MỘT số DẠNG của ĐỊNH lý RITT và ỨNG DỤNG vào vấn đề DUY NHẤT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐAI HOC SƯ PHẠM > > _ • PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hồi An GS.TSKH Hà Huy Khối Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hồi An Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Tác giả Phạm Ngọc Hoa Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hoài An Các thầy truyền cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập say mê nghiên cứu khoa học Với lòng tri ân sâu sắc, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc hai thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tồn thể giáo viên khoa, đặc biệt tổ Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp dở tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Cao đẳng Hải Dương, Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, giảng viên Khoa Tự Nhiên tạo điều kiện thuận lợi giúp dở tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ mơn Tốn Giải tích Tốn ứng dụng Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Thăng Long Trường Cao đẳng Hải Dương giúp dở, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân gia đình, đặc biệt chồng hai trai, người chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hồn thành luận án Tác giả Phạm Ngọc Hoa ill Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Định lý lý thuyết số phát biểu số nguyên n > biểu diễn dạng tích số nguyên tố có dạng n = pm Pkk , với k > 1, ỏ thừa số nguyên tố Pi, , pk đôi phân biệt số mũ tương ứng m1 > 1, , mk > xác định cách theo n Ritt người tương tự định lý đa thức Để mô tả kết Ritt, ta kí hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) tập hàm phân hình (tương ứng, ngun) C kí hiệu L(C) tập đa thức bậc Đặt E, F tập khác rỗng M(C), hàm phân hình F(z) gọi khơng phân tích Ex F cách viết thành nhân tử F(z) = f o g(z) với f (z) E E g(z) E F kéo theo f tuyến tính g tuyến tính Năm 1922, Ritt [46] chứng minh định lý sau Định lý A (Định lý thứ Ritt) Cho F ỉà tập khác rỗng C[z] \ L(C) Nếu đa thức F(z) có hai cách phân tích khác thành đa thức khơng phân tích Fx F: F = ựi o o • •• ^r = ýi o Ỷ o •• • 'ộs, r = s, bậc đa thức với bậc đa thức ip khơng tính đến thứ tự xuất chúng Cũng [46], Ritt chứng minh định lý sau Định lý B (Định lý thứ hai Ritt) Giả sử a, b,c,d E C[x] \ C thỏa mãn aob = cod gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = Khi tồn hàm tuyến tính lj E C[x] cho (l o a o l , l- o b o l ,l o c o l ,l-1 o d o l3) có dạng (F F F F ) hoăc n ± m m ± n) ibuụLs (x n , x s h(x n ), x s h(x) n , x n ), m,n > nguyên tố nhau, s > nguyên tố với n, h e C[x] \xC[x], l~ l hàm ngược lj, F n , F m đa thức Chebychev Ổ đây, phép phân tích F(z) = f o g(z) phép hợp thành F(z) = f (g(z)) Do đó, ta thấy Định lý thứ hai Ritt mô tả nghiệm phương trình a(b) = c(d), ỗ a,b,c,d đa thức bậc đa thức nguyên tố Rõ ràng phương trình đa thức Ritt nghiên cứu trường hợp riêng phương trình hàm P(f) = Q(g), P, Q đa thức f,g hàm phân hình Phương trình hàm P(f) = Q(g) nghiên cứu bỏi nhiều tác Tạ Thị Hoài AnNguyễn Thị Ngọc Diệp [3], H.Fujimoto [19], Hà Huy Khoái-C.C.Yang [35], P.Pakoviclì [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51], Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định hàm phân hình-một ứng dụng lý thuyết phân bố giá trị Vấn đề xác định nghiên cứu lần bỏi R.Nevanlinna Năm 1926, R.Nevanlinna chứng minh rằng: Với hai hàm phân hình f g mặt phẳng phức C, chúng có chung ảnh ngược (khơng tính bội) điểm phân biệt f = g (Định lý điểm) chúng có chung ảnh ngược (có tính bội) af + b điểm phân biệt g = (a,b,c,d số phức cho cf + d ad — bc = 0)(Định lý điểm) Khỏi nguồn từ Định lý điểm Định lý điểm, vấn đề nghiên cứu liên tục với hai hướng nghiên cứu chủ yếu có nhiều kết sâu sắc G.Dethloff, Đỗ Đức Thái, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy Khoái, Hà Huy KhoáiVũ Hồi An, Hà Huy Khối-Vũ Hồi An-Lê Quang Ninh, Tạ Thị Hoài An, Tạ Thị Hoài An-Hà Trần Phương, L.Lahiri, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A.Escassut, H.Piiịimoto Tiếp theo, nghiên cứu mỏ rộng sang nhánh lý thuyết xác định xem xét tập xác định đa thức vi phân Và người khỏi xướng cho hướng nghiên cứu Hayman Năm 1967, Hayman chứng minh kết tiếng hàm phân hình f trường số phức C không nhận giá trị đạo hàm bậc k f, với k số ngun dương, khơng nhận giá trị f hàm Hayman đưa giả thuyết sau Giả thuyết Hayman [21] Nếu hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f (z)f '(z) = với n số nguyên dương với z e C f làhàm, Giả thuyết Hayman kiểm tra với n > Clunie kiểm tra với n > Các kết vấn đề liên quan hình thành hướng nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Cơng trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc Yang-Hua [51], hai ông nghiên cứu vấn đề hàm phân hình đơn thức vi phân có dạng f nf Hai ông chứng minh rằng, với f g hai hàm phân hình khác hằng, n số nguyên, n > 11 f nf1 gng nhận giá trị phức a tính bội f, g sai khác bậc n + đơn vị, f, g tính theo cơng thức hàm mũ với hệ số thỏa mãn điều kiện Từ đó, kết nhận dựa xem xét đa thức vi phân dạng (fn)(k), [fn(f - 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) có dạng [fn(afm + b)](k), [fn(f — 1)m](k) (xem Zhang Lin, [54]), có dạng (f)(/)p/(f),( xem K Boussaf- A Eseassut- J Ojedafll]) Năm 1997, thay nghiên cứu đạo hàm bậc n, I Lahiri [36] nghiên cứu trường hợp tổng quát đa thức vi phân khơng tuyến tính hàm phân hình nhận giá trị tính bội Theo hướng nghiên cứu này, năm 2002 c Y Fang M L Fang [17] chứng minh rằng, n > 13, hai hàm phân hình khác f g, mà f (n)(f — 1)2f g(n)(g — 1)V nhận giá trị tính bội, f = g Vào cuối năm thập kỷ này, vấn đề nhận giá trị xem xét đa thức sai phân hàm nguyên hàm phân hình Laine Yang [37] nghiên cứu vấn đề phân bố giá trị tích sai phân hàm nguyên X C.-Qi, L.-Z Yang K Liu [45] xem xét tích sai phân vi phân có dạng f (z) (n)f(z + c), điều kiện để f = íg, với f g hai hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn n Năm 2007, xuất phát từ Định lý thứ hai Ritt, F.Packovich [43] có ý tưỏng xét ảnh ngược hai tập compact hai đa thức Ơng tìm điều kiện cho hai đa thức fl, f2 hai tập compact Kp K2 thỏa mãn f1_1(Ki) = f2_1(K2) Kết F.Packovich Đinh Tiến Cường mỏ rộng [13], [14] Từ Định lý Ritt thứ hai kết F.Pakovich nói chúng tơi có nhận xét Nhận xét Định lý Ritt thứ hai xem kết vấn đề xác định hàm từ phương trình hàm P(f ) = Q(g), từ sinh kết cho vấn đề xác định đa thức thông qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm Từ nhận xét kết phương trình hàm (xem [3], [35], [44]) nêu trên, vấn đề nghiên cứu đặt tự nhiên sau Vấn đề Xem xét tương tự hai định lý Ritt hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân Vấn đề Xem xét vấn đề xác định hàm, vấn đề hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân góc độ định lý Ritt Từ đó, chúng tơi chọn đề tài: "Một số dạng Định lý Ritt ứng dụng vào vấn đề nhất" để giải vấn đề nghiên cứu đây, đồng thời góp phần làm phong phú thêm kết ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna Mục tiêu luận án 2.1 Thiết lập số định lý tương tự hai định lý Ritt hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trường hợp phức padic 2.2 Tiếp cận Vấn đề xác định hàm, vấn đề hàm phân hình, đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trường hợp phức p-adic góc độ hai định lý Ritt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Vấn đề xác định hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức qsai phân trường hợp phức padic góc độ hai định lý Ritt Vấn đề hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trường hợp phức p-adic góc độ hai định lý Ritt Phương pháp công cụ nghiên cứu Sử dụng hai định lý tương tự chúng với kiểu Bổ đề Borel Lý thuyết phân bố giá trị để giải phương trình hàm Các phương trình hàm tương tự phương trình hàm Định lý Ritt thứ hai Sử dụng hai định lý để chuyển tốn xác định hàm, tốn phương trình hàm Nhờ kết phương trình hàm nói để đưa kết vấn đề xác định hàm vấn đề Ý nghĩa khoa học luận án Luận án đưa cách tiếp cận vấn đề xác định, vấn đề hàm, đa thức vi phân đa thức sai phân Đó là, xem xét vấn đề dnới góc độ hai định lý Ritt Nhờ thiết lập đnợc kết góp phần mỏ rộng thêm ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna Cấu trúc kết luận án Luận án gồm có ba chnơng với phần mỏ đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo 10 Chnơng với tựa đề: "Hai định lý Ritt vấn đề đa thức vi phân hàm phân hình" Trong chng này, nghiên cứu vấn đề đa thức vi phân hàm phân hình Nội dung Chuông đnọc viết dựa báo [5], [7], [29] Việc nghiên cứu toán gồm bnớc sau Bước Thiết lập kết tuông tự hai định lý Ritt hàm phân hình Bước Chuyển tốn phuong trình hàm dùng kết ỏ Bnớc Nhn ta thấy ỏ trên, Định lý thứ Ritt chứng tỏ rằng: hai phân tích đa thức cho truớc thành đa thức khơng phân tích đnọc chứa số đa thức nhu bậc đa thức cách phân tích nhu khơng tính đến thứ tự chúng cách phân tích Từ đó, mục tiêu thứ Chng là: Thiết lập kết tuông tự Định lý thứ Ritt cho hàm phân hình Tuy nhiên, ta thấy rằng, chứng minh hai định lý Ritt [46] duờng nhu không tuông tự đnọc cho hàm phân hình Lý ỏ chỗ, Ritt dùng đến điều kiện "hữu hạn" không điểm đa thức chứng minh ơng Khắc phục khó khăn này, truớc tiên thiết lập Định lý 1.2.2 Định lý 1.2.2 kiểu Định lý Ritt thứ hai phnong trình hàm P(f1, f2) = Q(g1, g2), P, Q đa thức hai biến kiểu Yi f 1, f2, g1,g2 hàm nguyên Chú ý rằng, kết đnọc phát biểu chứng minh [2] [32], nhiên ỏ chúng tơi nhìn kết dnới góc độ Định lý Ritt thứ hai đua cách chứng minh khác Nhờ áp dụng Định lý 1.2.2 hệ chứng minh đnọc Định lý 1.2.5, kết tng tự Định lý Ritt thứ hàm phân hình Trong Chng trình bày ứng dụng Định lý 1.2.2 Định lý 1.3.1 Định lý 1.3.2, định lý cho ta kết Bi — URSM cho hàm phân hình Để ý rằng, vấn đề đa thức vi phân dạng (P(f )) (k), ỏ P đa thức f hàm phân hình, tốn khó Khó khăn ỏ truờng họp tổng quát chua có mối liên hệ tốt hàm đếm, hàm đặc trưng f với hàm đếm hàm đặc trưng (P(f )) (k) Vì vậy, kết nhận xét số trường hợp riêng toán Đó dạng: [f n(f — 1)m](k) với f hàm nguyên (xem [54]), (fn)(k) với f hàm phân hình (xem [10]) Chúng tơi giảm bớt khó khăn đa thức vi phân dạng (Pd(f))(k) Từ dùng kiểu tương tự Định lý thứ hai (Bổ đề 1.1.5) chúng tơi nhận Định lý 1.3.10, kết tập xác định đa thức vi phân Chương với tựa đề: "Định lý thứ hai Ritt vấn đề đa thức vi phân nhiều biến trường không-Acsimet" Trong Chương 2, nghiên cứu vấn đề 2: vấn đề xác định, vấn đề hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trường hợp p-adic góc độ Định lý Ritt thứ hai Nội dung Chương viết dựa báo [4], [5], [7] Như đề cập đến ỏ trên, vấn đề xác định hàm phân hình vấn đề Tương tự, ta có (n — m)T(r, g) < 16T(r, g) + 12T(r, f) — logr + O(1) Bỏi vậy, có (n — m)(T(r,f) + T(r,g)) < 28(T(r,f) + T(r,g)) — 4logr + O(1), (n — m — 28) (T(r,f) + T(r,g)) + 4logr < O(1) Do n > m + 28 ta gặp mâu thuẫn Trường hợp A.B = tức fnfm(qz + c).gngm(qz + c) = Theo Bổ đề 3.2.li) suy f = - với ln+m = Trường hợp A = B tức f nf m(qz + c) = gngm(qz + c) Theo Bổ đề 3.2.lii) suy f = hg vối hn+m = □ Định lý 3.2.7 Cho f, g hai hàm l n+m = 1, phân hình khác K,n,m Khi f _ với l hai số nguyên dương q,c e K, |q| ~ f = hg với h n + m = điều kiện g sau xảy ra: m = 1,n > 13 f n f (qz + c) g n g(qz + c) nhận có tính bội; m = 1,n > 25 fnf (qz + c^à g n g(qz + c) nhận khơng tính bội; n m n m m > 2,n > m + 1^ f f (qz + c^à g g (qz + c) nhận cớ ím/ỉ bội; m > 2,n > m + 2^à fnfm(qz + c) gngm(qz + c) nhận khơng tính bội 3.3 Định lý thứ hai Ritt vấn đề đa thức vi phân đa thức sai phân trường không-Acsimet Bổ đề 3.3.1 Cho q,c e K với |q| = 1,n,m,d,k số nguyên dương với n > 2k + 1,m > d Khi Phương trình hàm ( nm nd f f (qz + c) ) ( k ) ( g nm g n d (qz + c))(k) = khơng có nghiệm phân hình khác (f,g) Phương trình hàm ( f n m f n d (qz + c))(k) = ( g n m g n d (qz + c))(k) có nghiệm phân hình khác (f, g) f _ hg với h e K hn(m+d) Chứng minh Đặt A _ (fnm(z)fnd(qz + c))(k), B _ (gnm(z)gnd(qz + c))(k), A B C fm(z)fd( z D m(z)( d( z P ,Q Khi n (k) n—k _ q + c), _ g g q + c), _ CTO _ D—t• A _ (C ) _ C P, B _ (Dn) (k) _ Dn—kQ (fnm(z)fnd(qz + c))(k)(gnm(z)gnd(qz + c))(k) _ (Cn)(k)(Dn)(k) _ Ta chứng minh C _ 0, C _ ro, D _ D _ ro Giả sử C có khơng điểm Gọi a không điểm với w(C, 0, a) _ a, a > Khi a cực điểm D với ÍX>(D, ro, a) _ 3; > cho na — k _ n3 + k / ^ ^ k(m + d) + 16 n(a — 3) _ 2k Từ n > 2k +— -— > 2k + ta găp m—d mâu thuẫn Bằng cách lập luận tương tự, ta có D _ 0, C _ ro D _ ro Do C, D khác hằng, ta gặp mâu thuẫn (fnm(z)fnd(qz + c))(k) _ '¿nm(z)gnd(qz + c))(k), (Cn)(k) _ (Dn)(k) Bỏi f, g khác hằng, Bổ đề 3.1.5 ta thấy C, D khác Do C n _ Dn + s, Dn _ Cn — s, với s đa thức bậc < k Ta chứng minh s = Giả sử s ^ Thế nT(r, D) _ T(r, Dn) + O(1) < T(r, Cn) + T(r, s) + O(1) < nT(r, C) + (k — 1) logr + O(1) , k(m + d) + 16 Từ n > 2k + - - -> 2k + ta nhân đươc m—d Fs _ Cn, nT(r, C) _ T(r, Cn) < T(r, F) + T(r, s) + O(1) < T(r, F) + (k — 1) logr + O(1), nT(r, C) — (k — 1) logr < T(r, F) + O(1), Ni(r, 1) < Ni(r,l) < T(r,C) + O(1), N1(r, F) < N1(r, Cn) + N1(r,1) < N1(r, C) + (k — 1) logr + O(l) < T(r, C) + (k — 1) logr + O(1) Từ Bổ đề 2.1.9, có F — = G nên ta suy nT(r, C) — (k — 1) logr + O(1) < T(r, F) < N (r, F.) + N1(r, F) + N1(r, F 3y) — log r + O(1) < T(r, C) + T(r, C) + (k — 1) logr + N1(r, i) — logr + O(1) G < 2T(r, C) + (k — 1) logr + N1(r, -1) — logr + O(1) < 2T(r, C) + T(r, C) + logr + (k — 1) logr — logr + O(1) Vậy, ta có (n — 3)T(r, C) — 2(k — 1) logr + logr < O(1) Mặt khác, C khác số, ta nhận T(r, C) > logr + O(1) Vậy / ^ k(m + d) +16 (n—2k — 1) logr+ - logr < O(1) Từ n > 2k+ — — -> m—d 2k + ta gặp mâu thuẫn Vậy s = Do vậy, Cn = Dn C = eD,/m(z)/d(qz + c) = egm(z)gd(qz + c) với f f (qz + c) en = Đăt h = — Giả sử h khác Khi h(qz + c) = g g(qz +c) khác T (r, h(qz + c)) = T (r, h) + O(1), hm = , e m mT(r, h) = T(r, h ) + O(1) = T(r, + c) ) + O(1) = dT(r, h(ạz + c)) + O(1) = dT(r, h) + O(1) Suy (m — d)T(r, h) = O(1) Điều mâu thuẫn với giả thiết m > d, h khác Vậy h Do f m(z)fd(qz + c) = egm(z)gd(qz + c), en = ta kết luận f = hg với h m+d = e, hn(m+d) = Vậy Bo đề 3.3.1 chứng minh □ Định lý 3.3.2 Cho f g hai hàm phân hình khác K, q,c G K, | q| = 1, cho n,m,d,k, số nguyên dương thỏa mãn điều kiện m > d > 1,n > 2k + k(m + d) + jyậu (f n m (z)f n d (qz + c))(k) (g n m (z)g n d (qz + c))(k) nhận CM, f = hg với h n ( m + d ) = h G K Chứng minh Đặt A = (f n m (z)f n d (qz + c)) ( k ) ,B = (g n m (z)g n d (qz + c))(k), C = f m(z)f d(qz + c),D = gm(z)(gd(qz + c),P = C-P, Q = D-ife Khi A = (Cn)(k) = Cn-kP, B = (Dn)(k) = Dn-kQ Chú ý Ni(r,A) + Ni,(2(r,A) = N2(r,A), N (r, l A + Nl,(2(r, A = N2(r, Ap Ni(r, B) + Ni,(2(r,B) = N2(r,B), N (r, l B + Ni,(2(r B = N2(r Bp Khi đó, áp dụng Bổ đề 3.1.4 (Cn)(k), (Dn)(k) ta xét trường hợp sau Trường hựp T(r,A) < N2 (r,A) + N2(r, A) + N2 (r,B) + N2(r, B-) - logr + O(1), T(r, B) < N2(r, A) + N2(r, A + N2(r, B) + N2(r, B - logr + O(1) (3.18) Ta thấy a cực điểm A, C(a) = œ với g° (a) > n + k > Bổ đề 3.1.4 ta có Ni(r, C) = Ni(r,f mfd(qz + c)) < Ni(r, f ) + Ni(r, f (qz + c)) + O(1) < T(rff ) + T(r, f (qz + c)) + O(1) = 2T(r, f ) + O(1) Tương tự, Ni(r, C) < 2T(r, f ) + O(1) Do đó, theo Bổ đề 3.1.5 ta có N2 (r, A) = 2Ni(r, C) < 4T(r, f ) + O(1), N ( r , A < N ( r, Tương tự, ta có ) + N ( r, P1) = N l ( r, C + N ( r, Pp ) < 4T(r,f ) + N ( r, P ) + O(1) N2(r,B) A 4T(r,g) + O(1), N2(r, -1) A 4T(r,g) + N(r,Q) + O(1) A 4T(r, g) + k(m + d)T(r, g) + kN1(r, D) + O(1) Từ bất đẳng thức (3.18) ta có T(r, A) A 8(T(r, f ) + T(r, g)) + N(r, 1) + N(r, Q) - log r + O(1) A 8(T(r,f )+T(r,g))+k(m+d)T(r,f )+kNi(r,C)+N(r,Q)—logr+O(1), T(r, B) A 8(T(r, f ) + T(r, g)) + N(r, 1) + N(r, Q) - logr + O(1) A 8(T(r, f)+T(r,g))+k(m+d)T(r,g)+kNi(r, D)+N(r, p1)—logr+O(1), T(r, A) + T(r, B) A 16(T(r, f ) + T(r, g)) + N(r, 1) + N(r, Q) +k(m + d)(T(r, f ) + T(r,g)) + k(Ni(r,C) + Ni(r, D)) — 2logr + O(1) Do Bổ đề 3.1.5 ta có (n — 2k)(m — d)T(r, f) + kN(r, C) + N(r, ỉ) A T(r, A) + O(1), (n — 2k)(m — d)T(r, g) + kN(r, D) + N(r, -1) A T(r, B) + O(1) Kết hợp bất đẳng thức đây, ta nhận (n — 2k)(m — d)(T(r, f ) + T(r, g)) + k(N(r, C) + N(r, D)) + N (r, 1) p + N (rr(Q) A (k(m + d) + 16)(T(r, f) + T(r, g)) + k(Ni(r, C) + N(r, D)) + N(r, p1) +N (r,QQ) — log r + O(1), [(n — 2k)(m — d) — (k(m + d) + 16)](T(r, f ) + T(r, g)) + logr A O(1) k(m + d) + 16 Vì n > 2k + - - -, ta găp mâu thuân m—d Trường hựp (fnm(z )fnd (qz + c))(k)(gnm(z)gnd(qz + c))(k) = (Cn)(k)(Dn)(k) = Được suy từ Bổ đề 3.3.1.1 Trường hựp (fnm(z)fnd(qz + c))(k) = (gnm(z)gnd(qz + c))(k), (Cn)(k) = (Dn)(k) Kết luận trường hợp suy từ Bổ đề 3.3.1.2 Vậy Định lý 3.3.2 chứng minh □ Định lý 3.3.3 Cho f g hai hàm phân hình khác K, q, c G K, | q| = 1, cho n, m, d, k số nguyên dương, thỏa mãn điều kiện m > d > 1, n > 2k + 2k(2m + 2d + 3) + 28 (fnm(z)fnd(qz + c))(k) (g n m (z)gnd(qz + c ) ) ( k ) nhận IM, f = hg với hn(m+d) = h G K Chứng minh Ta sử dụng kí hiệu chứng minh Định lý 3.3.2 Khi áp dụng Bổ đề 3.1.6 (Cn)(k), (Dn)(k) ta xem xét trường hợp sau Trường hựp T(r, A) < N2(r, A) + N2(r, -1) + N2(r, B) + N2(r, V)+ 2(Ni(r, A) + Ni(r, ■!)) + Ni(r, B) + Ni(r, -1) — logr + O(1), T(r, B) < N2(r, A) + N2(r, ^A) + N¿(r, B) + N¿(r, ^)+ 2(Ni(r, B) + Ni(r, ]1)) + Ni(r, A) + Ni(r, -A) — logr + O(1) Kết hợp bất đẳng thức ta có T(r, A) + T(r, B) < 2(N2(r, A) + N2(r, -A) + N2(r, B) + N2(r, -1)) +3(Ni(r, A) + Ni(r, -A) + Ni(r, B ) + Ni(r, -1)) — 4log r + O(1) Từ đây, tương tự Trường hợp Định lý 3.3.2 Bổ đề 3.1.5 ta có +N(r, ì) + N(r, Q) < T(r, A) + T(r, B) + O(l); (3.19) T(r, A) + T(r, B) < 16(T(r, f ) + T(r, g)) + N(r, 1) + N(r, Q) + kim, + d)(T (r, f ) + T (r,g)) + k(Ni(r, C ) + Ni(r, D)) + 3(Ni(r, A)+ Ni(r, A) + Ni(r, B) + Ni(r, - 4logr + O(1); (3.20) Ni(r,A) < 2T(r,f ) + O(1),Ni(r,1) < 2T(r,f) + k(m + d + 2)T (r,f ) + O(1); Ni(r, B) < 2T(r,g) + O(1), Ni(r, -1) < 2T(r,g) + k(m + d + 2)T(r,g) + O(1) B Do (3.19), (3.20), (3.21) ta có (3.21) (n—2k)(m—d)(T(r,f) T(r, )) + g < 16(T(r,f)+T(r,g))+k(m+d)(T(r,f) +T(r, g)) + 3[2T(r, f ) + 2T(r, f ) + k(m + d+2)T(r, f ) + 2T(r, g) + 2T(r, g) +k(m + d + 2)T (r, g)] — 4log r + O(1) = (28 + 2k(2m + 2d + 3))(T(r, f) + T(r, g)) — 4logr + O(1) Từ đó, suy [(n—2k)(m—d) — (28+2k(2m+2d+3))](T(r, f)+T(r,g))+4logr < O(1) V 28 + 2k(2m + 2d + 3) Diêu mâu tuuân với giá tuiêt n > 2k + m—d Trường hựp Trường hựp Ta sử dụng lập luận tuơng tự nhu TrUỜng hợp Định lý 3.3.2 Ta có kết luận f = hg với h n(m+d) = Định lý 3.3.3 đuợc chứng minh □ Định lý 3.3.4 Cho f g hai hàm phân hình khác K, q,c G K, | q| = 1, cho n,m,d, k số nguyên dương, thỏa mãn điều kiện m > d > Khi f = gh với hn(m+d) = 1,h G K hai điều kiện sau thỏa mẫn: n > 2k + fc(m+—d+i6 ^ (fnm(z)fnd(qz + c))(k^ầ (gnm(z)gnd(qz + c))(k) nhận CM; n > 2k + 2k(2m+2d+3)+2%è (fnm(z)fnd(qz + c))(k^ầ (gnm(z)gnd(qz + c))(k) nhận IM Kết luận Chương Trong Chương 3, thiết lập Bổ đề 3.2.1, 3.3.1 hai kiểu Định lý Ritt thứ hai cho tích ợ-sai phân dạng f nf m(qz + c) đa thức vi phân, sai phân dạng (fnmfnd(qz + c))(k), ỏ q, c E K với |q| = f hàm phân hình K Chúng thiết lập hai kết vấn đề cho tích q-sai phân đa thức vi phân, sai phân có dạng trên, Định lý 3.2.7, 3.3.4 Chú ý kết chưa có trường hợp phức Kết luận kiến nghị Luận án nghiên cứu vấn đề hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức q-sai phân trường hợp phức p-adic, xem xét tương tự định lý Ritt vấn đề đa thức vi phân hàm phân hình vấn đề tích q-sai phân, đa thức vi phân hàm phân hình trường khơng Acsimet Những kết luận án Thiết lập định lý tương tự Định lý thứ hai Ritt cho hàm phân hình (Định lý 1.2.2), định lý tương tự Định lý thứ Ritt cho hàm phân hình (Định lý 1.2.5) Thiết lập kết B ị — URSM (Định lý 1.3.2), kết URSM (Định lý 1.3.3), kết tập xác định cho đa thức vi phân (Định lý 1.3.10) Thiết lập hai kiểu Định lý thứ hai Ritt cho hàm phân hình vec-tơ hàm nguyên trường không-Acsimet (Định lý 2.2.6 Định lý 2.3.2) Thiết lập ba kết vấn đề cho hàm đa thức vi phân (Định lý 2.2.7, Hệ 2.2.9, Định lý 2.3.7) Thiết lập hai kiểu Định lý Ritt thứ hai cho tích q-sai phân dạng fn f m(qz + c) đa thức vi phân, sai phân dạng (f nmf nỗ(qz + c))(k), ỏ q, c e K với |q| = f hàm phân hình K, với K trường không-Acsimet (Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.3.1) Thiết lập hai kết Vấn đề cho tích qsai phân đa thức vi phân, sai phân có dạng (Định lý 3.2.7, 3.3.4) Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Tiếp tục nghiên cứu tương tự hai định lý Ritt vấn đề xác định Vấn đề hàm phân hình đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trường hợp phức p-adic Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng hai định lý Ritt vào toán xác định hàm tập xác định Danh mục Cơng trình tác giả cơng bố liên quan đến đề tài Pham Ngoe Hoa (2008), " An analogue of Mason’s theorem for p- adie entire functions in several variables", Journal of Science, NXB Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, 53(1), pp 12-21 Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adie several variables difference polynomials", Inter- ractions between real and complex analysis, Sei Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of mero- morphie functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 1-14 Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa (2017), "On the uniqueness problem of nonArchimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539549 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (Submit), "Uniqueness theorems for meromorphic functions and their differential polynomial" Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Lai (2017), vấn đề xác định hàm hai đạo hàm nhận tập, Luận án Tiến sỹ Toán học, Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên [2] Lê Quang Ninh (2017), Ve xác định hàm ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm, Luận án Tiến sỹ Toán học, Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [3] Ta Thi Hoai An, Nguyen Thi Ngoe Diep (2013), "Genus one factors of curve defined by separated variable polynomial", J Number Theory, 133 (8), pp 2616-2634 [4] Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adie several variables difference polynomials'', Interactions between real and complex analysis, Sell Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 [5] Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa (2017), "On the uniqueness problem of non-Archimedean meromorphie functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302 [6] Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of mero- morphie functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 1-14 [7] Vu Hoai An, Pham Ngoe Hoa, and Ha Huy Khoai (Submit), "Uniqueness theorems for meromorphic functions and their differential polynomial" [8] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2016), "On functional equations of the Fermat-Waring type for nonArchimedean vectorial entire functions", Bull.Korean Math.Soc, 53(4), pp 1185-1196 Bezivin J P., Boussaf K and Eseassut A (2012), "Zeros of the derivative of a p-adie meromorphie function", Bull Sci Mathématiques, 136(8), pp 839-847 [9] [10] Bhoosnurmath Subhas S and Dyavanal Renukadevi S (2007), "Uniqueness and value-sharing of meromorphie functions", Computers and Mathematics with Applications, 53, pp 1191-1205 [11] Boussaf K , Eseassut A., Ojeda J (2012), "p-adie meromorphie functions (f )( )P'(f), (g)()P'(g) sharing a small function", Bull Sci math, 136, pp 172-200 [12] Boutabaa A (1990), "Th’eorie de Nevanlinna p-adique", Manuscripta Math, 67, pp 251-269 [13] T Dinh (2002), "Ensembles d’unicité’ pour les polnomes", Ergodic Theory Dynam Systems, 22(1), pp 171186 [14] T Dinh (2005), "Distribution des préimages et des points périodiques d’une eorrespondanee polynomiale", Bull Soc Math France, 133(3), pp 363-394 [15] Eseassut A and Ojeda J (2014), "The p-adie Hayman Conjecture when n=2", Complex Variable and Elliptic Equations, 59(10), pp 1451-1456 [16] Eseassut A (2015), "Value Distribution in p-adic Analysis", World Sci Publ Co Pte, Ltd Singapore [17] Fang Y and Fang M L (2002), "Uniqueness of meromorphie functions and differential polynomials", Comput Math Appl, 44 , pp 607617 [18] Fang M L (2002), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", Comput Math Appl, 44, pp 823831 Theory Appl, 37(1-4), pp 185-193 [19] Fujimoto H (2000), "On uniqueness of meromorphie functions sharing finite sets", Amer J.Math, 122(6), pp 1175 - 1203 [20] Hayman W.K (1964), "Meromorphie Functions", Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [21] Hayman W.K (1967), "Research problems in Function Theory", The Athlone Press University of London, London [22] Pham Ngoe Hoa (2008), " An analogue of Mason’s theorem for p-adie entire functions in several variables", Journal of Science, NXB Trường Đại họe Sư Phạm Hà Nội, 53(1), pp 12-21 Hu p and Yang (1999), " A unique range set for p-adie meromorphie functions with 10 elements", Acta Math Vietnamica., 24, pp 95-108 [23] c [24] Hu p c c c c and Yang c c (2000), "Meromorphic functions over nonArchimedean fields", Kluwer [25] Ha Huy Khoai (1983), "On p-adic meromorphic functions", Duke Math J., 50,pp 695-711 [26] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2003), "Value distribution for p-adic hypersurfaces", 51-67 Taiwanese Journal of Mathematics, 7(1), pp [27] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2011), "Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Sc Toulouse, Vol XX (No Special), pp 135-149 Ann Fac [28] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), " Value sharing problem for p-adic meromorphie functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math J., 64(2), pp 147-164 [29] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539-549 Archiv [30] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphie functions", Ann Univ Sci Budapest., Sect Comp., 38, pp 71-92 [31] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Valuesharing and Uniqueness problems for non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp 1-17 [32] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness theorems for holomorphic curves with Hypersurfaces of FermatWaring type", Complex Anal Oper Theory, Vol.8, No.3, pp 591-790 [33] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), "On uniqueness polynomials and Bi-URS for p-adic Meromorphic functions", Theory, 87, pp 211-221 [34] Ha Huy Khoai and Mai Van Til (2004), "p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem", Internat c c., J Number J Math, 6(1995), pp 719-731 "On the functional equation P(f) = Q(g)", Advances in Complex Analysis and Application, Value Distribution Theory and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, pp [35] Ha Huy Khoai and Yang 201-208 156 Yokohama Math [36] Lahiri I (1997) , "Uniqueness of meromorphie functions as governed by their differential polynomials", 147- J., 44, pp [37] Laine I and Yang C C (2007), "Value distribution of difference polynomials", Proc [38] Li P and Yang C.C (2004), "Some Further Results on the Functional Equation P( f) = Q( g)", Value Distribution Theory Related Topics, Advanced Complex Analysis and Application, Kluwer Academic, Boston, MA, Vol.3, pp 219-231 [39] Liu K., Liu X., Cao T B (2011), "Value distribution and uniqueness of difference polynomials", ID234215, 12pp [40] K Masuda and J Noguchi (1996), "A construction of hyperbolic hypersurface of P (C)", Math Ann., 304 ,pp 339-362 18, pp 437-450 [41] Ojeda J (2008), "Hayman’s conjecture in a padie field", Taiwanese [42] Ostrovskii I., Pakovitch F., Zaidenberg M (1996), "A remark on complex polynomials of least deviation", Notices, 14, pp 699-703 [43] Pakovich F (2008), " On polynomials sharing preimages of compact sets, and related questions", Japan Acadl, Ser A, 83(8), pp 148-151 Adv Difference Equ., and article N J Math 12(9), pp 2295-2313 Internat Math Res Geom Fund Anal, 18(1), pp 163-183 44] Pakovich F (2010), "On the equation P(f) = Q(g), where P, Q are polynomials and f,g are entire functions", 1591-1607 Amer J Math., 132(6), pp [45] Qi X C., Yang L Z., Liu K (2010), "Uniqueness and periodicity of meromorphie functions eoneerning the difference operator", Math Appl, 60(6), pp 1739-1746 Comp [46] Ritt J (1922), "Prime and composite polynomials", Trans Amer [47] Ru M (2001), "A note on p-adie Nevanlinna theory", Proc Amer [48] Siu Y.T., Yeung S.K (1997), "Defects for ample divisors of Abelian varieties, Schwarz lemma, and hyperbolic hypersurfaees of low degrees", Amer J Math., 119, pp 1139-1172 Math Soc., 23(1), pp 51-66 Math Soc., 129, pp 1263-1269 [49] Yang C (1978), "Open problem in Complex analysis", Proceedings of the S I AN Y Brock port Conf on Complex Function Theory, June 7-9, 1976, Edited by Sanford S Miller Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, Vol.36 [50] Yang C.C (1976), "On two entire functions, which together with their first derivatives have the same zeros", J Math Anal Appl, 56, pp 1-6 [51] Yang C.C and Hua X.H (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann Acad Sci Fenn Math., 22, pp 395406 [52] Yi H X (1990), "A question of C C Yang on the uniqueness of entire functions", Kodai Math J., 13, pp 39-46 [53] Yi H X (1995), "The unique range sets of entire or meromorphic functions", Complex Variables Theory Appl, 28, pp 13-21 [54] Zhang X.Y., Lin W.C (2008), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", J Math Anal Appl., 343, pp 938-950 ... góc độ định lý Ritt Từ đó, chúng tơi chọn đề tài: "Một số dạng Định lý Ritt ứng dụng vào vấn đề nhất" để giải vấn đề nghiên cứu đây, đồng thời góp phần làm phong phú thêm kết ứng dụng Lý thuyết... lập Định lý 1.2.2 kiểu Định lý thứ hai Ritt Từ đó, chúng tơi nhận Định lý 1.2.5 Định lý 1.3.2 Định lý 1.2.5 kiểu Định lý thứ Ritt Định lý 1.3.2 kết vấn đề Bi — URSM Tiếp theo, thiết lập Định lý. .. góc độ Định lý Ritt thứ hai đua cách chứng minh khác Nhờ áp dụng Định lý 1.2.2 hệ chứng minh đnọc Định lý 1.2.5, kết tng tự Định lý Ritt thứ hàm phân hình Trong Chng trình bày ứng dụng Định lý 1.2.2