SKKN phương pháp giải hệ phương trình

SNG KIN KINH NGHIM PHNG PHP GII H PHNG TRèNH H V TấN : V HU HI CHC V : PHể HIU TRNG N V : TRNG THCS PH C Nm hc 2013 - 2014 Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ XC NHN CA HI NG KHOA HC TRNG THCS PH C Tng im xp loi TM HI NG KHOA HC CH TCH HIU TRNG XC NHN CA HI NG KHOA HC TRNG THCS PH C Tng im xp loi TM HI NG KHOA HC CH TCH TRNG PHềNG Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ MC LC Ni dung Phn 1: Ly lich Phn 2: Ni dung A- M õu I- t võn 2- ụi tng va pham vi nghiờn cu II- Phng phap tiờn hanh 1- C s ly luõn 2- C s thc tiờn 3- Cac biờn phap c ban tiờn hanh nghiờn cu tai 3.1 Phng phap nghiờn cu 3.2 Kờ hoach nghiờn cu B- Nụi dung I- Mc tiờu tai II- Giai phap III- C s lớ thuyờt va phng phap tiờn hanh Phng phap thờ Phng phap cng Phng phap t n ph 4.Phng phap a vờ dang tớch Phng phap anh gia C Kờt lun Kờt qua tai anh gia kờt qua iờu tra anh gia chung II, Khuyờn ngh va xuõt III Kờt lun Trang 5 6 7 8 8 10 11 14 17 22 24 31 31 31 32 33 33 DANH MC NHNG CH VIT TT TRONG TI Viờt tt THCS THPT HSG PPDH HPT KX KL Viờt ỳng Trung hc c s Trung hc ph thụng Hc sinh gii Phng phap day hc Hờ phng trỡnh iờu kiờn xac nh Kờt luõn Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ PHN 1: PHN Lí LCH H va tờn tac gia: V Hu Hai Chc v: Phú hiu trng n v cụng tac: Trng THCS Phự C, huyn Phự C, tnh Hng Yờn Tờn tai: Phng phap giai h phng trỡnh PHN 2: NI DUNG A- M U I- T VN 1.Hờ phng trỡnh sụ la mang kiờn thc quan trng chng trỡnh toan THCS ,toan hc ph thụng, nú thng gp cac kỡ thi tuyn sinh vao lp 10; tuyn sinh hc, cao ng; thi hc sinh gii Mc dự hc sinh c c sat phn kha nhiờu song phn ln cac em thng lỳng tỳng qua trỡnh tỡm cach giai Nguyờn nhõn la vỡ Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ Th nht, hờ phng trỡnh la mang kiờn thc phong phỳ va khú, ũi hi ngi hc phai cú t sõu sc, cú s kờt hp nhiờu mang kiờn thc khac nhau, cú s nhỡn nhõn trờn nhiờu phng diờn Th hai, sach giao khoa trỡnh bay phn kha n gian, cac tai liờu tham khao cõp ờn phn kha nhiờu song s phõn loai cha da trờn cai gục ca bai toan nờn hc, hc sinh cha cú s liờn kờt, nh hỡnh va cha cú cai nhỡn tng quat vờ hờ phng trỡnh Th ba, a sụ hc sinh ờu hc mt cach may múc, cha cú thúi quen tng quat bai toan va tỡm bai toan xut phat, cha biờt c bai toan cac thi õu ma cú nờn ngi ch cn thay i mt chỳt la ó gõy khú khn cho cac em Sang kiờn kinh nghiờm ca tụi vờ mt hỡnh thc la khụng mi Cai mi õy chớnh la s phõn loai cú tớnh cht xuyờn suụt chng trỡnh nhng bam vao cac phng phap quen thuc, phự hp vi t ca hc sinh Thờm vao ú, vi mi bai toan ờu cú s phõn tớch lụgic, cú s tng quat va iờu c biờt la cho hc sinh tỡm cai gục ca bai toan, cac bai toan t õu ma cú, ngi ta ó tao chỳng bng cach nao Thụng qua cac viờc lam thng xuyờn nay, hc sinh ó dn dn thớch nghi mt cach rt tụt, cú t sang tao, cú nng lc lam toan va tao cac bai toan mi Hc sinh thng hiu sõu va thớch nghi hc phn tai ó c trin khai tai trng THCS Phự C va c Hi ụng khoa hc trng anh gia cao nm hc va qua rt mong c cac ban bố ụng nghiờp gúp y kiờn chnh sa tai c hoan thiờn hn ụi tng va phm vi nghiờn cu Tờn tai: Phng phap giai h phng trỡnh * tai nghiờn cu va a phng phap giai hờ phng trỡnh , phõn loai cú tớnh cht xuyờn suụt chng trỡnh nhng bam vao cac phng phap quen thuc, phự hp vi t ca hc sinh Thờm vao ú, vi mi bai toan ờu cú s phõn tớch lụgic, cú s tng quat va iờu c biờt la cho hc sinh tỡm cai gục ca bai toan, cac bai toan t õu ma cú, ngi ta ó tao chỳng bng cach nao Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ * Nghiờn cu pham vi hng dn hc sinh lp t hc ch toan hc Phng phap giai h phng trỡnh * Nghiờn cu trờn c s thc hiờn la ni dung, chng trỡnh, kờ hoach giao dc trng THCS, cac nh hng va quan im vờ MPPDH, phng phap va k thuõt day hc tớch cc, cac thy cụ giao va cac em hc sinh trng THCS Phự C II- PHNG PHP TIN HNH 1- C s ly lun 1.1 inh hng i mi PPDH mụn toỏn nh hng i mi PPDH mụn Toan giai oan hiờn ó c xac nh la: PPDH Toan nha trng cac cp phai phat huy tớnh tớch cc, t giac, ch ng ca ngi hc, hỡnh va phat trin nng lc t hc, trau dụi cac phm cht linh hoat, c lõp, sang tao ca t (Chng trỡnh GDPT mụn Toan ca B GD&T ban hanh theo quyờt nh sụ 16/2006/Q-BGD%T thang nm 2006) i mi phng phap day hc trng ph thụng c thc hiờn theo cac nh hng sau: Bam sat mc tiờu giao dc ph thụng Phự hp vi ni dung day hc c th Phự hp vi c im la tui hc sinh Phự hp vi c s võt cht, cac iờu kiờn day hc ca nha trng Phự hp vi viờc i mi kim tra, anh gia kờt qua day- hc Kờt hp gia viờc tiờp thu va s dng cú chn lc, cú hiờu qua cac phng phap day hc tiờn tiờn, hiờn vi viờc khai thac nhng yờu tụ tớch cc ca cac phng phap day hc truyờn thụng Tng cng s dng cac phng tiờn day hc va c biờt lu y ờn nhng ng dng ca cụng nghờ thụng tin (Mt sụ i mi PP day hc mụn toan THCS - Tụn Thõn - Phan Th Luyờn - ng Th Thu Thy) 1.2 Mt sụ c bn vờ dy hc tớch cc a Dy hc tớch cc la gỡ? Dy hc tớch cc la mt thuõt ng rỳt gn, c dựng nhiờu nc ch nhng phng phap giao dc, day hc theo hng phat huy tớnh tớch cc, ch ng, sang tao ca ngi hc Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ "Tớch cc" PPDH - tớch cc c dựng vi ngha la hoat ng, ch ng, trai ngha vi khụng hoat ng, th ng ch khụng dựng theo ngha trai vi tiờu cc Day tớch cc hng ti viờc hoat ng húa, tớch cc húa hoat ng nhõn thc ca ngi hc, ngha la tõp trung vao phat huy tớnh tớch cc ca ngi hc ch khụng phai la tõp trung vao phat huy tớnh tớch cc ca ngi day Hc tớch cc ch xay hc sinh c trao c hi thc hiờn cac tng tac tai chớnh mt giai oan giao dc, c ng viờn hỡnh tri thc hn la viờc nhõn tri thc t viờc gii thiờu ca giao viờn Trong mụt mụi trng hc tớch cc, giao viờn la ngi to iờu kin thun li cho vic hc ch khụng phai la ngi c chớnh ta cho hc sinh chộp! 2.Cơ sở thực tiễn Hờ phng trỡnh la mt dang toan kha ph biờn cac thi tuyn sinh H, C va thi HSG cac cp ụi vi nhiờu hc sinh, bai toan giai hờ phng trỡnh c coi la bai toan khú, thõm la cõu khú nht cu trỳc thi hc sinh gii , H, C Qua qua trỡnh giang day hc sinh ụn thi hc sinh gii tụi trc tiờp hng dn hc sinh giai hờ phng trỡnh , tụi thy cn phai rốn cho hc sinh thao cac k nng giai hờ phng trỡnh thụng thng va chỳ y ti mt sụ k nng thng ap dng giai hờ khụng mu mc Trong bai viờt tụi xin gii thiờu va trỡnh bay túm tt mt sụ phng phap giai h phng trỡnh Nm hc , ban thõn tụi c nha trng va phũng giao dc giao cho nhiờm v ao tao , bụi dng hc sinh gii toan cp huyờn , cp tnh õy la c hi tụi a tai phng phap giai h phng trỡnh va ap dng vao cụng tac bụi dng hc sinh gii Vi tt ca cac ly trờn tụi quyờt nh chn tai Cỏc bin phỏp c bn tin hanh nghiờn ca tai 3.1 Phng phỏp nghiờn cu: Phng phỏp nghiờn c lý lun Nghiờn cu mt sụ tai liờu vờ khoa hc phng phap day hc, i mi PPDH mụn toan, quan ly va ch ao ca ngi hiờu trng, cac kiờn ca ang, nhiờm v nm hc, hng dn thc hiờn kờ hoach nm hc ca cac cp xõy dng ly luõn cho tai 2.Phng phỏp nghiờn cu dy hc tớch cc Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ a) Phng phap luyờn tõp va thc hanh b) Phng phap day hc va phat hờn va giai quyờt Nhúm phng phỏp thc tin Giang day trc tiờp, d gi, quan sat, hi thao, am thoai, tng kờt kinh nghiờm rỳt bai hc vờ viờc t hc mụn Toan THCS 4.Nhúm phng phỏp h tr iờu tra thụng kờ, lõp bang biu so sanh d liờu anh gia 3.2 K hoch nghiờn cu 1/ ng ký nghiờn cu chuyờn phng phap giai h phng trỡnh vi trng THCS Phự C t u nm hc 2012-2013 2/ Thc hin nhúm phng phỏp thc tin tai trng THCS Phự C cac nm hc t nm hc 2012-2013 ờn 2013-2014 bao gụm: + iờu tra thc tiờn qua hc sinh trng THCS Phự C + T chc chuyờn cp T ụi vi T KHTN + Tng kờt, viờt tai, thụng qua Hi ụng khoa hc trng THCS Phự C B- NI DUNG I- MC TIấU TI - Nghiờn cu va phõn loai vờ phng phap giai hờ phng trỡnh - Xõy dng hờ thụng bai tõp vờ hờ phng trỡnh vi cac cach giai phự hp cho tng dang toan - Thc nghiờm viờc s dng cac phng phap giai bai tõp hờ phng trỡnh giang day - xut mt sụ bai hc kinh nghiờm qua trỡnh nghiờn cu II- GII PHP TI Trong trình thực đề tài thõn ngời trực tiếp thực việc bồi dỡng học sinh gii Tôi đa số giải pháp thực tiễn sau: Giai phap - ụi vi ban thõn giao viờn - giỳp cac em hc sinh nm chc kiờn thc vờ hờ phng trỡnh cng nh cú Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ c phng phap giai tụi u cho mi dang toan vờ hờ phng trỡnh thỡ trc hờt giao viờn cn phai cú mt trỡnh chuyờn mụn vng vang , nm vng cac thuõt toan , giai c cac dang toan khú vờ hờ phng trỡnh mt cach thao Cn phai cú mt phng phap giang day phự hp kớch thớch c s tũ mũ , nng ng , sang tao , tớch cc ca hc sinh - Trong qua trỡnh day cn thng xuyờn bam sat ụi tng hc sinh , theo dừi va ng viờn kp thi s cụ gng , n lc ca tng hc sinh ụng thi kớch thớch hc sinh phat huy tụi a kha nng ca mỡnh qua trỡnh ụn luyờn , hc tõp Bờn canh ú , cn dừi kim tra , uụn nn kp thi nhng sai sút ma hc sinh cú th mc phai , giỳp cac em cú niờm tin , ngh lc va quyờt tõm vt qua nng khú khn bc u hc tõp cac chuyờn ma giao viờn a - Trong qua trỡnh day hc cng cn hờt sc tranh cho hc sinh nhng biu hiờn t c , cho mỡnh la gii iờu s lam cho cac em khú tranh nhng tht bai tham d nhng cuc thi ln - Trong trình dạy học cần tránh cho học sinh biểu tự đắc , cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham dự thi lớn - Giao viờn nờn hng dn hc sinh lam cac BT ln, cú kim tra anh gia hs cú kha nng t phõn tớch tng hp Muụn hiờu qua cao, giao viờn phai biờt viờt cac tai liờu theo hng cac chuyờn nhm nh hng vờ T va K nng cho hc sinh ụng thi tao ng lc thỳc y hc sinh nghiờn cu khoa hc Giải pháp Mụt s bin phap hng dn hc sinh 2.1 T hc qua sach giao khoa: - SGK la nguụn tri thc quan trng cho hc sinh, nú la mt hng dn c th at lng liờu lng kiờn thc cn thiờt ca mụn hc, la phng tiờn phc v c lc cho giao viờn va hc sinh Do ú t hc qua SGK la vụ cựng quan trng hc sinh tham gia vao qua trỡnh nhõn thc trờn lp va cng cụ khc sõu nha - hc sinh t nghiờn cu trc SGK nha thỡ giao viờn khụng nờn ch n gian la nhc cac em c trc bai mi ma cn nờu c th cõu hi ma c Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 10 Vớ d Giai cac hờ pt sau x( x + y + 1) = a) ( x + y ) x + = x + y + x y + xy + xy = b) x + y + xy (1 + x) = x + y xy = x + y + 2( x + y ) = c) d) x + + y + = y ( y x) x = 10 Li gii x + y + x = a) K x Hờ ( x + y ) 5. + = ữ x t x + y = a, = b ta c hờ x a = 2, b = x = y =1 a + 3b = a = 3b 1 2 a= ,b= x = 2, y = a 5b + = (3b 1) 5b + = 2 2 ( x + y ) + xy ( x + y + 1) = b) Hờ t x + y = a, xy = b ta c ( x + y ) + xy = 5 a a ab = a = 0, b = a + b(a + 1) = a = , b = a + b = b = a 2 x2 + y = x = a = TH 5 b = xy = y = 25 16 1 x = a = x + y = x = 2x 2 TH 3 3 y = b = xy = y = 2x Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 22 25 1; ; Võy tõp nghiờm ca hờ pt la S = ữ ữ; 16 c) K: x 1, y 1, xy x + y xy = x + y xy = Hờ x + y + + ( x + 1)( y + 1) = 16 x + y + x + y + xy + = 14 2 t x + y = a, xy = b a 2, b 0, a 4b ta c hờ pt a b = a = + b a = + b 2 3b + 26b 105 = a + a + b + = 14 b + b + = 11 b b = x = (tha k) a = y = ( x + 1) + ( y + 1) = d) Hờ 2 ( y x) ( x + 1) = a + b = t a = x + 1, b = y + b a = y x ta c hờ 2 (b a) a = a + b = (b a ) a a = 2ab a = hoc a = 2b a = b = x = 1, y = hoc x = 1, y = a = 2b 5b = b = x = a=m 5 6 , y = + , y = hoc x = + 5 5 Kt lun Hờ cú nghiờm nh trờn Phng phỏp a vờ dng tớch * C s phng phỏp Phõn tớch mt hai phng trỡnh ca hờ tớch cac nhõn t ụi cn t hp hai phng trỡnh phng trỡnh hờ qua rụi mi a vờ dang tớch Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 23 ( ax + by + c) f ( x; y ) = * Cỏch lp h dng ú f ( x; y ) c g ( x; y ) = f ( x; y ) = f ( x; y ) = chn cho vụ nghiờm hoc giai c; g ( x; y ) c g ( x; y ) = g ( x; y ) = ax + by + c = chn cho giai c va tha kờt hp c vi f ( x; y ) g ( x ; y ) = (1) xy + x + y = x y Vớ d Giai hờ phng trỡnh x y y x = x y (2) Phõn tớch Rừ rang, viờc giai phng trỡnh (2) hay kờt hp (1) vi (2) khụng thu c kờt qua kha quan nờn chỳng ta tõp trung giai (1) Li gii K: x 1, y 2 (1) y ( x + y ) + ( x + y ) = x y ( x + y )( y + x + y ) = TH x + y = (loai x 1, y ) TH 2 y + x = x = y + thờ vao pt (2) ta c (2 y + 1) y y y = y + y ( y + 1) y = 2( y + 1) y +1= y = Do y y = Võy hờ cú nghiờm ( x; y ) = (5;2) y = y = Chỳ y Do cú th phõn tớch c tớch ca hai nhõn t bõc nht ụi y (hay x) nờn cú th giai pt (1) bng cach coi (1) la pt bõc hai n y (hoc x) 1 x = y (1) x y Vớ d Giai hờ phng trỡnh y = x3 + (2) Phõn tớch T cu trỳc ca pt (1) ta thy cú th a (1) vờ dang tớch Li gii 1 x y = ( x y ) + ữ = K: xy (1) x y + = x y + x y xy xy TH x = y thờ vao (2) ta c x x + = x = hoc x = (TM) 1 = y = thờ vao (2) ta c TH + xy x 1 x + x + = ( x ) + ( x + ) + = Pt vụ nghiờm 2 Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 24 + + (1;1); ; ; Võy tõp nghiờm ca hờ la S = ữ; ữ 2 2 1 (1) x = y x y Vớ d Giai hờ phng trỡnh ( x y )(2 x y + 4) =36 (2) Li gii x= y 1 ( y x)( y + xy + x ) x = y ( x y) = y + xy + x 3 = x y xy x3 y x = TH x = y thờ vao pt th hai ta c x + x 12 = x =2 y + xy + x = xy < TH x3 y (2) x + y xy + x 16 y = 36 2( x + 1) + 4( y 2) xy = 18 2 Trng hp khụng xay xy < 2( x + 1) + 4( y 2) xy > Võy tõp nghiờm ca hờ phng trỡnh la S = { (2;2); ( 6; 6)} xy 2 (1) x + y + x + y = 16 Vớ d Giai hờ phng trỡnh x + y = x2 y (2) Phõn tớch Rừ rang, viờc giai phng trỡnh (2) hay kờt hp (1) vi (2) khụng thu c kờt qua kha quan nờn chỳng ta tõp trung giai (1) Li gii 2 K: x + y > (1) ( x + y )( x + y ) + xy = 16( x + y ) ( x + y ) xy ( x + y ) + xy = 16( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) 16 xy ( x + y 4) = ( x + y 4) [ ( x + y )( x + y + 4) xy ] = x = y = TH x + y = thờ vao (2) ta c x + x = x = y = 2 TH ( x + y )( x + y + 4) xy = x + y + 4( x + y ) = vụ nghiờm K Võy tõp nghiờm ca hờ la S = { (3;7); (2;2)} H phng trỡnh cú th gii c bng phng phỏp ỏnh giỏ: Vớ d 1: Giai hờ phng trỡnh Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 25 (anh gia thụng qua iờu kin xac ca bai toan) x + + y = y + + x = Hng dn x y iờu kiờn T iờu kiờn suy x + + y 2; y + + x , Du ng thc xay va ch x = y = Võy hờ cú nghiờm nht x = y = Vớ d 2: Giai hờ phng trỡnh (anh gia thụng qua tớnh chõt ca ly tha: nờu a 1, m > n > thỡ m n a a 1) x + y = 5 x + y = Hng dn 5 T ng thc x + y = => x 1, y x 1, y T ng thc x5 + y = x5 = y x , tng t y x x x5 + y x + y x , y Nh võy ta cú suy y y x = x Du ng thc xay ch ( x; y ) = ( 0;1) va ( x; y ) = ( 1;0 ) y = y Vớ d 3: Giai hờ phng trỡnh (anh gia thụng qua iờu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai) x + y = (1) 2 x + xy + y y = (2) Hng dn Coi phng trỡnh (2) la phng trỡnh bõc hai n x cũn y la tham sụ, phng trỡnh cú nghiờm ch y , tng t ta cú x t ú suy ra: 16 x + y ữ + ữ = + < võy phng trỡnh (2) vụ nghiờm nờn hờ vụ nghiờm 27 3 Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 26 Vớ d 4: Giai hờ phng trỡnh (anh gia nh bõt ng thc Cosi) ( x 1) y + ( y 1) x = xy x y + y x = xy (1) (2) Hng dn KX x 1; y p dng bt ng thc Cosi cho cac biu thc phng trỡnh (2) ca hờ ta cú x x 1+1 x xy = y x 2 y 1+1 y xy = x y 2 xy xy Suy x y + y x + = xy 2 x = x = Du ng thc xay , nờn tha KX va tha y = y = y phng trỡnh (1) Võy hờ cú nghiờm nht x = y = Vớ d 5: Giai hờ phng trỡnh (anh gia nh vai trũ ca cac n) Vớ d 5.1 1 + = (1) y x 1 + = (2) x y Hng dn KX x ; y 1 1 = = + + = 2(3) y y x y x x x x 1 Tng t ta cú x + y = y 2(4) 4 x = y thay vao hờ rụi tỡm nghiờm = T (3) va (4) suy y x T (1) (Cú th giai hờ trờn bng cach s dung bt ng thc BUNHIACOPSKI) Vớ d 5.2 Tỡm nghiờm dng ca hờ Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 27 ( thi vo chuyờn HSP H Ni nm 2004) x 2004 = y + z (1) 2004 = x + z (2) y z 2004 = x + y (3) Hng dn Ta chng minh x = y = z Do vai trũ ca x, y va z la bỡnh ng, khụng mt tớnh tng quat gia s x y; x z (4) va x, y, z la cac sụ dng 2004 6 6 2004 T (1) suy x = y + z x + z = y x y ( ) Lai cú z 2004 = y + x y + z = x 2004 z x (6) t (4), (5), va (6) suy x = y = z suy kờt qua Vớ d 5.3 ( thi vo chuyờn HQG H Ni nm 2004) Biờt a > 0, b > va a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1) Tớnh P = a 2004 + b 2004 Hng dn Cỏch 2 T (1) suy ( a101 a100 ) ( a ) = ( b100 b101 ) ( b ) a100 ( a ) = b100 ( b ) * Nờu a > va a thỡ a100 ( a ) > suy b100 ( b ) > Võy a = => b = = > P = 2 Vụ lớ vỡ b > Cỏch S dng bt ng thc Cosi T (1) suy a100 + b100 + a102 + b102 = 2(a101 + b101 ) (2) Do a, b la cac sụ dng ap dng bt ng thc Cosi ta cú a100 + a102 2a101 ; b100 + b102 2b101 Cng tng vờ hai BT trờn ta cú a100 + b100 + a102 + b102 2(a101 + b101 ) nh võy du a100 = a102 100 102 ng thc xay nờn b = b a = b = P = a > 0, b > Vớ d 6: Giai hờ phng trỡnh (a vờ dng A2 + B2 = 0) Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 28 x = y y = z z = x Hng dn KX x 0; y 0; z chuyn vờ rụi cng theo tng vờ cac phng trỡnh ca 2 1 hờ ta c phng trỡnh: x ữ + x ữ + x ữ = x = y = z = tha KX Vớ d 7: Đánh giá tính chẵn lẻ Vớ d 7.1 Tỡm a phng trỡnh sau cú nghiờm nht x a y +1 =1 (I) x + y + =a y + y +1 (ờ thi hc sinh gii lp 10 tnh Ha Tnh nm hc 2000 - 2001) Li giai y y+ y +1 = x a y +1 =1 y +1 y nờn hờ (I) (II) 2 x + y +1 =a iu kin cn Thy rng nờu cú nghiờm (x ,y ) thỡ hờ cng cú nghiờm (x ,-y ) Bi võy iờu kiờn cn hờ cú nghiờm nht la y = a = x a =1 Thay y = vao (II) ta cú a = x +1 =a iu kin x + y +1 =1 x=y=0 a = -1, hờ (II) tr x + y + = 3x y +1 =1 a = , hờ (II) tr x + y +1 =16 Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ x = y =0 29 x = Hờ cú nghiờm nht y = Võy tõp hp cac gia tr ca a tng thớch vi yờu cu bai toan la a = 1; a = Vớ d 7.2: Tỡm a hờ cú nghiờm nht x2 +3 + y = a 2 y +5 + x = x +5 + a Li giai *iu kin cn Thy rng, nờu hờ cú nghiờm (x ,y ) thỡ nú cng cú nghiờm (-x ,-y ), (-x ,y ),(x ,-y ).Bi võy, nghiờm nht ca hờ ch cú th la x = y = Thay vao hờ ta cú a = *iu kin Vi a = x2 +3 + y = , hờ tr 2 y +5 + x = x +5 (1) ( 2) y: x +3 + y Du ng thc xy x = y = Suy (1) x = y = Thy rng x = y = cng la nghiờm ca (2) Suy x = y = la nghiờm nht ca hờ Túm lai: Tõp hp cac gia tr phai tỡm ca a la a = Vớ d 8: c bit húa mt n 2 x + y + z + xy xz yz = Vớ d 8.1: Giai hờ phng trỡnh (I) 2 x + y + yz xz xy = (ờ thi giao viờn gii huyờn Cm Xuyờn nm 2004) Li giai 2 ( x + y ) z ( x + y ) + z = Viờt lai (I) (II) ( x y ) z ( x y ) +1 = Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 30 t u +v x= u = x + y Hờ (II) tr (III) v = x y y = u v Hờ (III) cú nghiờm 2 u zu + z = v zv + = z2 u z= z v x =1 y =0 *Vi z = ta cú (III) u = v = Hờ ó cho cú nghiờm (1;0;2) x = y =0 *Vi z = -2 ta cú (III) u = v = -1 Hờ ó cho cú nghiờm (-1; 0; -2) *Túm lai: Hờ ó cho cú hai nghiờm la (1; 0; 2) va (-1; 0; -2) Nhn xột: - Sụ n nhiờu hn sụ phng trỡnh suy c biờt húa mt n xem la tham sụ - S vng mt hang t z phng trỡnh (2) cho ta thy thiờu bỡnh ng ca nú ụi vi x va y - S phõn tớch trờn dn chỳng ta c biờt húa n z, xem nú la tham sụ Vớ d 8.2: Giai hờ phng trỡnh (I) ( x + 3) = y z + y = y (2 z x)( x + 3) = x +16 z (1) ( 2) (3) ( 4) Li giai Xem z la tham sụ,khi ú phng trỡnh (2) tr 4(y - 1) = - z (i) Phng trỡnh (i) cú nghiờm va ch z -2 z (5) Phng trỡnh (3) tr : x + 2(4 - z)x + 16 - 6z = (ii) z Phng trỡnh (ii) cú nghiờm x z(z - 2) z (6) z = T (4), (5), (6) suy z = *Thay z = vao cac phng trỡnh (i) va (ii) s ln lt cú Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 31 y = x = - 4, y = Cp gia tr (x = - 4; y = 0; z = 0) khụng tha man hờ phng trỡnh (I) (7) Cp gia tr (x = -4; y = 2; z = 0) tha man hờ phng trỡnh (I) (8) *Thay z = vao cac phng trỡnh (i) va (ii) ta s ln lt cú x = -4 ; y = (9) Cp gia tr (x = -4; y = 1; z = 2) tha man hờ phng trỡnh (I) (10) *T (7),(8),(10) kờt luõn hờ ó cho cú hai nghiờm la (- 4; 2; 0) va (- 4; 1; 2) Nhn xột: S cú mt ca bt ng thc (4) cho thy tớnh c biờt ca n z ụi vi hờ ó cho Khi z c c biờt húa, thỡ (2),(3) theo th t tr phng trỡnh mt n ụi vi x,y Nh ú ta thu c cac anh gia c lõp ụi vi biờn z C KT LUN I- KT QU TRIN KHAI TI Vũ Hữu Hải THCS Phù Cừ 32 Kt qu c th S dng bai kim tra iờu tra trờn HS khụi trng THCS Phự C theo cac mc im at c cho thy: a) i vi din hc sinh i tra (40hs) Mc