Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất (tt)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: Toán Giải tích Mã số: 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2018 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hồi An GS.TSKH Hà Huy Khối Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia; - Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Đà CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Pham Ngoc Hoa (2008), " An analogue of Ma son's theorem for p-adic entire functions in several variables", Journal of Science, NXB Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 53(1), pp 12-21 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials", Interractions between real and complex analysis, Sci Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 1-14 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2017), "On the uniqueness problem of nonArchimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539-549 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (Submit), "Uniqueness theorems for meromorphic functions and their differential polynomial" ✐ ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐ ▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❍❛✐ ỵ tt t ố ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✷✳ ỵ tt ố ợ tự ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ tự tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữỡ ỵ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ tự ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷✳✸✳ ✣à♥❤ ỵ tự tt t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữỡ ỵ tự ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲ ❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✸✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ tự ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ỡ ỵ tt số t r sè ♥❣✉②➯♥ n ≥ ✤➲✉ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞✉② ♥❤➜t ữợ t số tố õ mk n = pm pk , ✈ỵ✐ k ≥ 1, ð ✤â ❝→❝ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè p1 , , pk ✤ỉ✐ ♠ët ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✈➔ ❝→❝ sè ♠ơ t÷ì♥❣ ù♥❣ m1 ≥ 1, , mk ≥ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t t❤❡♦ n ❘✐tt ❧➔ ữớ t tữỡ tỹ ỵ ố ợ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝✳ ✣➸ ♠æ t↔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❘✐tt✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ M(C) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ A(C)✮ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ♥❣✉②➯♥✮ tr➯♥ C ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ L(C) ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ 1✳ ✣➦t E, F ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ M(C)✱ ❦❤✐ ✤â ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ F (z) ✤÷đ❝ ❣å✐ ổ t ữủ tr Eì F t ❦ý ❝→❝❤ ✈✐➳t t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû F (z) = f ◦ g(z) ✈ỵ✐ f (z) ∈ E ✈➔ g(z) ∈ F ✤➲✉ ❦➨♦ t❤❡♦ ❤♦➦❝ f ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤♦➦❝ g ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆➠♠ ✶✾✷✷✱ ❘✐tt ❬✹✻❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ỵ s ỵ ỵ tự ♥❤➜t ❝õ❛ ❘✐tt✮✳ ❈❤♦ F ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ◆➳✉ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ F (z) ❝â ❤❛✐ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t❤➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t ữủ tr Fì F C[z] \ L(C) F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , t❤➻ r = s, ✈➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ψ ❧➔ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ϕ ♥➳✉ ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤➳♥ t❤ù tü ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❈ơ♥❣ tr tt ự ỵ s ỵ ỵ tự tt sỷ r➡♥❣ a, b, c, d ∈ C[x] \ C t❤ä❛ ♠➣♥ a ◦ b = c ◦ d ✈➔ gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = õ tỗ t ❝→❝ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ lj ∈ C[x] s❛♦ ❝❤♦ (l1 ◦ a ◦ l2, l2−1 ◦ b ◦ l3, l1 ◦ c ◦ l2, l4−1 ◦ d ◦ l3) ❝â ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ (Fn , Fm , Fm , Fn ) ❤♦➦❝ (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), ð ✤â m, n > ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✱ s > h ∈ C[x] \ xC[x], lj−1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ lj ✱ Fn , Fm ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ✈ỵ✐ ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❈❤❡❜②❝❤❡✈✳ n, ✈➔ ✷ Ð ✤➙②✱ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ F (z) = f ◦ g(z) ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤➨♣ ❤ñ♣ t❤➔♥❤ F (z) = f (g(z))✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ t❤➜② r ỵ tự tt ổ t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ a(b) = c(d)✱ ð ✤â a, b, c, d ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❘ã r➔♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❘✐tt ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f ) = Q(g), ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ f, g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f ) = Q(g) ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❤÷ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✲◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❉✐➺♣ ❬✸❪✱ ❍✳❋✉❥✐♠♦t♦ ❬✶✾❪✱ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✲❈✳❈✳❨❛♥❣ ❬✸✺❪✱ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤ ❬✹✹❪✱ ỵ r ữỡ tr q✉❛♥ ♠➟t t❤✐➳t ✤➳♥ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ố ợ ởt ự ỵ tt ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà✳ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐ ❘✳◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ◆➠♠ ự ỵ ỵ ỗ tứ ỵ ỵ t ữủ ự tử ợ ữợ ❝ù✉ ❝❤õ ②➳✉ ✈➔ ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ❝õ❛ ●✳❉❡t❤❧♦❢❢✱ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐✱ ▼✳ ❙❤✐r♦s❛❦✐✱ ❍✳❳✳❨✐✱ P✳❈✳❍✉✲❈✳❈✳❨❛♥❣✱ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✱ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✲❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✱ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✲❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲▲➯ ◗✉❛♥❣ ◆✐♥❤✱ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✱ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✲❍➔ ❚r➛♥ P❤÷ì♥❣✱ ▲✳▲❛❤✐r✐✱ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❚➜♥✱ ❙➽ ✣ù❝ ◗✉❛♥❣✱ ❆✳❊s❝❛ss✉t✱ ❍✳❋✉❥✐♠♦t♦✱✳✳✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ sü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ữủ rở s ởt ỵ tt ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤â ❧➔ ①❡♠ ①➨t t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ❱➔ ♥❣÷í✐ t ữợ ữợ ự ❍❛②♠❛♥✳ ◆➠♠ ✶✾✻✼✱ ❍❛②♠❛♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❦➳t q✉↔ ♥ê✐ t✐➳♥❣ r➡♥❣ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ♣❤ù❝ C ❦❤æ♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✵ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ k ❝õ❛ f ✱ ✈ỵ✐ k ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t❤➻ f ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳ ❍❛②♠❛♥ ❝ơ♥❣ ✤÷❛ r❛ ❣✐↔ t❤✉②➳t s❛✉✳ ●✐↔ t❤✉②➳t ❍❛②♠❛♥✳ ❬✷✶❪n ❈❤♦ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (z)f (z) = ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ C t❤➻ f ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳ ●✐↔ t❤✉②➳t ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ tr ợ n > ữủ ❈❧✉♥✐❡ ❦✐➸♠ tr❛ ✈ỵ✐ n ≥ 1✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➣ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ởt ữợ ự ữủ sỹ ỹ ổ tr q trồ tú ữợ ❝ù✉ ♥➔② t❤✉ë❝ ✈➲ ❨❛♥❣✲❍✉❛ ❬✺✶❪✱ ❤❛✐ æ♥❣ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♥â ❝â ❞↕♥❣ f n f ✳ ❍❛✐ ỉ♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣✱ ✈ỵ✐ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✱ n ≥ 11 ♥➳✉ f n f ✈➔ g n g ❝ò♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ♣❤ù❝ a t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐ t❤➻ ❤♦➦❝ f, g s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët ❝➠♥ ❜➟❝ n + ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✱ ❤♦➦❝ f, g ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ♠ơ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➺ sè t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ ✤â✳ ❚ø ✤â✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❞ü❛ tr➯♥ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) ✭❇❤♦♦s♥✉r♠❛t❤ ✲ ❉②❛✈❛♥❛❧ ❬✶✵❪✱ ❋❛♥❣ ❬✶✽❪✮ ✈➔ ❝â ❞↕♥❣ [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) ✭①❡♠ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ▲✐♥✱ ❬✺✶❪✮✱ ✈➔ ❝â ❞↕♥❣ (f )( ) P (f ),✭ ①❡♠ ❑✳ ❇♦✉ss❛❢✲ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✲ ❏✳ ❖❥❡❞❛ ❬✶✶❪✮✳ ◆➠♠ ✶✾✾✼✱ t❤❛② ✈➻ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ n✱ ■✳ ▲❛❤✐r✐ ❬✸✻❪ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤æ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✸ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ữợ ự ❨✳ ❋❛♥❣ ✈➔ ▼✳ ▲✳ ❋❛♥❣ ❬✶✼❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♥➳✉ n ≥ 13, ✈➔ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f ✈➔ g, ♠➔ f (n) (f − 1)2 f ✈➔ g (n) (g − 1)2 g ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✱ t❤➻ f = g ❱➔♦ ❝✉è✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❝õ❛ t❤➟♣ ❦✛ ♥➔②✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ①❡♠ ①➨t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ▲❛✐♥❡ ✈➔ ❨❛♥❣ ❬✸✼❪ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❳✳ ❈✳✲◗✐✱ ▲✳✲❩✳ ❨❛♥❣ ✈➔ ❑✳ ▲✐✉ ❬✹✺❪ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝â ❞↕♥❣ f (z)(n) f (z + c), ✈➔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ f = tg ✱ ✈ỵ✐ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ s✐➯✉ ✈✐➺t ❝â ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ◆➠♠ ✷✵✵✼✱ ①✉➜t ♣❤→t tứ ỵ tự tt P õ þ t÷ð♥❣ ①➨t ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ✤è✐ ợ tự t ữủ ❝❤♦ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ f1 , f2 ✈➔ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K1 , K2 t❤ä❛ ♠➣♥ f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 ) ❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❋✳P❛❝❦♦✈✐❝❤ ✤÷đ❝ ✣✐♥❤ ❚✐➳♥ ữớ rở tr ứ ỵ tt t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤ ♥â✐ tr➯♥ ❝❤ó♥❣ tổ õ t t ỵ tt tự ❤❛✐ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①❡♠ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f ) = Q(g)✱ tø ✤â s✐♥❤ r❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ ✤✐➸♠✳ ❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ♥➔② ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭①❡♠ ❬✸❪✱ ❬✸✺❪✱ ❬✹✹❪✮ ♥➯✉ tr➯♥✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ tü ♥❤✐➯♥ ♥❤÷ s❛✉✳ ❳❡♠ ①➨t sỹ tữỡ tỹ ỵ tt ố ợ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✳ ❳❡♠ ①➨t ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠✱ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ tự q s ữợ õ ỵ tt ứ õ ú tổ t ởt số ỵ tt ự ❞ö♥❣ ✈➔♦ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t✧ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ự tr ỗ tớ õ ❧➔♠ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó t❤➯♠ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ỵ tt ỗ õ ữỡ ũ ợ ✤➛✉✱ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ợ tỹ ỵ tt ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✧✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✺❪✱ ❬✼❪✱ ❬✷✾❪✳ ự t ỗ ữợ s ữợ t t q tữỡ tỹ ỵ tt ố ợ ữợ ❈❤✉②➸♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❞✉② ♥❤➜t ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✈➔ ũ t q ữợ ữ t t tr ỵ tự t tt ự tä r➡♥❣✿ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠ët tự trữợ t tự ổ t➼❝❤ ✤÷đ❝ s➩ ❝❤ù❛ ❝ò♥❣ ♠ët sè ✤❛ t❤ù❝ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ✈➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ♠é✐ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ ✹ t➼❝❤ ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ❦❤ỉ♥❣ t➼♥❤ ✤➳♥ t❤ù tü ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❚ø ✤â✱ ♠ư❝ t✐➯✉ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔✿ ❚❤✐➳t ❧➟♣ t q tữỡ tỹ ỵ tự t tt ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣✱ ❝❤ù♥❣ ỵ tt tr ữớ ữ ổ tữỡ tỹ ữủ ỵ ❞♦ ❧➔ ð ❝❤é✱ ❘✐tt ✤➣ ❞ò♥❣ ✤➳♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✧❤ú✉ ❤↕♥✧ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ổ õ trữợ t ú tổ tt ỵ ỵ ởt ỵ tt tự ố ợ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ), ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❦✐➸✉ ❨✐ ✈➔ f1 , f2 , g1 , g2 ú ỵ r ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✷❪ ✈➔ ❬✸✷❪✱ t✉② ♥❤✐➯♥ ð ✤➙② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t q ữợ õ ỵ ❘✐tt t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ q ú tổ ự ữủ ỵ ởt t q tữỡ tỹ ỵ tt tự t ố ợ r ữỡ ỏ tr ự ỵ õ ỵ ỵ ỵ t t q ợ Bi U RSM ỵ r➡♥❣✱ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (P (f ))(k) ✱ ð ✤â P ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤â✳ ❑❤â ❦❤➠♥ ð ✤➙② ❧➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t ❤✐➺♥ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ tốt ỳ trữ f ợ ❤➔♠ ✤➳♠ ✈➔ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ (P (f ))(k) ✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤➣ ①➨t ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ✣â ❧➔ ❝→❝ ❞↕♥❣✿ [f n (f − 1)m ](k) ✈ỵ✐ f ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✭①❡♠ ❬✺✹❪✮✱ (f n )(k) ✈ỵ✐ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭①❡♠ ❬✶✵❪✮✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❣✐↔♠ ❜ỵt ❦❤â ❦❤➠♥ ♥➔② ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (P d (f ))(k) ❚ø ✤â ✈➔ ũ tữỡ tỹ ỵ tự ú tổ ữủ ỵ ✶✳✸✳✶✵✱ ✤â ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ t ố ợ tự ữỡ ợ tỹ ỵ tự tt ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✧✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❱➜♥ ✤➲ ✷✿ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤✱ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ tr trữớ ủ p ữợ õ ỵ tt tự ữỡ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✼❪✳ ◆❤÷ ✤➣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ð tr➯♥✱ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❝â ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤ó ✈à tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝✳ ❚r♦♥❣ ❬✸✶❪✱ ❑❤♦→✐✱ ❆♥ ✈➔ ▲❛✐ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f n )(k) ✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔✿ ♥➳✉ (f n )(k) ✈➔ (g n )(k) ♥❤➟♥ ❝❤✉♥❣ ❣✐→ trà ✶ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐ ✈ỵ✐ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✈➔ n, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ n ≥ 3k + t❤➻ f ✈➔ g s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët ❝➠♥ ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✳ ❚ø ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ù ♥❤➜t ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔✿ t❤❛② ✈➻ ①➨t ❝→❝ ❤➔♠ f, g ✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (P n (f ))(k) ✈➔ (Qn (g))(k) ♥❤➟♥ ❝ò♥❣ ♠ët ❣✐→ trà✱ ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣✳ ❚ø ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ữủ ỵ ỵ ởt t q✉↔ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ õ ú ỵ r n 3k + tr ỵ tốt ỡ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✺ n ≥ 3k + tr♦♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❑❤♦→✐✲❆♥✲▲❛✐ ✭①❡♠ ❬✸✶❪✮✳ ❚r♦♥❣ ❬✹✾❪ ❨❛♥❣ ✤➣ ✤➦t r❛ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ❧✐➺✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ f −1 (S) = g −1 (S) ✈ỵ✐ S = {−1, 1} ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❝ò♥❣ ❜➟❝ f, g s➩ ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ❤❛② ❧➔ f = −g ❄ ❈➙✉ ❤ä✐ ♥➔② ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ✤→♣ tr♦♥❣ ❬✹✷❪✱ ❬✹✸❪✳ ❚ø ✤â✱ ❝➙✉ ❤ä✐ t❤ù ❤❛✐ ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔✿ ❝❤♦ S, T ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ P (z), Q(z) t÷ì♥❣ ù♥❣ t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ❦➳t ❧✉➟♥ ❣➻ ✈➲ f, g Ef (S) = Eg (T ) ỵ ✷✳✷✳✽ ❝ò♥❣ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ ✷✳✷✳✾ ✈➔ ✷✳✷✳✶✵ ✤➣ ❣✐↔✐ ✤→♣ ❝❤♦ ❝➙✉ ❤ä✐ ✤➦t r❛ ✈➔ ❣â♣ ♣❤➛♥ tr↔ ❧í✐ ❈➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ❈✳❈✳❨❛♥❣ tr♦♥❣ ❬✸✽❪✱ ❈➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤ tr♦♥❣ ❬✹✹❪ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧➔ ỵ ởt ỵ tt tự ởt tỡ p ỵ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ p✲❛❞✐❝✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❝â t➯♥ ỵ tự tt ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✧✳ ❚r♦♥❣ ữỡ ú tổ ự ữợ õ ỵ tự tt ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✻❪ ✈➔ ❬✷✷❪✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✱ ❝❤õ ✤➲ ♥➔② ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣➛♥ ✤➙② ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ t✐➳♣ tư❝ ❜ð✐ ❈✳❨✳❋❛♥❣✲▼✳▲✳❋❛♥❣ ✭❬✶✼❪✮✱ ■✳▲❛❤✐r✐ ✭❬✸✻❪✮✱ ▲❛✐♥❡✲❨❛♥❣ ✭❬✸✼❪✮✱ ▲✐✉✲❈❛♦ ✭❬✸✾❪✮✱ ❳✳❈✳◗✐✱ ▲✳❩✳❨❛♥❣✲❑✳▲✐✉ ✭❬✹✺❪✮✱ ❈✳❈✳❨❛♥❣ ✭❬✺✵❪✮✱ ❍✳❳✳❨✐ ✭❬✺✷❪✮✱✳✳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♠ỵ✐ ❝❤➾ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝â ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ❜➟❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✳ ❘➜t ♥❤✐➲✉ t q tú ụ ữủ ố ợ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✭①❡♠ ❬✾❪✱ ❬✶✻❪✱ ❬✷✼❪✱ ❬✷✽❪✱ ❬✸✵❪✱ ❬✹✶❪✮✳ ❑✳❇♦✉ss❛❢✱ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ❏✳ ❖❥❡❞❛ ✭❬✶✶❪✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝ ♠➔ f P (f ), g P (g) ❝ò♥❣ ♥❤➟♥ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä✳ ❚r♦♥❣ ❬✾❪✱ ❏✳✲P✳ ❇❡③✐✈✐♥✱ ❑✳ ❇♦✉ss❛❢ ✈➔ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❧➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲ s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ f n f m (qz +c)✱ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f nm (z)f nd (qz + c))(k) ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛ ❬✹❪✱ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛✲❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ❬✻❪✱ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ❬✷✽❪ ✤➣ õ t q t ữợ ự ú þ r➡♥❣✱ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥➯✉ tr➯♥ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ự ỵ ộ ố ỳ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f ✈➔ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f (qz + c) ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✳ ◆â ❝❤➾ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝ ❞♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ p✲❛❞✐❝✳ ❉ò♥❣ ❇ê ✤➲ ỵ tự ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝✮ ✈➔ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ❦ÿ tt ú tổ t ữủ ỵ ỵ t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ p ỵ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❍ë✐ t❤↔♦ q✉è❝ t➳ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❧➛♥ t❤ù ✷✵ t↕✐ ❍➔ ◆ë✐ ♥❣➔② ✷✾✴✵✼✲✸✴✵✽✴✷✵✶✷❀ ❍ë✐ ♥❣❤à ❚♦→♥ ❤å❝ ♣❤è✐ ✻ ❤ñ♣ ❱✐➺t✲P❤→♣✱ ❍✉➳ ✷✵✲✷✹✴✵✽✴✷✵✶✷❀ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ✽✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣ ✶✵✲✶✹✴✵✽✴✷✵✶✸❀ ❍ë✐ ♥❣❤à ✣↕✐ sè✲ ❍➻♥❤ ❤å❝✲ ❚♦♣♦✱ ❇✉æ♥ ▼❛ ❚❤✉ët ♥❣➔② ✷✻✲ ✸✵✴✶✵✴✷✵✶✻❀ ❈→❝ ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥❀ ❈→❝ ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣ ✈➔ tr÷í♥❣ ❈❛♦ ✤➥♥❣ ❍↔✐ ❉÷ì♥❣✳ ✶✵ ❈❤♦ d, q, n, k ∈ N∗ ✈➔ a, b, , bi ∈ C❀ a, b, , bi = 0, i = 1, 2, , q ❳➨t ✤❛ t❤ù❝✿ P (x) = an xn + bn + (a1 x + b1 )n + · · · + (aq x + bq )n ❚❛ ❣å✐ P (x) ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✈➔ ✈✐➳t P (x) = R(x) + bn ✣➦t v1 = (a, 0)✱ v2 = (0, b)✱ vi = (ai−2 , bi−2 ), i = 3, , q + 2✳ ✣➦t A = α = (α1 , α2 ) ✱ ð ✤â α1 , α2 ❧➔ sè ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ t➟♣ {1, , q + 2}✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû α ∈ A✱ t❛ ✤➦t α = α1 , α2 ✱ ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❦➳t v Aα = vα1 α2 ●✐↔ sû r➡♥❣ R(ti ) + bn = ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ti ❝õ❛ P (x)✱ aj = ; i, j = 1, 2, , q; i = j bi bj ✭❇1 ) (B2 ) ▲➜② ❜➜t ❦➻ α, α , β, β ∈ A✳ ◆➳✉ α = α ✈➔ β = β ✱ ✈➔ α = β ❤♦➦❝ α = β t❤➻ ❞❡tAα ❞❡tAα n = ❞❡tAβ tA n (B3 ) ú ỵ r t❤ù❝ P (x) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (B1 ) ♥➯♥ s✉② r❛ r➡♥❣ P (x) ❝❤➾ ❝â ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ỡ ú tổ ự ỵ s ỵ ✶✳✸✳✸✳ ●✐↔ sû P (x) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✈➔ S ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (B1), (B2), (B3) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ n ≥ (2q +3) ✱ q ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â S ❧➔ ♠ët U RSM ✳ ✣à♥❤ ỵ s t q t t ố ợ tự ỵ ✶✳✸✳✶✵✳ ❈❤♦ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈➔ P (x) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤➜♣2 ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (B1), (B2), (B3) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ n ≥ (2q+3) ✱ q ≥ ✈➔ d ≥ 3k + 5✳ ◆➳✉ (P d (f ))(k) ✈➔ (P d (g))(k) ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✱ t❤➻ f = g✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ t q tữỡ tỹ ỵ tt õ ỵ ỵ ú tỉ✐ ❝ơ♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ Bi U RSM ỵ ởt t q U RSM ỵ ởt t q t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ỵ ữỡ ỵ tự ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tổ ỵ K ởt trữớ õ số ✤➦❝ sè ✵✱ ✤➛② ✤õ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❣✐→ trà tt ố ổst ỵ | | ①→❝ ✤à♥❤ ❝â sè ♣❤➛♥ tû ♥❤ä ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ K ❧➔ t➟♣ ❝â 10 ♣❤➛♥ tû ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❍✉ ✈➔ ❨❛♥❣ ❬✷✸❪✳ ●➛♥ t q ụ ữủ ố ợ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❝â ❞↕♥❣ (f n )(k) ✭❆♥✱ ❍♦❛✱ ✈➔ ❑❤♦❛✐ ❬✻❪❀ ❑❤♦❛✐✱ ❆♥✱ ✈➔ ▲❛✐ ❬✸✵❪✮ ✈➔ ❝â ❞↕♥❣ (f )( ) P (f ) ✭❇♦✉ss❛❢✲ ❊s❝❛ss✉t✲ ❖❥❡❞❛ ❬✶✶❪✮✳ ❚r♦♥❣ ❬✸✵❪ ❑❤♦❛✐✱ ❆♥✱ ✈➔ ▲❛✐ ự t q s ỵ f (z) ✈➔ g(z) ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ n, k ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ n ≥ 3k + ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ (f n)(k) ✈➔ (gn)(k) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐ t❤➻ f (z) = tg(z) ✈ỵ✐ t ❧➔ ❤➡♥❣ sè t❤ä❛ ♠➣♥ tn = ❚r♦♥❣ ❬✹✾❪ ❨❛♥❣ ✤➣ ✤➦t r❛ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ❧✐➺✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ f −1 (S) = g −1 (S) ✈ỵ✐ S = {−1, 1} ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❝ò♥❣ ❜➟❝ f, g s➩ ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ❤❛② ❧➔ f = −g ❄ ❈➙✉ ❤ä✐ ♥➔② ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ✤→♣ tr♦♥❣ ❬✹✷❪✱ ứ õ tr ữỡ ỵ tữ ỵ tự tt ữủ tỹ ữ s t ởt số ỵ tữỡ tỹ ỵ tt tự ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ K✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❣â♣ ♣❤➛♥ tr↔ ❧í✐ ❈➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ❈✳❈✳❨❛♥❣ ❬✹✾❪✱ ❝õ❛ ❋✳P❛❝❦♦✈✐❝❤ ❬✹✸❪ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p✲❛❞✐❝✳ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✳ ✶✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❍➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ f tr➯♥ K ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❍➔♠ f tr➯♥ K, ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥➳✉ f = ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ K ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣✳ f1 ✱ ✈ỵ✐ f1 f2 f2 ỵ log ❧➔ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t ❝ì sè ρ > 1, ln ❧➔ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t ❝â ❝ì sè e✱ A(K) ❧➔ ✈➔♥❤ ❝→❝ tr K, ỵ M(K) trữớ ỵ K = K {∞} ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tr♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ✤➳♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➸✉ ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ ỡ tự ũ ợ q ❝õ❛ ♥â ✈➔ ♠ët sè ❦✐➸✉ ❇ê ✤➲ ❇♦r❡❧✳ ✷✳✷✳ ỵ tự tt ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ trữợ t ú tổ ữ r ởt số s❛✉✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✶✳ ❬✸✵❪ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ n, k ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ϕ❝❤♦ n > k ✈➔ a ❧➔ ♠ët ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ✶✳ (f n)(k) = (z − a)k np+k , ð ✤â p = µ∞f (a), ϕk (a) = ✷✳ hk (f n )(k) = , f n−k (z − a)pk+k ð ✤â p = µ∞f (a), hk (a) = ▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ❇ê ✤➲ ✷✳✼ ❬✼❪ t❛ ❝â ❇ê ✤➲ s❛✉✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ f ✱ (f )(k) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ k ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â T (r, (f )(k) ) ≤ (k + 1)T (r, f ) + O(1) ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✳ ❬✸✵❪ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ n, k ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ n ≥ k + ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â T (r, f ) ≤ T (r, f n )(k) ) + O(1), ✈➔ (f n)(k) ❧➔ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✹✳ ❬✸✵❪ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ n, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ n > 2k ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ✶✳ (n − 2k)T (r, f ) + kN (r, f ) + N r, n1 (k) ≤ T (r, (f n)(k)) + O(1); (f ) f n−k ✶✸ ✷✳ N r, (f n )(k) f n−k ≤ kT (r, f ) + kN1 (r, f ) + O(1) ▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✵ ❬✼❪ t❛ ❝ô♥❣ ❝â ❇ê ✤➲ s❛✉✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ n, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ n > 2k, ❝❤♦ P (z) ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ d > 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ✶✳ (n − 2k)dT (r, f ) + kN (r, P (f )) + N r, n (k) ((P (f )) ) (P (f ))n−k ≤ T (r, ((P (f ))n )(k) ) + O(1) ≤ (k + 1)ndT (r, f ) + O(1) ✷✳ N r, ((P (f ))n )(k) (P (f ))n−k ≤ kdT (r, f ) + kN1 (r, P (f )) + O(1) = kdT (r, f ) + kN1 (r, f ) + O(1) ≤ k(d + 1)T (r, f ) + O(1) ❇➙② ❣✐í✱ ❝❤♦ d, m, n, k ∈ N∗ ✈➔ a1 , b1 , c, a2 , b2 ∈ K❀ a1 , b1 , c, a2 , b2 = 0✳ ✣➦t P (z) = z d + a1 z d−m + b1 , Q(z) = z d + a2 z d−m + b2 , ✭✷✳✶✮ ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ d ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ tr♦♥❣ K[z] ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❜ë✐✳ ❑➳t q✉↔ s❛✉ rở ỵ tr trữớ ổst ỵ d ≥ 2m + ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ ❤♦➦❝ (d, m) = ✈➔ m ≥ 2✱ c = 0✱ P (z), Q(z) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✮✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P (f ) = cQ(g) ❝â ♥❣❤✐➺♠ (f, g) ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳ ❑❤✐ ✤â g = hf ✈ỵ✐ h ∈ K s❛♦ ❝❤♦ hd = 1c = bb2 ✱ a2 m h = a1 ỵ s t q ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝❤♦ tr trữớ ổst ỵ ❈❤♦ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ P (z), Q(z) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✮✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ n ≥ 3k + 5✱ d ≥ 2m + ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ ❤♦➦❝ (d, m) = ✈➔ m ≥ 2✳ ◆➳✉ (P n (f ))(k) ✈➔ (Qn (g))(k) ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❝â t➼♥❤ ❜ë✐✱ t❤➻ b2 a2 g = hf ✈ỵ✐ h ∈ K t❤ä❛ ♠➣♥ hd = ✱ hnd = 1, hm = ✳ b a 1 ✶✹ ✣à♥❤ ỵ f, g ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ P (z), Q(z) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✮✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ d ≥ 2m + ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ ❤♦➦❝ (d, m) = ✈➔ m ≥ 2✳ ◆➳✉ P (f ) ✈➔ Q(g) ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❝â t➼♥❤ ❜ë✐✱ t❤➻ g = hf ✈ỵ✐ h ∈ K s❛♦ ❝❤♦ hd = bb2 ✱ hm = aa2 ✳ 1 ❚❛ ❝â ❤❛✐ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ q S, T tữỡ ự ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ P (z), Q(z) ✈➔ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ d ≥ 2m + ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ ❤♦➦❝ (d, m) = ✈➔ m ≥ 2✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ Ef (S) = Eg (T ) t❤➻ g = hf ✈ỵ✐ h ∈ K t❤ä❛ ♠➣♥ a2 b2 hd = ✱ hm = ✳ b a 1 ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✶✵✳ ❈❤♦ S ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ P (z) ✈➔ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ d ≥ 2m + 8✱ (d, m) = ✈➔ m ≥ 2✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ Ef (S) = Eg (S) t❤➻ f = g✳ ✷✳✸✳ ỵ tự tt ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ♠ỉ t↔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f1 , , fs+1 ) = Q(g1 , , gs+1 ), ð ✤â P, Q ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ✈➔ f1 , , fs+1 ; g1 , , gs+1 ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ rữợ t ú tổ ổ t ợ tự rtr ợ số ữỡ d > m ✈➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ a, b ∈ K t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤❛ t❤ù❝ ❨✐✬ ♥❤÷ s❛✉ Ym,d (a, b, z1 , z2 ) = z1d + az1d−m z2m + bz2d ❈❤♦ n ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ỵ a = (a1 , a2 , , an ), b = (b1 , b2 , , bn )✱ ✈ỵ✐ , bi , (i = 1, 2, , n), ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳ ✣➦t Pa,b,m,d,1 (z1 , z2 ) = Ym,d (a1 , b1 , z1 , z2 ), ✈➔ ✈ỵ✐ i = 2, 3, , n, ✤➦t i−1 d Pa,b,m,d,i (z1 , z2 , , zi+1 ) = Ym,d (ai , bi , Pa,b,m,d,i−1 , zi+1 ), ð ✤â Pa,b,m,d,i , i = 1, 2, , s ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❜➟❝ di ✈ỵ✐ ❝→❝ ❜✐➳♥ z1 , z2 , , zi+1 ứ ỵ t ❝â ❜ê ✤➲ s❛✉✳ ✶✺ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✶✳ ❈❤♦ d, m ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ d ≥ 2m + 8, ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ ❤♦➦❝ (d, m) = f1 , f2 , g1 , g2 ✈➔ m ≥ 2❀ ✈➔ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ a1, b1, a2, b2, c ∈ K✳ ●✐↔ sû ❧➔ ❝→❝ ổ ỗ t ổ tọ ữỡ tr ❤➔♠ f1d + a1 f1d−m f2m + b1 f2d = c(g1d + a2 g1d−m g2m + b2 g2d ) ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ✭✷✳✷✮ g1 = lf1 , g2 = hf2 , ✈ỵ✐ h, l ∈ K s❛♦ ❝❤♦ = cld, a1 = ca2ld−mhm, b1 = cb2hd ❚ø ✤â✱ t õ t q s ỵ a = (a1, , an), b = (b1, , bn), a ✈➔ ❝❤♦ d ≥ 2m + 8✱ ✈➔ ❤♦➦❝ m ≥ 2✱ (d, m) = 1, ❤♦➦❝ = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) m ≥ ❑❤✐ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Pa,b,m,d,n (f1 , f2 , , fn+1 ) = Pa ,b ,m,d,n (g1 , g2 , , gn+1 ) ✭✷✳✸✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ (f1, , fn+1, g1, , gn+1), ✈ỵ✐ {f1, f2, , fn+1} ✈➔ {g1, g2, , gn+1} ❧➔ ❝→❝ ❤å ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ K✱ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ bi a i i−1 = tdi , i = tdi m , i = 1, , n, bi ✈ỵ✐ ti ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ ✭✷✳✹✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ t❤➻ t❛ ❝â gi = lifi, i = 1, 2, , n + 1, ✈ỵ✐ li ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ s❛♦ ❝❤♦ n l1d = 1, bi l1 = bi li+1 di , l1 = li+1 di−1 m , i = 1, , n ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ✤÷❛ r❛ ♠ët số ỵ s (C1 ) : ❈❤♦ ui , i = 1, , q ❧➔ ❤➺ ✈➨❝ tì ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t tr♦♥❣ Kn+1 , q ≥ n + ❱ỵ✐ α1 , , αn+1 ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➟♣ Q = {α = (α1 , , αn+1 ) : ≤ α1 , , αn+1 ≤ q} ❱ỵ✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû α = (α1 , , αn+1 ) ∈ Q, ✤➦t α = {α1 , , αn+1 } ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❦➳t uα1 uα2 Aα = un+1 ỵ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤ tø {1, 2, , q} ✤➳♥ {1, 2, , q} , σ(α) = (σ(α1 ), , σ(αn+1 )), σ(α) = {σ(α1 ), , σ(αn+1 )} ❱ỵ✐ ❤❛✐ ✈➨❝ tì w = (w1 , , wn+1 ), x = (x1 , , xn+1 ) ❜➜t ❦ý ❝õ❛ Kn+1 t ỵ w ã x = w1 x1 + ã ã ã + wn+1 xn+1 ỵ ω1 , , ωq ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ s❛♦ ❝❤♦ ωid = 1, d ∈ N∗ , ω1 0 ω Ωα = ✳✳ ✳✳ ✳ ✳ ωαn+1 ❱ỵ✐ n + ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ f1 , , fn+1 , ✤➦t f˜ = (f1 , , fn+1 ), t❛ ỵ f1 f2 f t = ✳✳ ✳ fn+1 (C2 )✿ ◆➳✉ α = α ❤♦➦❝ β = β ✈➔ ♥➳✉ α = β ❤♦➦❝ α = β t❤➻ d detAα detAα = detAβ detAβ d ❄ ▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ữ ỵ ũ ✷✳✶✳✶✺ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜ê ✤➲ s❛✉✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✸✳ ❈❤♦ q, d, n ∈ N∗, d ≥ 4q2 − 4q, q ≥ n + ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ q n d j=1 ✭✷✳✺✮ (uj · g)d (uj · f ) = j=1 ð ✤â f = (f1, , fn+1), g = (g1, , gn+1) ✈➔ {f1, , fn+1}, {g1, , gn+1} ❧➔ ❤❛✐ ❤➺ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ●✐↔ sû r➡♥❣✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C2) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✺✮ ❧➔ (cg1 , , cgn+1 , g1 , , gn+1 ) ✈ỵ✐ cd = ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✹✳ ❈❤♦ q, k, d, n ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ d ≥ 4q2 − 2q + k − 1, q ≥ n + ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ q q (uj · f˜) j=1 (k) (uj · g˜) = (k) , ✭✷✳✻✮ j=1 ð ✤â f˜ = (f1, , fn+1), g˜ = (g1, , gn+1) ❧➔ ❤❛✐ ❤➺ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C1), (C2) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✻✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ (f1, , fn+1, g1, , gn+1) ✈ỵ✐ {f1, , fn+1}, {g1, , gn+1} ❧➔ ❤❛✐ ❤➺ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ K ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â fi = cgi , i = 1, , n + 1, ✈ỵ✐ cd = 1✳ ❚ø ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✶✱ t ữủ ỵ s ỵ ✷✳✸✳✺✳ ❈❤♦ q, d, n ∈ N∗, k ∈ N, q ≥ n + ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ q q (ui · f˜)d (k) (ui · g˜)d = i=1 (k) ✭✷✳✼✮ i=1 ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C1), (C2) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✼✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ (f1 , , fn+1 , g1 , , gn+1 ) ✈ỵ✐ {f1 , , fn+1 } ✈➔ {g1 , , gn+1 } ❧➔ ❤❛✐ ❤➺ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â fi = cgi, i = 1, , n + 1, ✈ỵ✐ cd = ♥➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿2 ✶✳ k = ✈➔ d ≥ 4q − 4q; ✷✳ k > ✈➔ d ≥ 4q2 − 2q + k − ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✻✳ ❈❤♦ q, d, n ∈ N∗, k ∈ N ✈➔ {f1, , fn+1} ❧➔ ❤➺ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝â q ✶✳ j=1(uj · f˜)d ♥❤➟♥ ♠å✐ ❣✐→ trà a ∈ K ♥➳✉ d ≥ q2 − 1, q ≥ n + 1❀ ✷✳ qj=1(uj · f˜)d (k) ♥❤➟♥ ♠å✐ ❣✐→ trà a ∈ K ♥➳✉ d ≥ q2 − q + k, q ≥ n + 1✳ ❳➨t ✤❛ t❤ù❝ n + ❜✐➳♥ ❜➟❝ d ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ q (uj · x)d , P (x1 , , xn+1 ) = j=1 ð ✤â uj , xj , j = 1, , q ữủ (C1 ) ỵ ✷✳✸✳✼✳ ❈❤♦ P (f1, , fn+1) ✈➔ P (g1, , gn+1) ữủ ữ tr ợ (f1 , , fn+1 ) ✈➔ (g1 , , gn+1 ) ❧➔ ❤❛✐ ❤➺ (n + 1) ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ●✐↔ sû d, q, n ∈ N∗, q ≥ n + 2, k ∈ N ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C1), (C2) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â ✶✳ ◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿ ✭✐✮✳ P (k)(f1, , fn+1) ✈➔ P (k)(g1, , gn+1) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐✱ k > 0, d ≥ 4q2 − 2q + k − 1; ✭✐✐✮✳ P (f1, , fn+1) ✈➔ P (g1, , gn+1) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐ ✈➔ d ≥ 4q2 − 4q; t❤➻ fi = αgi, i = 1, , n + 1, ✈ỵ✐ α ∈ K, α = ✷✳ ◆➳✉ P (k)(f1, , fn+1) ✈➔ P (k)(g1, , gn+1) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐ ✈➔ d ≥ 4q2 − 2q + k t❤➻ fi = αgi, i = 1, , n + 1, ✈ỵ✐ α ∈ K, αd = 1✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝✿ ✲ ❍❛✐ ỵ tự tt ❤➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ K ✣â ❧➔ ỵ ỵ ❦➳t q✉↔ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ õ ỵ q ỵ ữỡ ỵ tự ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✐➳t ởt số tữỡ tỹ ỵ tự ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ❝❤♦ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ f n f m (qz + c) ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f nm f nd (qz + c))(k) , ð ✤â q, c ∈ K ✈ỵ✐ |q| = ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ K ❚ø ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝â ❞↕♥❣ tr➯♥✳ ổ ự ỵ ỵ tt ỵ ữủ ũ ữ tr ữỡ r❛✱ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔✳ ✸✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t q trủ rữợ t ú tổ tr ❜➔② ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ q r sốt ữỡ ú tổ ỵ K ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ✤â♥❣ ✤↕✐ sè ✤➦❝ sè ✵✱ ✤➛② ✤õ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ỵ | | f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ K ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ f n (z)f m (qz + c) ợ z K ữủ t qs ♣❤➙♥ ❝õ❛ f ✳ ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✷✳ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ F = 1 F G ,G = , L= − f −1 g−1 F G ✶✾ ✶✳ ◆➳✉ Ef (1) = Eg (1) ✈➔ L ≡ t❤➻ 1 T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, ) + N2 (r, g) + N2 (r, ) − log r + O(1), f g ụ õ t tự tữỡ tỹ ố ợ T (r, g)❀ ✷✳ ◆➳✉ E f (1) = E g (1) ✈➔ L ≡ t❤➻ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉ ✤➙② ①↔② r❛✿ 1 i) T (r, f ) ≤ N1 (r, f ) + N1 (r, ) + N1 (r, g) + N1 (r, ) − log r + O(1), f g ✈➔ ❝ô♥❣ ❝â t tự tữỡ tỹ ố ợ T (r, g) ✐✐✮ f g ≡ 1; ✐✐✐✮ f ≡ g ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✸✳ ❬✸✵❪ ❈❤♦ ❢ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ n, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ n > 2k ❑❤✐ ✤â✱ ❝â f n−k ✶✳ (n − 2k)T (r, f ) + kN (r, f ) + N (r, (f n)(k) ) ≤ T (r, (f n)(k)) + O(1); ✷✳ f n−k N (r, n (k) ) ≤ kT (r, f ) + kN1 (r, f ) + O(1) (f ) ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✹✳ ❈❤♦ ❢ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K ✈➔ q, c ∈ K, |q| = ❑❤✐ ✤â + c) ) = O(1); ✶✳ m(r, f (qz f (z) f (z) ✷✳ m(r, f (qz ) = O(1); + c) ✸✳ T (r, f (qz + c)) = T (r, f (z)) + O(1); ) + O(1); ✹✳ N (r, f (qz1+ c) ) = N (r, f (z) ✺✳ N (r, f (qz + c)) = N (r, f (z)) + O(1) ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✺✳ ❈❤♦ ❢ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K✱ |q| = 1, ✈➔ n, m, d, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ m > d, d ≥ 1, n > 2k ❑❤✐ ✤â ✶✳ (m − d)T (r, f ) ≤ T (r, f m(z)f d(qz + c)) + O(1); ✷✳ (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, f m(z)f d(qz + c))+ N (r, ✸✳ (f m (z)f d (qz + c))n−k ) ≤ T (r, (f nm (z)f nd (qz + c))(k) ) + O(1); nm nd (k) (f (z)f (qz + c)) (f m (z)f d (qz + c))n−k N (r, nm ) ≤ k(m + d)T (r, f )+ (f (z)f nd (qz + c))(k) kN1 (r, f m (z)f d (qz + c)) + O(1) ≤ k(m + d + 2)T (r, f ) + O(1) ✷✵ ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✻✳ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K✳ ◆➳✉ E f (1) = E g (1)✱ ✶✳ t❤➻ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ s❛✉ ①↔② r❛✿ 1 T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, ) + N2 (r, g) + N2 (r, ) f g 1 +2(N1 (r, f ) + N1 (r, )) + N1 (r, g) + N1 (r, ) − log r + O(1), f g ✈➔ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ tự tữỡ tỹ ố ợ T (r, g) f g 1; f g ỵ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✶✳ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, q, c ∈ K, |q| = 1, ✈➔ ❝❤♦ m, n ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ n > m ✳ ❑❤✐ ✤â ✐✮ ◆➳✉ f n(z)f m(qz + c).gn(z)gm(qz + c) = ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ K t❤➻ f = gl ✈ỵ✐ ln+m = 1✱ c = 0, l ∈ K ✐✐✮ ◆➳✉ f n(z)f m(qz + c) = gn(z)gm(qz + c) ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ K t❤➻ f = lg ✈ỵ✐ ln+m = 1✱ l ∈ K ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✷✳ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n n m ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ n ≥ m + 4✳ ❑❤✐ ✤â f trà a ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ K (z)f (qz + c) ♥❤➟♥ ♠å✐ ❣✐→ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ p ỵ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, n số n n ữỡ ợ n ≥ 13, q, c ∈ K, |q| = ●✐↔ sû r➡♥❣ f f (qz + c) ✈➔ g g(qz + c) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐✳ ❑❤✐ ✤â f = gl ✈ỵ✐ ln+1 = 1, ❤♦➦❝ f = hg ợ hn+1 = ỵ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, n số n n ữỡ ợ n 25, q, c ∈ K, |q| = ●✐↔ sû r➡♥❣ f f (qz + c) ✈➔ g g(qz + c) ♥❤➟♥ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✳ ❑❤✐ ✤â f = gl ✈ỵ✐ ln+1 = 1, ❤♦➦❝ f = hg ✈ỵ✐ hn+1 = ỵ f, g ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ Kn, n,mm ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ n ≥ m + 16, m ≥ 2, q, c ∈ K, |q| = 1✳ ●✐↔ sû f f (qz + c) ✈➔ l g n g m (qz + c) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐✳ ❑❤✐ ✤â f = ✈ỵ✐ ln+m = 1, ❤♦➦❝ f = hg ợ g hn+m = ỵ ❈❤♦ f, g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ Kn, n,mm ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ n ≥ m + 28, m ≥ 2, q, c ∈ K, |q| = 1✳ ●✐↔ sû f f (qz + c) ✈➔ l g n g m (qz + c) ♥❤➟♥ ✶ ■▼✳ ❑❤✐ ✤â f = ✈ỵ✐ ln+m = 1, ❤♦➦❝ f = hg ✈ỵ✐ hn+m = 1✳ g ✣à♥❤ ỵ f, g ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, n, m ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ q, c ∈ K, |q| = 1✳ ❑❤✐ ✤â f = gl ✈ỵ✐ ln+m = 1, ❤♦➦❝ f = hg ✈ỵ✐ hn+m = ♥➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② ①↔② r❛✿ ✶✳ m = 1, n ≥ 13 ✈➔ f nnf (qz + c) ✈➔ gnng(qz + c) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐❀ ✷✳ m = 1, n ≥ 25 ✈➔ f f (qzn +mc) ✈➔ g g(qz +n c)m ♥❤➟♥ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐❀ ✸✳ m ≥ 2, n ≥ m + 16 ✈➔ f nf m(qz + c) ✈➔ gngm(qz + c) ♥❤➟♥ ❝â t➼♥❤ ❜ë✐❀ ✹✳ m ≥ 2, n ≥ m + 28 ✈➔ f f (qz + c) ✈➔ g g (qz + c) ♥❤➟♥ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✳ ✸✳✸✳ ỵ tự tt ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ❇ê ✤➲ ✸✳✸✳✶✳ ❈❤♦ q, c ∈ K ✈ỵ✐ |q| = 1, n, m, d, k số ữỡ ợ õ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ n > 2k + 1, m > d f nm f nd (qz + c) (k) g nm g nd (qz + c) (k) ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ (f, g) ✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ f nm f nd (qz + c) (k) = g nm g nd (qz + c) =1 (k) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ (f, g) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f = hg ✈ỵ✐ h ∈ K ✈➔ hn(m+d) = ỵ s t ởt số t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p✲❛❞✐❝✳ ✣à♥❤ ỵ f g ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, q, c ∈ K, |q| = 1, ❝❤♦ n, m, d, k ✱ ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ m > d ≥ 1, n ≥ k(m + d) + 16 2k + ◆➳✉ (f nm (z)f nd (qz + c))(k) ✈➔ (g nm (z)g nd (qz + c))(k) ♥❤➟♥ ✶ m−d ❈▼✱ t❤➻ f = hg ✈ỵ✐ hn(m+d) = 1✱ h ∈ K ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, q, c ∈ K, |q| = 1, ✈➔ ❝❤♦ n, m, d, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ m > d ≥ 1, n ≥ 2k(2m + 2d + 3) + 28 ◆➳✉ (f nm (z)f nd (qz + c))(k) ✈➔ (g nm (z)g nd (qz + c))(k) 2k + m−d ♥❤➟♥ ✶ ■▼✱ t❤➻ f = hg ợ hn(m+d) = h K ỵ ỵ f g ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ K, q, c ∈ K, |q| = 1, ✈➔ ❝❤♦ n, m, d, k ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ m > d ≥ ❑❤✐ ✤â f = gh ✈ỵ✐ hn(m+d) = 1, h ∈ K ♥➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿ ✶✳ n ≥ 2k + k(m+d)+16 ✈➔ (f nm(z)f nd(qz + c))(k) ✈➔ (gnm(z)gnd(qz + c))(k) ♥❤➟♥ ✶ m−d ❈▼❀ ✷✳ n ≥ 2k + 2k(2m+2d+3)+28 ✈➔ (f nm(z)f nd(qz + c))(k) ✈➔ (gnm(z)gnd(qz + c))(k) ♥❤➟♥ m−d ✶ ■▼✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✶✱ ✸✳✸✳✶ ♥❤÷ ❧➔ ❤❛✐ ❦✐➸✉ ỵ tt tự t q s ❞↕♥❣ f n f m (qz + c) ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f nm f nd (qz + c))(k) , ð ✤â q, c ∈ K ✈ỵ✐ |q| = ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ K ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝â tr õ ỵ ú ỵ r t q ữ õ tr tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✳ ✷✸ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ▲✉➟♥ →♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ p✲❛❞✐❝✱ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ tữỡ tỹ ỵ tt ố ợ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❆❝s✐♠❡t✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t ữủ ởt ỵ tữỡ tỹ ỵ tự tt ỵ ởt ỵ tữỡ tỹ ỵ tự t tt ỵ t ữủ ởt t q Bi U RSM ỵ ởt t q U RSM ỵ ởt t q t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ỵ t ỵ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✈❡❝✲tì tr ởt trữớ ổst ỵ ỵ t ữủ t q ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ỵ q ỵ t ữủ ỵ tt t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ f n f m (qz + c) ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f nm f nd (qz+c))(k) , ð ✤â q, c ∈ K ✈ỵ✐ |q| = ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ K, ✈ỵ✐ K ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤ỉ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✭❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✶✱ ❇ê ✤➲ ✸✳✸✳✶✮✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ s õ tr ỵ ỳ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ t✐➳♣ tö❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✶✳ ❚✐➳♣ tö❝ ự tữỡ tỹ ỵ tt ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ ♣✲❛❞✐❝✳ ✷✳ ❚✐➳♣ tư❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ự ỵ tt t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ✈➔ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳ ✷✹ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❈ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❝ỉ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤➲ t➔✐ ✶✳ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❍♦❛ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧ ❆♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ▼❛s♦♥✬s t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ♣✲❛❞✐❝ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ s❡✈❡r❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✧✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡✱ ◆❳❇ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ P❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ✺✸✭✶✮✱ ♣♣✳ ✶✷✲✷✶✳ ✷✳ ❱✉ ❍♦❛✐ ❆♥✱ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❍♦❛ ✭✷✵✶✷✮✱ ✧❆ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❍❛②♠❛♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❢♦r ♣✲❛❞✐❝ s❡✈❡r❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞✐❢❢❡r❡♥❝❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✧✱ ■♥t❡rr❛❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ r❡❛❧ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡① ❛♥❛❧②s✐s✱ ❙❝✐✳ ❚❡❝❤♥✐❝s P✉❜❧✳❍♦✉s❡✱ ❍❛♥♦✐✱ ♣♣✳ ✶✺✷✲✶✻✶✳ ✸✳ ❱✉ ❍♦❛✐ ❆♥✱ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❍♦❛✱ ❛♥❞ ❍❛ ❍✉② ❑❤♦❛✐ ✭✷✵✶✼✮✱ ✧❱❛❧✉❡ s❤❛r✐♥❣ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s ❢♦r ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ❞✐❢❢❡r❡♥❝❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❛ ♥♦♥✲❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❢✐❡❧❞✧✱ ♣✲❆❞✐❝ ◆✉♠❜❡rs✱ ❯❧tr❛♠❡tr✐❝ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s✱ ❱♦❧✉♠❡ ✾✱ ■ss✉❡ ✶✱ ♣♣✳ ✶✕✶✹✳ ✹✳ ❱✉ ❍♦❛✐ ❆♥✱ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❍♦❛ ✭✷✵✶✼✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♥♦♥✲ ❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✧✱ ❆♥✲ ♥❛❧❡s ❯♥✐✈✳❙❝✐✳❇✉❞❛♣❡st✱ ❙❡❝t✳ ❈♦♠♣✱ ✹✻✱ ♣♣✳✷✽✾✲✸✵✷✳ ✺✳ ❍❛ ❍✉② ❑❤♦❛✐✱ ❱✉ ❍♦❛✐ ❆♥✱ ❛♥❞ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❍♦❛ ✭✷✵✶✼✮✱ ✧❖♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✱ ❆r❝❤✐✈ ❞❡r ▼❛t❤❡♠❛t✐❦✱ ❙♣r✐♥❣❡r ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ P✉❜❧✐s❤✐♥❣✱ ❱♦❧✉♠❡ ✶✵✾✱ ■ss✉❡ ✻✱ ♣♣ ✺✸✾✕✺✹✾✳ ✻✳ ❱✉ ❍♦❛✐ ❆♥✱ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❍♦❛✱ ❛♥❞ ❍❛ ❍✉② ❑❤♦❛✐ ✭❙✉❜♠✐t✮✱ ✧❯♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡✲ ♦r❡♠s ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✧✳ ... NGUYÊN Vào hồi ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia; - Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC... ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ỡ ỵ tt số t r số n t ữợ ❞↕♥❣ t➼❝❤ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝â ❞↕♥❣ mk n = pm pk , ✈ỵ✐ k ≥ 1, ð ✤â ❝→❝ t❤ø❛ sè... ú tổ ổ t ợ tự rtr ợ số ữỡ d > m ✈➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ a, b ∈ K t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤❛ t❤ù❝ ❨✐✬ ♥❤÷ s❛✉ Ym,d (a, b, z1 , z2 ) = z1d + az1d−m z2m + bz2d ❈❤♦ n ❧➔ ♠ët số ữỡ ỵ a = (a1 , a2 ,