SKKN vphương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình toán 9

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN 9” Quảng Bình, tháng 11 năm 2017 Trang CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN 9” Họ tên: Phạm Thị Thà Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Mỹ Thủy Trang Quảng Bình, tháng 11 năm 2017 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học bản, quen thuộc với em học sinh từ tiểu học, song việc dạy tốt học tốt mơn Tốn học u cầu mong muốn tồn xã hội, góp phần hình thành nhân cách sở khoa học để học tập, lao động tạo cải vật chất cho xã hội Như biết, Tốn học ngành, mơn học địi hỏi tính suy luận trí thơng minh cao, nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, Toán học mệnh danh “ngôn ngữ vũ trụ” hay nhà bác học Carl Friedrich Gauβ nói, “Tốn học nữ hồng mơn khoa học” Tốn học tảng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói khơng có Tốn học, khơng có ngành khoa học Do mơn Tốn có vị trí đặc biệt quan trọng việc phát triển lực phẩm chất trí tuệ cho học sinh Tuy nhiên, qua quan sát việc học mơn Tốn học sinh nhìn chung cịn bị hạn chế, khơng em sợ Tốn, coi việc học Tốn cơng việc nặng nhọc, căng thẳng Ngun nhân dẫn đến trạng em chưa nhận biết tầm quan trọng ý nghĩa việc học Tốn, chưa kích thích hành động tích cực, sáng tạo q trình giải tốn; nội dung mơn Tốn khơ khan, phương pháp dạy giáo viên chưa thật hấp dẫn, chưa tạo bầu khơng khí tích cực nhóm học sinh học Tốn Đặc biệt chương trình Tốn lớp có dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình” Đây loại tốn có nhiều dạng, phong phú tập đòi hỏi học sinh phải tư nhiều Ngồi ra, cịn phải biết tìm mối liên hệ, gắn kết kiện đưa để đưa cách giải hợp lý, ngắn gọn xác Dung lượng tập nhiều phức tạp việc vận dụng lý thuyết vào việc giải tập học sinh phải mức độ cao Do cần phải tìm phương pháp giải tập phù hợp với trình độ lực học sinh Là giáo viên dạy Tốn, tơi thấy việc giúp học sinh từ lý thuyết đến thực hành quan trọng, giúp ích cho học sinh áp dụng vào sống Ngoài ra, trình dạy học nên tìm cách tạo hứng thú cho học sinh lĩnh hội kiến thức vận dụng vào dạng tập cách tích cực hiệu để giúp học sinh khơng học tốt phần mà cịn kích thích tính hứng thú học tập để em học tốt phần Hiện có tài liệu đưa phương pháp giải toán cách lập phương trình hay hệ phương trình Tuy nhiên để phù hợp với trình độ lực học sinh cần triển khai áp dụng cách cụ thể chi tiết Trang Từ lí tơi mạnh dạn đưa ý kiến, kinh nghiệm thân “Phương pháp giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình Tốn 9” 1.2 Điểm đề tài: - Trong sáng kiến kinh nghiệm trọng đến phần kỹ giải toán cách lập phương trình - hệ phương trình Một mặt xây dựng sở lý thuyết bản, bổ sung kiến thức liên quan Mặt khác hướng dẫn em học sinh cách nhận biết, phân loại dạng tập vận dụng phương pháp giải cách nhanh chóng, hiệu Biết cách chọn ẩn trực tiếp hay chọn ẩn gián tiếp - Với phương pháp giúp em học sinh có hứng thú với mơn học, học sinh yếu, rèn luyện tính tư duy, lập luận lô gic cho em 1.3 Phạm vi áp dụng đề tài: - Dạng toán “Giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình” chương trình mơn Tốn - Học sinh lớp bậc trung học sở đơn vị tơi cơng tác - Giáo viên dạy Tốn THCS Trang NỘI DUNG 2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: “Giải toán cách lập phương trình”, dạng tốn lập phương trình mà lớp tiền đề để em làm quen dạng đơn giản, sở cho toán phức tạp lớp Thế hầu hết em học sinh lớp ngại giải dạng tốn cách lập phương trình - hệ phương trình em thấy khó em nắm quy tắc chung Có nhiều em nắm rõ bước giải lại vận dụng vào giải tập Vì em khơng biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải khơng biết tìm liên quan đại lượng để lập phương trình - hệ phương trình Mà dạng toán bản, thường xuất kiểm tra tiết, kiểm tra học kỳ II lớp Nhưng đại đa số học sinh không làm không nắm cách giải, có học sinh biết cách làm khơng đạt điểm tối đa thiếu nhiều ý Có em biết giải tập mà giáo viên giải lớp, gặp đề toán khác lại khơng giải Đó số giáo viên sửa tập cho học sinh học lớp mà chưa ý đến việc giảng dạy cho học sinh kỹ giải tốn cách lập phương trình Giải tốn cách lập phương trình biến tốn lời thành phương trình ứng với tốn cho Muốn học sinh phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường hay ngôn ngữ thực tế sang ngơn ngữ đại số Ngơn ngữ đại số thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà sử dụng kí hiệu tốn học Vì nội dung tốn này, hầu hết gắn bó với hoạt động thực tế người, xã hội tự nhiên,… Chính mà việc chọn ẩn số thường số liệu có liên quan đến thực tế Do q trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý Từ lý mà học sinh ngại làm loại tốn Mặc khác, q trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát cách giải cho dạng Kỹ phân tích tổng hợp học sinh yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ liệu toán, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại toán Đối với việc giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình em học nên chưa quen với dạng tốn tự làm phương trình Xuất phát từ thực tế nên kết học tập em chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải tập lại khơng làm Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ lập phương trình để Trang giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn Trước thực sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình Tốn 9”, tơi tiến hành khảo sát lớp 9A, 9B Trường THCS nơi thân công tác năm học 2015 – 2016 dạng giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình Kết sau: Số Giỏi Khá T Bình Yếu Kém Lớp SL % SL % SL % SL % SL % KT 9A 35 11,4 17,1 14 40,0 10 28,6 2,9 9B 35 8,6 20,0 13 37,1 10 28,6 5,7 Qua kết kiểm tra cho thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi thấp Học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên chưa cao Trong lúc tỉ lệ học sinh điểm yếu, nhiều Qua thực tế giảng dạy kết kiểm tra học sinh thấy kỹ làm học sinh cịn sai sót nhiều dẫn đến kết làm điểm thấp Do để em học sinh nắm bắt kiến thức, kỹ chương trình vận dụng vào giải tập Tơi đưa số dạng tập ứng với lí thuyết học, để rèn kỹ giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình Tốn Tạo cho em có thêm hứng thú với môn học 2.2 Các giải pháp thực hiện: 2.2.1 Yêu cầu giải toán cách lập phương trình - hệ phương trình Khi giải tốn cách lập phương trình tất phải dựa vào quy tắc chung: Đó bước giải tốn cách lập phương trình Cụ thể sau: * Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình): - Chọn ẩn số (đơn vị) đặt điều kiện cho ẩn; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng * Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) * Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình (hệ phương trình) nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Ở bước bước quan trọng có lập phương trình (hệ phương trình) xác có kết tốn Để giải đúng, nhanh tốn giải tốn cách lập phương trình giáo viên học sinh cần ý : Trang + Đọc kĩ đề bài, nhận dạng tóm tắt tốn (sơ đồ, lập bảng) để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, đại lượng số liệu cho, mơ tả hình vẽ cần, chuyển đổi đơn vị cần + Thông thường chọn ẩn trực tiếp, đặt điều kiện ẩn phù hợp với yêu cầu toán với thực tế + Xem xét tình xảy đại lượng mà số liệu chưa biết + Khi lập phương trình (hệ phương trình) cần vận dụng tốt kỹ giải dạng phương trình (hệ phương trình) học để tìm nghiệm phương trình (hệ phương trình) + Cần ý so sánh nghiệm tìm phương trình (hệ phương trình) với điều kiện ẩn để trả lời 2.2.2 Phân loại dạng toán bổ sung kiến thức cần thiết cho dạng tốn 2.2.2.1 Có thể phân loại thành dạng tốn thường gặp sau: - Dạng toán chuyển động - Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng - Dạng toán suất lao động - Dạng toán tìm số - Dạng tốn có liên quan hình học - Dạng tốn có nội dung vật lí, hố học 2.2.2.2 Các kiến thức cần thiết: a Dạng toán chuyển động: + Vận tốc chuyển động vật v, thời gian chuyển động t, quãng S S đường S Công thức biểu thị: S = v.t ; v = ; t = t v + Đối với chuyển động sơng có dịng nước chảy: vxi = vThực + v dịng nước vngược = vThực - v dịng nước v dịng nước = (vxi - vngược ) : b Dạng toán suất, làm chung, làm riêng: + Các đại lượng tham gia: Năng suất, công việc thời gian + Năng suất lao động n, thời gian làm việc t, khối lượng cơng việc hồn thành A Công thức biểu thị: A = n.t ; t = A A ; n= n t + Toàn cơng việc coi c Dạng tốn tìm số: + Công thức mối liên hệ phụ thuộc số bị chia a, số chia b, thương q số dư r là: a = b.q + r (0 ≤ r < b); Trang + Dạng tổng quát số có hai chữ số: ab ( a < ≤ 9;0 ≤ b ≤ 9;a,b ∈ N) d Dạng tốn liên quan hình học: + Cơng thức tính diện tích hình như: hình chữ nhật, tam giác, hình 2 a.h (a cạnh đáy, h chiều cao tương ứng), S tron = π r (r bán kính), Svuong = a (a cạnh hình vng) e Dạng tốn có nội dung vật lí, hố học + Cơng suất động P, thời gian làm việc t, công A Công thức A A biểu thị: A = P.t; P = ; t = t P + Một vật có khối lượng m, thể tích V khối lượng riêng D Công thức m m biểu thị: m = D.V ; D = ; V= V D trịn, hình vng : Shcn = a.b (a chiều dài; b chiều rộng hình chữ nhật), S tamgiac = 2.2.3 Rèn luyện kỹ giải tốn cách lập phương trình (hệ phương trình) cho học sinh thơng qua dạng tốn 2.2.3.1 Dạng tốn chuyển động: a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Với dạng toán cần khai thác đại lượng: Vận tốc, thời gian, quãng đường (Lưu ý phải thống đơn vị) - Chọn ẩn điều kiện thích hợp cho ẩn - Hướng dẫn học sinh phân tích tốn theo bảng sau: Đại lượng Các đối tượng Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) Đối tượng Đối tượng b/ Bài toán minh hoạ: Bài tốn 1: Đường sơng từ thành phố A đến thành phố B ngắn đường 10 km Để từ A đến B, ca nô hết 20 phút, xe khách hết Biết vận tốc ca nô vận tốc xe khách 17km/h Tính vận tốc ca nô? * Hướng dẫn giải : Cách 1: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn: Đại lượng Phương tiện Ca nô Xe khách Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) x 10 = 3 10 x x + 17 2.(x + 17) Trang Phương trình lập được: 2(x + 17) − 10 = 10 * Giải: 10 Đổi = 3 Gọi vận tốc ca nô là: x (km/h), x > Vận tốc xe khách là: x +17 (km/h) 10 Đường sông từ A đến B dài là: x (km) Đường từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km) Theo ta có phương trình: 10 2(x + 17) − = 10 ⇔ 6(x + 17) − 10x = 30 ⇔ −4x = −72 ⇔ x = 18 x = 18 (thoả mãn điều kiện) Vậy vận tốc ca nô 18 km/h Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là: x (km), x > Ta có bảng sau: Đại lượng Phương tiện Ca nô Xe khách Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) 10 3x = 10 x + 10 10 x x + 10 x: Ta có phương trình: x + 10 3x − = 17 ⇔ x = 60 (thoả mãn điều kiện) 10 3.60 = 18 (km/h) Vậy vận tốc ca nô là: 10 Cách 3: Lập hệ phương trình: - Gọi vận tốc ca nô x (km), x > - Vận tốc xe khách y(km), y > - Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Đại lượng Phương tiện Vận tốc (km/h) Trang Thời gian (h) Quãng đường (km) x Ca nô 10 y Xe khách 10 x 2y  y − x = 17  - Từ có hệ phương trình:  10 2y − x = 10 - Giải hệ phương trình chọn câu trả lời Bài tốn 2: (Bài 47 SGK Tốn 9/Trang 58) Bác Hiệp Liên xe đạp từ làng lên tỉnh quãng đường dài 30km, khởi hành lúc Vận tốc xe bác Hiệp lớn vận tốc xe cô Liên 3km nên bác Hiệp đến sớm cô Liên nửa Tính vận tốc xe người? * Hướng dẫn giải Cách 1: + Nếu gọi vận tốc xe bác Hiệp x (km/h), ta hướng dẫn học theo bảng sau: Đại lượng Đối tượng Vận tốc (km/h) Bác Hiệp x Cô Liên x–3 Phương trình lập được: Thời gian (h) 30 x 30 x −3 30 30 − = x −3 x * Giải : Gọi vận tốc xe bác Hiệp x(km/h), x > Khi đó, vận tốc xe cô Liên là: x – (km/h) 30 Thời gian bác Hiệp từ làng lên tỉnh là: (giờ) x 30 Thời gian cô Liên từ làng lên tỉnh là: (giờ) x −3 Vì bác Hiệp đến trước Liên nửa nên ta có phương trình: 30 30 − = x −3 x Giải phương trình: x(x-3) =60x – 60x + 180 hay x2 – 3x – 180 = Δ = 729 = 27 Nên phương trình có hai nghiệm: Δ = + 720 = 729 > 0; Trang 10 Quãng đường (km) 30 30 80 + 10 (km/h) là: 80 = 60 (km) t 60 80 Thời gian ô tô với vận tốc + 10 (km/h) là: 80 (giờ) + 10 t t 80 Đoạn đường cịn lại tô với vận tốc – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km) t 20 80 Thời gian ô tô với vận tốc – 15 (km/h) là: 80 (km) − 15 t t Theo ra, ta có phương trình: 60 20 + =t 80 80 + 10 − 15 t t 60 20 ⇔ + =t 80 80 + 10 − 15 t t 60t 20t ⇔ + =t 80 + 10t 80 − 15t 60 20 16 ⇔ + = (t ≠ ) 80 + 10t 80 − 15t ⇔ 60(80 − 15t) + 20(80 + 10t) = (80 + 10t)(80 − 15t) Đoạn đường ô tô với vận tốc ⇔ 4800 − 900t + 1600 + 200t = 6400 − 12000t + 800t − 150t ⇔ 150t − 300t = ⇔ 150t(t − 2) = t = ⇔ t = Với t = (không thỏa mãn điều kiện); t = (thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian để ô tô hết quãng đường * Như vậy, qua toán ta thấy: Khi giải toán cách lập phương trình - hệ phương trình đa số thường chọn trực tiếp đại lượng chưa biết làm ẩn Nhưng việc chọn đại lượng chưa biết làm ẩn làm cho việc giải toán trở nên phức tạp Vì vậy, tùy theo tốn đưa ta chọn ẩn cách gián tiếp thơng qua đại lượng khác 2.2.3.2 Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng: “ làm chung - làm riêng ”, “vịi nước chảy” (tốn quy đơn vị) a/ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Hướng dẫn học sinh lập bảng sau: Đại lượng Thời gian làm Năng suất xong công việc Trang 13 Cơng việc Đối tượng Đội I (Vịi 1) Đội II (Vòi 2) Cả đội (2 vịi) b/ Bài tốn minh hoạ: Bài tốn 1: (Bài 33 SGK Tốn 9/Trang 24) Hai cơng nhân làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu? * Hướng dẫn giải: Đại lượng Số để hoàn Tổng khối lượng Năng suất Đối tượng thành công việc công việc Người x x Người y y Cả người 16 16 * Giải: Gọi thời gian để người thứ làm xong cơng việc là: x (x >16) Thời gian để người thứ hai làm xong cơng việc là: y (y >16) Trong người thứ làm được: (công việc) x Trong người thứ hai làm được: (công việc) y Trong hai người làm được: (cơng việc) 16 Vì hai người làm chung 16 xong việc nên ta có phương trình: 1 + = (1) x y 16 Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc nên ta có phương trình: 1 + = (2) (25% = ) x y 4 1 1  x + y = 16 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  (I)  + =  x y Giải hệ phương trình (I): Trang 14 1  x = 24  x = 24 (I) ⇔  ⇔  y = 48 1 =  y 48 Ta thấy x = 24 (TMĐK) y = 48 (TMĐK) Vậy thời gian để người thứ làm xong công việc 24 Thời gian để người thứ hai làm xong cơng việc 48 Bài toán 2: (Bài 32 SGK Toán 9/Trang 23) đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm thứ hai Hai vịi nước chảy vào bể nước cạn (khơng có nước) sau đầy bể Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? * Hướng dẫn giải : Gọi thời gian để vịi thứ chảy đầy bể là: x (x >0) Thời gian để vịi thứ hai chảy đầy bể là: y (y >0) Ta có bảng sau: sau Đại lượng Đối tượng Số để nước chảy đầy bể Vòi x Vòi y Cả vòi Lượng nước Tổng khối lượng công việc x y = 24 24 24 = 5 24 Đổi = 5 Gọi thời gian để vịi thứ chảy đầy bể là: x (x >0) Thời gian để vịi thứ hai chảy đầy bể là: y (y >0) * Giải: Trong vòi thứ chảy được: Trong vòi thứ hai chảy được: (bể) x (bể) y Trang 15 1 1 = Trong hai vịi chảy được: 24 24 (bể) Vì hai vịi chảy bể đầy nên ta có phương trình: 1 + = (1) x y 24 Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm thứ hai sau đầy bể nên ta có phương trình: 1 + ( + ) =1 (2) x x y  1  x + y = 24 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  (I) 9 + (1 + 1) =1  x x y Giải hệ phương trình (I):  1 1 + =  x y 24  x + y = 24  x = 12 (I) ⇔  ⇔ ⇔  y =8 9 + =1  + =1  x  x 24 Ta thấy x = 12 (TMĐK) y = (TMĐK) Vậy thời gian để vịi thứ hai chảy đầy bể 2.2.3.3 Dạng toán suất lao động: a/ Hướng dẫn tìm lời giải: + Tiến hành chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn: + Đối với dạng tốn thơng thường khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Các đại lượng Thời gian thực Khối lượng cơng Năng suất tồn cơng việc Các trường hợp việc Đội Trường hợp Đội Đội Trường hợp Đội b/ Bài toán minh hoạ: (Bài Ơn tập mơn Tốn lớp 9/T50- Bùi Văn Tuyên) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm thời gian định Do cải tiến kỹ thuật nên thực suất tổ vượt suất dự định 15 sản phẩm/ngày, tổ hồn thành công việc sớm Trang 16 ngày mà làm thêm 15 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch ngày tổ phải làm sản phẩm ? * Hướng dẫn giải: + Chọn ẩn: x số sản phẩm phải làm ngày theo kế hoạch (x < 120, x ∈ N* ) + Lập mối liên hệ ẩn theo bảng sau: Đại lượng Năng suất cơng việc Tồn sản Thời gian thực Các trường hợp (Số sp/ngày) phẩm 120 Kế hoạch x 120 x 135 Thực tế x + 15 120+15=135 x + 15 120 135 Phương trình lập được: = +1 x x + 15 * Giải: Gọi số sản phẩm ngày tổ phải làm theo kế hoạch là: x (sản phẩm) (x < 120, x ∈ N* ) Thực tế ngày tổ làm được: x + 15 (sản phẩm) 120 Thời gian làm theo kế hoạch là: (ngày) x Số sản phẩm thực tế làm là: 120 + 15 = 135 (sản phẩm) 135 Thời gian thực tế làm số sản phẩm là: (ngày) x + 15 Theo ta có phương trình: 120 135 = +1 ⇔ x + 30x − 1800 = x x + 15 Giải phương trình: Δ' = 225 + 1800 = 2025 >0; Δ' = 2025 = 45 Nên phương trình có hai nghiệm: −15 + 45 −15 − 45 x1 = = 30 (TMĐK); x = = −60 (loại) 1 Vậy số sản phẩm ngày tổ phải làm theo kế hoạch 30 sản phẩm 2.2.3.4 Dạng toán liên quan tới số học: a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Những lưu ý giải tâp: + Viết chữ số tự nhiên cho dạng lũy thừa 10: a n a n −1 a1a = 10n a n + 10n −1 a n −1 + + 101 a + 100 a + Số phương: Nếu a số phương a = b2 ( b ∈ N ) b/ Bài toán minh hoạ: Trang 17 Bài tốn 1: (Ví dụ SGK Tốn 9/Trang 20) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị, viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại số (có hai chữ số) bé số cũ 27 đơn vị * Hướng dẫn giải: - Bài tốn tìm số có hai chữ số thực chất tốn tìm hai chữ số (chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị) - Biểu diễn số có hai chữ số dạng: ab = 10a + b - Biết chữ số hàng chục tìm chữ số hàng đơn vị - Khi đổi chỗ hai chữ số cho ta số ba , tìm mối liên hệ số số cũ Chú ý điều kiện chữ số * Giải: Gọi chữ số hàng chục số phải tìm là: a (0 < a ≤ 9, a ∈ N ), chữ số hàng đơn vị là: b ( < b ≤ 9, b∈ N ) Số phải tìm có dạng: ab = 10a + b Sau đổi chỗ hai chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho ta số là: ba = 10b + a Theo ra, hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị nên ta có: 2b – a = –a + 2b = (1) Mặt khác, số bé số cho 27 đơn vị, nên ta có: (2) ab − ba = 27 ⇔ 9a − 9b = 27 ⇔ a − b = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: −a + 2b = a = ⇔  a − b =  b = Ta thấy a = (TMĐK) b = (TMĐK) Vậy chữ số hàng chục 7, chữ số hàng đơn vị Do số phải tìm 74 Bài tốn 2: (Bài 45 SGK Tốn 9/Trang 59) Tích hai số tự nhiên liên tiếp tổng chúng 109 Tìm hai số đó? *Hướng dẫn giải : - Hai số tự nhiên liên tiếp đơn vị - Gọi số thứ x, tìm mối liên hệ số thứ số thứ hai - Chú ý điều kiện số * Giải: Gọi số thứ là: x ( x > 0, x∈ N ) Số tự nhiên thứ hai là: x +1 Tích hai số là: x(x+1) = x2 + x Trang 18 Tổng chúng là: x + (x+1) = 2x + Vì tích chúng lớn tổng chúng 109 nên ta có phương trình: x2 + x – (2x + 1) =109 ⇔ x − x − 110 = Giải phương trình: Δ = + 440 = 441 > ; Δ = 441 = 21 Nên phương trình có hai nghiệm: + 21 − 21 x1 = = 11 (TMĐK), x1 = = −10 (loại) 2 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm là: 11 12 2.2.3.5 Dạng tốn liên quan đến hình học a/ Hướng dẫn tìm lời giải: + Chọn ẩn điều kiện cho ẩn + Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua bảng sau: Đại lượng Đại lượng Đại lượng Mối liên hệ đại lượng Các trường hợp (Các đối tượng) Ban đầu Về sau b/ Bài toán minh hoạ: Bài toán 1: (Câu Đề KT HKII - Năm học: 2014 - 2015 Sở GD&ĐT Quảng Bình) Tìm chiều dài hình chữ nhật? Biết độ dài đường chéo hình chữ nhật 10 cm chiều dài chiều rộng cm * Hướng dẫn học sinh giải: - Cần cho học sinh hiểu độ dài đường chéo hình chữ nhật cạnh huyền tam giác vng có hai cạnh góc vng chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật - Nhắc lại định lý Py – ta – go ? - Tìm mối liên hệ chiều dài, chiều rộng đường chéo hình chữ nhật để lập phương trình + Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m), 2< x < 10 + Chiều rộng hình chữ nhật gì? + Tìm mối liên hệ để lập phương trình? * Giải: Gọi độ lớn chiều dài hình chữ nhật x (cm, 2< x 0; ∆ ' = 49 = Nên phương trình có hai nghiệm: 1+ = (TMĐK ); x2 = (Không TMĐK) x1 = Vậy chiều dài hình chữ nhật cm Bài toán 2: (Bài 31 SGK Tốn 9/Trang 23) Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông, biết tăng cạnh lên cm diện tích tam giác tăng thêm 36 cm 2, cạnh giảm 2cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác giảm 26 cm2 *Hướng dẫn học sinh giải: - Nếu gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng x, y (cm), x > 2; y > - Diện tích tam giác vng ban đầu? - Nếu cạnh tăng thêm 3cm diện tích tam giác lúc nào? - Nếu cạnh giảm 2cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác lúc nào? - Tìm mối liên hệ đại lượng để lập phương trình Đại lượng Cạnh góc vng Cạnh góc Diện tích thứ vuông thứ hai Các trường hợp xy Ban đầu x y Thay đổi x+3 y+3 (x + 3)(y + 3) Thay đổi x–2 y–4 (x − 2)(y − 4) 1 (x + 3)(y + 3) = xy + 36  2 Hệ phương trình lập được:   (x − 2)(y − 4) = xy − 26  2 * Giải: Gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: x, y (cm), ( x> 2; y > 4) xy Diện tích tam giác vng ban đầu là: (cm2) Trang 20 Nếu cạnh tăng thêm cm diện tích tam giác vng là: (x + 3)(y + 3) (cm2) Vì cạnh tăng thêm cm diện tích tam giác tăng thêm 36 cm nên ta 1 (x + 3)(y + 3) = xy + 36 (1) 2 Nếu cạnh giảm 2cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác vng có phương trình: (x − 2)(y − 4) (cm2) Vì cạnh giảm 2cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác lúc là: 1 (x − 2)(y − 4) = xy − 26 (2) 2 1 (x + 3)(y + 3) = xy + 36  2 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  (I) 1  (x − 2)(y − 4) = xy − 26  2 giảm 26 cm2 nên ta có phương trình:  xy + 3x + 3y + = xy + 72 Giải hệ phương trình (I): (I) ⇔   xy − 4x − 2y + = xy − 52  x + y = 21 x =9 ⇔ ⇔ 2x + y = 30  y = 12 Với x = (TMĐK) y = 12 (TMĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng 9cm 12 cm 2.2.3.6 Dạng tốn có nội dung vật lý, hố học: a/ Hướng dẫn tìm lời giải: + Chọn ẩn điều kiện cho ẩn + Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thơng qua bảng sau: Đại lượng Các trường hợp (Các đối tượng) Đại lượng Đại lượng Mối liên hệ đại lượng b/ Bài toán minh hoạ: Bài toán 1: (Bài 50 SGK Toán 9/Trang 59) Miếng kim loại thứ nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10 cm 3, khối lượng Trang 21 riêng miếng thứ lớn khối lượng riêng miếng thứ hai 1g/cm Tìm khối lượng riêng miếng kim loại? * Hướng dẫn giải: - Giáo viên cần cho học sinh nhắc lại công thức liên hệ đại lượng m, D, V? + Gọi khối lượng riêng miếng kim loại thứ là: x (g/cm3), x > Đại lượng Khối lượng riêng D (g/cm3) Khối lượng m (g) Kim loại I x 880 Kim loại II x -1 858 Các trường hợp Phương trình lập : 858 880 − = 10 x −1 x Thể tích V (cm3) 880 x 858 x −1 * Giải: Gọi khối lượng riêng miếng kim loại thứ là: x (g/cm3), x > Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai là: x – (g/cm3) 880 Thể tích miếng kim loại thứ là: (cm3) x 858 Thể tích miếng kim loại thứ hai là: (cm3) x −1 Theo ra, ta có phương trình: 858 880 − = 10 (1) x −1 x Giải phương trình: (1) ⇔ 10x(x − 1) = 858x − 880x + 880 ⇔ 5x + 6x − 440 = Δ' = + 2200 = 2209 > 0; Δ' = 2209 = 47 Nên phương trình có hai nghiệm: −3 + 47 −3 − 47 x1 = = 8,8 (TMĐK); x = = −10 (không TMĐK) 5 Vậy khối lượng riêng miếng kim loại thứ là: 8,8 (g/cm3) Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai là: 7,8 (g/cm3) Bài toán 2: (Bài 51 SGK Toán 9/Trang 59) Người ta đổ thêm 200g nước vào dung dịch chứa 40g muối nồng độ dung dịch giảm 10% Hỏi trước đổ thêm nước dung dịch chứa nước? * Hướng dẫn giải: Trang 22 - Giáo viên cần cho học sinh nhắc lại công thức liên hệ đại lượng nồng độ dung dịch, trọng lượng dung dịch? m ct Cơng thức tính nồng độ %: C% = m 100% dd mdd = mdm + mct Hoặc mdd = Vdd (ml) D(g/ml) Trong đó: mct khối lượng chất tan (đơn vị: g) mdm khối lượng dung môi (đơn vị: g) mdd khối lượng dung dịch (đơn vị: g) V thể tích dung dịch (đơn vị: l ml) D khối lượng riêng dung dịch (đơn vị: g/ml) C% nồng độ % chất dung dịch (đơn vị: %) + Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước là: x (g) , x > Đại lượng Khối lượng Khối lượng Nồng độ dung dịch chất tan dung dịch Các trường hợp (g) (g) (%) 40 Ban đầu x+40 40 x + 40 40 Về sau x + 40 + 200 40 x + 240 40 40 10 − = Phương trình lập được: x + 40 x + 240 100 * Giải: Gọi khối lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước là: x (g) , x > 40 Nồng độ muối dung dịch là: (%) x + 40 Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là: x + 40 + 200 = x + 240 (g) 40 Nồng độ dung dịch là: (%) x + 240 Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình: 40 40 10 − = (1) x + 40 x + 240 100 Giải phương trình : (1) ⇔ (x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 − x − 40) ⇔ x + 280x − 70400 = Δ' = 19600 + 70400 = 90000 > 0; Nên phương trình có hai nghiệm: Trang 23 Δ' = 90000 = 300 −140 + 300 −140 − 300 = 160 (TMĐK); x = = −440 (không TMĐK) 1 Vậy trước đổ thêm nước, dung dịch có 160g nước *Trên số dạng toán “giải toán cách lập phương trình – hệ phương trình” thường gặp trương trình Đại số Mỗi dạng tốn tơi chọn số tốn mang tính điển hình để giới thiệu cách phân loại phương pháp giải dạng tốn để học sinh nhận dạng toán thuộc dạng tốn từ mà có cách giải hợp lý nhanh, xác x1 = 2.2.4 Chọn phương pháp giảng dạy phù hợp đối tượng học sinh để giúp em nắm phương pháp giải tập Trong q trình giảng dạy thân tơi đúc rút kinh nghiệm từ thân đồng nghiệp Đồng thời nghiên cứu thêm sách tham khảo, phân loại dạng tập trình hướng dẫn học sinh giải tập thấy học sinh dễ hiểu hơn, kỹ giải tập học sinh thành thạo hơn, đem lại hứng thú, đam mê học tập Học sinh có hứng thú ham thích học mơn Tốn khơng cịn ngại giải toán cách lập phương trình – hệ phương trình Tuy nhiên trình dạy học nhận thấy tập tuỳ theo dạng tập học sinh nhận thức nhanh hay chậm, tuỳ thuộc mức độ từ tơi phân loại học sinh theo mức độ nhận thức để đưa dạng tập khác phù hợp với đối tượng học sinh 2.2.5 Bồi dưỡng học sinh khả phân dạng tập để em tự đưa phương pháp giải phù hợp Thật vậy, để có cách nhìn tổng qt loại này, giáo viên phải chịu khó đầu tư trí tuệ, thời gian để tìm tịi, phát tập xếp chúng vào nhóm dạng theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp, tuyệt đối không nên bỏ qua dạng chưa làm quen chắn học sinh lúng túng gặp phải * Đưa định hướng làm phù hợp dạng bài: Sau có dạng bản, giáo viên nhận xét, phân tích dạng đưa cách giải phù hợp Nếu có nhiều cách giải cho dạng tốt Tuy nhiên, giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh biết chọn lọc đưa cách giải đơn giản nhất, tránh phức tạp hoá vấn đề * Hướng dẫn học sinh làm bài: Khi đưa dạng tập Giáo viên không nên tự đưa cách làm tổng quát yêu cầu học sinh đọc thuộc làm theo mà tất bước làm giáo viên phải học sinh xây dựng nên, cách làm phải xuất phát từ kiến thức, suy luận học sinh để học sinh tin tưởng vào cách làm dễ ghi nhớ Trang 24 Sau xây dựng cách làm, giáo viên cần cho học sinh làm tập áp dụng Khi có đầy đủ dạng bài, lần học sinh tiếp cận với loại tập giáo viên yêu cầu học sinh xác định xem chúng thuộc dạng nhắc lại cách làm cho học sinh tiến hành làm KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Chuyên đề thực học kì II năm học 2016 - 2017 Tiến hành dạy tiết thực nghiệm lớp tiết lý thuyết, tiết luyện tập Sau tiến hành dạy thực nghiệm lớp 9A, 9B – đơn vị công tác, tổ chức cho học sinh làm kiểm tra (cũng với nội dung kiến thức tương đương với trước dạy chuyên đề), thu kết sau: Lớp 9A 9B Số KT 35 35 Giỏi SL % 20,0 14,3 Khá SL % 20,0 22,9 T Bình SL % 14 40,0 14 40,0 Yếu SL % 20,0 22,9 Kém SL % 0 0 Qua kết kiểm tra so với lúc đầu thấy chất lượng tăng lên đáng kể: tỉ lệ học sinh giỏi cao, giảm tỉ lệ học sinh yếu, khơng có học sinh Học sinh có nề nếp, tích cực hoạt động học tập, số học sinh yếu lúc đầu lơ là, thụ động việc tìm kiến thức thường ỷ lại học sinh khá, giỏi lớp Sau tham gia góp sức vào kết học tập lớp, qua em tự tin khơng mặc cảm yếu bạn, mạnh dạn phát biểu xây dựng - Học sinh hiểu sâu nội dung kiến thức - Lớp hoạt động sơi nổi, thầy trị có hoạt động nhịp nhàng, thầy tổ chức hình thức hoạt động, trị thực cách tích cực - Kỹ làm trình bày học sinh lơgíc có khoa học - Học sinh tự tin có hứng thú mơn học, chất lượng tập tốt - Các em yêu thích học mơn Tốn hơn, tiết học sơi hiệu Mỗi tiết học nhẹ nhàng, thoải mái Trang 25 PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa sáng kiến: Qua trình nghiên cứu đề tài phương pháp giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình chương trình Tốn tơi hệ thống hóa lại kiến thức phần nhằm giúp cho học sinh nắm vững kiến thức tiết dạy khóa ngoại khóa Đồng thời phân loại, đưa phương pháp giải cụ thể số tập thông dụng, tạo điều kiện cho học sinh học tập tốt mơn Từ học sinh có thái độ tích cực học tập Khi giải tốn cách lập phương trình tất phải dựa vào quy tắc chung: Đó bước giải tốn cách lập phương trình Cụ thể sau: * Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình): - Chọn ẩn số (đơn vị) đặt điều kiện cho ẩn; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng * Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) * Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình (hệ phương trình) nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Để nâng cao chất lượng môn, bên cạnh phối kết hợp nhiều phương pháp giảng dạy tích cực, tăng cường hiệu việc sử dụng thiết bị dạy học đại việc phân dạng đưa phương pháp giải tập cụ thể quan trọng Muốn thực tốt biện pháp giáo viên cần phải: Nghiên cứu kĩ nội dung dạy, chịu khó đầu tư trí tuệ để xếp tập theo dạng cách hợp lý, tuyệt đối không bỏ qua dạng để học sinh làm tập theo hệ thống Đưa phương pháp giải phù hợp dễ hiểu dạng bài, với đối tượng học sinh, tránh việc phức tạp hóa vấn đề làm cho học sinh thêm khó hiểu Nắm bắt lực học học sinh để có phương pháp giảng dạy phù hợp, phát huy khả tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên phải người hoạch định, biết cách định hướng cách giải tập cho học sinh lớp nhà Phải tìm cách tạo bầu khơng khí học tập thân thiện, hứng khởi, tinh thần cởi mở, đoàn kết, thi đua lành mạnh, biết khơi dậy nhu cầu học hỏi, hiểu biết học sinh đánh thức khả tiềm ẩn học sinh Cần tổ chức cho em tự lực giải tập dựa vào phương pháp phân dạng tập để giải Trang 26 Thường xuyên kiểm tra, nhắc nhở, cho tập để học sinh vận dụng kiến thức học vào việc rèn luyện phương pháp giải tập Giáo viên chủ động, sáng tạo, khoa học, nhiệt tình tâm huyết với nghề nghiệp mà chọn Học sinh phải có ý thức học tập, tự học, tự tìm tịi khám phá kiến thức mới, khơng ỷ lại vào thầy cô Học sinh cần trang bị đầy đủ đồ dùng học tập phù hợp với đặc trưng mơn Tốn Học sinh phải thường xuyên học cũ làm tập nhà Thành lập “Đôi bạn tiến” để em giúp nhau, thi đua học tập tạo khơng khí học tập sơi đầy hiệu 3.2 Kiến nghị, đề xuất: Để thực mục tiêu môn, thân phải cố gắng học hỏi, trao đổi kinh nghiệm, tự tìm tài liệu để nghiên cứu, song hạn chế định Để đề tài thực đem lại kết tơi xin có số kiến nghị sau: - Đối với Ban giám hiệu nhà trường: + Tăng cường mua bổ sung số tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao phương pháp giải toán cách lập phương trình - hệ phương trình để phục vụ tốt công tác giảng dạy + Cần tổ chức buổi ngoại khóa, câu lạc Tốn học tạo sân chơi cho em vừa kích thích tính tự giác chủ động sáng tạo học sinh vừa giúp em nắm bắt kiến thức sâu + Tạo điều kiện thuận lợi để giáo viên tự tích lũy chun mơn nghiệp vụ qua tiết dự giờ, thao giảng, ngoại khóa,… - Đối với Hội đồng mơn phịng giáo dục: + Mở thêm lớp tập huấn chuyên môn nghiệp vụ để tạo điều kiện cho giáo viên tiếp cận phương pháp giảng dạy nhanh hiệu + Tăng cường triển khai buổi sinh hoạt chuyên môn liên trường để giáo viên có hội giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau, tạo điều kiện để giáo viên tham dự tiết dạy học theo chuyên đề toàn huyện Trên số kinh nghiệm thân tơi q trình giảng dạy Tuy nhiên điều kiện thời gian kinh nghiệm thân chưa nhiều khơng tránh khỏi vài khiếm khuyết Vì vậy, kính mong hội đồng khoa học mơn bạn đồng nghiệp góp ý, giúp đỡ thêm để sáng kiến kinh nghiệm ngày có tính khả thi góp phần vào việc đẩy mạnh giảng dạy mơn Tốn học trung học sở - đáp ứng yêu cầu chất lượng dạy học thời kì Trang 27 ... cầu giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình Khi giải tốn cách lập phương trình tất phải dựa vào quy tắc chung: Đó bước giải tốn cách lập phương trình Cụ thể sau: * Bước 1: Lập phương trình. .. nghiệm ? ?Phương pháp giải toán cách lập phương trình – hệ phương trình Tốn 9? ??, tơi tiến hành khảo sát lớp 9A, 9B Trường THCS nơi thân công tác năm học 2015 – 2016 dạng giải toán cách lập phương trình. .. nghiệm thân ? ?Phương pháp giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình Tốn 9? ?? 1.2 Điểm đề tài: - Trong sáng kiến kinh nghiệm trọng đến phần kỹ giải tốn cách lập phương trình - hệ phương trình Một