 6; Do t = y suy x2y + 2x2 + 6y = 23 (x + 6)( , 2 (1 x)(1 + x)(1 + x )(x + 16x + 95) = x=1 V“y h» ¢ cho câ hai nghi»m (1;3), (-1;3) V‰ dư 3.4 Gi£i ph÷ìng trnh 8x 5(5x 2 1) = 4: ị tững: Phữỡng trnh n y ữổc xƠy dỹng giÊi bng h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i 2 nh÷ sau: °t ay + b = 5x ” h» tr¶n l h» Łi xøng lo⁄i th… > > Gi £i °t 2y = 5x < > Trł v‚ theo v ta ữổc 2(y +) Vợi y = x thay v o (1) ta ữổc 5x +) Vợi y = p Vy phữỡng trnh  cho cõ nghi»m l V‰ dư 3.5 Gi£i ph÷ìng tr…nh Gi£i °t u= p > p v = 5x < : tr…nh (*) trð th nh 2u + 3v = 8: > Ph÷ìng Tł (1) v (2) ta câ h» 2u + 3v = > 5u + 3v < V“y > : ph÷ìng tr…nh câ nghi»m x = D⁄ng tŒng qu¡t: k °t p3 > u = ax + b < p > v = cx + d : 64 p V‰ dư 3.6 Gi£i ph÷ìng tr…nh x + = 2x Gi£i p 3 °t y = 2x )x 1: < > ) y = 2x ta câ h» sau x + = 2y > y = 2(y y + = 2x x) , (x 2 y)(x + y + xy + 2) = , x = y: : x=y ) V“y ph÷ìng tr…nh câ t“p nghi»m S = 1; V‰ dư 3.7 Gi£i ph÷ìng tr…nh: 3x + 6x Gi£i > u=x+1 > °t < v= > > : Ta câ h»: +) Vỵi u = v = p3 +) Vợi Vy phữỡng trnh  cho câ hai nghi»m x = D⁄ng tŒng qu¡t: p +) fn(x) + a = b bf(x) a °t +) f (x) + a °t n 65 3.3 ÙNG DÖNG TRONG T M GTLN, GTNN Sau ¥y ta s‡ x†t mºt sŁ v‰ dư v• øng dưng cıa gi£i h» ph÷ìng tr…nh Łi xøng lo⁄i vi»c t…m GTLN, GTNN V‰ dö 3.8 Cho x; y l hai sŁ thỹc dữỡng thoÊ mÂn x + y = 12 Tm GTNN cıa bi”u thøc A = Gi£i > x + y = 12 X†t h» ph÷ìng tr…nh < > x2 + y2 = A : y x > x + y = 12 < < > x + y = 12 > °t S=x+y ta ÷ỉc h» >P = xy < > : H» câ nghi»m v ch¿ S > : V“y GTNN cıa A b‹ng 12 x = y = 6: V‰ dö 3.8 Cho c¡c sŁ thüc x 6= 0; y 6= tho£ m¢n (x + y)xy = x + y °t a = x Gi£i X†t h» ph÷ìng tr…nh > : xy °t > < > : H» )S 16)A 16: 66 D§u b‹ng x£y V“y GTLN cıa A l V‰ dö 3.10 Cho hai sŁ thüc x; y tho£ m¢n x T…m GTLN, GTNN cıa bi”u thøc A = x + y Gi£i p °t a = H» trð th nh < ab = > > > > < > > > > : , >A > > > > > > : A=2+2 p kh p 14 k A=4+2 > : V“y 67 > : 3.4 ÙNG DÖNG TRONG GI I B I TO N KINH T Khi ph¥n t‰ch ho⁄t ºng cıa trữớng h ng hoĂ, cĂc nh kinh t hồc sò döng h m cung v h m cƒu ” bi”u di„n sü phư thuºc cıa l÷ỉng cung v l÷ỉng cƒu v o gi¡ h ng ho¡ ” x†t mæ h…nh cƠn bng th trữớng n h ng hoĂ liản quan ta k‰ hi»u bi‚n sŁ nh÷ sau: Qsi l l÷ỉng cung h ng ho¡ i Qdi l l÷ỉng cƒu Łi vỵi h ng ho¡ i pi l gi¡ h ng ho¡ i Vỵi gi£ thi‚t c¡c y‚u tŁ kh¡c khỉng thay Œi, h m cung v h m cƒu tuy‚n t‰nh câ d⁄ng: H m cung h ng ho¡ i: Qsi = ai0 + ai1p1 + ai2p2 + ::: + ainpn (i = 1; 2; :::; n): H m cƒu Łi vỵi h ng ho¡ i: Qdi = bi0 + bi1p1 + bi2p2 + ::: + binpn (i = 1; 2; :::; n): Mổ hnh cƠn bng th trữớng n h ng ho¡ câ d⁄ng nh÷ sau: > Qsi = ai0 + ai1p1 + ai2p2 + ::: + ainpn > > > > > > > Qdi = bi0 + bi1p1 + bi2p2 + ::: + binpn < > > > > > > > Qsi = Qdi > i = 1; 2; :::; n : Tł h» ph÷ìng tr…nh n y ta suy h» ph÷ìng tr…nh x¡c ành gi¡ c¥n b‹ng: > > > > > a10 + a11p1 + a12p2 + ::: + a1npn = b10 + b11p1 + b12p2 + ::: + b1npn > > > a20 + a21p1 + a22p2 + ::: + a2npn = b20 + b21p1 > ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: + b22p2 + ::: + b2npn < > > > > > > > an0 + an1p1 + an2p2 + ::: + annpn = bn0 + bn1p1 + bn2p2 + ::: + bnnpn : °t cik = aik bik vỵi måi i = 1; 2; : : : n v k = 1; 2; : : : ; n ta ÷ỉc h» ph÷ìng tr…nh: 68 > c11p1 + c12p2 + ::: + c1npn = > > c2 1p + c2 2p + ::: + c 2n p n = > > > > > < > > ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > > > > > cn0 cn1p1 + cn2p2 + ::: + cnnpn = : Gi£i h» ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh trản ta xĂc nh ữổc giĂ cƠn bng ca tĐt c£ n h ng ho¡, sau â thay v o h m cung (ho°c h m cƒu) ta x¡c ành ữổc lữổng cƠn bng V dử 3.11 GiÊ sò th trữớng gỗm mt h ng: h ng hoĂ v h ng ho¡ 2, vỵi h m cung v h m cƒu nh÷ sau: H ng ho¡ 1: Qs1 H ng ho¡ 2: Qs2 H» ph÷ìng tr…nh x¡c ành gi¡ c¥n b‹ng l : + 3p1 > + 2p < > : Gi£i h» ph÷ìng tr…nh n y ta tm ữổc giĂ cƠn bng ca mỉi m°t h ng: H ng ho¡ 1: p1 = Thay gi¡ c¥n b‹ng v o c¡c bi”u thøc h m cung ta xĂc nh ữổc lữổng cung cƠn bng : V dử 3.12 GiÊ sò th trữớng gỗm mt h ng: h ng ho¡ h ng ho¡ v h m cung v h m cƒu nh÷ sau: HÂy xĂc nh giĂ cƠn bng v lữổng cƠn bng cıa mØi m°t h ng? Gi£i H» ph÷ìng tr…nh x¡c ành gi¡ c¥n b‹ng l : > 10 + 2p1 20 + 5p > > > < > 13p3 = 300 > > > : Gi£i h» ph÷ìng trnh n y ta tm ữổc giĂ cƠn bng ca mØi m°t h ng nh÷ sau: ng ho¡ 3: p = 495 320 25 H ng ho¡ 1: p = 23 23 69 ; H ng ho¡ 2: p = 23 ;H Thay gi¡ c¥n b‹ng v o c¡c bi”u thøc h m cung ta x¡c H ng ho¡ 3: Q = 13p = 3 325 23 : 70 nh ữổc lữổng cung cƠn bng : KTLUN Sau thíi gian håc t“p t⁄i Khoa To¡n - Cỡ Tin hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, ÷ỉc c¡c thƒy cỉ trỹc tip giÊng dy v hữợng dÔn, c biằt l TS Phm Vôn Quc, tổi  ho n th nh lun vôn vợi ã t i Mt s phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trnh Lun vôn  t ữổc mt s kt quÊ sau: Lun vôn  trnh b y mºt c¡ch h» thŁng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i hằ phữỡng trnh theo trnh tỹ tữ ỗng thới ữa nhng phƠn tch, bnh lun vã phữỡng phĂp, þ t÷ðng gi£i c¡c h» ph÷ìng tr…nh Tr…nh b y c¡ch thi‚t l“p c¡c ph÷ìng tr…nh, h» ph÷ìng tr…nh mợi t nhng hằ phữỡng trnh cỡ bÊn hay t hai s phức cho trữợc ữa mt s ứng dửng quan trồng ca hằ phữỡng trnh Bữợc u tip cn vợi toĂn cao cĐp Lun vôn  ữa nhiãu v dử minh ho Ăp dửng cĂc phữỡng ph¡p a d⁄ng k–m theo c¡c b i t“p t÷ìng tü ÷ỉc tr‰ch tł c¡c k… thi håc sinh giäi To¡n QuŁc gia, k… thi tuy”n sinh ⁄i håc v Cao flng c¡c n«m V… v“y b£n lu“n v«n câ th” l t i li»u tham kh£o nh‹m n¥ng cao v mð rºng ki‚n thøc cho håc sinh b“c trung hồc ph thổng Mc dũ  rĐt c gng thíi gian câ h⁄n, v… v“y lu“n v«n khỉng tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât T¡c gi£ r§t mong nh“n ữổc sỹ õng gõp ỵ kin ca thy cổ v cĂc bn ỗng nghiằp lun vôn ữổc ho n thi»n hìn 71 T i li»u tham kh£o [1] H Vôn Chữỡng (2012), "Tuyn chồn v giÊi hằ phữỡng trnh, hằ bĐt phữỡng trnh, phữỡng trnh, bĐt phữỡng trnh khổng mÔu mỹc", NXB i hồc Quc Gia H Ni [2] Phan Huy KhÊi (2012), "Phữỡng trnh v bĐt phữỡng trnh", NXB Gi¡o dưc Vi»t Nam [3] PGS.TS Nguy„n V«n Lºc (ch biản) Th.S Phan Anh T i-Nguyn Vôn Cng-Nguyn Ngồc Giang (2012), "CĂc phữỡng phĂp khổng mÔu mỹc giÊi toĂn phữỡng trnh, hằ phữỡng trnh, bĐt phữỡng trnh, hằ bĐt ph÷ìng tr…nh c¡c k… thi ⁄i håc v thi væ àch To¡n", NXB ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi [4] PGS.TS Nguyn Vôn Lc (ch biản) (2012), "Tuyn chồn c¡c b i thi væ àch To¡n ð c¡c àa ph÷ìng" QuŁc gia QuŁc t‚, NXB ⁄i håc QuŁc Gia H Ni [5] Nguyn Vụ Lữỡng (Ch biản)- Phm Vôn Hịng Nguy„n Ngåc Th›ng (2006), "H» ph÷ìng tr…nh v ph÷ìng tr…nh chøa c«n thøc", NXB ⁄i håc QuŁc Gia H Ni [6] Nguyn Vôn Mu, "Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh v bĐt phữỡng trnh", Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc [7] Nguy„n T§t Thu (2013), "C'm nang luy»n thi ⁄i håc ⁄i sŁ c§p", NXB TŒng hỉp Th nh phŁ Hỗ Ch Minh [8] Ban t chức k thi (2013), "Tuy”n t“p • thi Olympic 30 th¡ng 4", lƒn thø XIX 2013 To¡n håc, NXB ⁄i håc s÷ ph⁄m 72 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... TỐN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI, NĂM 2 013 Möc löc L˝IC MèN LI NI U MáTSăD NGH V PHìèNGPH PCèB N 1.1 MáTSăD NGH CèB N... tữỡng giao gia hai ỗ th; giÊi phữỡng tr…nh; t…m GTLN, GTNN v b i to¡n kinh t‚ H nºi, th¡ng 12 n«m 2 013 T¡c gi£ lun vôn NGUY N TH KIM NGC Chữỡng MáT Să D NG H V PHìèNG PH PCèB N 1.1 1.1.1 MáTSăD NGH