(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học giải tích phẳng

Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong năm gần đây, hình học giải tích phẳng ln vấn đề khó học sinh tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh; đặc biệt vấn đề cực trị Việc rèn luyện kĩ giải toán cực trị cho học sinh có vai trị quan trọng Giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo, hình thành kỹ vận dụng kiến thức học vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ biết lựa chọn phương pháp tối ưu Trên thực tế, vấn đề cực trị đại số hay hình học gây cho học sinh cảm giác khó khăn tiếp cận, khơng học sinh học vấn đề cực trị hình học lại gặp khó khăn cách tiếp cận giải vấn đề liên quan Nhằm đáp ứng yêu cầu thực tiễn, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc việc học hình học giải tích phẳng đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tơi : Đa dạng hóa loại hình, phương pháp tiếp cận tốn cực trị hình học giải tích phẳng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mà hướng đến đề tài là: Học sinh lớp 10, trực tiếp hai lớp giảng dạy : 10A1 10A2 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Tôi tiến hành lập phiếu thơng tin khảo sát tình hình học sinh việc giải toán liên quan hai lớp trực tiếp giảng dạy 10A1 10A2 - Phương pháp thu thập thông tin: Tôi tiến hành thu thập thông tin liên quan đến đề tài thông qua viết mạng Internet, SGK hình học 10 Sau chọn lọc thơng tin phù hợp với đề tài Đồng thời thu thập thông tin phản ứng học sinh toán liên quan - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tiến hành thống kê thơng tin, số liệu để xử lí kết thu thập được, phục vụ cho việc phân tích, đánh giá trình nghiên cứu Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Phép tốn véctơ tọa độ mặt phẳng a Tọa độ vectơ phép tốn: Cho đó: b Tọa độ điểm: Cho A(xA;yA), B(xB;yB), đó: 2.1.2 Phương trình đường thẳng: a Phương trình tổng quát b Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến đường thẳng : : 2.1.3 Phương trình đường trịn, elip: Đường trịn: Tâm I(a;b), bán kính r Elip: a Phương trình tắc: , (a>b>0) b Các yếu tố liên quan: , c>0 - Tiêu cự: F1F2=2c Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b - Hai tiêu điểm Bốn đỉnh: đỉnh trục lớn đỉnh trục bé , - Bán kính qua tiêu điểm: Tâm sai: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng Qua thực tế giảng dạy thân lớp: 10A1 10A2 lớp lực tư toán em tương đối tốt Nên toán hình học giải tích phẳng thơng thường, học sinh vận dụng Tuy nhiên, gặp dạng toán cực trị khơng gian Oxy khả giải nhiều hạn chế dẫn đến việc em khó khăn việc giải tốn có tính lạ Kết khảo sát cụ thể sau: Khi chưa hướng dẫn cách giải tốn liên quan tới cực trị giải tích phẳng Lớp Số HS biết cách làm Số HS cách làm SL % SL % 10A1 (48 HS) 05 10.4 43 89.6 10A2 (46 HS) 01 2.2 45 97.8 Từ kết ta thấy, tình trạng học sinh không tự giải vấn đề chiếm tỷ lệ cao Nguyên nhân: Về phía học sinh: Phần lớn học sinh lo lắng chí sợ toàn liện quan đến cực trị, mà cực trị hình học học sinh cịn yếu Về phía giáo viên: Thời lượng cho chương trình khơng đủ, nên khó bố trí thời gian cách linh hoạt cho vấn đề cần giải Việc đầu tư thay đổi, vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học chưa áp dụng cách thường xuyên, liên tục 2.3 Giải pháp cách thức thực Các tình giải tốn thể khơng gian Oxy, trình bày theo trình tự: Đề – Lời giải hướng dẫn – Lời bình tốn tương tự ( Nếu có ) VD Cho đường thẳng ; hai điểm A(2;1) B(1;0) Tìm tọa độ điểm M nằm cho MA + MB nhỏ * Lời giải Xét ; ta có: f(2;1).f(1;0)>0 nên A B nằm phía so với Gọi A’ điểm đối xứng A qua Tọa độ A’ nghiệm hệ: Suy Dễ thấy: gia điểm Đẳng thức xảy M Vậy tọa độ điểm M nghiệm hệ: Suy A B M A’ Chú ý: Trường hợp điểm A;B nằm khác phía so với M giao điểm với đường thằng AB Chúng ta xét số toán mở rộng sau đây: dễ dàng thấy Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(6;2) đường thẳng Gọi P giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC biết B điểm thay đổi tia Ox C điểm thay đổi d Tính P ? A B C D * Lời giải Gọi điểm đối xứng A qua Ox qua d Dễ tìm , đồng thời ta có Do ,suy thẳng hàng theo thứ tự Viết phương trình thỏa mãn , từ tìm thẳng hàng theo thứ tự.Vậy Chọn D Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng điểm Tìm điểm cho đạt giá trị nhỏ Khi đường trịn tâm O qua M có bán kính A B C D *Lời giải Ta có: phía với đường thẳng d Gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng d (không đổi) đạt giá trị nhỏ Đường thẳng qua A vng góc với d Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng A B M d I A’ Xét hệ A’ đối xứng với A qua d trung điểm AA’ Xét hệ VD Cho đường thẳng ; hai điểm A(2;1) B(1;0) Tìm tọa độ điểm M nằm cho lớn *Lời giải Ta có: , đẳng thức xảy M,A,B thẳng hàng M nằm ngồi đoạn thẳng AB Do M giao điểm với đường thẳng AB ( Do A,B nằm phía so với nên tồn điểm M vậy) Tọa độ điểm M thõa mãn hệ phương trình: nên Chúng ta xét tốn mở rộng sau đây: Bài Cho điểm A(2;1) B(1;2); đường thẳng Tìm tọa độ điểm M nằm cho lớn *Lời giải Bài tốn có nét tương đồng VD2, nhiên trường hợp này, điểm A B nằm khác phía so với Nên phương án giải tốn có phần khác biệt Gọi A’ điểm đối xứng với A qua , ta có Đẳng thức xảy M giao điểm với đường thẳng A’B Dễ thấy tọa độ VD Cho đường tròn , điểm A(0;9); B(-1;6) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho P=MA + 3MB đạt GTNN *Lời giải (C): Tâm O(0;0); bán kính R=3 Điều quan trọng toán kiện OA = = 3R Gọi K(1;0), ta có OM = 3OK Nên đồng dạng với AO = 3MO Ta có: MA = MK Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Suy ra: Đẳng thức xảy M thuộc đường thẳng BC Vậy M(0;3) Chúng ta xét toán mở rộng sau đây: Bài Trong mặt phẳng , cho đường tròn hai điểm Điểm thay đổi đường trịn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B C D *Lời giải I P N M B A có tâm , bán kính Ta có nên Gọi N giao điểm IA Ta có , nằm ngồi đường tròn nằm đoạn cho đồng dạng với Do Gía trị nhỏ trịn Bài Trong mặt phẳng tọa độ điểm xảy giao điểm đường , cho đường tròn Điểm thuộc cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Khẳng định sau A B C D *Lời giải Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng B M A J I Đường trịn Do có tâm bán kính Gọi nên hai điểm điểm thỏa mãn nằm ngồi đường trịn ta có Vì nên điểm nằm đường trịn Khi với điểm thuộc đường trịn ta có Vậyvới điểm thuộc ta có: đạt giá trị nhỏ ba điểm thẳng hàng Phương trình đường thẳng trình qua hai điểm Tọa độ giao điểm đường thẳng nghiệm hệ Do nằm Vậy nên hai vectơ nằm có phương đường trịn ngược hướng VD Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn : hai đường thẳng , Tìm để hai đường thẳng cắt bốn điểm phân biệt tạo thành tứ giác có diện tích lớn A B C D Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com , Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng *Lời giải Nhận xét: , có tâm Gọi , vng góc với gốc tọa độ , bán kính , , giao điểm hai đường thẳng hình chiếu vng góc lên , , với , (hình vẽ) Mà Nên diện tích tư giác lớn , VD Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, Tam giác ABC nhọn có trực tâm H trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia HB, HC lấy P, Q cho AQHP hình bình hành Giả sử đường thẳng đỉnh , đỉnh A thuộc tính giá trị *Lời giải Phân tích: Vẽ hình theo giả thiết, dự đốn tính chất đặc biệt để giải tốn Phát : Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Đường thẳng AM qua có VTCP nên : Tọa độ thỏa hệ : Trung điểm PQ AH trung điểm Đường thẳng BC qua vng góc với AH nên : Đường thẳng BH qua nhận làm VTCP nên : Tọa độ điểm B thỏa : Việc chứng minh xin nêu thêm sau: Cách :Chứng minh : Gọi E, F chân đường cao C, A; N trung điểm PQ I giao điểm AM PQ Ta có : đồng dạng với Mà nên : mà Cách :Chứng minh : đồng dạng với Suy Do H trực tâm tam giác ABC nên : Mà ( AQHP hình bình hành ) Nên : Lại có : đồng dạng với Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng Xét ( ) Suy VD Trong mặt phẳng , cho đường trịn có phương trình đường thẳng có phương trình Gọi điểm có khoảng cách lớn tới , điểm có khoảng cách nhỏ tới Tổng khoảng cách là: A B C D *Lời giải Ta có khơng cắt Gọi đường thẳng qua vng gócvới đường thẳng Khi cắt hai điểm M N thỏa mãn yêu cầu đề cho Khi tổng khoảng cách cần tìm VD Cho đường trịn có phương trình Gọi đường thẳng qua cắt hai điểm Biết phương trình giản có dạng điểm cho lớn với điều kiện phân số tối Tính giá trị biểu thức A *Lời giải Ta có: B , C D , Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 10 Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng Dấu xảy vng cân đỉnh Có Kết hợp điều kiện VD Trong mặt phẳng Oxy, Cho tam giác ABC với nội tiếp đường trịn (C) có tâm I Từ điểm M đường thẳng vẽ tiếp tuyến với (C) N Khi tam giác ABN có diện tích lớn độ dài IM ngắn A B C D *Lời giải Nhận thấy tam giác ABC vuông C nên đường trịn (C) có tâm bán kính Ta có: nên Do AB đường kính nên xảy ABN vng cân N Lúc tiếp tuyến với (C) N song song với đoạn R Giả sử Ta cách AB có: Tọa độ M giao điểm d với tiếp tuyến vừa tìm Nên: Chọn đáp án B VD Trong mặt phẳng với hệ tọa độ có phương trình hai điểm phân biệt cho điểm đường tròn Đường thẳng cắt đường tròn cho tam giác Biết phương trình Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 11 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng đường thẳng có dạng Biểu thức có giá trị lớn nhấtbằng A B C D *Lời giải B' B A H I C C' Đường trịn nên có tâm bán kính Vì trung trực hay đường thẳng nên vec tơ pháp tuyến Ta có vng góc với Áp dụng định lí sin ta có: Gọi trung điểm Nếu thẳng d là: Nếu Do ta có nên phương trình đường trường hợp Suy nên phương trình đường thẳng Vậy giá trị lớn trung điểm : , trường hợp VD 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn Gọi hai điểm di chuyển , di chuyển trục hoành Tổng khoảng cách từ tới ngắn là: A B C D *Lời giải Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 12 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng có tâm bán kính Gọi có tâm bán kính đường tròn đối xứng với điểm đối xứng với qua qua trục Khi với thuộc ta có: Vậy tổng khoảng cách từ (xem hình vẽ) Vậy VD 11 Trong ngắn với hệ trục Lấy Giá trị nhỏ biểu thức A mặt tới phẳng B C thẳng hàng Oxy, cho điểm thuộc cạnh là : D *Lời giải Đầu tiên hình vng Gọi ta phát tạo thành trung điểm Ta có Do Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 13 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Dấu xảy trung điểm VD 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn điểm Biết điểm bằng: A cho nhỏ nhất, tổng B C *Lời giải điểm thỏa mãn Gọi D (1) Ta có (1) Gọi điểm thỏa mãn (2) Ta có (2) y J M E x O Ta có , với khác phía so với Khi thẳng hàng thuộc đoạn Ta có Dấu thuộc đoạn xảy thẳng hàng nằm nên Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 14 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng VD 13 Cho hình bình ABCD có A  0;1 ; B  3;  Tâm I nằm parabol có phương trình y   x  1  xI  diện tích hình binh hành ABCD đạt giá trị lớn tọa độ C  a, b  , tọa độ D  c, d  , Tính a  b  c  d ? A 2 B 1 C.1 D *Lời giải S ABCD  S IAB  2.d  I , AB  AB Vì AB khơng đổi nên S ABCD lớn khoảng cách từ I đến AB lớn Phương trình đường thẳng AB x  y    Gọi I x;  x  1 , x   x  1  d  I , AB     x  3x   x  3x  x  I   đạt x  I  ;  3 7  1   D  0;   C  3;    a  b  c  d  1 2 2   VD 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Đường thẳng (d) qua M( 3; -2) cắt Ox, Oy A(a;0), B(0;b) cho: nhỏ Khi giá trị biểu thức A B đạt giá trị C D *Lời giải Từ giả thiết ta có d: Vì M d nên: (1) Theo BĐT Bunhiacopski : = Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 15 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Hay ≥ đẳng thức xảy Vậy nhỏ VD 15 Cho đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai điểm thuộc cho tính để tổng khoảng cách từ đến nhỏ A B *Lời giải Ta có: C D tiếp xúc với khoảng cách từ tâm bán kính thẳng Giả sử Hãy đến đường (1) Vậy tiếp xúc với Khoảng cách từ đến Khoảng cách từ đến lớn (chú ý Gọi , cắt điểm mà ta có: Suy Gọi Tổng nhỏ hay cắt ; tiếp xúc với cắt nên: cắt nên: Khi đó: Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 16 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng VD 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn hai điểm Giả sử điểm thuộc cho biểu thức cho đạt giá trị nhỏ Tính tổng A B C : D *Lời giải y M A K I x -6 -5 -3 -4 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 B Ta có đoạn có tâm cho Ta có tam giác -6 , bán kính Ta có , lấy điểm Khi ta có đồng dạng với nên ta có Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 17 Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Do Dấu xảy thẳng hàng nằm Ta có phương trình đường thẳng Giải hệ kết hợp với Vậy cần tìm giao đường thẳng Tọa độ điểm nằm nghiệm hệ ta có Suy Vậy 2.4 Hiệu thực nghiệm * Đối với học sinh: Đa số học sinh nhận biết nắm kỹ giải tốn liên quan đến cực trị hình học giải tích phẳng, khơng cịn lúng túng xử lí dạng toán * Đối với hoạt động dạy học: - Việc củng cố kiến thức học có hiệu cao hơn, khắc sâu kiến thức kỹ giải toán liên quan đến cực trị hình học giải tích phẳng cho học sinh - Học sinh chủ động tham gia xây dựng *Đối với thân giáo viên : Xây dựng hệ thống kiến thức bổ trợ cho trình ơn thi THPT Quốc gia thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn văn hóa Có thêm kinh nghiệm giảng dạy, tăng thêm động lực để tạo hứng thú học tập cho học sinh Kết qủa cụ thể qua lớp trực tiếp giảng dạy sau: Khi chưa áp dụng Sau áp dụng Số HS cịn Số HS biết Số HS khơng Số HS biết Lớp lúng túng cách làm biết cách làm cách làm làm SL % SL % SL % SL % 10A1 (48 05 10.4 43 89.6 32 67 16 33 HS) 10A2 (46 01 2.2 45 97.8 22 48 24 52 HS) PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy mơn tốn chương trình phổ thơng, học hình học học sinh vấn đề khó khăn, việc giải tốn cực trị, đặc biệt cực trị hình học cịn khó khăn hơn; đó, kỳ Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 18 Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng thi THPT Quốc gia thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn vấn đề lại khơng thể thiếu đượ Chính vậy, dạng tốn này, địi hỏi giáo viên phải đầu tư kỹ càng, tập trung nghiên cứu tìm tịi giải pháp để giải đáp khúc mắc học sinh Tạo cho học sinh tự tin học tập, từ rèn luyện kỹ để giải tốn có liên quan, nhằm giúp em đạt kết cao học tập Với kinh nghiệm giải pháp thân giảng dạy dạng tốn này, tơi hy vọng nguồn tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp để từ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn 3.2 Kiến nghị - Đối với giáo viên: Mỗi đồng chí cán giáo viên tham gia giảng dạy, đặc biệt giảng dạy mơn tốn cần vào nhiệm vụ cụ thể, điều kiện thực tế nhà trường đặc biệt lực thực tế học sinh để có giải pháp hợp lý cho riêng phần, nhóm kiến thức giảng dạy Thường xun trau dồi kiến thức thơng qua hình thức, phương thức khác nhau: Như sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn, qua mạng xã hội, nguồn tư liệu Internet, qua đúc rút kinh nghiệm có giải pháp hợp lý giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh cụ thể - Đối với nhà trường cần trang bị thêm sở vật chất: Máy chiếu, phần mềm vẽ hình, trọn đề Tất điều kiện nguồn động viên, kích thích say mê, sáng tạo hoạt động dạy học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam kết : Đây SKKN thân tôi, không copy (Tác giả ký ghi rõ họ tên) Kiều Văn Cường TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục (2000) Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2003) Các viết trang mạng Internet như: Toanmath.com, mathvn.com, diendantoanhoc.net, toanhocbactrungnam.vn Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 19 Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Kiều Văn Cường Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Cẩm Thủy T T Kết đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh ) C) Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN Một số phương pháp tìm cơng Ngành GD tỉnh thức tổng quát dãy số Thanh Hóa C Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Năm học đánh giá xếp loại 2008-2009 20 Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng MỤC LỤC Cấu trúc Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp cách thức thực 2.4 Hiệu thực nghiệm 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 21 ... download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích phẳng Qua thực tế giảng dạy thân lớp: 10A1 10A2 lớp lực tư toán em tương đối tốt Nên toán hình học giải tích phẳng thơng... số toán mở rộng sau đây: dễ dàng thấy Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Bài Trong mặt phẳng. .. download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích phẳng Suy ra: Đẳng thức xảy M thuộc đường thẳng BC Vậy M(0;3) Chúng ta xét toán mở rộng sau đây: Bài Trong mặt phẳng