(SKKN mới NHẤT) SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số hệ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG gặp đối với học SINH TRUNG học PHỔ THÔNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MỤC LỤC Mở đầu… 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………… Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… Chức viên 1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạmvụ: vi đềGiáo tài……………………………… 1.4 Phương pháp nghiên SKKN cứu…………………………………………… thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn ………………………………… 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 1………………………………… 2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại ……………………… ………… 2.1.4 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn ……………………………………………………… 2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ……………………………… 2.1.6 Biểu thức liên hợp…………………………………… ………… 2.1.7 Phương pháp đánh giá …………………………… THANH HÓA NĂM 2019 …………… 2.1.8 Phương pháp hàm số …………………………… …………… 2.2 Thực trạng vấn đề……………………………………………… Trang 2 2 3 3 4 5 6 download by : skknchat@gmail.com 2.2.1 Thực trạng vấn đề………………………………………………… 2.2.2 Kết thực trạng…………………………………………… 2.3 Giải vấn đề ………………………………………………… 2.3.1 Phương pháp chia hai vế phương trình hệ cho ẩn cụm ẩn………………………………………………………… 2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số …………………………………… 2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp……………………………………… 2.3.4 Phương pháp phân tích phương trình hệ thành nhân tử 2.3.5 Phương pháp xem phương trình hệ phương trình bậc hai……………………………………………………………………… 2.3.6 Phương pháp rút ẩn cụm ẩn số……………… 2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ ……………………………… ………… 2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số………………………… ………… 2.3.9 Phương pháp đánh giá………………………… ………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………………… Kết luận, kiến nghị……………………… Tài liệu tham khảo… Phụ lục…………………………………………………………………… 6 6 11 12 13 15 16 16 17 18 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Chuyên đề hệ phương trình phần quan trọng chương trình Tốn bậc THPT, thường gặp kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều, song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân vì: Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, địi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần download by : skknchat@gmail.com nhiều chưa phân loại dựa gốc toán nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng qt hệ phương trình Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng qt tốn tìm tốn xuất phát, chưa biết tốn đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Chính thân chọn đề tài “Phương pháp giải số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách giải tốn hệ phương trình chương trình tốn bậc THPT Từ tổng hợp thành phương pháp cần thiết hay áp dụng giải hệ phương trình Tìm tổng hợp phương pháp áp dụng để giải hệ phương trình chương trình mơn Tốn bậc THPT, áp dụng vào giải thành thạo toán hệ đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu giải toán hệ phương trình đại số, hệ phương trình mũ lơgarit, hệ phương trình lượng giác Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia quốc tế, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Các kỉ yếu, hội thảo chuyên đề công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trường chuyên nước 1.4 Phương pháp nghiên cứu Khi thực đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 2.1.1.1 Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát (1) Trong hai ẩn; chữ số lại hệ số Nếu cặp số đồng thời nghiệm hai phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) tìm tập nghiệm download by : skknchat@gmail.com 2.1.1.2 Phương pháp giải Phương pháp rút Phương pháp cộng, trừ đại số Phương pháp dùng đồ thị Phương pháp dùng định thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2.1.2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng Trong 2.1.2.2 Phương pháp giải đa thức đối xứng với Đưa hệ phương trình dạng Trong Với điều kiện Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2.1.3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng Trong đa thức không đối xứng với 2.1.3.2 Phương pháp giải Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta phương trình Viết phương trình dạng Suy Hệ phương trình cho tương đương với hai hệ phương trình download by : skknchat@gmail.com Hoặc Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2.1.4 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn 2.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn hệ phương trình có dạng 2.1.4.2 Phương pháp giải Từ phương trình bậc hệ rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình bậc hai Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 2.1.5.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai hệ phương trình có dạng 2.1.5.2 Phương pháp giải Cách Kiểm tra với có thỏa mãn hệ phương trình khơng, đặt vào hệ chia vế cho vế hệ ta tìm từ tìm Cách Khử hệ số hạng chứa phương trình hệ sau rút Cách Khử hệ số tự phương trình hệ đưa dạng Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2.1.6 Biểu thức liên hợp Hai biểu thức Khi ta có Hai biểu thức gọi hai biểu thức liên hợp với gọi hai biểu thức liên hợp với download by : skknchat@gmail.com Khi ta có Hai biểu thức Khi ta có Tổng quát: Hai biểu thức thức liên hợp với Khi Ví dụ 6: Giải hệ phương trình gọi hai biểu thức liên hợp với gọi hai biểu với số tự nhiên 2.1.7 Phương pháp đánh giá Một số bất đẳng thức thường sử dụng  với giá trị , dấu xảy  với giá trị , dấu xảy   với giá trị Cho dấu xảy Dấu xảy  Cho khơng âm Dấu xảy   dấu xảy với giá trị dấu xảy với giá trị Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014) Giải hệ phương trình 2.1.8 Phương pháp hàm số Tính chất Nếu hàm số đồng biến nghịch biến khoảng phương trình có nghiệm nghiệm download by : skknchat@gmail.com Tính chất 2.Nếu hàm số đồng biến nghịch biến khoảng phương trình tương đương với thuộc Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thực trạng vấn đề Trong trình giảng dạy học sinh giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi đại học – cao đẳng , nhận thấy phần hệ phương trình đại số học sinh tương đối gặp khó khăn cách giải, khơng biết phải sử lý tình kiến thức em biết 2.2.2 Kết thực trạng Nếu trang bị cho em kỹ ,tình bản, từ giúp học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho thân có vấn đề em giải nhanh chóng cho lời giải tương đối đẹp Từ thực trạng kết trên, để cơng việc giải tốn hệ phương trình đại số học sinh đạt hiệu tốt mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Phương pháp giải hệ số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” 2.3 Giải vấn đề Một hệ phương trình có nhiều hướng giải mấu chốt tốn tìm hướng biến đổi ban đầu Đó điều quan trọng định cơng việc giải tiếp theo, giống mở sợ dây mà tìm nốt thắt Do để giải thành cơng hệ phương trình tác giả đưa số phương pháp trình giải hệ 2.3.1 Phương pháp chia hai vế phương trình hệ cho ẩn cụm ẩn Ví dụ 2.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2009) Giải hệ phương trình Lời giải Với hệ trở thành Hệ vơ nghiệm Với hệ trở thành download by : skknchat@gmail.com Hệ phương trình tương đương với hệ sau Đặt (*) Hệ phương trình tương đương với hệ sau Từ phương trình thứ ta vào phương trình thứ hai ta có Giải phương trình ta có Với theo cách đặt (*) ta có Hay Hệ phương trình tương đương với hệ Ta thấy hệ phương trình vơ nghiệm Với theo cách đặt (*) ta có download by : skknchat@gmail.com Hệ tương đương với hệ phương trình sau Giải hệ ta và Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét Ta thấy nhờ chia vế phương trình cho ẩn, mà ta đưa hệ phương trình phức tạp thành hệ phương trình đơn giản, cho lời giải nhanh chóng, tốn giải So với giải cách thông thường rút ẩn ẩn từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai phương trình bậc bốn phức tạp trí khơng giải 2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số Ví dụ 2.3.2 (đề thi chuyên Lam Sơn, năm 2006) Giải hệ phương trình Lời giải Trừ vế phương trình thứ cho phương trình thứ hai ta Phương trình tương đương với Giải phương trình ta Hệ cho tương đương với hai hệ (I) Hoặc (II) Ta có (I) tương đương với hệ Giải hệ ta Ta có (II) tương đương với hệ download by : skknchat@gmail.com Từ phương trình thứ ta có Thế vào phương trình thứ hai ta Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét Nhờ trừ vế mà ta thu mối quan hệ ẩn, nên giải toán cách ngắn gọn So với cách giải thơng thường rút ẩn từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ phức tạp, khó khăn q trình biến đổi 2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 2.3.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2014) Giải hệ phương trình ( ) Lời giải Điều kiện Phương trình thứ hệ tương đương với phương trình Hay Do Nên phương trình trở thành Với thay vào phương trình thứ hai hệ ta có Với thay vào phương trình thứ hai hệ ta có (1) Giải phương trình (1) Điều kiện download by : skknchat@gmail.com Lời giải Ta có phương trình thứ hai tương đương với hay Với xy  từ phương trình thứ ta có Giải phương trình ta hay Khi thì Với từ phương trình thứ ta có Hay Phân tích thành nhân tử ta Suy xy  Với ta xét Với suy vào ta Khi Khi thì Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm phân biệt 2.3.5 Phương pháp xem phương trình hệ phương trình bậc hai Ví dụ 2.3.5 (đề thi Đại học khối B, năm 2013) Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện Phương trình thứ hệ viết thành (1) Xem phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn cịn ẩn Giải phương trình ta Với vào phương trình thứ hai hệ ta tham số Nhân biểu thức liên hợp ta 12 download by : skknchat@gmail.com Do Nên giải phương trình ta Khi thì Với vào phương trình thứ hai hệ ta Nhân biểu thức liên hợp ta Do Nên phương trình tương đương với suy Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét Nhờ xem phương trình thứ hệ phương trình bậc hai ẩn cịn ẩn tham số ta nhanh chóng tìm ta mối quan hệ ẩn Từ tốn giải Nếu khơng dùng phương trình bậc hai khó phân tích thành nhân tử tìm nhân tử chung 2.3.6 Phương pháp rút ẩn cụm ẩn số Ví dụ 2.3.6.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2008) Giải hệ phương trình Lời giải Hệ phương trình tương đương với hệ sau Từ phương trình thứ hai, vào phương trình thứ ta Khai triển rút gọn ta phương trình Giải phương trình ta Với khơng thỏa mãn hệ phương trình Với 13 download by : skknchat@gmail.com Vậy hệ phương trình có nghiệm Nhận xét Nhờ rút cụm ẩn phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta phương trình bậc bốn ẩn giải Bài toán giải xong cho lời giải ngắn gọn Ví dụ 2.3.6.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa, năm 2008) Giải hệ phương trình Lời giải Hệ phương trình tương đương với hệ sau Thế phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta phương trình Phân tích thành phương trình Giải phương trình ta Với Với Với hoặc phương trình thứ suy phương trình thứ suy suy vào phương trình thứ ta có Giải phương trình ta Khi , Với suy Khi suy vào phương trình thứ ta có Giải phương trình ta Khi hoặc 14 download by : skknchat@gmail.com Khi Vậy hệ cho có bốn nghiệm phân biệt 2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 2.3.7 Giải hệ phương trình Lời giải Hệ phương trình tương đương với hệ Đặt Hệ trở thành Từ phương trình thứ suy vào phương trình thứ hai ta Giải phương trình ta Với Với và suy suy Vậy hệ cho có hai nghiệm phân biệt và Nhận xét Nhờ đặt ẩn phụ mà ta giải tốn cách nhanh chóng so với cách giải thơng thường rút khó khăn, phương trình thu có nghiệm xấu 2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số Ví dụ 2.3.8 (đề thi Đại học khối A, năm 2013) Giải hệ phương trình 15 download by : skknchat@gmail.com ( Lời giải Điều kiện Từ phương trình thứ hai ta có Đặt Phương trình thứ trở thành (1) Xét hàm số Ta có ) suy liên tục xác định với Nên hàm số Do (1) tương đương với hai hệ ta đồng biến nghĩa vào phương trình thứ (2) Xét hàm số Ta có với Mà nên (2) có hai nghiệm phân biệt Với với Vậy hệ phương trình có nghiệm hai nghiệm phân biệt 2.3.9 Phương pháp đánh giá Ví dụ 2.3.9 ([4]) Giải hệ phương trình Lời giải Hệ phương trình tương đương với Từ phương trình thứ hệ ta thấy Nếu nên phương trình thứ hai vơ nghiệm Nếu nên phương trình thứ hai vơ nghiệm Nếu nên phương trình thứ hai thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm Nhận xét Đây tốn khó, rút theo cách thơng thường phương trình bậc chín phức tạp, chí khơng giải được, qua sử dụng 16 download by : skknchat@gmail.com kỹ đánh giá ta giải nhanh chóng tốn cho kết ngắn gọn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đề tài áp dụng thường xuyên lớp kết đạt tương đối tốt, học sinh giải nhiều toán hệ phương trình đại số , em thích dần với tập giải hệ phương trình đại số, học tập hăng say tích cực nhiều tạo cho em niềm tin giải tốn, góp phần nâng cao kết thi đại học học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn Đề tài thành viên tổ Tốn góp ý đánh giá tốt, đề tài thầy cô áp dụng rộng rãi với đối tượng học sinh lớp phụ trách, đem lại hiệu thiết thực giảng dạy mơn Tốn Trường THPT nay.So với cách làm cũ không giải hệ phương trình bình thường, khơng giúp cho em thấy dạng quên thuộc, kỷ cần thiết Nếu trang bị cho em kỹ cần thiết nhìn vào tốn giải hệ phương trình em phần thấy cách giải Trong năm học 2015 -2016, 2016 -2017, 2017 -2018, 2018-2019 thực nghiệm đề tài lớp 12A1,12A2 và12C4, 12C6 kết cụ thể sau: Loại Đối tượng Áp dụng thường xuyên lớp 12 A1 Áp dụng thường xuyên lớp 12 A2 Không áp dụng thường xuyên lớp 12C4 Không áp dụng thường xuyên lớp 12C6 Loại giỏi Loại Loại trung bình Loại yếu 20 % 50 % 30 % 0% 15 % 50 % 30 % 5% 0% 30 % 50 % 20 % 0% 20 % 55 % 25% Kết luận kiến nghị : 17 download by : skknchat@gmail.com Đề tài đưa số phương pháp thường gặp giải tốn hệ phương trình chương trình toán học THPT qua kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia tuyển sinh Đại học Cao đẳng Xây dựng chọn lọc ví dụ minh họa sinh động Đề tài góp phần hình thành kỹ giải tốn cần thiết cho học sinh THPT tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi thiết thực thầy cô giáo dạy tốn bậc THPT, để từ nâng cao chất lượng giảng dạy học tập, tạo niềm tin, khuyến khích say mê khám phá vẻ đẹp Tốn Cơng tác nghiên cứu khoa học cấp cần phát huy nữa, để công tác dạy học ngày đạt hiệu cao Để có giảng hay ,sáng kiến đổi giảng dạy mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, phù hợp với phát triển Đất nước Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi chun mơn,xây dựng tiết dạy phù hợp với đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn công việc để trau dồi chuyên môn, tự học tập lẫn giúp tiến Đề tài đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực tốt cần có buổi sinh hoạt, xêmina toán học để em học sinh bày tỏ quan điểm tự giúp em phát sai lầm thông qua giải Đề tài chắn không tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện tác giả mong bổ xung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Nguyễn Xuân Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 download by : skknchat@gmail.com [1] Phan Đức Chính, Lê Thống Nhất, Đào Tam, Vũ Dương Thụy (1993), Các giảng luyện thi mơn tốn tập hai, nhà xuất Giáo dục [2] Phạm Kim Chung, Dương Văn Sơn, Đào Văn Trung (2014), Rèn luyện kỹ tư giải tốn hệ phương trình, nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] Đặng Thành Nam (2014), Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Báo toán học tuổi trẻ [5] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia, Quốc tế, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng mơn Tốn [6] Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2018 Bộ GD&ĐT [7] Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT tồn quốc [8] Nguồn Internet PHỤ LỤC Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Lời giải Cộng hai vế hệ phương cho ta phương trình hay Với vào phương trình thứ hệ ta có 19 download by : skknchat@gmail.com Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Lời giải Hệ phương trình tương đương với Đặt Với điều kiện Hệ phương trình trở thành Cộng vế hai phương trình hệ ta Giải phương trình ta Với khơng thỏa mãn điều kiện Với theo cách đặt ta có Giải hệ phương trình ta Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta Phương trình viết thành hay Hệ phương trình cho tương đương với hệ 20 download by : skknchat@gmail.com Từ phương trình thứ suy vào phương trình thư hai ta Giải phương trình ta Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Lời giải Từ phương trình thứ ta có ta Suy Giải phương trình ta Với Với Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ phương trình Lời giải Với vào phương trình thứ hai hệ trở thành Hệ vơ nghiệm nên Đặt hệ trở thành Suy (1) Chia phương trình thứ cho phương trình thứ hai hệ ta 21 download by : skknchat@gmail.com Biến đổi phương trình ta phương trình sau Giải phương trình ta Với Khi Với vào phương trình thứ hệ (1) ta thì vào phương trình thứ hệ (1) ta Khi thì Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm Ví dụ 6: Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện Phương trình thứ tương đương với phương trình Hay Phương trình viết thành 22 download by : skknchat@gmail.com Do nên ta có Suy phương trình vơ nghiệm Vậy suy vào phương trình thứ hai hệ ta Phương trình tương đương với phương trình Nhân biểu thức liên hợp ta Phương trình tương đương với hai phương trình Do nên phương trình vơ nghiệm Với Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014) Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện Cách Từ phương trình thứ hệ ta viết thành Phương trình viết thành 23 download by : skknchat@gmail.com Phương trình xảy Suy Thay vào phương trình thứ hai ta (1) Bằng cách nhân liên hợp ta phương trình (1) tương đương với phương trình Hay Suy Do nên phương trình vơ nghiệm Với Vậy hệ phương trình có nghiệm Cách Từ phương trình thứ hệ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Cộng hai vế với ta Dấu xảy 24 download by : skknchat@gmail.com Hệ tương đương với hệ Thế vào phương trình thứ hai, tương tự cách Cách Từ phương trình thứ hệ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có Suy Dấu xảy suy Thế vào phương trình thứ hai, tương tự cách Ví dụ 8: Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện Từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta Phương trình tương đương với phương trình (1) Xét hàm số Ta có với Do ta có hàm số đồng biến 25 download by : skknchat@gmail.com Mặt khác Vậy nên phương trình (1) có nghiệm ta suy Vậy hệ phương trình có nghiệm 26 download by : skknchat@gmail.com ... dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Phương pháp giải hệ số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” 2.3 Giải vấn đề Một hệ phương trình có nhiều hướng giải mấu chốt... 3: Giải hệ phương trình 2.1.4 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn 2.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn hệ phương trình. .. thức đối xứng với Đưa hệ phương trình dạng Trong Với điều kiện Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2.1.3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình