một số dạng bài tập về số phức

1 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26 z i = + Giải: 3 18 26 z i = + ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 18 18 26 18 3 26 3 3 26 x x y x yi i x y y x xy x y y  − =  ⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −  − =   Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược 1 3 , 1 3 t x y= ⇒ = = . V ậ y z = 3 + i Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2 ; z z thoả mãn 1 2 1 2 ; 3 z z z z= + = Tính 1 2 z z − Giải: Đặt 1 1 1 2 2 2 ; z a b i z a b i = + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 a b a b a a b b  + = + =   + + + =   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 a b a b a a b b z z ⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phươn g t rì n h s au : 2 8 (1 ) 63 16 0 z i z i − − + − = Giải: Ta có ( ) 2 2 ' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i ∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là 1 2 5 12 , 3 4 z i z i = − = + Ví dụ 2) Giải phươn g t rì n h s au : 2 2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i + − − − − = Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i) 2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy p h ương trình cho hai nghiệm là: z 1 = i ii i i i i 2 5 2 3 2 )1)(4( 1 4 )1(2 4)2(2 −= − − = + − = + + − z 2 = i ii i i i i 2 1 2 1 2 )1)(( 1)1(2 4)2(2 −−= − − = + − = + − − Ví dụ 3) Giải phươn g t rì n h 3 2 9 14 5 0 z z z − + − = Giải: Ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 2 1 4 5 0 z z z − − + = . T ừ ñ ó ta suy ra ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m là 1 2 3 1 ; 2 ; 2 2 z z i z i = = − = + Ví dụ 4) Giải phươn g t rì n h : 3 2 2 5 3 3 (2 1 ) 0 z z z z i − + + + + = biết phương trình có nghiệm t h ực Giải: Vì ph ươ ng trình có nghi ệ m th ự c nên 3 2 2 5 3 3 0 2 1 0 z z z z  − + + =  + =  1 2 z − ⇒ = thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương vớ i ( ) ( ) 2 2 1 3 3 0 z z z i + − + + = . Giải phương trình ta tìm ñược 1 ; 2 ; 1 2 z z i z i = − = − = + M M M Ộ Ộ Ộ T T T S S S Ố Ố Ố D D D Ạ Ạ Ạ N N N G G G B B B À À À I I I T T T Ậ Ậ Ậ P P P V V V Ề Ề Ề S S S Ố Ố Ố P P P H H H Ứ Ứ Ứ C C C . 1 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26 z i = + . ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 a b a b a a b b z z ⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phươn g t rì n h s au : 2 8 (1 ) 63 16 0 z i z i − − + −. trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược 1 3 , 1 3 t x y= ⇒ = = . V ậ y z = 3 + i Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2 ; z z thoả mãn 1 2 1 2 ; 3 z z z z= + = Tính 1 2 z z − Giải: Đặt 1 1 1 2 2 2 ; z