SKKN một số kinh nghiệm giảng dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Giải pháp : Từ khó khăn học sinh yếu tố khách quan khác, tơi cố gắng tìm giải pháp khắc phục nhằm đạt hiệu cao cơng tác Nắm bắt tình hình học sinh ngại khó giải tốn cách lập phương trình nên tơi đưa dạng tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tượng Các tập dạng từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi sáng tạo học sinh Bên cạnh tơi thường xun hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến em Cho học sinh làm việc cá nhân phải tham gia trao đổi nhóm cần thiết Tơi u cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với thân tập thể Mặc dù khả nhận thức suy luận học sinh lớp chưa đồng giải tốn cách lập phương trình tất phải dựa vào quy tắc chung: Đó bước giải tốn cách lập phương trình Cụ thể sau : * Bước 1: Lập phương trình (gồm cơng việc sau): - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) đặt điều kiện cho ẩn; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng * Bước 2: Giải phương trình:Tuỳ phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn phù hợp * Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận) Trang Lưu ý: Trước thực bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng tốn dạng tốn nào, sau tóm tắt đề giải Bước có tính chất định Thường đầu hỏi số liệu ta đặt ẩn số Xác định đơn vị điều kiện ẩn phải phù hợp với thực tế sống Tuy có quy tắc người giáo viên trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực theo yêu cầu sau : * Yêu cầu : Lời giải khơng phạm sai lầm khơng có sai sót nhỏ Để học sinh không mắc phải sai lầm người giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề tốn Do trước giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài, đọc lại đề nhiều lần, câu, chữ đề để nắm đề cho gì, u cầu tìm Từ giúp học sinh hiểu kỹ đề tốn q trình giảng giải khơng có sai sót nhỏ khơng phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đề tiền đề quan trọng việc giải tập toán Nó giúp học sinh nhiều việc chọn ẩn, đặt điều kiện ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ tính tốn, … Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn đối chiều với điều kiện ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót kết luận tốn Ví dụ : Bài tập 34 SGK tốn tập - trang 25 Mẫu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị phân số Tìm phân số ban đầu ? Giải : Gọi tử số phân số ban đầu x ( điều kiện x > 0, x ∈ N) Mẫu số phân số ban đầu x + Phân số ban đầu Phân số x x+3 x+2 x+2 = x +3+ x +5 Trang Theo ta có phương trình: x+2 = x+5 ⇔ (x+2) = x +5 ⇔ 2x +4 = x +5 ⇔ 2x - x = - ⇔ x =1 Vậy : Phân số ban đầu là: (Sau tìm x = 1, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện, x=1 thoả mãn điều kiện toán nên tử số 1, mẫu số 1+3 = 4) * Yêu cầu : Lời giải phải có xác Khi giải tốn cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận phải có phải xác, khoa học Vì câu lập luận giải liên quan đến ẩn số kiện cho đề tốn Do giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu đâu ẩn số, đâu kiện cho toán, để từ dựa vào yếu tố mối liên quan đại lượng cho ẩn số để lập luận lập nên phương trình Vì thế, trước hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập phương pháp biểu diễn tương quan đại lượng biểu thức chứa ẩn, ẩn số đại diện cho đại lượng chưa biết Học sinh sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngồi giấy nháp) để biểu diễn đại lượng chưa biết biểu thức ẩn với quan hệ chúng Ví dụ : Bài tốn SGK tốn tập - trang 27 Một xe máy khởi hành từ Hà Nội Nam Định với vận tốc 35 km/h Sau 24 phút, tuyến đường đó, ô tô xuất phát từ Nam Định Hà Nội với vận tốc Trang 45 km/h Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90 km Hỏi sau bao lâu, kể từ xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau? Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tốn : Hai đối tượng tham gia vào tốn tơ xe máy, đại lượng liên quan vận tốc (đã biết), thời gian quãng đường (chưa biết) Đối với đối tượng, đại lượng quan hệ với theo công thức s = v.t Nếu chọn đại lượng chưa biết làm ẩn, chẳng hạn, gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp x giờ, ta lập bảng để biểu diễn đại lượng toán sau (trước hết đổi 24 phút thành giờ) : Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) 35 x 35x Xe máy Ơ tơ 45 x- 45(x - ) Hai xe (đi ngược chiều) gặp nghĩa đến lúc tổng quãng đường hai xe quãng đường Nam Định - Hà Nội Do phương trình lập : 35x + 45(x - ) = 90 Lời giải : - Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp x (h) Điều kiện thích hợp x x > - Trong thời gian đó, xe máy quãng đường 35x (km) Trang Vì tơ xuất phát sau xe máy 24 phút (tức - (h) quãng đường 45(x - 5 giờ) nên ô tô thời gian x ) (km) Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng quãng đường Nam Định - Hà Nội (dài 90 km) nên ta có phương trình 35x + 45(x ⇔ ⇔ ) = 90 35x + 45x - 18 = 90 80x x ⇔ = 108 = 108 27 = 80 20 - Giá trị phù hợp với điều kiện ẩn Vậy thời gian để hai xe gặp 27 20 giờ, tức 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành Trong ví dụ trên, chọn ẩn số theo cách khác : Gọi x (km) quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp hai xe Vận tốc (km/h) Quãng đường (km) Thời gian (h) Xe máy 35 x x 35 Ơ tơ 45 90 - x 90 − x 45 Khi phương trình lập x 90 − x − = 35 45 Qua ta thấy chọn ẩn quãng đường phương trình khó giải so với chọn ẩn thời gian Do giải cần ý đến việc chọn ẩn Trang * Yêu cầu : Lời giải phải đầy đủ mang tính tồn diện Giáo viên giảng dạy cho học sinh giải loại tốn cần phải ý đến tính tồn diện giải Nghĩa lời giải tốn phải đầy đủ, xác, khơng thừa khơng thiếu Phải sử dụng hết tất kiện đề bài, khơng bỏ sót kiện, chi tiết dù nhỏ Và sử dụng hết tất kiện tốn, lập phương trình, giải tìm kết cuối em phải ý đối chiếu kết với điều kiện ẩn thử lại kết để trả lời, kết luận tốn cho xác Có thể tính đầy đủ tồn diện Ví dụ : Bài tập 48 sách tập toán tập 2- trang 11 Thùng thứ chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo Người ta lấy từ thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp ba lần số gói kẹo lấy từ thùng thứ Hỏi có gói kẹo lấy từ thùng thứ nhất, biết số gói kẹo lại thùng thứ nhiều gấp hai lần số gói kẹo lại thùng thứ hai ? Giải Gọi số kẹo lấy từ thùng thứ x (gói, x nguyên dương, x < 60) Số kẹo lấy từ thùng thứ hai 3x (gói) Số gói kẹo lại thùng thứ : 60 - x (gói) Số gói kẹo lại thùng thứ hai : 80 - 3x (gói) Số gói kẹo lại thùng thứ nhiều gấp hai lần số gói kẹo lại thùng thứ hai, nên ta có phương trình : 60 - x = (80-3x) ⇔ 60 -x = 160 - 6x ⇔ ⇔ 5x = 100 x = 20 (thỏa mãn điều kiện) Trả lời : Số gói kẹo lấy thừ thùng thứ 20 gói Trang * Yêu cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản Bài giải phải đảm bảo yêu cầu khơng sai sót, có lập luận, mang tính tồn diện phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu làm Ví dụ: Bài tốn cổ SGK tốn tập - trang 24 Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó? Hướng dẫn : Với toán giải sau: Gọi số gà x (0 B t2 = 30 phút = 2,5 v2 lớn v1 20km/h (v2 – v1 = 20) Tính quãng đường AB=? - Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy) - Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian - Các số liệu biết: + Thời gian xe máy : 30’ + Thời gian ô tô :2 30’ + Hiệu hai vận tốc : 20 km/h - Số liệu chưa biết: vxe máy? vôtô? sAB ? Cần lưu ý : Hai chuyển động quãng đường không đổi Quan hệ đại lượng s, v, t biểu diễn công thức: s = v.t Như tốn có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên chọn x (km) chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết Vận tốc xe máy : Vận tốc ôtô : x 3,5 x 2,5 (km/h) (km/h) Dựa vào mối liên hệ đại lượng(v2 – v1 = 20) x x = 20 2,5 3,5 Trang 12 - Giải phương trình ta x = 175 Giá trị x phù hợp với điều kiện Vậy ta trả lời chiều dài đoạn AB 175km Sau giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy : Như ta phân tích tốn có vận tốc xe chưa biết, nên việc chọn quãng đường ẩn, ta chọn vận tốc xe máy vận tốc ôtô ẩn - Nếu gọi vận tốc xe máy x (km/h) : x > Thì vận tốc ơtơ x + 20 (km/h) - Vì qng đường AB khơng đổi nên biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy ơtơ đi) - Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) Giải phương trình ta được: x = 50 Đến học sinh dễ mắc sai lầm dừng lại trả lời kết toán : Vận tốc xe máy 50 km/h Do cần khắc sâu cho em thấy tốn u cầu tìm qng đường nên có vận tốc phải tìm qng đường - Trong bước chọn kết thích hợp trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện ẩn, yêu cầu đề Chẳng hạn toán trên, ẩn chọn vận tốc xe máy, sau tìm tích 50, khơng thể trả lời toán vận tốc xe máy 50 km/h, mà phải trả lời chiều dài đoạn đường AB mà đề đòi hỏi Tóm lại : Khi giảng dạng tốn chuyển động, có nhiều đại lượng chưa biết, nên bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn đại lượng chưa biết làm ẩn Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng tốn u cầu cần phải tìm ẩn Nhằm tránh thiếu sót trả lời kết Song thực tế ta chọn trực tiếp đại lượng phải tìm ẩn mà phải chọn đại lượng trung gian ẩn - Cần ý điều gọi vận tốc ơtơ x (km/h) điều kiện x>0 chưa đủ mà phải x > 20 dựa vào thực tế tốn vận tốc ơtơ lớn vận tốc xe máy 20 (km/h) * Dạng : Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng Trang 13 - Bài tốn : Hai đội cơng nhân sửa mương hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc làm đội phần việc đội làm Nếu làm mình, đội sửa xong mương ngày? - Hướng dẫn giải: + Trong ta coi tồn cơng việc đơn vị công việc biểu thị số + Số phần công việc ngày nhân với số ngày làm - Lời giải: Gọi số ngày đội phải làm để sửa xong mương x ( ngày) Điều kiện x > Trong ngày đội làm công việc 1 = Trong ngày đội làm x x (công việc ) Trong ngày hai đội làm 24 công việc Theo ta có phương trình: + = x x 24 ⇔ 24 + 36 = x ⇔ x = 60 thoả mãn điều kiện Vậy, thời gian đội làm sửa xong mương 60 ngày = Mỗi ngày đội làm 2.60 40 công việc Để sửa xong mương đội làm 40 ngày Trang 14 Chú ý: Ở loại toán , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước Từ lập phương trình giải phương trình * Dạng : Dạng tốn suất lao động Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ cơng nhân xí nghiệp dệt 800 thảm len Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ vượt mức 20% nên hai tổ dệt 945 thảm len Tính xem tháng thứ hai tổ dệt thảm len Hướng dẫn : Trong toán số thảm len hai tổ dệt trang tháng đầu tháng thứ hai biết Số thảm len tổ dệt tháng đầu, tháng thứ hai chưa biết Ta chọn x số thảm len mà tổ I dệt tháng đầu Theo mối quan hệ đại lượng đề ta có bảng sau : Số thảm len Tổ I Tổ II Cả hai tổ Tháng đầu x 800 - x 800 Tháng thứ hai 115 x 100 120( 800 − x ) 100 945 Cơ sở để lập phương trình tổng số thảm len hai tổ dệt tháng thứ hai 945 Giải : Gọi số thảm len tổ I dệt tháng đầu x (x ∈ Z+, x < 800) Trong tháng đầu hai tổ dệt 800 thảm len nên số thảm len tổ II dệt tháng đầu (800 - x) x+ Tháng thứ hai tổ I dệt 15 115 x x= 100 100 (800 − x) + Tháng thứ hai tổ II dệt (tấm thảm) 20 120(800 − x) (800 − x) = 100 100 (tấm thảm) Theo đề tháng hai hai tổ dệt 945 thảm nên ta có phương trình : Trang 15 115 x 120(800 − x) + = 945 100 100 Giải phương trình, tìm x = 300 (thỏa mãn điều kiện) Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt được 120.( 800 − 300) = 600 100 115 300 = 345 100 (tấm thảm len), tổ II dệt (tấm thảm len) Chú ý : Bài toán yêu cầu tìm số thảm len tổ I, tổ II dệt tháng thứ hai, cách giải ta không chọn đại lượng làm ẩn mà chọn số thảm len tổ I dệt tháng đầu làm ẩn Cách chọn ẩn giúp ta lập giải phương trình cách dễ dàng hơn, từ suy đại lượng cần tìm Như vậy, giải tốn cách lập phương trình, thơng thường tốn u cầu tìm đại lượng nên chọn đại lượng làm ẩn (chọn ẩn trực tiếp) có chọn đại lượng khác làm ẩn (chọn ẩn gián tiếp) cách chọn ẩn giúp ta giải toán cách thuận lợi * Dạng : Dạng tốn tỉ lệ chia phần Ví dụ : Hai đội công nhân tham gia lao động công trường xây dựng Số người đội I gấp hai lần số người đội II Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II số người đội II số người lại đội I Hỏi lúc đầu đội có người? Giải : Gọi số người đội II lúc đầu x ĐK : x nguyên dương Số người đội I lúc đầu 2x Sau chuyển 10 người từ đội I sang đội II số người lại đội I 2x 10 (người), số người đội II x + 10 (người) Trang 16 Theo đề số người đội II số người đội I nên ta có phương trình : x + 10 = (2x - 10) Giải phương trình, tìm x = 30 (thỏa mãn điều kiện) Trả lời : Lúc đầu đội I có 60 người, đội II có 30 người * Dạng : Dạng tốn có liên quan hình học Ví dụ : Lan có miếng bìa hình tam giác ABC B vng A, cạnh AB = 3cm Lan tính cắt từ miếng cm bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm hình bên hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích cm miếng bìa ban đầu Tính độ dài cạnh AC A C tam giác ABC Giải : Gọi x độ dài cạnh AC (x ∈ Z+, cm) B 3x (cm2) Diện tích hình chữ nhật ADEG rộng hình chữ nhật 3x :2 = 3x 3x cm2 cm Diện tích tam giác ABC E D cm A G chiều C cm Diện tích hình chữ nhật tổng diện tích hai tam giác BDE CEG ta có phương trình : SADGE = SBDE + SCEG  3x  3x x = 2 −  + ( x − 2)   Trang 17 ⇔ x 3x − +3=0 16 2 ⇔ x  3 − 1 = 4  ⇔ x=4 Vậy : Cạnh AC tam giác ABC có độ dài 4cm * Dạng : Dạng tốn có nội dung vật lý, hóa học Để lập phương trình, ta phải dựa vào cơng thức, định luật vật lý, hóa học liên quan đến đại lượng có đề tốn Ví dụ : Biết 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm gam nước vào dung dịch để dung dịch chứa 20% muối? Giải : Gọi x lượng nước cần pha thêm vào dung dịch cho (x > 0, g) Khi lượng dung dịch nước 200 + x Nồng độ dung dịch 50 200 + x Theo đề ta có phương trình : 50 20 = 200 + x 100 ⇔ 20(150 + x) = 5000 ⇔ x = 100 Vậy : Lượng nước cần pha thêm 100 g * Dạng : Dạng tốn có chứa tham số Ví dụ : Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a% (a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vống cho tháng sau Trang 18 a Hãy viết biểu thức biểu thị : + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; + Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai b Nếu lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) sau tháng tổng số tiền lãi 48,288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gửi tiền tiết kiệm? Giải : a Số tiền lãi sau tháng gửi với lãi suất a% với tiền gửi x nghìn đồng ax Số tiền có (cả gốc lẫn lãi) sau tháng thứ : x + ax = x (1 + a) nghìn đồng Số tiền lại sau hai tháng : L = ax + ax(1+a) = x(a2 + 2a) b Thay a = 1,2% L = 48,288 ta : 24   144 x +  = 48,288  1000000 1000  nghìn đồng ⇒ x = 2000000 đồng Trên dạng tốn thường gặp chương trình tốn Mỗi dạng tốn có đặc điểm khác chia thành dạng nhỏ dạng Tuy nhiên, dạng lấy ví dụ điển hình để giới thiệu, hướng dẫn cụ thể cách giải, giúp học sinh có kỹ lập phương trình tốn Trang 19 ... trọng thực giải tốn cách lập phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngoài việc nhắc nhở học sinh nắm vững bước giải toán cách lập phương trình, nắm vững yêu cầu đặt việc giải toán, học... viết số hệ thập phân - Mối quan hệ chữ số, vị trí chữ số số cần tìm…; điều kiện chữ số Ví dụ : Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số. .. kiện toán nên tử số 1, mẫu số 1+3 = 4) * Yêu cầu : Lời giải phải có xác Khi giải tốn cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận phải có phải xác, khoa học Vì câu lập luận giải