Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6 Tìm nghiệm của phương trình sau:z2 =z.. Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện... Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM... Tìm số phức z có
Trang 1I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3
18 26
Giải:
3
18 26
2 3
x y y
− =
− =
Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược 1 3, 1
3
t= ⇒x= y= Vậy z=3+i
Ví dụ 2) Cho hai số phức z z thoả mãn 1; 2 z1 = z2 ;z1+z2 = 3 Tính z1−z2
Giải:
Đặt z1= +a1 b i z1; 2 = +a2 b i2 Từ giả thiết ta có
2 2 2 2
1 1 2 2
1 3
+ = + =
⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =
Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức
Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2
8(1 ) 63 16 0
z − −i z+ − i=
' 16(1 i) (63 16 )i 63 16i 1 8i
∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là
1 5 12 , 2 3 4
z = − i z = + i
Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1+i z) 2−4(2−i z) − − =5 3i 0
Giải: Ta có ∆’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
i
i i
i
2
5 2
3 2
) 1 )(
4 ( 1
4 ) 1 ( 2
4 ) 2
(
2
−
=
−
−
= +
−
= +
+
−
i
i i
i
2
1 2
1 2
) 1 )(
( 1 ) 1 ( 2
4 ) 2
(
+
−
= +
−
−
Ví dụ 3) Giải phương trình z3−9z2+14z− =5 0
Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( ) ( 2 )
2z−1 z −4z+ =5 0 Từ ñó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là 1 1; 2 2 ; 3 2
2
z = z = −i z = +i
Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 2
2z −5z + + +3z 3 (2z+1)i=0 biết phương trình có nghiệm thực
Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên
3 2
z
+ =
1 2
z −
⇒ = thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với
2z+1 z − + + =3z 3 i 0 Giải phương trình ta tìm ñược 1; 2 ; 1
2
z= − z= −i z= +i
www.laisac.page.tl
M
M Ộ Ộ T S S Ố D D Ạ Ạ N N G B B À À I T T Ậ Ậ P
V
V Ề S S Ố P P H H Ứ Ứ C
Nguyễn Trung Kiên
Trang 2Ví dụ 5) Giải phương trình: z3+ −(1 2 )i z2+ −(1 i z) − =2i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo:
Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
bi + − i bi + −i bi − = ⇔ −i b b + − +b b + −b i=
2
3 2
0
1
b b
− =
− + + − =
ñương với ( ) ( 2 )
z i− z + −i z+ = Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau:z2 =z
Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2
a bi+ = +a bi
2 2
2
− =
⇔
= −
Giải hệ trên ta tìm ñược
( , ) (0; 0), (1; 0), ( ; )
trình có 4 nghiệm là 0; 1; 1 3
z= z= z= − ± i
Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:
z+ − i = − +z i và z i− = 5
Giải:
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) Từ giả thiết ta có 1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
+ + − = − + −
+ − =
( )
2 2
+ + − = − + −
⇔
3
=
⇔
− − =
,
x= − y= − Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện
Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ;
i m
−
a) Tìm m ñể 1
2
z z =
4
z i− ≤
c) Tìm số phức z có modun lớn nhất
Giải:
a) Ta có
2
z
Trang 3( )
2
1
m
+
2
2 2
2
m
m
+
+ b) Ta có
2
1
− ≤ ⇔ + + + − ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔
c) Ta có
2
max
2
1 1
m
m m
+
+ +
Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z− −2 4i = 5 Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất
Giải: Xét số phức z = x+yi Từ giả thiết suy ra ( ) (2 )2
x− + y− = Suy ra tập hợp
ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R= 5
Dễ dàng có ñược M(2+ 5 sin ; 4α + 5 cos )α Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ
OM
Ta có |z|2=OM2 = +(2 5 sin )α 2+ +(4 5 cos )α 2 =25 4 5(sin+ α+2 cos )α
(sinα +2 cos )α ≤ +(1 4) sin α+cos α =5
5 sinα 2 cosα 5
min
max
Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z− −2 4i = −z 2i .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất
Giải: Xét số phức z = x+yi Từ giả thiết suy ra
( ) (2 )2 2 ( )2
x− + −y =x + −y ⇔ + − =x y Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn
số phức z là ñường thẳng y=-x+4
Ta có z = x2+y2 = x2+ −(4 x)2 = 2x2− +8x 16 = 2(x−2)2+ ≥8 2 2 Từ ñó suy
Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:
z i =
− b) z = − +z 3 4i c) z i− + + =z i 4
Trang 4Giải:
Gọi z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có 3 2 2 9( 2 ( 1) )2 2 ( 9)2 9
z = z i− ⇔x +y = x + −y ⇔ x + −y =
Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm (0; ),9 3
b) Từ giả thiết ta có 2 2 ( )2 2
x +y = −x + −y ⇔ x+ y= Vậy tập hợp các ñiểm
M là ñường thẳng 6x+8y-25=0
c) Giả sử z =x+yi thì z i− + + =z i 4 2 ( )2 2 ( )2
2
2
2
+ + ≤ + + ≤
+ − = +
2
2 2
1 16(1)
4
4(3)
y
y
+ + ≤
+ + ≤
≥ − ≥ −
Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4 Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt
2 2
1
x + y =
Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số
phứcω= +(1 i 3)z+2 biết rằng số phức z thoả mãn: z− ≤1 2
Giải: Đặt z= +a bi a b( , ∈R)
Ta có z− ≤1 2 ( )2 2
⇔ − + ≤ (1)
Từ
(1 3) 2 (1 3) ( ) 2 3 2 3 1 3
ω= + + ⇒ + = + + + ⇔ = − + ⇔ − = − +
Từ ñó ( )2 ( )2 ( )2
2
x− + −y ≤ a− +b ≤ do (1)
Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( )2 ( )2
x− + −y ≤ ; tâm I( )3; 3 , bán kính R=4
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z sao cho số 2
2
z z
− + có acgumen bằng 3
π
Giải:
Trang 5Giả sử z=x+yi, thì ( )
( ) ( ) ( )2( 2 )
2 2
z
− +
i
Vì số phức 2
2
z
z
−
+ có acgumen bằng 3
π
, nên ta có:
2 2
π π τ
2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 2
y
τ τ
+ − =
− +
⇒
=
− +
Từ ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
= ⇔ + − = ⇔ + − =
tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox)
Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:
Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z ≤1 thì 2 1 1
2
z iz
− ≤ +
Giải:
Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì z = a2+b2 ≤ ⇔1 a2+ ≤b2 1 Ta có
2 2
với
2 2
(2 )
− +
Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện 3
3
1 2
z z
+ ≤ Chứng minh
rằng: z 1 2
z
+ ≤
Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức z z bất kỳ ta có 1, 2 z1+z2 ≤ z1 + z2
Ta có
Đặt z 1
z
a − a− ≤ ⇔ a− a+ ≤ ⇒dpcm
Trang 6II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a) 1 (cos sin )
1 cos sin
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ + b) 1−(cosϕ+isinϕ) ( 1 cos+ ϕ+isinϕ)
Giải:
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
2
2
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
- Khi tan 0
2
ϕ >
dạng lượng giác là: tan cos sin
ϕ π π
- Khi tan 0
2
ϕ <
dạng lượng giác là: tan cos sin
ϕ π π
− +
- Khi tan 0
2
ϕ =
thì không có dạng lượng giác
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
= − + −
- Khi sinϕ=0 thì dạng lượng giác không xác ñịnh
- Khi sinϕ>0 thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin
π π
ϕ ϕ− + ϕ−
- Khi sinϕ<0 thì dạng lượng giác là: ( 2 sin ) cos sin
π π
ϕ ϕ ϕ
− + + +
Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a) 1 (cos sin )
1 cos sin
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ + b) [1 (cos− ϕ+isin ) 1 cosϕ ][ + ϕ+isinϕ]
Giải:
2
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
Khi tan
2
ϕ
>0 thì dạng lượng giác là tan
2
ϕ
π π
Trang 7Khi tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là - tan
2
ϕ
π π
+
Khi tan
2
ϕ
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác
b) [1 (cos− ϕ+isin ) 1 cosϕ ][ + ϕ+isinϕ]
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
= − + −
- Khi sinϕ=0 thì dạng lượng giác không xác ñịnh
- Khi sinϕ>0 thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin
π π
ϕ ϕ− + ϕ−
- Khi sinϕ<0 thì dạng lượng giác là:( 2 sin ) cos sin
π π
ϕ ϕ ϕ
− + + +
Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2
2 2 3
z = − + i
Do ñó: 2 2 2 3 2 4 cos2 sin2
2 cos sin
π π
π π
= +
= − + = − −
Từ ñó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và − 3
Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: z− +(1 i 3) biết một acgumen của z
bằng
3
π
Giải: z có một acgumen bằng
3
π
= +
Do ñó: z− +(1 i 3)=( 2) 1 3
− +
- Khi z >2, một aacgumen của z− +(1 i 3) là
3
π
- Khi 0< <z 2, một acgumen củaz− +(1 i 3) là 4
3
π
Trang 8- Khi z =2 thì z− +(1 i 3)=0 nên acgumen không xác ñịnh
Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1 Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của:
a) 2
2z b) 1
2z
− c) z+z d) 2
z +z
Giải:
1
z = , z có một acgumen là ϕ Do ñó z=cosϕ+isinϕ
Vậy 2z2 có một acgumen là 2ϕ
b) z=cosϕ+isinϕ⇒z=cosϕ−isinϕ⇒2z=2 cos( ϕ−isinϕ)
2
2
z
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π
⇒ = − − − = +
⇒− = − − = + + +
Vậy 1
2z
− có một acgumen là ϕ π+
c) Ta có: z+ =z 2 cosϕ
Nếu cosϕ >0 thì có một acgumen là 0
Nếu cosϕ<0 thì có một acgumen làπ
Nếu cosϕ =0 thì acgumen không xác ñịnh
d) z2+ =z cos 2ϕ+isin 2 ,ϕ z=cosϕ−isinϕ
cos 2 cos sin 2 sin 2 cos cos 2 cos sin
3
2 cos cos sin
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
Vậy acgumen 2
z +z là
2
ϕ
nếu cos3 0
2
ϕ >
, là 2
ϕ π+ nếu cos3 0
2
ϕ <
và không xác ñịnh
nếu cos3 0
2
ϕ =
Ví dụ 4) Cho số phức 1 cos sin
z= − π −i π
Tính môñun, acgumen và viết z dưới dạng lượng giác
Giải:
Ta có:
2
Đặt ϕ=arg z( ) thì
2
8
4
1 cos 2 sin
π π
π π
ϕ= − π = π = = −
−
Trang 9Suy ra: ,
14 k k z
π
ϕ= − + π ∈
Vì phần thực 1 cos 0
7
π
− > , phần ảo sin 0
7
π
− < nên chọn một acgumen là
14
π
−
Vậy 2 cos4 cos i sin
= − + −
Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1
3
z = và một
acgumen của
1
z i
+ là
3 4
π
−
Giải:
Theo giả thiết 1
3
cos sin 3
⇒ = − = − + −
+ = + = +
z
i
π π
ϕ ϕ
= − − + − −
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈ Ζ vậy 1 os sin
Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: z 3i 1
z i
+ = + và z+1 có một ácgumen là 6
π
−
Giải: Từ giả thiết
3
1
z i
z i
+ =
2
y
⇒ = −
z+1 có 1 acgumen bằng
6
π
+ = − + − = −
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
2 3 1 2
2
x
x
τ
τ τ
+ =
=
− = −
Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1
a) S =C20n+1−C22n+1+C24n+1− +C22n n+−12−C22n n+1
2 1 2 1 2 1 2n1 2n1
S =C + −C + +C + − +C +− −C ++
Giải:
Trang 10Xét
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1+i n+ =C n+ +iC n+ +i C n+ + +i n+C n n++ =C n+ −C n+ + − C n n+ +i C( n+ −C n+ + − C n n++) Mặt khác ta lại có:
n
=2 2 cos(2 1) sin(2 1) 2 2 cos(8 3) sin(8 3)
π π π π
π π
Từ ñó ta có
a) S=-2n
b) S=2n
Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau:
1 n n n
S = −C +C −C +
S =C −C +C −C +
Giải:
1+i n =C n +iC n+i C n + +i C n n n = −1 C n +C n − + i C( n−C n +C n−C n + )
( )
n
Từ ñó ta có kết quả
4
b) 2 sin
4
Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 3 6 1
n
n
Giải: Ta có 2n =C n0+C1n+C n2+C n3+ C n n (1)
π π
ε = + ⇒ε =
Ta có
1+ε n =C n +εC n+ε C n + εn C n n =C n +εC n+ε C n +C n +εC n + (2)
1+ε n =C n +ε C n+ε C n + ε n C n n=C n +ε C n+εC n +C n+ε C n + (3)
ε ε ε ε
Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có
3
n n
n
ε ε
n
n
Trang 11MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Giải phương trình sau trên tập số phức:
3
)
a z =z b z) + = +z 3 4i 2 ( )2
c z − z = i d z) 2+2z+ − =1 i 0
2
e z + z+ = f)(1+i z) 2+ +2 11i=0 g z) 2−2(z+ + =z) 4 0
2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:
) 1 4 2 x 5
a + −i − ≤ )1 7 log2 1
4
i
)1 log2 1 2 2 0
2 1
−
3) Tìm số phức z sao cho A= −(z 2)(z+i) là số thực
4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện 5; 7
1
z z
+
= + là số thực
5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñiều kiện
( )2
2
2
z i b
z i
− = + )3c z+ = + −i z z 3i )d z+ − =3i 4 2 )e z+ ≥ +1 z i
f z = + −z i ) 2 1
2
z i g
− >
+ )2h z i− = − +z z 2i 1
3
2 2
z k
z
− + >
− −
6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 2 3 3
2
z− + =i Tìm số phức z có modun lớn nhất,nhỏ nhất
7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện (z−1)(z+2i) là số thực và z nhỏ nhất
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z+ z i = z
9) Tìm số phức z thoả mãn 2
2
z + =z và z =2
10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
2 2
)
4
a
− = − +
− =
1 2
1 2
3
5
+ = −
+
+ =
2
1 2 2
2 1
1 0 )
1 0
c
− + =
− + =
12 5
) 4 1 8
z
z i d
z z
− =
−
−
=
−
3 2
2010 2011
)
1 0
e
+ + + =
11) Cho phương trình 2z3−(2i+1)z2+(9i−1)z+ =5i 0có nghiệm
thực Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình
12) Tìm phần thực phần ảo của 12011 w2011
w
w+ =
13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:
)
3 3
n i
a z
i
− +
=
+
4 6 )
1 5
n i
b z
i
+
=− +
7 4 )
4 3
n i
c z
i
+
= −
)
3 3
i
d z
i
−
=
−
Trang 1214) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
( )
2
3
n
15) Tìm số phức z sao cho z = −z 2 và một acgumen của z-2 bằng một acgumen của z+2 cộng với
2
π
16) Giải phương trình
0
2
tan 10 4 2 os10
z
0
2
cot 12 6 7 sin12
z
Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088