một số dạng bài tập về số phức

một số dạng bài tập về số phức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...

1 I) D Ạ NG ĐẠ I S Ố C Ủ A S Ố PH Ứ C D ạ ng 1) Bài toán liên quan ñế n bi ế n ñổ i s ố ph ứ c Ví d ụ 1) Tìm s ố nguyên x, y sao cho s ố ph ứ c z=x+yi tho ả mãn 3 18 26 z i = + Gi ả i: 3 18 26 z i = + ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 18 18 26 18 3 26 3 3 26 x xy x yi i x y y x xy x y y  − =  ⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −  − =   Gi ả i ph ươ ng trình b ằ ng cách ñặ t y=tx ta ñượ c 1 3, 1 3 t x y = ⇒ = = . V ậ y z=3+i Ví d ụ 2) Cho hai s ố ph ứ c 1 2 ; z z tho ả mãn 1 2 1 2 ; 3 z z z z = + = Tính 1 2 z z − Gi ả i: Đặ t 1 1 1 2 2 2 ; z a bi z a b i = + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 a b a b a a b b  + = + =   + + + =   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 a b a b a a b b z z ⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệ m phức Ví d ụ 1) Gi ả i ph ươ ng trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0 z i z i − − + − = Gi ả i: Ta có ( ) 2 2 ' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8 i i i i ∆ = − − − = − − = − T ừ ñ ó tìm ra 2 nghi ệ m là 1 2 5 12 , 3 4 z i z i = − = + Ví d ụ 2) Gi ả i ph ươ ng trình sau: 2 2(1 ) 4(2 ) 5 3 0 i z i z i + − − − − = Gi ả i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i) 2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V ậ y ph ươ ng trình cho hai nghi ệ m là: z 1 = i ii i i i i 2 5 2 3 2 )1)(4( 1 4 ) 1(2 4)2(2 − = − − = + − = + + − z 2 = i i i i i i i 2 1 2 1 2 ) 1)( ( 1 ) 1(2 4 ) 2(2 − −= − − = + − = + − − Ví d ụ 3) Gi ả i ph ươ ng trình 3 2 9 14 5 0 z z z − + − = Gi ả i: Ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 2 1 4 5 0 z z z − − + = . T ừ ñ ó ta suy ra ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m là 1 2 3 1 ; 2 ; 2 2 z z i z i = = − = + Ví d ụ 4) Gi ả i ph ươ ng trình: 3 2 2 5 3 3 (2 1) 0 z z z z i − + + + + = bi ế t ph ươ ng trình có nghi ệ m th ự c Giả i: Vì ph ươ ng trình có nghi ệ m th ự c nên 3 2 2 5 3 3 0 2 1 0 z z z z  − + + =  + =  1 2 z − ⇒ = tho ả mãn c ả hai ph ươ ng trình c ủ a h ệ :Ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 2 1 3 3 0 z z z i + − + + = . Gi ả i ph ươ ng trình ta tìm ñượ c 1 ; 2 ; 1 2 z z i z i = − = − = + www . l a i s ac . pa g e. tl M  M  M Ộ  Ộ  Ộ T  T  T  S  S  S Ố  Ố  Ố  D  D  D Ạ  Ạ  Ạ N  N  N G  G  G  B B B À  À  À I I I T  T  T Ậ  Ậ  Ậ P  P  P  V  V  V Ề  Ề  Ề  S  S  S Ố  Ố  Ố  P  P  P H  H  H Ứ  Ứ  Ứ C C C  Ng u yễ n  T r un g Kiê n 2 Ví d ụ 5) Gi ả i ph ươ ng trình: 3 2 (1 2 ) (1 ) 2 0 z i z i z i + − + − − = bi ế t ph ươ ng trình có nghi ệ m thu ầ n ả o: Gi ả i: Gi ả s ử nghi ệ m thu ầ n ả o c ủ a ph ươ ng trình là z=bi thay vào ph ươ ng trình ta có ( ) ( ) 3 2 2 3 2 (1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0 bi i bi i bi i b b b b b i + − + − − = ⇔ − + − + + − = 2 3 2 0 1 2 2 0 b b b z i b b b  − =  ⇔ ⇒ = ⇒ =  − + + − =   là nghi ệ m, t ừ ñ ó ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 (1 ) 2 0 z i z i z − + − + = . Gi ả i pt này ta s ẽ tìm ñượ c các nghi ệ m Ví d ụ 6) Tìm nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình sau: 2 z z = . Gi ả i: Gi ả s ử ph ươ ng trình có nghi ệ m: z=a+bi thay vào ta có ( ) 2 a bi a bi + = + 2 2 2 a b a ab b  − = ⇔  = −  Gi ải hệ trên ta tìm ñược 1 3 ( , ) (0;0),(1;0),( ; ) 2 2 a b = − ± . V ậ y ph ươ ng trình có 4 nghi ệ m là 1 3 0; 1; 2 2 z z z i = = = − ± D ạ ng 3) Các bài toán liên quan ñế n modun c ủ a s ố ph ứ c: Ví d ụ 1) Tìm các s ố ph ứ c z tho ả mãn ñồ ng th ờ i các ñ i ề u ki ệ n sau: 1 2 2 z i z i + − = − + và 5 z i − = Gi ải: Gi ả s ử z=x+yi (x,y là s ố th ự c) .T ừ gi ả thi ế t ta có 1 ( 2) 2 (1 ) ( 1) | 5 x y i x y i x y i  + + − = − + −   + − =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) (1 ) 1 5 x y x y x y  + + − = − + −  ⇔  + − =   2 3 10 6 4 0 y x x x =  ⇔  − − =  1, 3 x y ⇔ = = ho ặ c 2 6 , 5 5 x y = − = − . V ậ y có 2 s ố ph ứ c tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n. Ví d ụ 2) Xét s ố ph ứ c z tho ả mãn ; 1 ( 2 ) i m z m R m m i − = ∈ − − a) Tìm m ñể 1 . 2 z z = b)Tìm m ñể 1 4 z i − ≤ c) Tìm s ố ph ứ c z có modun l ớ n nh ấ t. Gi ả i: a) Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 ) 2 (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 4 i m m mi i m m m m m m z m mi m mi m mi m m − − − − − − + + − + = = = − + − + − − − + 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 m m i m m m i z i m m m m m + + + = = + ⇒ = − + + + + + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 . 1 2 1 2 2 1 m z z m m m + ⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± + b) Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 4 m m m z i i i m m m m   − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤   + + + +   ⇔ 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 16 1 (1 ) (1 ) 16 1 6 15 15 m m m m m m m m m ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ + + + c) Ta có ( ) 2 max 2 2 2 1 1 1 | | 1 0 1 1 m z z m m m + = = ≤ ⇒ = ⇔ = + + Ví d ụ 3) Trong các s ố ph ứ c z tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n 2 4 5 z i − − = Tìm s ố ph ứ c z có modun l ớ n nh ấ t, nh ỏ nh ấ t. Gi ả i: Xét s ố ph ứ c z = x+yi . T ừ gi ả thi ế t suy ra ( ) ( ) 2 2 2 4 5 x y − + − = Suy ra t ậ p h ợ p ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính 5 R = D ễ dàng có ñượ c (2 5 sin ;4 5 cos ) M α α + + . Modun s ố ph ứ c z chính là ñộ dài véc t ơ OM. Ta có |z| 2 = 2 2 2 (2 5 sin ) (4 5cos ) 25 4 5(sin 2cos ) OM α α α α = + + + = + + Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( ) 2 2 2 (sin 2cos ) (1 4) sin cos 5 α α α α + ≤ + + = 5 sin 2cos 5 α α ⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5 z ⇒ ≤ ≤ . V ậ y min 1 2 | | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2 5 5 z x y z i α α α α − − = ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + max 1 2 | | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6 5 5 z x y z i α α α α = ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + Ví d ụ 4) Trong các s ố ph ứ c tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n 2 4 2 z i z i − − = − .Tìm s ố ph ứ c z có moodun nh ỏ nh ấ t. Gi ả i: Xét s ố ph ứ c z = x+yi . T ừ gi ả thi ế t suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 0 x y x y x y − + − = + − ⇔ + − = Suy ra t ậ p h ợ p ñ i ể m M(x;y) bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z là ñườ ng th ẳ ng y=-x+4 Ta có 2 2 2 2 2 2 (4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2 z x y x x x x x = + = + − = − + = − + ≥ . T ừ ñ ó suy min 2 2 2 2 2 2 z x y z i = ⇔ = ⇒ = ⇒ = + Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví d ụ 1) Tìm t ậ p h ợ p các ñ i ể m M trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z bi ế t: a) 3 z z i = − b) 3 4 z z i = − + c) 4 z i z i − + + = 4 Gi ả i: G ọ i z=x+yi a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 2 9 9 3 9( ( 1) ) ( ) 8 64 z z i x y x y x y = − ⇔ + = + − ⇔ + − = V ậ y t ậ p h ợ p ñ i ể m M là ñườ ng tròn tâm 9 3 (0; ), 8 8 I R = b) T ừ gi ả thi ế t ta có ( ) 2 2 2 2 3 (4 ) 6 8 25 x y x y x y + = − + − ⇔ + = . V ậ y t ậ p h ợ p các ñ i ể m M là ñường th ẳ ng 6x+8y-25=0 c) Gi ả s ử z =x+yi thì 4 z i z i − + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 4 x y x y ⇔ + − + + + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16 1 4 2 1 4 1 16 8 1 1 x y x y x y y x y x y x y   + + ≤ + + ≤   ⇔ ⇔   + − = +   + − = − + + + + +   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16(1) 1 16 4 4 8 4 8 16 1(2) 3 4 4 4(3) x y x y x y x y y y y y y  + + ≤  + + ≤     ⇔ + + + = + + ⇔ + =     ≥ − ≥ −     Ta th ấ y các ñ i ể m n ằ m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñ i ể m n ằ m trên (Elip) luôn tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n y >-4. V ậ y t ậ p h ợ p ñ i ể m M là Elip có pt 2 2 1 3 4 x y + = . Ví d ụ 2) Tìm t ậ p h ợ p các ñ i ể m bi ể u di ễ n trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c s ố ph ứ c ( ) 1 3 2 i z ω = + + bi ế t r ằ ng s ố ph ứ c z tho ả mãn: 1 z − ≤ 2. Giải: Đặ t ( ) , z a bi a b R = + ∈ Ta có 1 z − ≤ 2 ( ) 2 2 1 4 a b ⇔ − + ≤ (1) T ừ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 2 3 3 3( 1) x a b x a b i z x yi i a bi y a b y a b ω   = − + − = − +   = + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔   = + − = − +     T ừ ñ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 4 1 16 x y a b   − + − ≤ − + ≤   do (1) V ậ y t ậ p h ợ p các ñ i ể m c ầ n tìm là hình tròn ( ) ( ) 2 2 3 3 16 x y − + − ≤ ; tâm ( ) 3; 3 I , bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số ph ứ c z sao cho s ố 2 2 z z − + có acgumen b ằ ng 3 π . Gi ả i: 5 Gi ả s ử z=x+yi, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x yi x yi x yi z z x yi x y − + + +     − + −     = = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 x y yi x x x y y i x y x y x y − + + + − + + − = = + + + − + − + (1) Vì s ố ph ứ c 2 2 z z − + có acgumen b ằ ng 3 π , nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 cos sin 3 3 2 2 x y y i i x y x y π π τ + −   + = +     − + − + v ớ i 0 τ > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 3 2 2 x y x y y x y τ τ  + − =  − +  ⇒   =  − +  T ừ ñ ó suy ra y>0 (1) và 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 3 4 (2) 4 3 3 3 y y x y x y x y     = ⇔ + − = ⇔ + − =     + −     .T ừ (1) và (2) suy ra t ậ p h ợ p các ñ i ể m M là ñườ ng tròn tâm n ằ m phía trên tr ụ c th ự c(Trên tr ụ c Ox). D ạ ng 5) Ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c: Ví d ụ 1) Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u 1 z ≤ thì 2 1 1 2 z iz − ≤ + Gi ả i: Gi ả s ử z =a+bi (a, b ∈ R) thì 2 2 2 2 1 1 z a b a b = + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có 2 2 2 2 4 (2 1) 2 1 2 (2 1) 2 (2 ) (2 ) a b z a b i iz b ai b a + − − + − = = + − + − + . B ấ t ñẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh t ươ ng ñươ ng v ớ i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1 (2 ) a b a b b a a b dpcm b a + − ≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒ − + Ví d ụ 2) Cho s ố ph ứ c z khác không tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n 3 3 1 2 z z + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 2 z z + ≤ Gi ả i: D ễ dàng ch ứ ng minh ñượ c v ớ i 2 s ố ph ứ c 1 2 , z z b ấ t k ỳ ta có 1 2 1 2 z z z z + ≤ + Ta có 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3 z z z z z z z z z z z z z z     + = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +         Đặ t 1 z z + =a ta có ( )( ) 2 3 3 2 0 2 1 0 a a a a dpcm − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ 6 II) D Ạ NG L ƯỢ NG GIÁC C Ủ A S Ố PH Ứ C D ạ ng 1: VI Ế T D Ạ NG L ƯỢ NG GIÁC Ví d ụ 1) Vi ế t d ướ i d ạ ng l ượ ng giác c ủ a các s ố ph ứ c: a) ( ) 1 cos sin 1 cos sin i i ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + b) ( ) ( ) 1 cos sin 1 cos sin i i ϕ ϕ ϕ ϕ − + + +     Gi ả i: a) ( ) ( ) ( ) 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − − = + + + + 2 2 2sin 2 sin cos sin cos 2 2 2 2 2 tan tan 2 2 2cos 2 sin cos cos sin 2 2 2 2 2 i i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − = = = − + + - Khi tan 0 2 ϕ > d ạ ng l ượ ng giác là: tan cos sin 2 2 2 i ϕ π π       − + −             - Khi tan 0 2 ϕ < d ạ ng l ượ ng giác là: tan cos sin 2 2 2 i ϕ π π       − +             - Khi tan 0 2 ϕ = thì không có d ạ ng l ượ ng giác. ( ) ( ) ) 1 cos sin 1 cos sin 2sin sin cos .cos cos sin 2 2 2 2 2 2 b i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + + +         = − +         2sin cos isin 2 2 π π ϕ ϕ ϕ       = − + −             - Khi sin 0 ϕ = thì d ạ ng l ượ ng giác không xác ñị nh. - Khi sin 0 ϕ > thì d ạ ng l ượ ng giác là: 2sin cos sin 2 2 i π π ϕ ϕ ϕ       − + −             - Khi sin 0 ϕ < thì d ạ ng l ượ ng giác là: ( 2sin ) cos sin 2 2 i π π ϕ ϕ ϕ       − + + +             Ví d ụ 2): Vi ế t d ướ i d ạ ng l ượ ng giác c ủ a các s ố ph ứ c: a) ( ) 1 cos sin 1 cos sin i i ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + b) [ ] [ ] 1 (cos sin ) 1 cos sin i i ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + Gi ả i: a) ( ) 2 sin cos 1 cos sin 1 cos sin 2 2 tan tan 1 cos sin 2 2 2cos 2 sin .cos cos sin 2 2 2 2 2 i i i i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − + − − = = = − + + + − Khi tan 2 ϕ >0 thì d ạ ng l ượ ng giác là tan 2 ϕ cos sin 2 2 i π π       − + −             7 Khi tan 2 ϕ <0 thì d ạ ng l ượ ng giác là - tan 2 ϕ cos sin 2 2 i π π       +             Khi tan 2 ϕ =0 thì không t ồ n t ạ i d ạ ng l ượ ng giác. b) [ ] [ ] 1 (cos sin ) 1 cos sin i i ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + 2sin sin cos .2cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 2 i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π ϕ ϕ ϕ     = − +               = − + −             - Khi sin 0 ϕ = thì d ạ ng l ượ ng giác không xác ñị nh - Khi sin 0 ϕ > thì d ạ ng l ượ ng giác là: 2sin cos sin 2 2 i π π ϕ ϕ ϕ       − + −             - Khi sin 0 ϕ < thì d ạ ng l ượ ng giác là: ( ) 2sin cos sin 2 2 i π π ϕ ϕ ϕ       − + + +             D ạ ng 2: MÔ Đ UN VÀ ACGUMEN Ví d ụ 1) Tìm ph ầ n th ự c và ph ầ n ả o c ủ a s ố ph ứ c z, bi ế t 2 2 2 3 z i = − + Gi ả i: Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 4 cos sin 3 3 z i z i π π   = − + ⇔ = +     Do ñ ó: 2 2 2 2 2 2 3 4 cos sin 3 3 z i z i π π   = − + ⇔ = +     2 2 2 cos sin 1 3 3 3 1 3 2 cos sin 3 3 z i z i z i z i π π π π    = +     = +    ⇔ ⇔     = − −   = − +       T ừ ñ ó suy ra ph ầ n th ự c và ph ầ n ả o c ủ a z t ươ ng ứ ng là 1 và 3 ho ặ c -1 và 3 − Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: ( ) 1 3 z i − + bi ế t m ộ t acgumen c ủ a z b ằ ng 3 π Gi ả i: z có m ộ t acgumen b ằ ng 3 π nên 1 3 2 2 z z i   = +       Do ñ ó: ( ) 1 3 z i − + = 1 3 ( 2) 2 2 z i   − +       - Khi 2 z > , m ộ t aacgumen c ủ a ( ) 1 3z i− + là 3 π - Khi 0 2 z < < , m ộ t acgumen c ủ a ( ) 1 3 z i − + là 4 3 π 8 - Khi 2 z = thì ( ) 1 3 z i − + =0 nên acgumen không xác ñị nh. Ví d ụ 3) Cho s ố ph ứ c z có mô ñ un b ằ ng 1. Bi ế t m ộ t acgumen c ủ a z là ϕ , tìm m ộ t acgumen c ủ a: a) 2 2 z b) 1 2 z − c) z z + d) 2 z z + Gi ả i: 1 z = , z có m ộ t acgumen là ϕ . Do ñ ó cos sin z i ϕ ϕ = + a) ( ) ( ) 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin z i z i z i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + ⇒ = + ⇒ = − V ậ y 2z 2 có m ộ t acgumen là 2 ϕ b) ( ) cos sin cos sin 2 2 cos sin z i z i z i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + ⇒ = − ⇒ = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos sin cos sin 2 2 2 1 1 1 cos sin cos sin 2 2 2 i i z i i z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π ⇒ = − − − = + ⇒ − = − − = + + + V ậ y 1 2 z − có m ộ t acgumen là ϕ π + c) Ta có: 2cos z z ϕ + = N ếu cos 0 ϕ > thì có một acgumen là 0 N ế u cos 0 ϕ < thì có m ộ t acgumen là π N ế u cos 0 ϕ = thì acgumen không xác ñị nh. d) 2 cos2 sin 2 , cos sin z z i z i ϕ ϕ ϕ ϕ + = + = − ( ) 2 3 3 cos2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin 2 2 2 2 3 2cos cos sin 2 2 2 z z i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⇒ + = + + − = +   = +     V ậ y acgumen 2 z z + là 2 ϕ n ế u 3 cos 0 2 ϕ > , là 2 ϕ π + n ế u 3 cos 0 2 ϕ < và không xác ñị nh n ế u 3 cos 0 2 ϕ = Ví d ụ 4) Cho s ố ph ứ c 1 cos sin 7 7 z i π π = − − . Tính mô ñ un, acgumen và vi ế t z d ướ i d ạng lượng giác. Gi ả i: Ta có: 2 2 8 4 1 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos 7 7 7 7 7 z π π π π π       = − + = − = + =             Đặ t ( ) arg z ϕ = thì 2 8 sin sin 4 7 7 tan cot tan 4 7 14 1 cos 2sin 7 7 π π π π ϕ π π −   = = = = −     − 9 Suy ra: , 14 k k z π ϕ π = − + ∈ Vì ph ầ n th ự c 1 cos 0 7 π − > , ph ầ n ả o sin 0 7 π − < nên chọn một acgumen là 14 π − V ậ y 4 2cos cos isin 7 14 14 z π π π       = − + −             Ví d ụ 5) Vi ế t d ướ i d ạ ng l ượ ng giác c ủ a m ộ t s ố ph ứ c z sao cho 1 3 z = và m ộ t acgumen c ủ a 1 z i + là 3 4 π − Gi ả i: Theo gi ả thi ế t 1 3 z = thì ( ) 1 cos sin 3 z i ϕ ϕ = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 cos sin cos sin 3 3 z i i ϕ ϕ ϕ ϕ ⇒ = − = − + − Vì 1 2 1 2 2 cos sin 2 2 4 4 i i i π π     + = + = +           Nên 1 os sin 1 4 4 3 2 z c i i π π ϕ ϕ       = − − + − −       +       Do ñ ó: 3 2 2 , . 4 4 2 k k k π π π ϕ π ϕ π − − = − + ⇔ = + ∈Ζ v ậ y 1 os sin . 3 2 2 z c i π π   = +     Ví d ụ 6) Tìm s ố ph ứ c z sao cho: 3 1 z i z i + = + và z+1 có m ộ t ácgumen là 6 π − Gi ả i: T ừ gi ả thi ế t 3 1 z i z i + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 3 ( 3) ( 1) 3 1 2 z i z i x y i x y i x y x y y ⇒ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + ⇒ = − z+1 có 1 acgumen b ằ ng 6 π − t ứ c là ( ) 1 [ os sin ] 3 6 6 2 z c i i π π τ τ     + = − + − = −         v ớ i r>0. Ta có z+1=x+1-2i suy ra 3 1 4 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 x z i x τ τ τ  + =  =    ⇔ ⇒ = − −   = −    − = −   D ạ ng 3) Ứ NG D Ụ NG S Ố PH Ứ C TRONG BÀI TOÁN T Ổ H Ợ P Ví d ụ 1) Tính các t ổ ng sau khi n=4k+1 a) 0 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n S C C C C C − + + + + + = − + − + − b) 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n S C C C C C − + + + + + + = − + − + − Gi ả i: 10 Xét ( ) 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) n n n n n n n n n n n n n n n i C iC i C i C C C C i C C C + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + = − + − + − + − M ặt khác ta lại có: ( ) 2 1 2 1 (2 1) (2 1) 1 2 cos sin 1 2 cos sin 4 4 4 4 n n n n i i i i π π π π + + + +     + = + ⇒ + = +         = (2 1) (2 1) (8 3) (8 3) 2 2 cos sin 2 2 cos sin 4 4 4 4 n n n n k k i i π π π π + + + +     + = +         3 3 2 2 cos sin 2 2 4 4 n n n i i π π   = + = − +     T ừ ñ ó ta có a) S=-2 n b) S=2 n Ví d ụ 2) Tính các t ổ ng h ữ u h ạ n sau: a) 2 4 6 1 n n n S C C C = − + − + b) 1 3 5 7 n n n n S C C C C = − + − + Gi ả i: Xét ( ) 0 1 2 2 2 4 1 3 5 7 1 1 ( ) n n n n n n n n n n n n n i C iC i C i C C C i C C C C + = + + + + = − + − + − + − + ( ) 1 2 cos sin 1 2 cos sin 4 4 4 4 n n n n i i i i π π π π     + = + ⇒ + = +         T ừ ñ ó ta có k ế t qu ả a) 2 cos 4 n n S π = b) 2 sin 4 n n S π = Ví d ụ 3) Ch ứ ng minh r ằ ng: 3 6 1 1 2 2cos 3 3 n n n n C C π   + + + = +     Gi ả i: Ta có 0 1 2 3 2 n n n n n n n C C C C C = + + + + (1) Xét 3 2 2 cos sin 1 3 3 i π π ε ε = + ⇒ = Ta có ( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 4 1 n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ε ε ε ε ε ε ε + = + + + = + + + + + (2) ( ) 2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4 1 (3) n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ε ε ε ε ε ε ε + = + + + = + + + + + Ta có 2 2 1 0;1 os sin ;1 os sin 3 3 3 3 c i c i π π π π ε ε ε ε + + = + = − + = + C ộ ng (1) (2) (3) theo v ế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 3 6 0 3 6 2 1 1 3 2 2cos 3 3 n n n n n n n n n n n C C C C C C π ε ε + + + + = + + + ⇔ + = + + + 3 6 1 1 2 2cos 3 3 n n n n C C π   ⇔ + + + = +     [...]...M TS BÀI T P T LUY N 1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c: 2 c) z 2 − ( z ) = 4i 3 a) z 3 = z b) z + z = 3 + 4i d )z2 + 2z +1− i = 0 g ) z 2 − 2( z + z ) + 4 = 0 e) z 2 + 4 z + 5 = 0 f )(1 + i ) z 2 + 2 . − = − + = − + ≥ . T ừ ñ ó suy min 2 2 2 2 2 2 z x y z i = ⇔ = ⇒ = ⇒ = + Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví d ụ 1) Tìm t ậ p h ợ p các ñ i ể m M trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c bi ể u. tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n 7 5; 1 z i z z + = + là s ố thự c 5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) 2 2 ) 9 a z z − = 2 ) 4 2 z. 16 x y − + − ≤ ; tâm ( ) 3; 3 I , bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số ph ứ c z sao cho s ố 2 2 z z − + có acgumen b ằ ng 3 π . Gi ả i: