Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI NĂM 2014 Mục lục LỜI GIỚI THIỆU CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.2 Hệ phương trình đối xứng 1.3 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng q 1.4 Hệ phương trình đẳng cấp MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phương pháp 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 2.5 Phối hợp nhiều phương pháp HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bấ 3.2 Hệ phương trình bất phương trình Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình chuyên đề quan trọng chương trình học phổ thơng Đề thi đại học năm hầu hết có câu hệ phương trình Đó phần học quan trọng đại số lớp 10 Từ lâu việc tìm cách tổng hợp phương pháp để giải hệ phương trình nhiều người quan tâm Hệ bất phương trình lại lĩnh vực mà người quan tâm Các tài liệu tổng hợp phương pháp giải hệ bất phương trình nói Dựa giúp đỡ dẫn thầy Nguyễn Văn Mậu với tìm tịi tham khảo tơi tổng hợp số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Ngồi phần mở đầu, phần kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn bao gồm có ba chương Chương trình bày số dạng phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn Chương CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính Nhận dạng Xét hệ phương trình a1X + b1Y = c1 a2X + b2Y = c2 Phương pháp giải Thường có ba phương pháp: Cách phương pháp Tư phương trình ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình cịn lại Cách phương pháp cộng đại số Cộng trừ vế hai phương trình hợp lý để dễ dàng tìm x y Cách dùng định thức Ta kí hiệu a1 a2 D= b1 b2 TH1: D = Hệ có nghiệm DX X= D D Y= Y D = a1b2 TH2: D = DX = DY = Hệ có vơ số nghiệm dạng {(X0; Y0)|a1X0 + b1Y0 = c1} TH3:D = DX = DY = Khi hệ vô nghiệm Lưu ý : Đôi cần vài biến đổi đặt ẩn phụ hệ quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn Sau số tốn Và thơng thường, với tốn ta kết hợp vài phương pháp để giải cách thuận lợi Bài tốn 1.1 Giải hệ phương trình 3(x + y) + = −2 Lời giải Điều kiện: x = y Hệ phương trình đề tương đương với 3x + 3y + = −2x + 2y 15x − Từ phương trình thứ nhất, ta rút y = −5x − 2, vào phương trình thứ hai 15x + = hay x = −15 , từ dễ dàng tìm y = − Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = (−15; −3) Lời giải 1 Đặt x = u, y = v với u, v = Khi hệ phương trình trở thành 6u + 5v = 9u − 10v = Nhân hai vế phương trình đầu với cộng vế phương trình thu với phương trình cịn lại ta u = 3, thay vào hai phương trình v = Từ suy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (3; 5) Bài tốn 1.3 Giải hệ phương trình x+1 + x−2 3y + y+3 =5 Lời giải Hệ phương +y + x−2 −1 x−2 x − = y+3 u Đặt Sử dụng định thức, ta tính D = −20, DX = −20, DY DX u = D Hay ta xét hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chia trường hợp để giải quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn Bài tốn 1.4 Giải hệ phương trình sau Lời giải Từ phương trình thứ rút y = −|x − 1|, vào phương trình thứ hai ta thu |x − 1| = − 2x TH1 Nếu x ≥ |x − 1| = x − 1, x − = − 2x, tìm x = < 1, không thỏa mãn TH2 Nếu x < |x − 1| = − x, giải tương tự tìm x = < 1, thỏa mãn Khi y = −1 Vậy nghiệm hệ (x; y) = (0; −1) Sau ta đưa số tốn hình học phẳng câu đề thi đại học năm gần ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính bậc Bài tốn 1.5 (Đề thi Đại học khối A 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3N C Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2) N(2; −1) Lời giải M A I D Hình Gọi K trung điểm M B, N K song song với BC, N K vng góc với AB CD Gọi E giao đường thẳng N K với DC Trong tam giác vng M KN ta có M K = Từ cos M N K = Gọi vecto phương NK có tọa độ (a; b) (a + b (1; −3) Khi ta có cos(N K, N M) = √ ⇔ |a − 3b| = a 2 ⇔ a − 6ab + 9a = 9(a + 2 b ) ⇔ 4a + 3ab = ⇔ a=0 4a + 3b = 2 Với a = 0, a + b > nên ta chọn b = Khi dễ dàng viết phương trình đường thẳng AB y − = 0, đường thẳng N K x − = Suy tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình y−2=0 x−2=0 Suy K(2; 2) −−→ −−→ Ta có KE = 3KN Từ suy E(2; −2) Đường thẳng CD qua điểm E(2; −2), nhận vecto phương (0; 1) N K làm vecto pháp tuyến có phương trình y + = 2 Với 4a + 3b = 0, a + b > 0, nên ta chọn a = 3, b = −4 D vecto phương N K (3; −4) Khi dễ dàng viết phương trình đường thẳng AB 3x − 4y + = 0, đường thẳng N K 4x + 3y − = Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình 3x − 4y + = 4x + 3y Suy tọa độ điểm K ; 5 Tương tự lập luận trường hợp ta tìm điểm E 13 5; − Do ta dễ dàng viết phương trình đường thẳng CD 3x − 4y − 15 = Bài toán 1.6 (Đề thi Đại học khối D 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C Lời giải Vì vai trị x, y bình đẳng, nên (x, y) = (α, β) nghiệm (x, y) = (β, α) nghiệm Suy điều kiện cần để hệ có nghiệm α = β Thế vào hệ, ta 2 α + 2α ≤ m ⇔ α + 2α − m ≤ Bất phương trình (3.2) có nghiệm ′ = + m = ⇔ m = −1 Thay vào hệ cho x + 2y y2 + 2x ≤− ≤− x + 2y ≤ −1 y2 + 2x ≤ −1 ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 Kết luận: hệ có nghiệm m = −1 Bài toán 3.8 Giải hệ x + 3x + ≤ y y + 3y + ≤ z z + 3z + ≤ x Lời giải Hệ cho tương đương với hệ x + 3x + ≤ y y2 + 3y + ≤ z z + 3z + ≤ x ( x2 + 3x + x y +3 z2 + 3z (x + 1) Vậy hệ có nghiệm (x, y, z) = (−1, −1, −1) Bài toán 3.9 Xác định giá trị m để hệ x − 3x + m + ≤ x − 5x + 4m + ≤ có nghiệm 60 Lời giải b vô nghiệm hệ vơ nghiệm Xét = − 4(m + 1) ≥ 2=25 Với điều kiện (3.5) Hệ có nghiệm x1 ≤ x3 = x4 ≤ x2 x1 = x x3 = x 1) x1 ≤ x3 = x4 ≤ x2 f hệ vô nghiệm 2) x1 xảy 3) x = x4 ⇒ x3 ≤ x2 ⇒ x3 + x4 ≤ x1 + x2 =x √ ⇔ − 4m + 17 − 16m = ⇔ 22 − 20m + (5 − 4m)(17 − 16m) = ⇔ (5 − 4m)(17 − 16m) = 10m − 10m − ≥ ⇔ (5 − 4m)(17 − 16m) = (10m − 9) 61 m≥ ⇔ m=1 m=− Kết luận: hệ có nghiệm m Bài toán 3.10 Xác định có nghiệm Lời giải Nhận xét bất p ln ln có nghiệm ′ Nếu = − (2m + 2) ≤ ( ⇔ m ≥ 2) (3.6) nhận x nghiệm Khi hệ có nghiệm bất phương trình có nghiệm nhất, hay = 25 − 4(9 − m) = ⇔ m = phù hợp với điều kiện m ≥ Xét ≥0 ′ >0 Khi Hệ có nghiệm x1 = x2 ≤ x3 x1 = x2 ≥ x4 x1 = x3 x2 < x4 x2 = x4 x3 < x1 62 i) Trường hợp 4m − 11 = ⇔ ii) Trường hợp ⇔ x1 = x3 √ ⇔ ⇔ − 2m = + 4m − 11 − 4m − 11 √ ⇔ 4(7 − 2m) = + (4m − 11) + ⇔ 19 − 6m = 19 − 6m ≥2 (19 − 6m) m≤ m=3 ⇔ m= iii) Trường hợp Trường hợp khơng xảy Kết luận: hệ có nghiệm m = Bài toán 3.11 Hãy xác định giá trị a để hệ ax +x+1≤0 x + ax + ≤ x +x+a≤0 có nghiệm Lời giải Cộng vế tương ứng hệ, ta bất phương trình hệ (a + 2)(x + x + 1) ≤ 63 Vậy a + > (⇔ a > −2) hệ cho vơ nghiệm Xét a + ≤ ⇔ a ≤ −2 i) a < −2 x = nghiệm hệ ax + x + ≤ x + ax + ≤ x +x+a≤0 Hệ khơng thể có nghiệm x = nằm bên khoảng nghiệm bất phương trình ii) a = −2 Hệ có dạng 2 −2x + x + ≤ x − 2x + ≤ x +x−2≤0 Bất phương trình thứ hai thỏa mãn hệ Vậy hệ có nghiệm a = −2 Bài toán 3.12 Xác định cá f (x) := có nghiệm nghiệm thỏa mãn bất phương trình Lời giải Khi gọi hai nghiệm (3.8) x1, x2, x1 + x2 = 2m x1x2 = m + Cần xác định giá trị m cho g(x) := Điều kiện để (3.8 64 Vì g(x) = f (x) + (6mx + m + 1) nên g(x1) + g(x2) = 6m(x1 + x2) + 2(m + 1) = 6m 2m + 2(m + 1) = 2(6m + m + 1) g(x1)g(x2) = 36m x1x2 + 6m(m + 1)(x1 + x2) + (m + 1) 2 = 36m (m + 1) + 6m(m + 1)2m + (m + 1) = (m + 1)(48m + m + 1) Vậy (3.12) Hệ vơ nghiệm Vậy khơng tồn m Bài tốn 3.13 Xác định giá trị m để hệ f (x) := x2 g(x) := x có tập hợp nghiệm lập thành đoạn [α, β] với β − α = Lời giải Điều kiện để (3.15) (3.16) có nghiệm Vậy ∀m : (1.50) ⇔ x1 ≤ x ≤ x2; x1,2 = −m ∓ (1.51) ⇔ x3 ≤ x ≤ x4; x3,4 = (m + 1) ∓ Cần xác định m để có bốn trường hợp sau: i) x3 ≤ x1 ≤ x2 ≤ x4 x2 − x1 = x1 ≤ x3 ≤ x4 ≤ x2 x4 − x3 = iii) x1 ≤ x3 ≤ x2 ≤ x4 x2 − x3 = iv) x3 ≤ x1 ≤ x4 ≤ x2 x4 − x1 = 2 Xét i) Để ý (x2 − x1) = = 4(m − m + 1) 2 Vậy 4(m − m + 1) = ⇔ 4m − 4m + = Phương trình vơ nghiệm Trường hợp không xảy ii) Xét ii) Ta có (x4 − x3) = Phương trình vơ nghiệm √ 2= 2 4(m + m + 1) = ⇔ 4m + 4m + = 2 m − m + − (m + 1) + sqrtm + m + = Xét iii) Ta có −m + 65 √ ⇔ (m + 1) − Nếu m > VT>0>VP Nếu m < VT 4m 2 2 ⇔ (m + 1) − m > m − 2 2 ⇔ (m − 1) + 3m > m − Điều luôn ∀m < Vậy trường hợp iv) không xảy Kết luận: m = giá trị cần tìm Bài tốn 3.14 Xác định x − 5x + ≤ 3x − mx Lời giải Hệ =m 3x + 16 1≤x≤4 √ x Ta có x √ 6x.x x ′ g (x) = √ x (x = 2x Kết hợp với g(x) hàm số liên tục [1; 4] ta có lập luận: Hệ đề có nghiệm ⇔ (3.18) có nghiệm x ∈ [1; 4] ⇔ g(x) ≤ m ≤ max g(x) ⇔ g(4) ≤ m ≤ g(1) 66 −16)= ≤ m ≤ 19 Bài tốn 3.15 Tìm tất giá trị tham số a để hệ sau có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x ≥ √ x √ Lời giải Điều kiện: x, y ≥ Khi x ≥ ⇔ √ Từ ≤ y ≤ ⇔ ≤ y + ≤ ⇔ Từ 19 ta có − Do ≤ x ≤ √ Thế y=3 − √ x+5 x−6 + √ √ Đặt f (x) = Hệ đề có nghiệm ∈ ′ Ta có f (x √ x x2 − 6x −3 √ ′ Giả sử f (x) ≥ ⇔ x ⇔ x − 6x √ √ − 6x x + 12x ≥ (3 − x) x + √ x x Mà √ [ ≤ 15 − 135 67 ; ′ Từ ta có f (x) ≥ 0∀x ∈ [4; 9] Suy f (x) = f (4) = x∈[4;9] Vậy điều kiện để hệ có nghiệm a > Bài tốn 3.16 Tìm tất cặp số thực (x; y) thỏa mãn 3|x2−2x−3|−log35 = 5−(y+4) 4|y| − |y − 1| + |y + 3| ≤ Lời giải (3.22) (3.23) Bất phương trình 3.23 tương đương với 4|y| − |y − 1| + |y + 3| − ≤ (3.24) Xét khoảng y ta giải bất phương trình (3.24) tương ứng: Với y ≤ |y| = −y, |y − 1| = − y, (3.24) ⇔ y + 3y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ Với 0 0, y + ≥ nên −log35.(y + 3) ≤ Mà |(x + 1)(x − 3)| ≤ Do theo (3.25) ta có log − | Thử lại hệ đề ta có hệ có hai cặp số (x, y) thỏa mãn (−1; −3), (3; −3) 68 Kết luận Luận văn hoàn thành đạt số kết sau: Giới thiệu tổng quan hệ phương trình đại số với tính chất cách giải chúng Khảo sát cách chi tiết hệ thống toán giải hệ phương trình chứa tham số phương pháp bất đẳng thức giải hệ phương trình Đưa số ví dụ áp dụng từ đề thi đại học, đề thi HSG Olympic quốc gia khu vực 69 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (1993), Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận (2003),Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục bibitem3Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006),Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Trịnh Đào Chiến (2007) Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [5] Trần Nam Dũng (Chủ biên), (2010) Phương trình nữa, NXB ĐHQG Tp HCM 70 ... chương Chương trình bày số dạng phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn... HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bấ 3.2 Hệ phương trình bất phương trình Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình chuyên đề quan trọng chương trình. .. tổng hợp phương pháp giải hệ bất phương trình nói Dựa giúp đỡ dẫn thầy Nguyễn Văn Mậu với tìm tịi tham khảo tơi tổng hợp số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Ngồi phần